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绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部份。
全卷共4页，选择题部份1至2页；非选择题部份3至4页。
总分值150分。
考试历时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔别离填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请依照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上标准作答，在本试题卷上的作答一概无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部份（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，那么=UAA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．双曲线221 3=x y -的核心坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如下图（单位：cm ），那么该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．84．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 知足m ⊄α，n ⊂α，那么“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件7．设0<p <1，随机变量ξ的散布列是那么当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，那么A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．假设非零向量a与e的夹角为π3，向量b知足b2−4e·b+3=0，那么|a−b|的最小值是A 1B C．2 D．210．已知1234,,,a a a a成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a+++=++．假设11a>，那么A．1324,a a a a<<B．1324,a a a a><C．1324,a a a a<>D．1324,a a a a>>非选择题部份（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{x |y ＝ln x }，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{2}B ．{0,2}C ．{－1,0}D ．{0，－1，－2}2．(2016·嘉兴高三教学测试二)“θ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan θ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·嘉兴高三教学测试一)安排A 、B 、C 、D 、E 、F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( ) A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种4．(2016·杭州第二次教学质量检测)已知i 为虚数单位，则复数z ＝1＋2i i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．(2016·金华十校高三第一学期调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，O 为坐标原点，F 为其焦点，准线与x 轴交点为E ，P 为抛物线上任意一点，则|PF ||PE |( )A ．有最小值22B ．有最小值1C ．无最小值D ．最小值与p 有关6．(2016·诸暨高三第一学期期末)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.43B ．2C.83D.1037．若正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则1x －1＋4y －1的最小值为( )A ．4B ．6C ．9D ．168．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，且f (π2)＝－23，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝263sin(3x ＋π12)B ．f (x )＝263sin(3x －π12)C ．f (x )＝223sin(3x ＋π4)D ．f (x )＝223sin(3x －π4)9．设平面向量a i (i ＝1,2,3)满足|a i |＝1，且a 1·a 2＝0，则|a 1＋a 2＋a 3|的最大值为( ) A ．2B.2＋1C. 3D ．310．已知函数F (x )＝ln x (x >1)的图象与函数G (x )的图象关于直线y ＝x 对称，若函数f (x )＝(k －1)x －G (－x )无零点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(1－e,1) B ．(1－e ，＋∞)C ．(1－e,1]D ．(－∞，1－e)∪[1，＋∞)二、填空题11．(2016·绍兴高三教学质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，S 4＝8，则a 5＝________，S 10＝________.12．已知(x ＋1x )(ax －1)5的展开式中各项系数之和为64，则a ＝________，展开式中x 2项的系数是________．13．(2016·衢州4月高三教学质量检测)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；若抛物线C 上一点A 到其准线的距离与到原点的距离相等，则A 点到x 轴的距离为________．14．(2016·杭州二中高三第五次月考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则y －x 的最大值是__________；x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是__________．15．(2016·杭州学军中学模拟)如图，在二面角A －CD －B 中，BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2，点A 在直线AD 上运动，满足AD ⊥CD ，AB ＝3.现将平面ADC 沿着CD 进行翻折，在翻折的过程中，线段AD 长的取值范围是________． 16．(2016·浙江五校高三第二次联考)某校甲、乙、丙3名艺术考生报考三所院校(每人限报一所)，则其中甲、乙两名学生填报不同院校的概率为________．17．(2016·宁波镇海中学模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若|EG |2－|HF |2＝1，设|AD |＝x ，|BC |＝y ，|AB |＝z ，|CD |＝1，则2x ＋y z 2＋8的最大值是________．答案解析1．D [本题主要考查基本不等式的应用．∵A ＝{－2，－1,0，1,2}，B ＝{x |y ＝ln x }＝{x |x >0}，∴∁R B ＝{x |x ≤0}，∴A ∩(∁R B )＝{0，－1，－2}．]2．A [本题考查充分条件与必要条件．当θ＝2k π＋π4时，tan θ＝tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，又当θ＝5π4时，tan θ＝tan 5π4＝1，所以“θ＝2k π＋π4”是“tan θ＝1”的充分不必要条件，故选A.]3．C [本题考查排列组合．第一种情况当B 照顾老人甲时，有C 14C 24＝24(种)安排方法；第二种情况当B 照顾老人丙时，有C 24C 23＝18(种)安排方法，所以一共有42种安排方法，故选C.]4．D [本题考查复数的运算与几何意义．化简复数后得对应点所在象限．复数z ＝1＋2i i ＝(1＋2i)(－i)＝2－i ，对应点(2，－1)在第四象限，故选D.]5．A [本题考查抛物线的定义．过点P 作PF ′垂直于准线交准线于F ′.设P (y 22p ，y )，故|PF ′|＝y 22p ＋p 2，|EF ′|＝y ，因为|EF ′||PF ′|＝1y 2p ＋p2y≤1，此时|PF ||PE |有最小值22，故选A.] 6．D [本题考查空间几何体的三视图和体积．由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体，该三棱柱的体积为12×2×2×2＝4，三棱锥的体积为13×12×2×2×1＝23，所以该几何体的体积为4－23＝103，故选D.]7．A [本题主要考查基本不等式的应用．因为x ，y 为正数，且1x ＋1y＝1，所以x >1，y >1.令⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝a ，y －1＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，由1x ＋1y ＝1，得x ＋y ＝xy ，即a ＋b ＋2＝ab ＋a ＋b ＋1，整理得ab ＝1，所以1x －1＋4y －1＝1a ＋4b ＝b ＋4b ≥2b ·4b＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3时取等号，所以1x －1＋4y －1的最小值为4.故选A.] 8．C [本题主要考查三角函数的图象及性质．方法一 设函数f (x )的最小正周期为T ，由T 2＝11π12－7π12＝π3，得T ＝2π3，ω＝2πT ＝2π2π3＝3，所以f (x )＝A sin(3x ＋φ)．因为f (7π12)＝0，所以sin(7π4＋φ)＝0，得7π4＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝A sin(3x ＋π4)．因为f (π2)＝－23，所以A ＝223，所以f (x )＝223sin(3x ＋π4)．故选C.方法二 设函数f (x )的最小正周期为T ，由T 2＝11π12－7π12＝π3，得T ＝2π3，ω＝2πT ＝2π2π3＝3，又f (7π12)＝0，当x ＝7π12时，sin(3x ＋π12)≠0，sin(3x －π12)≠0，sin(3x －π4)≠0，排除选项A ，B ，D.故选C.]9．B [本题主要考查向量的数量积及向量模的计算．方法一 因为(a 1＋a 2＋a 3)2＝3＋2(a 1＋a 2)·a 3＝3＋22cos θ≤3＋22＝(2＋1)2，θ为向量a 1＋a 2与a 3的夹角，所以|a 1＋a 2＋a 3|≤2＋1，故选B.方法二 如图，a 1与a 2为互相垂直的单位向量，由图可得，当单位向量a 3与a 1＋a 2方向相同时，|a 1＋a 2＋a 3|取得最大值，为2＋1.]10．B [本题主要考查导数、函数的零点等知识．因为函数F (x )＝ln x (x >1)的图象与函数G (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以G (x )＝e x (x >0)．因为函数f (x )＝(k －1)x －G (－x )无零点，即f (x )＝(k －1)x －1e x (x <0)无零点，即关于x 的方程(k －1)x ＝1e x (x <0)无解．①当k ＝1时，方程(k －1)x ＝1e x (x <0)无解，所以k ＝1满足题意；②当k ≠1时，方程(k －1)x ＝1e x (x <0)无解，等价于1k －1＝x e x (x <0)无解．令h (x )＝x e x (x <0)，则h ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，所以h (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，所以h (x )min ＝h (－1)＝－1e ，所以－1e ≤h (x )<0(x <0)，所以1k －1<－1e 或1k －1≥0，解得1－e<k <1或k >1.综上所述，实数k 的取值范围为(1－e ，＋∞)，故选B.] 11．7 80解析 本题考查等差数列的通项公式及前n 项和．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，4a 1＋6d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 5＝a 1＋4d ＝7，S 10＝10a 1＋10×92×d ＝－10＋90＝80.12．3 285解析 本题主要考查二项展开式中项的系数等知识．令x ＝1，则2(a －1)5＝64，所以(a －1)5＝32，解得a ＝3，所以(x ＋1x )(3x －1)5的展开式中x 2项的系数是C 4531(－1)4＋C 2533(－1)2＝285. 13．22解析 本题考查抛物线的标准方程和抛物线的定义．由题意知p2＝1，得p ＝2，设A (x ，y )，因为x ＋1＝x 2＋4x ，所以x ＝12，其到x 轴的距离为 2.14．