《材料力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法

C D
F
B
FCs F FCs F
M C Fl M C Fl
l
l
FCs
MA FA
A
M C 2Fl Fl 0
FDs F
F
B
l
FCs
C
MA
MC
MC 2 Fl
D
MD 0
FDs
F
D

C
l
MD
B
截开后取左边为示力对象：
向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；
向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
10kN m
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
例题
4.9
作图示梁的内力图
3kN
D
4.5kN m
A
2kN m
B E
C
FA 10kN 1m 2m
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
例题
4.10
4kN m
6kN
2kN m
1m
1m
2m
4.5 kN 1.5
x
l
FB
ql FS qx 2

剪力图与弯矩图的画法_图文_图文.ppt
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
81KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
MB = 0
全梁的最大2
1
q
E
1.6 2
2
B D
16 16
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
A

画剪力图和弯矩图是《材料力学》中需要学生掌握的重点、难点内容。

为了帮助同学轻松愉快地制作剪力弯矩图，给出如下顺口溜型快速画法口诀。

希望对同学们的学习有所帮助。

剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有P力作零点。

无力梁段水平线，集中力偶同样看，均布荷载对斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。

弯矩图快速画法口诀弯矩图，较复杂，对照剪图来画它，自由端，铰支端，没有力偶作零点。

剪图水平弯图斜，剪力正负定增减，天上下雨池水满，向上射出弓上箭。

剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。

均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。

集中力处有转折，顺着外力折个尖。

集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。

弯矩图形已画完，注意极大极小点，数值符号截面点，三大要素标齐全。

全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）理论力学一、基本部分(一) 静力学(1) 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3) 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4) 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5) 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6) 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学(1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

浅谈材料力学中简易法快速画梁的剪力图和弯矩图杜超凡，陶阳（扬州大学建筑科学与工程学院，江苏扬州225000）［摘要］文章以作用于梁上的横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，归纳总结了几种荷载作用下剪力图、弯矩图的特征。

掌握这些特征就能不写内力方程而根据外力直接画出相应的剪力图和弯矩图。

［关键词］剪力图；弯矩图；微分关系；积分关系［基金项目］2020年度扬州大学“课程思政”教学示范课程建设项目“材料力学”（131010341）［作者简介］杜超凡（1987—），男，山东威海人，工学博士，扬州大学建筑科学与工程学院土木系讲师，主要从事多体系统动力学与控制、计算力学教学与研究；陶阳（1964—），女，安徽宣城人，工学学士，扬州大学建筑科学与工程学院土木系副教授，主要从事工程力学测试与计算教学与研究。

［中图分类号］G642.0［文献标识码］A［文章编号］1674-9324（2021）04-0157-04［收稿日期］2020-08-13一、引言“材料力学”是工科学生的一门必修课，其中剪力图和弯矩图的绘制是本门课的重点也是难点，尤其对土木工程专业的学生而言尤为重要，也是后续课程“结构力学”的基础。

教材[１-３]中介绍的绘制剪力图和弯矩图的方法主要有两种：一种是用截面法写剪力方程和弯矩方程，再根据所列方程作图。

写剪力方程和弯矩方程的时候，要在外力荷载规律变化的截面进行分段，对于作用于梁上的荷载只有一种或两种的情况，对截面分段较少，所以这种方法简单、直观。

但若作用于梁上的荷载种类较多时，分段写剪力方程和弯矩方程将是一个非常烦琐的过程，而且极易出错，所以这种方法使用较少。

另一种方法是基于横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系和积分关系，根据剪力图和弯矩图在外力荷载作用下的规律，由控制截面上的内力值连线即可，不用写内力方程而直接画出相应的内力图。

这种方法简便、高效，也被称为简易法。

该方法的关键是要能熟练掌握不同荷载作用下剪力图和弯矩图的特征。

怎样快速绘制剪力图和弯矩图3毛和业(黔南职业技术学院机电系,贵州,都匀558022)摘　要:在工程构件中,最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。