0 [－1,1]解析 本题考查简单的线性规划问题．作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z ＝y －x 经过原点时取得最大值0，即y －x 的最大值为0；当x ＝2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝0；当x >2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝x －2(x －2)2＋y2＝11＋(y x －2)2，又yx －2表示平面区域内的点与点(2,0)连线的斜率，由图知，k ∈[0，＋∞)，即yx －2∈[0，＋∞)，所以11＋(y x －2)2∈(0,1]，同理可求得当x <2时，－11＋(y x －2)2∈[－1,0)，所以x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是[－1,1]．15．[5－2，5＋2]解析 本题考查空间直线与平面间的垂直判定与性质的应用．由题意知翻折过程中，AD 在与CD 垂直的平面ADE 内运动，且假设BE ⊥BC ，如图所示，四边形BCDE 为正方形．当点A 运动到平面BCDE 上的点A 1处时，线段AD 长取得最大值，其最大值为A 1E ＋DE ＝A 1B 2－BE 2＋2＝5＋2；当点A 运动到平面BCDE 上的点A 2处时，线段AD 的长取得最小值，其最小值为A 2E －DE ＝A 2B 2－BE 2－2＝5－2，所以线段AD 长的取值范围是[5－2，5＋2]． 16.23解析 本题考查古典概型的概率计算．设三所院校为A ，B ，C ，当甲填报A 校时，则甲、乙、丙填报院校的情况有AAA ，AAB ，AAC ，ABA ，ABB ，ABC ，ACA ，ACB ，ACC ，共9种；同理，当甲填报B 或C 校时，都各有9种填报方法，即三名考生的填报方法共有27种．其中甲、乙两名学生填报不同院校的有6×3＝18种，故所求概率为1827＝23.17.12解析 本题考查平面向量加减法的几何意义、数量积、基本不等式．因为2EG →＝AD →＋BC →，2HF →＝AB →＋DC →，所以平方得4|EG →|2＝x 2＋y 2＋2AD →·BC →，4|HF →|2＝z 2＋1＋2AB →·DC →，两式相减得 x 2＋y 2－z 2－1＋2(AD →·BC →－AB →·DC →)＝4.①又AD →＋DC →＝AB →＋BC →，得AD →－BC →＝AB →－DC →，平方得x 2＋y 2－z 2－1＝2(AD →·BC →－AB →·DC →)．② 由①②得z 2＝x 2＋y 2－3，所以2x ＋y x 2＋y 2＋5＝2x ＋y (x 2＋4)＋(y 2＋1)≤2x ＋y 2x 2·4＋2y 2·1＝12.。
专题限时集训(十七) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第151页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝( ) A．[3,4) B．(2,3]C．(－1,2) D．(－1,3]A[P＝{x|x2－2x≥3}＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}，∴P∩Q＝{x|x≥3或x≤－1}∩{x|2<x<4}＝{x|3≤x<4}，即P∩Q＝[3,4)．]2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)A[∵P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，∴P∪Q＝{x|－1<x<2}．故选A.]3．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．故选C.]4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( ) A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( ) A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]C[由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁R P＝{x|0<x<2}＝(0,2)．又Q＝{x|1<x≤2}＝(1,2]，所以(∁R P)∩Q＝(1,2)．]6．(2014·浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2)，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A ．∅B ．{2}C ．{5}D ．{2,5}B [因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5)，故∁U A ＝{2}．] 二、命题及其关系、充分条件与必要条件7．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b >0，ab <0，故a ＋b >0D ⇒/ab >0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab >0，但a ＋b <0，所以ab >0D ⇒/a ＋b >0.故“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件．]8．(2017·湖州市高三第一学期期末调研测试)已知{a n }是等比数列，则“a 2＜a 4”是“{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件B [若a n ＝(－2)n，是等比数列，且a 2＝4＜a 4＝16，但该数列不具有单调性，所以充分性不成立；若{a n }是单调递增的等比数列，则必有a 2＜a 4，所以必要性成立，即“a 2＜a 4”是“{a n }是单调递增数列”的必要不充分条件，故选B.]9．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.]10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]11．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( ) A．－1＜x≤1B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D[由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁R B)，又∁R B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝{x|－1＜x＜1}．][B组“8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为( ) A．(0,1] B．(0,1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)C[由题意将两个集合化简得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因为A⊆B，所以c≥1.]2．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β，则A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题B[由面面垂直的判定可知m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故命题①为真命题；m∥α，α⊥β，m与β可能平行，在β内，或与α相交，故②为假命题．]3．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件．]4．(2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)已知集合P ＝{x ∈R |0＜x ＜1}，Q ＝{x ∈R |x 2＋x －2≤0}，则( ) A ．P ∈Q B ．P ∈∁R Q C ．∁R P ⊆QD ．∁R Q ⊆∁R PD [由题意得集合P ＝{x |0＜x ＜1}，Q ＝{x |－2≤x ≤1}，所以∁R P ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁R Q ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，所以∁R Q ⊆∁R P ，故选D.]5．函数f (x )的定义域为实数集R ，“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( ) 【导学号：68334154】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件A [f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此|f (x )|是偶函数，但当f (x )为奇函数时，|f (x )|为偶函数，但由|f (x )|为偶函数不能得出结论f (x )为奇函数，因此本题选A.]6．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数“的充要条件，故选C.]7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }＝{1,2,3,4}． 因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]8．(2015·浙江高考)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．( )命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立A [命题①成立，若A ≠B ，则card(A ∪B )>card(A ∩B )，所以d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )>0.反之可以把上述过程逆推，故“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②成立，由Venn 图，知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )，d (A ，C )＝card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )， d (B ，C )＝card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )，所以d (A ，B )＋d (B ，C )－d (A ，C )＝card(A )＋card(B )－2card(A ∩B )＋card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )－[card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )]＝2card(B )－2card(A ∩B )－2card(B ∩C )＋2card(A ∩C ) ＝2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card(A ∩B )＋card(B ∩C )] ≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )] ＝[2card(B )－2card ( A ∪CB＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，所以d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．] 二、填空题9．(2017·浙江省名师原创预测卷(二))已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝lnx －1x ，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则(∁RM )∩N ＝________.{1} [由题意得M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＞0，即M ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，N ＝{y |y ≥1}，所以(∁R M )∩N ＝[0,1]∩[1，＋∞)＝{1}．]10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]11．(2017·浙江省名师原创预测卷(四))已知集合A ＝{1,2,3，…，10}，若集合A 的一个非空子集中的奇数的个数不多于偶数的个数，则称该子集为“偏偶集”，那么集合A 的所有非空子集中，“偏偶集”的个数为________．637 [集合A 的所有非空子集可分为三类：偶数的个数多于奇数的个数、奇数的个数多于偶数的个数、偶数的个数与奇数的个数相等．其中前两种情况的子集数相等，现考虑第三种情况，即考虑元素个数为2,4,6,8,10的子集，则共有子集数：(C 15)2＋(C 25)2＋(C 35)2＋(C 45)2＋(C 55)2＝251，从而“偏偶集”的个数为251＋12(210－1－251)＝637.]12．设p ：(x －a )2≤9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12.因为p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]13．(2014·浙江高考)设集合S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，则S ∩T ＝________.[2,5] [因为S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，所以S ∩T ＝{x |x ≥2且x ≤5}＝{x |2≤x ≤5}．] 14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z ||x |≤1}，则A ∩(∁Z B )＝________.{2,3,4} [因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z ||x |≤1}＝{－1,0,1}，所以A ∩(∁Z B )＝{2,3,4}．] 15．(2016·江南十校一模)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N }，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于________．2 [集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N }，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z }＝{1,2}，P ∩Q ≠∅，可得b 的最小值为2.]专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.] 4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0， ∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.]6．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：68334155】 A ．a 2＜b 2B.a b＜1 C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1.因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( ) 【导学号：68334157】 A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立． 此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m 的取值为( )A ．2B ．1＋ 2C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·浙江省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为＋2＋＋2＝5，所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12[因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x )＞0的解集为________．{x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13， 则由f (e x )＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．]14．(2017·宁波十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________．3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．]15．(2016·舟山调研)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 7＋43 [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4bb －3，由a ＞0，得b ＞3. ∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.]专题限时集训(十九) 复数、数学归纳法(对应学生用书第155页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、复数1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)A [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]3．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35iD.45－35i D [∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.] 4．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2 A [由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i1＋i＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.]6．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2iB [法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.法二：由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B.]7．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.【导学号：68334158】5 2 [(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.]8．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z＝________.i [由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i.二、数学归纳法9．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的代数式为________．2(2k ＋1) [假设n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k×1×3…×(2k －1)成立；那么n ＝k ＋1时左边应为[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k －1][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，即从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应添乘的式子是[k ＋k ＋k ＋＋k ＋k ＋1＝k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．]10．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．]11．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n ＋2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3 [观察不等式中各项的分母变化知，n ＝k ＋1时，122＋132＋ (1)2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，其对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.]2．已知i 为虚数单位，若a 1－i ＝1＋ii，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2iC [∵a 1－i ＝1＋ii，∴a ＝＋－i＝2i＝－2i ，故选C.] 3．(2016·浙江镇海中学模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2 B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2，命题为真；对于选项B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2，命题为真；对于选项C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z －1＝a 21＋b 21，z 2·z －2＝a 22＋b 22，所以z 1·z－1＝z 2·z －2，命题为真；对于选项D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21≠z 22，命题为假．]4．复数z ＝3＋4i1－2i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1＋2iD ．1－2iA [依题意得z ＝＋＋－＋＝－5＋10i5＝－1＋2i ，因此z －＝－1－2i ，故选A.]5．设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5－12i B ．－5＋12i C ．－13＋12iD ．－13－12iB [复数z 1＝3－2i 在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于原点对称的点的坐标为(－3,2)，所以z 2＝－3＋2i ，z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选B.]6．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限B [2i1－i＝＋－＋＝－2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.]7．若复数z 满足(2＋i)z ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A.2＋i B.2－i C ．1＋2i D ．1－2iD [依题意得z ＝3i2＋i＝2－2＋2－＝1＋2i ，则复数z 的共轭复数为1－2i ，选D.]8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3A [假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．] 二、填空题9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的虚部为________．－1 [∵z ＝1－i(i 为虚数单位)， ∴zz ＋z 2＝1＋i 1－i＋(1－i)2＝＋2－＋－2i ＝2i2－2i ＝－i ，故其虚部为－1.] 10．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足|z ＋i|＝|z －3－i|，则直线l 的斜率为________． －32 [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z ＋i|＝|z －3－i|，∴|x ＋(y ＋1)i|＝|(x －3)＋(y －1)i|，∴x 2＋(y ＋1)2＝(x －3)2＋(y －1)2， ∴6x ＋4y －9＝0，则直线l 的斜率为－32.]11．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是_____________项．2k [f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此，f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]12．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．1k ＋k ＋[当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋.]13．复数＋23－4i 的值是________．－1 [＋23－4i＝1＋4i ＋4i 23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.]14．已知x1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为________．2－i [x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以x ＝2，y ＝1.]15．