它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提,而这一绘制过程复杂,计算量大。

根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化,可找到一种学生易于掌握,且准确率高的方法。

关键词:剪力图;弯矩图;绘制;快速中图分类号:T B23 文献标识码:B 文章编号:1005-6769(2005)03-0081-03How to D raw the Shear i n g Force D i a gram and Bend i n g M o m en t D i a gram Rap i dlyMAO He -ye(Mechanical and Electr onic Depart m ent,Q iannan Vocati onal and Technical College,Duyun 558022,China )Abstract:I n structural me mbers,the defor mati on is usually caused by bending or by a combinati on of bending and t orsi on .W e calculate their strength based on finding the critical secti on by drawing the shearing force diagra m and bending moment diagra m that is relatively comp lex and needs l ots of work .Theref ore,according t o the regulati ons of shearing f orce diagra m and bending moment diagra m caused by different l oad models,this paper si m p lifies the p r ocess and finds an easy and accurate method .Key words:shearing f orce diagra m;bending moment diagra m;dra w;rap id1　引言 《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课,特别对于机电类专业,学生学习质量的好坏,对后续课程的学习,如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。

6.3 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系
教学目标
1、掌握梁在不同外荷载作用下的内力变化规律； 2、能够根据梁的内力规律用简捷法快速绘制梁的内力图。
目录
6.3.1 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系
6.3.2 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系在绘制内力图时的应用
6.3 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系
dFQ ( x ) dx q( x)
dM ( x ) FQ ( x ) dx
d 2 M ( x ) dFQ ( x ) q( x) 2 dx dx
dFQ ( x ) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x ) dx
d 2 M ( x ) dFQ ( x ) q( x) 2 dx dx
说明： （1）此即适用于平面载荷作用情形 的平衡微分方程。 （2）根据上述微分方程，由 载荷变 化规律，即可推知内力FQ 、M 的变 化规律。
（3）要明确各式的物理意义。
物理意义：
1）FQ图上各点的斜率等于梁上对应位置处的分布载荷集度。 2）M图上各点的斜率等于梁上对应截面上的剪力值。当剪力 FQ =0时，弯矩图在对应截面处产生极值。 3）由q的正负判断M图的凹凸性。
D R A =58kN
1m 1m
G
1m
20 4 18 26 32.4 6 18
12
10
M图（单位kN·m）
MC 0 M A 20 M D 18 M E 26 M F 18 M G左 6 M G右 4
M B左 16
课 后 作 业
P181 （6）（d）
法求出这些控制截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标
，便定出了内力图的各控制点。

简而言之，左 Nhomakorabea右逆为正。
【例5】一桥式起重机，如图 a），桥架用32C工字钢制成。将其简化为一简支梁（图b），梁长
l =10m，自重不计。若最大起重载荷为F=35kN(含起重小车)，许用应力[σ]=130MPa，试校核梁
的强度。查型钢表得32C工字钢的抗弯截面系数WZ =760cm3 。
解：（ 1） 当小车行走至梁的中间时，梁的弯矩最大。 （是谁告诉你的？偷懒！ ） 解除约束，作梁的受力图（如图c）。 （2）求此时的支反力： l M 0 ； F l F 0； A B 2 F FB FA 2 (3)求最大弯矩：应用截面法，保留右段。 l F l F l M max FB 2 2 2 4 35 103 10 87500 (N m) 4 (4)求弯曲正应力：
-Pl
【例1】已知P、l，作弯矩图。解法二
解: （1）解除约束，画受力图——可省略。 （2）求支座反力——悬臂梁可不求支反力。 （3）应用截面法，保留截面右侧。 A x n n l P (+)
P
B
（4）写出剪力、弯矩方程：
①剪力方向：在截面右侧，外力向下剪力为正。 剪力方程：Q = P (0≤x≤l) ②弯矩方向：在截面右侧，外力矩顺时针为负。 弯矩方程：M(x)= -P(l-x) (0≤x≤l) （5）依方程画剪力图、弯矩图。
a
a
PB
qa
a
Q( x) qx
(0 x2 a)
+
1 qa 4
-
+
x
剪力图
【例6】试作图示梁的剪力图与弯矩图（续） Me=qa2 P = qa
（3）求弯矩方程： M ( x) PA x 3 qax (0 x1 a) 4 M ( x) PA x Me P( x a) 3 qax qa 2 qax qa 2 4 1 qax ( a x1 2 a) 4 1 M ( x) qx 2 (0 x2 a ) 2