设复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝________. 【导学号：68334159】5 [⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i ＋21－i＝|3＋2i ＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.]专题限时集训(二十) 排列组合、二项式定理 (对应学生用书第157页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．如图201，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图201A．24 B．18C．12 D．9B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E 到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]4．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种D[满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．]5．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )【导学号：68334160】A．484 B．472C．252 D．232B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B.]6．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是( ) 【导学号：68334161】A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x10)B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋10x)C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋10x10)D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)...(1＋x＋x2＋ (x10)A[从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7,2＋6,3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为 5.A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A.]7．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)660 [法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]8．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．60[把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.]二、二项式定理9．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20C．30 D．60C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]10．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )A．45 B．60C．120 D．210C[因为f(m，n)＝C m6C n4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.]11．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1D[(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.]12．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.16 4 [由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C23×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C33×13×C22×22＝4.]13．(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)10 [(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]14.⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. －2 [T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.]16．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. －10 [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10.]17．已知对任意实数x ，有(m ＋x )(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝32，则m ＝________. 【导学号：68334162】0 [设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )A ．70B ．98C ．108D ．120B [可分为两类：选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选两门，有C 13C 27＝63；不选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选三门，有C 37＝35；所以共有98种，故选B.]2．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( ) A ．20 B ．15 C ．10D ．5D [T r ＋1＝C r4·(ax 6)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b xr ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.]3．(2018·杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．36种 B ．24种 C ．18种D ．9种C [由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C.]4．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．120种D ．96种B [不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B.]5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) A ．A 26×A 45种 B ．A 26×54种 C ．C 26×A 45种D ．C 26×54种D [有两个年级选择甲博物馆共有C 26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C 26×54种，故选D.] 6．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120C [因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x2 01810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 018＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎪⎫1x 2 01810，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.]7．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )。
一 一 .一 1 1 已知 m n € (2 , e),且-2— -2 n m…1 rm> 2+ — n2 1 x 2— 26(2 , e))，贝U f' (x )= 一妒+ x = 丁因为x€ (2 , e),所以f' (x) >0,故函数f (x )在(2 , e)上单调递增.因为f (n ) <f (n),所 以nv m 故选A.2 .已知定义在 R 上的可导函数f (x )的导函数为f ' (x)，满足f ' (x) v f (x )，且f (x+ 2)为 偶函数，f (4) = 1,则不等式f (x ) ve x的解集为.解析：因为f (x+ 2)为偶函数，所以f (x+ 2)的图象关于x = 0对称，所以f (x )的图象关于x............ -------------------------------------------- f x f ， x e x— f x e x=2 对称.所以 f (0) = f (4) = 1.设 g (x ) = ------------------------------ x —(x € R),贝U g (x) =x —2 --------------------- =eex — f x 一， , .... .................... .x .又f (x) v f (x )，所以g ( x) v 0( x e R),所以函数 g (x )在TE 义域上单倜递 exf x f 0x —减.因为 f (x ) v e ? ―一 v 1,而 g (0) =—^— = 1,所以 f (x ) v e? g (x) < g (0)，所以 x > 0.答案：(0 , +8)3. (2017 -广东汕头模拟)已知函数f (x ) = x+ x ln x,若m^ Z,且f (x ) — m (x — 1)>0对任意 的x >i 恒成立，则m 的最大值为…一 一，一 ，, 一， ....................... * 一 x + x In x解析：因为f (x) = x + x In x,且f (x) — mx — 1)>0对任怠的x >1恒成立，等价于 m <一了一:— x — I 在(1 , + 8)上恒成立，等价于m < * + 弋 * min (x >1) .x — 1令 g (x ) = x + xl ： X (x >1) 所以 g z (x ) =x_-_.易知 g' (x ) = 0 必有实根，设为 x 0(x 0 x — 1、， x — 1 -2- In x °= 0),且g (x )在(1 , x °)上单调递减，在(x °, + °°)上单调递增，此时 g (x )min = g(x °) 因此 m <x 0,令 h (x ) = x — 2-In x,可得 h (3)<0 , h (4)>0 ,答案：3x4 .已知函数f (x ) = | x e | ,方程 的取值范围为.重难增分训练(一) 函数与导数的综合问题A.B. nx n解析：选A 由不等式可得.一日< Innv In n,即*+ In nv 』+ In m 设 f (x ) = §+ In x (x m f v |n n ，则(C.的大小关系不确定x 。
专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.] 4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0，∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.]6．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：68334155】A ．a 2＜b 2B.ab＜1C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1. 因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( )【导学号：68334157】A ．0B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立． 此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m 的取值为( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·浙江省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为＋2＋＋2＝5，所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12[因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ， 所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为________．{x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13， 则由f (e x )＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．]14．(2017·宁波十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c＋2c －1的最小值为________． 3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b22ab－1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．]15．(2016·舟山调研)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．7＋43 [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4bb －3，由a ＞0，得b ＞3.∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.]。
专题二 数 列建知识网络 明内在联系[高考点拨] 数列专题是高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结合近几年高考命题研究，为此本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和”两条主线展开分析和预测.突破点4 等差数列、等比数列等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1. (2)求和公式等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).(3)性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .n (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为同一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2). (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1a n (n ∈N *)为同一常数；②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2).构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制.(2)利用数列的单调性求解，利用不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值.(3)转化为关于n 的不等式组求解，若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组⎩⎨⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围之后，再确定取得最值的项.回访1 等差数列及其运算1.(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A.a 1d >0，dS 4>0B.a 1d <0，dS 4<0C.a 1d >0，dS 4<0D.a 1d <0，dS 4>0B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.]2.(2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. [解] (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 2分将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *).5分 (2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.11分由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎨⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎨⎧m ＝5，k ＝4.15分3.(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列.(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解] (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *). 5分(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；8分 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.11分 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.15分回访2 等比数列及其运算4.(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3. 又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.]5.(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝______，d ＝________.23－1 [∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0. ① 又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1.]6.(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.[解] (1)由题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎨⎧a 1＝1，a 2＝3.2分又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. 5分(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1. 当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，10分当n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n ＋7)(n －2)2＝3n －n 2－5n ＋112，13分所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112， n ≥2，n ∈N *.15分热点题型1 等差、等比数列的基本运算题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小.(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( ) 【导学号：58962020】A.152B.135C.80D.16(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和.若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A.2B.－2C.12D.－12(1)B (2)D [(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n ＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. (2)由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D.]在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a 1和公差d (公比q )，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解.这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用.提醒：应用等比数列前n 项和公式时，务必注意公比q 的取值范围. [变式训练1] (1)已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝51，则n ＝__________.(2)(2016·浙江五校联考)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则|a n |前9项的和S 9＝________，cos(a 3＋a 7)的值为________.(1)6 (2)24π －12 [(1)由a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列. 由S n ＝n ＋n (n －1)2×3＝51，即(3n ＋17)(n －6)＝0， 解得n ＝6或n ＝－173(舍).(2)由{a n }为等差数列得a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×8π3＝24π.cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos 16π3＝cos 4π3＝－12.]热点题型2 等差、等比数列的基本性质题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的基本性质，可以大大提高解题效率.(1)(2016·宁波期末考试)已知实数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则1a 1a 5＋4a 1a 9＋9a 5a 9( ) A.有最大值12 B.有最小值12 C.有最大值52 D.有最小值52(2)(2015·东北三校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，S 3a 3，…，S 15a 15中最大的项为( ) A.S 6a 6 B.S 7a 7C.S 8a 8D.S 9a 9(1)D (2)C [(1)由题意可得a 2a 5a 8＝a 35＝－8，则a 5＝－2.设等比数列{a n }的公比为q ，则1a 1a 5＋4a 1a 9＋9a 5a 9＝q 4a 25＋4a 25＋9a 25q 4＝q 44＋94q 4＋1≥2q 44·94q 4＋1＝52，当且仅当q 44＝94q 4，q 2＝3时取等号，所以1a 1a 5＋4a 1a 9＋9a 5a 9有最小值52，故选D.(2)由S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15×2a 82＝15a 8>0，S 16＝16(a 1＋a 16)2＝16×a 8＋a 92<0，可得a 8>0，a 9<0，d <0，故S n 最大为S 8.又d <0，所以{a n }单调递减，因为前8项中S n 递增，所以S n 最大且a n 取最小正值时S n a n有最大值，即S 8a 8最大，故选C.]1.若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列，其中m ，k 为常数.2.若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍为等比数列.3.公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q . 4.(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k .(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5.若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a n b n ＝A 2n －1B 2n －1.[变式训练2](1)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝( ) A.1 B.2 C.3D.2或4(2)(2016·温州第一次适应性检测)已知公比q 不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 2＋S 2，a 3＋S 3，a 4＋S 4成等差数列，则q ＝________，S 6＝________.(1)C (2)12 6364[(1)∵{a n }为等比数列，∴a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，∴(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2.同理a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，∴(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.∴a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.