《材料力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法[摘要]在《材料力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是“直梁的弯曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。

本文中作者利用几何图形的面积来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。

[关键词]剪力图弯矩图面积在《材料力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。

目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。

通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用几何图形的面积代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。

具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——剪力图（直角坐标系）——弯矩图（直角坐标系），其图象遵循“平行线——斜直线——抛物线”的顺序，其剪力和弯矩的变化值等于对应的上一个几何图形的面积，其它事宜与原方法同。

例：一外伸梁受力如图a)所示，已知P=6kN，q=2kN/m，a=1m，绘出梁的剪力图和弯矩图。

解：（1）求支座反力NA和MA选整个梁为研究对象，由平衡方程求得NA= 10kN，MA= 18kN.m。

（2）绘制剪力图A点作用有向上的集中载荷NA和逆时针转向的集中力偶MA，因集中力偶对剪力图没有影响，故剪力图只在集中力NA的作用下从零值向上突变10 kN；A、B点之间的剪力图为平行于x轴的直线；B点作用有向下的集中力P，剪力图向下突变P=6kN，变为4 kN；B、C之间的剪力图为平行于x轴的直线；CD 段作用有向下的均布载荷q=2kN/m，所以剪力图为从4 kN开始向下倾斜的直线，因此D点剪力值为4 kN -4 kN=0，如图b）所示。

由（2），（4）式可知， AC，CB 两段梁的弯矩 图各是一条斜直线
作剪力图和弯矩图的几条规律
取梁的左端点为坐标原点，x 轴向右为正；剪 力图向上为正；弯矩图向下为正。
以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或 结束处，及支座截面处为界点将梁分段。分段 写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和 弯矩图。
例2 图a 所示坐标原点取在梁 的左端，写出梁的剪力 方程和弯矩方程 ：
根据方程画剪力图、弯矩图（注意正负号画的方向）
例3 图a 所示悬臂梁，在全梁上受集度为q 的均布荷 载作用 。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
解：为计算方便，将坐标原 点取在梁的右端，得梁的剪 力方程和弯矩方程：
梁上最大弯矩可能发生在Fs(x) = 0 的截面上或梁段边界 的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。 在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的 值。弯矩图的相应处形成尖角。
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力 偶的值，但剪力图无变化。
叠加原理：当梁上受几项荷载共同作用时，某一横 截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一 横截面上弯矩的代数和。
例4 图a 所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布 荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
解：由Σy =0求得两个支反力 取距左端为x的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。
由式（1）可知，剪力图为一倾斜直线。由
由式（2）知，弯矩图为一条二次抛物线。由
由（1），（3）两 式可知，AC，CB 两段梁的剪力图各 是一条平行于 x轴 的直线。
• 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
一、剪力和弯矩方程： 剪力和弯矩沿梁长度方向的表达式，表示的是剪力和 弯矩沿轴线长度方向的分布情况

快速绘制梁的剪力图和弯矩图梁的内力图梁的内力图——剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程ＦＦ=F(x)=F(x)M=M(x)M=M(x)梁的剪力方程梁的剪力方程梁的弯矩方程梁的弯矩方程由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的，如果将而变化的，如果将xx轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁左端，左端，xx表示截面位置，则Ｆ和表示截面位置，则Ｆ和MM就随就随xx的变化而变化，的变化而变化，FF和和MM就是就是xx的函数，这个函数式就叫剪力方程和弯矩方程。