(2)由a 2＋S 2＝12＋q ，a 3＋S 3＝12＋12q ＋q 2，a 4＋S 4＝12＋12q ＋12q 2＋q 3成等差数列，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12q ＋q 2＝12＋q ＋12＋12q ＋12q 2＋q 3，化简得2q 2－3q ＋1＝0，q ≠1，解得q＝12，所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝6364.]热点题型3 等差、等比数列的证明题型分析：该热点常以数列的递推关系为载体，考查学生的推理论证能力.(2016·全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.1分由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .2分 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.3分 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，4分 于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. 6分 (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.8分 由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.13分 解得λ＝－1.15分判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断.提醒：利用a 2n ＝a n ＋1·a n －1(n ≥2)来证明数列{a n }为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.[变式训练3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，2分由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ. 4分(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 5分由(1)知，a3＝λ＋1. 6分令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 7分故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3. 9分{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 13分所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列. 15分。
突破点18 不等式与线性规划[核心知识提炼]提炼1基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(4)a ＋1a ≥2(a ＞0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a ＜0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．(5)a ＞0，b ＞0，则a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b，当且仅当a ＝b 时取等号． 提炼2 利用基本不等式求最值 已知a ，b ∈R ，则(1)若a ＋b ＝S (S 为定值)，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝S 24，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值S 24；(2)若ab ＝T (T 为定值，且T ＞0)，则a ＋b ≥2ab ＝2T ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 取得最小值2T .提炼3 绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式定理常用来解决与最值有关的恒成立问题．不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而解集为∅的不等式的对立面也是不等式恒成立问题(如f (x )>m 的解集是∅，则f (x )≤m 恒成立)，这两类问题都可以转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .提炼4求目标函数的最优解问题(1)“斜率型”目标函数z ＝y －b x －a(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．(2)“两点间距离型”目标函数z ＝ x －a 2＋ y －b 2(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点之间的距离取最值时的可行解.提炼5线性规划中的参数问题的注意点(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．。
专题限时集训(二) 解三角形 (对应学生用书第114页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B＝asin A ，则cos B ＝( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32B [由正弦定理，得b 3cos B ＝a sin A ＝bsin B，即sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又0<B <π，故B ＝π3，cos B ＝12.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( )A.22B. 2 C ．2D ．4C [由正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0.∵sin A ≠0，∴sin B －3cos B ＝0，∴tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac . 又b 2＝ac ，∴4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2.故选C.] 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．3 3C [∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]4．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.]5．如图21，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE＝22，则cos A ＝( )图21A.223 B.24 C.64D.63C [∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A.∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BCsin ∠BDC ＝BD sin C ，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C.]二、填空题6．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为__________. 6 [在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6或AB ＝－2(舍)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.]7．如图22，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝______m.图221039 [分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．] 8．如图23，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是__________．图23(6,43] [在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DAsin θ＝DC－θ，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin θ＋32cos θ＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.]三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C . (1)求B 的大小；(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C . 由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ， 1分化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，2分∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.4分 ∵0<B <π，∴B ＝2π3.5分 (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4，6分 ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24.8分 由正弦定理得c sin C ＝bsin B，9分 ∵b ＝3，B ＝2π3，∴c ＝b sin C sin B ＝6－22，12分∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34.14分10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos Cc .(1)求ab的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ， ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A ·cos C )， ∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C ). 3分 ∵A ＋B ＋C ＝π，4分 ∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0，8分 ∴b > 3.①10分 ∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3，② 12分 由①②得b 的取值范围是(3，3).14分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2017·温州第二次适应性测试)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.]2．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010C [法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 法二：同法一得c ＝23a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A, 又B ＝π4，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23sin A ，即22cos A ＋22sin A ＝23sin A ，∴tan A ＝－3，∴A 为钝角． 又∵1＋tan 2A ＝1cos 2A ，∴cos 2A ＝110，∴cos A ＝－1010. 故选C.]3．(2017·台州市高三年级调考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1,2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则△ABC 的面积为( ) A.32B.34C.32或34D.3或32C [根据正弦定理可得2sin B －3sin C ＝2sin A cos C ，而sin B ＝sin(A ＋C )，整理为2cosA sin C ＝3sin C ，因为在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝30°，又asin A＝csin C，解得c ＝ 3.因为sin C ＝32，所以C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，B ＝90°，此时△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，此时△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝34，故选C.] 