的函数，这个函数式就叫剪力方程和弯矩方程。

剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示Ｆ制表示Ｆ(x)(x)和和M(x)M(x)的图线。

这种图线分别称为的图线。

这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和MM图。

绘图时一图。

绘图时一般规定正号的剪力画在般规定正号的剪力画在xx轴的上侧，负号的剪轴的上侧，负号的剪力画在力画在xx轴的下侧；正弯矩画在轴的下侧；正弯矩画在xx轴下侧，负弯轴下侧，负弯矩画在矩画在xx轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。

轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。

下端受拉为正弯矩下端受拉为正弯矩画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，分段建立方程，依方程而作图分段建立方程，依方程而作图简支梁受均布荷载作用，如图示，简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。

作此梁的剪力图和弯矩图。

解：解：1.1.求约束反力求约束反力由对称关系，可得：由对称关系，可得：22、建立内力方程、建立内力方程33、依方程作剪力图和弯矩图、依方程作剪力图和弯矩图0时向右下方斜斜，时向右下方斜斜，V0时向右上方倾斜，时向右上方倾斜，V=0时为水平线。

多种方法快速绘制剪力图和弯矩图摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。

本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。

关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。

绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。

不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。

2 直接绘制剪力图和弯矩图例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。

解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。

(2) 绘制剪力图。

过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。

从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。

遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。

AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。

在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。

BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。

CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。

F 纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式 1、固定端：
CB：
M x2 Fa Fx2 (0 x2 a)
作图： 注意：在绘制弯矩图时，我们规定为弯矩图画在杆件受压的一 侧，即杆件弯曲变形凹入的一侧。由(a)(b)式可见：两 段的弯矩方程均为斜直线，故只要定出A、C、B三点处 的弯矩值即可作出弯矩图。
§5-5 载荷集度、 剪力和弯矩之间的关系
x Fl F x x2 2 2 2
（0<x<l） 根据剪力方程作剪力图
(b)
由（a）式可见： Qx 为x的一次函数，故剪力图为一 斜直 线，因而只需求出斜直线的两个端点的数值，即可作出剪力 图。
根据弯矩方程作弯矩图：
M x 为x的二次函数，故弯矩图为一抛物线， 由（b）可知： 由于x2的系数为负，故抛物线开口向下，由于抛物线为一曲线， 为了画出的弯矩图比较精确，一般情况下，要多确定曲线的几 点，如图所示：
当C>0时，抛物线 凹口向上，反之向下。
Q X 0 dM x 0 M x C dx
即：弯矩图为平行于x轴的直线。
d 2 M x qx 0 2 0 dx
即：某一截面处弯矩图的斜率为零，在这一截面上弯矩为一极值。
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。

载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一 种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在
FQ－x和M－x坐标系中首先标出剪力方程和
弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩 值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩 方程的类型，绘制出相应的图线，便得到 所需要的剪力图与弯矩图。
ΣMC=0: (M+dM) +q dx ·dx /2 -M- FQ dx=0
剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系的证明
q
y
Mz(x)
O
Mz(x)+d Mz(x)
x
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
FQ
x
dx
FQ +dFQ
ΣMC=0:
(M+dM) +q dx ·dx /2 -M- FQ dx=0
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩
图
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪 力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的 方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；
建立FQ－x和M－x坐标系，并将控制面上的剪
如果一段梁上作用有均布载荷，即q＝常数，这一段 梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函
数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线 。
弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度q的正负有 关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正 方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向 与M坐标正方向一致。

口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）弯矩与剪力有这样的关系：弯矩方程比剪力方程高一阶，弯矩方程的一阶导数是剪力方程，弯矩图的在某个截面的斜率值恰恰就是该截面的剪力。

弯矩与剪力、分布荷载之间的微分积分关系，可作为弯矩图绘制的理论依据。

本文以画梁的内力图为例，淡淡形象教学法在力学教学中的应用。

利用形象的口诀同时将弯矩、剪力与荷载集度问的微分关系及梁的内力图的一些特点，文献中的作者们做了大量工作，这里作汇总如下（部分略有改动）。

（1）黄氏口诀[3]：剪力图口诀：剪力跟随载荷走；均布载荷顺着斜；集中力处随着跳；上下看力的方向，遇到力偶剪力不会变。

（要求从左至右画）。

弯矩图口诀：差值等于Q与轴围图的面积；突变朝着同向矢；曲线突向顺着q；顶点正好对零剪。

特征：分段、突变、直线、曲线。

（2）高氏口诀[4]：均布荷载负，剪力下（右下）斜路．弯矩下（下凸）抛物；均布荷载零，剪力直线平，弯矩斜向行；集中力在梁上现．剪力要突变（顺F方向），弯矩定折转（F作用截面出现折角）；力偶作用面，剪力照常现（左右相同），弯矩要突变（顺时针力偶向下突变）。

最大弯矩可能发生在F，零（剪力为零）、F。

变（剪力变号）和紧靠力偶一侧面。

（3）钱氏口诀[5]：剪力图口诀：没有外力，水平线；均布外力，斜直线；集中外力，有突变；集中力偶，不用变。

剪力、弯矩图的相对应口诀：①你无我平，你平我斜，你斜我弯，弯线顶点你为0；②顺流而下，逆流而上，集中力偶来管上；③上尖角、下尖角，外力指向要看好。

（4）网络口诀（作者不详）。

剪力图口诀:外伸端，自由端，没有集中力取零点。

无力梁段Q水平线，集中力偶同样看，均布荷载Q应为斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。

弯矩图口诀:弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点。

剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上下雨池水满，向上射出弓上箭。

探讨材料力学与结构力学中快速作剪力图的方法材料力学、结构力学中作剪力图的先后顺序不同，导致了作剪力图的方法也有一定的差异，材料力学中一般是先作剪力图后作弯矩图，而结构力学一般是先作弯矩图后作剪力图。

当然荷载、剪力、弯矩之间存在微积分关系，在一定的条件下可以由其中一个图来作其它的图。

本文针对材料力学、结构力学中作剪力图的常规顺序，提出在材料力学中运用“走路法”作剪力图，其形象生动；在结构力学中运用“斜率支反力叠加法”作剪力图，避免繁琐的绘制杆段受力图，平衡方程求剪力的过程。

1 走路法材料力学中作内力图的方法初期一般采用列内力方程，再作其函数图像的方法，后期由于杆件分段太多，内力方程为分段函数，作其函数图像，不方便，此时一般采用简易法作内力图，由微积分关系得到如下作剪力图的规律[1]：（1）无分布荷载段：剪力图为平行于杆轴线的直线。

（2）集中力处：剪力图产生突变，突变值为集中力大小，从左向右作剪力图突变方向与集中力方向一致。

（3）集中力偶处：剪力图中剪力值不变。

（4）向下（上）的均布荷载作用区段：剪力图线为下（上）斜直线。

以上杆段内、分界点剪力图特征明显，但整体性、连贯性不强，造成学生作内力图时仍出现较多错误。

如图1若由剪力图绘制荷载图，很多同学经常将最后一个D点处的集中力漏掉。

因此，在学生掌握内力图基本概念、基本知识和特征后，再加强一点内力图定性力学分析的内容，强化其整体性、连贯性，注重过程，就能走好每一步，不易产生错误。

基于以上思路，笔者从内力图特征更高角度上将“走路法”作剪力图运用于教学中，取得了较好的效果，深受学生欢迎。

走路法作剪力图主要理念为：若自左向右作剪力图，就如同人走路一样，会走路就会作剪力图，走路法作剪力图主要规则如下：梁上无荷载，走平路；向下（下）均布荷载，走下（上）坡路，坡度大小为值；遇见向上（下）集中力，向上（下）跳，幅度为值；碰到集中力偶，不理睬；零高程开始，零高程走结束。