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B. 2 C ．3D. 3D [∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C . ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3， ∵0＜C ＜π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选D.] 二、填空题5．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A ＝__________. 【导学号：68334046】23[由题意可知S △ACD ∶S △BCD ＝4∶3， ∴AD ∶DB ＝4∶3，AC ∶BC ＝4∶3，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝43sin A ，又B ＝2A ，∴sin 2A ＝43sin A ，∴cos A ＝23.]6．(2017·温州第一次适应性检测)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则角B ＝________，AC ＝________.3π45 [由题意可得12×1×2sin B ＝12，则sin B ＝22，当B ＝π4时，由余弦定理可得AC＝1，此时△ABC 是直角三角形，不是钝角三角形，舍去，所以B ＝3π4，则AC 2＝1＋2＋2＝5，AC ＝ 5.]三、解答题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上单调递减．(1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形． [证明] (1)∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ， 2分 ∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ， 4分sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ， sin C ＋sin B ＝2sin A ， ∴b ＋c ＝2a .6分 (2)由题意知，2πω＝4π3，解得ω＝32，7分 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)， ∴A ＝π3，8分由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ， ∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝bc ，即b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c . 10分 又A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.12分8．(2017·浙东北教学联盟高三一模考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知cos(A －B )＋cos C ＝3sin(A －B )＋3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)法一：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则cos(A －B )－cos(A ＋B )＝3sin(A －B )＋3sin(A ＋B )， 化简得2sin A sin B ＝23sin A cos B ， 5分由于0＜A ＜π，0＜B ＜π，sin A ≠0， 则tan B ＝3，解得B ＝π3.9分 法二：由于cos(A －B )－3sin(A －B )＝3sin C －cos C ， 则－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －B －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －B ＋5π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6， 从而A －B ＋5π6＝C －π6或A －B ＋5π6＋C －π6＝π.若A －B ＋5π6＝C －π6，则A －B －C ＝－π，又A ＋B ＋C ＝π，则A ＝0，舍去；5分若A －B ＋5π6＋C －π6＝π，则A －B ＋C ＝π3，又A ＋B ＋C ＝π，则B ＝π3.9分(2)由余弦定理，得4＝c 2＋a 2－ca ≥2ac －ca ＝ac ， 从而S ＝12ca sin π3≤ 3.13分 当且仅当a ＝c 时，S 取最大值 3.15分。
专题限时集训(十七) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第页)[建议、组各用时：分钟][组高考题、模拟题重组练]一、集合．(·浙江高考)已知集合＝{－≥}，＝{<<}，则∩＝( )．[) ．(]．(－) ．(－][＝{－≥}＝{(－)(＋)≥}＝{≥或≤－}，∴∩＝{≥或≤－}∩{<<}＝{≤<}，即∩＝[)．] ．(·浙江高考)已知集合＝{－<<}，＝{<<}，那么∪＝( )．(－) ．()．(－) ．()[∵＝{－<<}，＝{<<}，∴∪＝{－<<}．故选.]．设集合＝{＝，∈}，＝{－<}，则∪＝( )．(－) ．()．(－，＋∞)．(，＋∞)[由已知得＝{>}，＝{－<<}，则∪＝{>－}．故选.]．(·浙江高考)已知集合＝{∈≤≤}，＝{∈≥}，则∪(∁)＝( )．[] ．(－]．[) ．(－∞，－]∪[，＋∞)[∵＝{∈≥}，∴∁＝{∈<}＝{－<<}．∵＝{∈≤≤}，∴∪(∁)＝{－<≤}＝(－]．]．(·浙江高考)已知集合＝{－≥}，＝{<≤}，则(∁)∩＝( ) ．[) ．(]．() ．[][由－≥，得≤或≥，即＝{≤或≥}，所以∁＝{<<}＝()．又＝{<≤}＝(]，所以(∁)∩＝()．] ．(·浙江高考)设全集＝{∈≥)，集合＝{∈≥}，则∁＝( )．∅．{}．{} ．{}[因为＝{∈≤－或≥}，所以∁＝{∈≤<)，故∁＝{}．]二、命题及其关系、充分条件与必要条件．(·浙江高考)设，是实数，则“＋>”是“>”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[特值法：当＝，＝－时，＋>，<，故＋>⇒>；当＝－，＝－时，>，但＋<，所以>⇒＋>.故“＋>”是“>”的既不充分也不必要条件．]．(·湖州市高三第一学期期末调研测试)已知{}是等比数列，则“＜”是“{}是单调递增数列”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[若＝(－)，是等比数列，且＝＜＝，但该数列不具有单调性，所以充分性不成立；若{}是单调递增的等比数列，则必有＜，所以必要性成立，即“＜”是“{}是单调递增数列”的必要不充分条件，故选.]．设：实数，满足(－)＋(－)≤，：实数，满足(\\(≥－，≥－，≤，))则是的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件[表示以点()为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，是的必要不充分条件．故选.]．已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[由题意知⊂α，⊂β，若，相交，则，有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则，的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选.]．设集合＝{＞－}，＝{≥}，则“∈且∉”成立的充要条件是( ) ．－＜≤．≤．＞－．－＜＜[由∈且∉知∈∩(∁)，又∁＝{＜}，则∩(∁)＝{－＜＜}．][组“＋”模拟题提速练]一、选择题．已知集合＝{＝(－)}，集合＝{－＜，＞}，若⊆，则的取值范围为( )．(] ．()．[，＋∞)．(，＋∞)[由题意将两个集合化简得：＝()，＝(，)，因为⊆，所以≥.]．(·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设α，β是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若⊥α，⊂β，则α⊥β；②若∥α，α⊥β，则⊥β，则．①②都是假命题．①是真命题，②是假命题．①是假命题，②是真命题．①②都是真命题[由面面垂直的判定可知⊥α，⊂β，则α⊥β，故命题①为真命题；∥α，α⊥β，与β可能平行，在β内，或与α相交，故②为假命题．]．(·浙江高考)已知是虚数单位，，∈，则“＝＝”是“(＋)＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[当＝＝时，(＋)＝(＋)＝；当(＋)＝时，得(\\(－＝，＝，))解得＝＝或＝＝－，所以“＝＝”是“(＋)＝”的充分不必要条件．]．(·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)已知集合＝{∈＜＜}，＝{∈＋－≤}，则( ) ．∈．∈∁．∁⊆．∁⊆∁[由题意得集合＝{＜＜}，＝{－≤≤}，所以∁＝{≤或≥}，∁＝{＜－或＞}，所以∁⊆∁，故选.] ．函数()的定义域为实数集，“()是奇函数”是“()是偶函数”的( ) 【导学号：】．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件．充要条件[()为奇函数，则(－)＝－()，所以(－)＝－()＝()，因此()是偶函数，但当()为奇函数时，()为偶函数，但由()为偶函数不能得出结论()为奇函数，因此本题选.]．“＝”是“函数()＝－＋为奇函数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[()的定义域为{≠}，关于原点对称，当＝时，()＝－，(－)＝(－)－＝－＋＝－－()))＝－()，故()为奇函数；反之，当()＝－＋为奇函数时，(－)＋()＝，又(－)＋()＝(－)－＋＋－＋＝，故＝，所以“＝”是“函数()＝－＋为奇函数“的充要条件，故选.]．已知集合＝{－＋＝，∈}，＝{＜＜，∈}，则满足条件⊆⊆的集合的个数为( )．．．．[＝{(－)(－)＝，∈}＝{}，＝{＜＜，∈}＝{}．因为⊆⊆，所以可以为{}，{}，{}，{}．]．(·浙江高考)设，是有限集，定义：(，)＝(∪)－(∩)，其中()表示有限集中元素的个数．( ) 命题①：对任意有限集，，“≠”是“(，)>”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，(，)≤(，)＋(，)．．命题①和命题②都成立．命题①和命题②都不成立．命题①成立，命题②不成立．命题①不成立，命题②成立[命题①成立，若≠，则(∪)>(∩)，所以(，)＝(∪)－(∩)>.反之可以把上述过程逆推，故“≠”是“(，)>”的充分必要条件；命题②成立，由图，知(∪)＝()＋()－(∩)，(，)＝()＋()－(∩)，(，)＝()＋()－(∩)，所以(，)＋(，)－(，)＝()＋()－(∩)＋()＋()－(∩)－[()＋()－(∩)]＝()－(∩)－(∩)＋(∩)＝()＋(∩)－[(∩)＋(∩)]≥()＋(∩)－[((∪)∩)＋(∩∩)]＝[()－(\\())＋[(∩)－(∩∩)]≥，所以(，)≤(，)＋(，)得证．]二、填空题．(·浙江省名师原创预测卷(二))已知集合＝，＝{＝＋＋}，则(∁)∩＝.{} [由题意得＝，即＝(－∞，)∪(，＋∞)，＝{≥}，所以(∁)∩＝[]∩[，＋∞)＝{}．]．已知集合＝，＝{∈－＜＜＋}，若∈成立的一个充分不必要的条件是∈，则实数的取值范围是．(，＋∞) [＝＝{－＜＜}，因为∈成立的一个充分不必要条件是∈，所以⊆，所以＋＞，即＞.]．(·浙江省名师原创预测卷(四))已知集合＝{，…，}，若集合的一个非空子集中的奇数的个数不多于偶数的个数，则称该子集为“偏偶集”，那么集合的所有非空子集中，“偏偶集”的个数为．[集合的所有非空子集可分为三类：偶数的个数多于奇数的个数、奇数的个数多于偶数的个数、偶数的个数与奇数的个数相等．其中前两种情况的子集数相等，现考虑第三种情况，即考虑元素个数为的子集，则共有子集数：()＋()＋()＋()＋()＝，从而“偏偶集”的个数为＋(－－)＝.]．设：(－)≤，：(＋)(－)≥，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．(－∞，－]∪[：(－)≤，所以－≤≤＋，：≤－或≥.因为是的充分不必要条件，所以＋≤－或－≥，即≤－或≥.]．(·浙江高考)设集合＝{≥}，＝{≤}，则∩＝.[] [因为＝{≥}，＝{≤}，所以∩＝{≥且≤}＝{≤≤}．]．已知集合＝{}，＝{∈≤}，则∩(∁)＝.{} [因为集合＝{}，＝{∈≤}＝{－}，所以∩(∁)＝{}．]．(·江南十校一模)已知集合＝{－＜＜，∈}，＝{－＜，∈}，若∩≠∅，则的最小值等于．[集合＝{－＜＜，∈}，＝{－＜，∈}＝{}，∩≠∅，可得的最小值为.]。
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共 4页，选择题部分1至2页；非选择题部分 3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1 •答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。
2•答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
台体的高其中R 表示球的半径选择题部分(共40 分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.已知全集 U={1 , 2, 3, 4, 5}, A={1 , 3}，则 e u A=参考公式：若事件A , B 互斥，则P(A B) P(A) P(B)若事件A , B 相互独立，则P(AB) P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，则n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率巳(k) Vp k (1 p)nk (k 0,1,2丄,n)1 --------------台体的体积公式 V -(S SS 2 S 2)h3其中S 1,S 2分别表示台体的上、 下底面积，h 表示 柱体的体积公式V Sh 其中S 表示柱体的底面积， 锥体的体积公式V -Sh3其中S 表示锥体的底面积， 球的表面积公式 2S 4 R 2球的体积公式h 表示柱体的高 h 表示锥体的咼A .2x 2 .双曲线-B • {1 , 3}2y =1的焦点坐标是C . {2 , 4, 5}D • {1 , 2, 3, 4, 5}6 .已知平面 a,直线 m , n 满足 m a, nA .充分不必要条件C .充分必要条件7 .设0<p<1，随机变量E 的分布列是A • (- 2 , 0), ( .2 , 0) C . (0，-2), (0,2 )3 .某几何体的三视图如图所示(单位:B . (-2, 0), (2, 0) D . (0,-2), (0, 2)cm ),则该几何体的体积(单位：cm 3)是A . 2B . 4 24 .复数—— (i 为虚数单位)的共轭复数是1 iA . 1+iB . 1- iC . 6D . 8C . - 1+iD . -1- iB .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件则当p 在(0, 1)内增大时， A . D ( E 减小 B . D ( E 增大C .D ( E)先减小后增大D . D (E 先增大后减小8 •已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC所成的角为 SE 与平面ABCD 所成的角为 聲 二面角S-AB-C 的平面角为 ％,则 A • 01W02W03B • 03<&<01C .D . 02<93<9in9 .已知a , b , e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量 a 与e 的夹角为一，向量b 满足b 2-4e ・ b+3=0 ,3则|a- b|的最小值是 A .3-1B . . 3+1C . 2D . 2- ,3 10. 已知a i ,a 2,a 3,a 4成等比数列，且 印 a ? a 3 In 佝非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。
课时分层训练(四) 函数的单调性与最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) 【导学号：51062021】 A ．y ＝2－x B ．y ＝x C ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x 与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．]2．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)． 令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减，又y ＝ln t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，254上递增，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·绍兴质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.]5．(2017·台州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2017·温州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：51062022】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22， ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值， f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32， ∴f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.] 7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，则实数x 的取值范围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2017·宁波模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a的取值范围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值. 【导学号：51062023】[解] 设0≤x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，6分 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数.10分 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.15分10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).4分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增.7分 (2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，10分又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1].15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·诸暨市一中模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)D [由题可知f (x )＝e x －1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0， 解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)，故选D.]2．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1] .(1，＋∞) [由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)， 所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值. 【导学号：51062024】 [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.3分(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数.9分 (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，12分而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.15分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式： 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð（ ） A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}1.答案：C解答：由题意知U C A ={2,4,5}.2．双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（ ）A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)2.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 3.答案：C解答：该几何体的立体图形为四棱柱，(12)2262V +⨯=⨯=. 4．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i 4.答案：B 解答：22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =-.5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5.答案：D 解答：令||()2sin 2x y f x x ==，||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，所以()f x 为奇函数①；当(0,)x p Î时，||20x >，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可知，选D.6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.答案：A解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是（ ）俯视图正视图222则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小7.答案：D 解答：111()0122222p p E p x -=???+， 22211113()()()()222222p p D p p p x -=?+?+?22111()422p p p =-++=--+，所以当p 在(0,1)内增大时，()D x 先增大后减小，故选D.8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1 8.答案：D 解答：作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM .过O 作ON 垂直于直线SM ，可知2SEO θ=∠，3SMO θ=∠，过SO 固定下的二面角与线面角关系，得32θθ≥.易知，3θ也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角， 根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角13θθ≥， 所以231θθθ≤≤.9．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．29.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min11a b CD -=-=.（其中CD OA ⊥.）10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >>10.答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<. ∴13a a >，24a a <.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
专题限时集训(二十)排列组合、二项式定理(对应学生用书第157页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．如图201，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图201A．24 B．18C．12 D．9B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A 到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]4．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种D[满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．]5．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )【导学号：68334160】A．484 B．472C．252 D．232B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B.]6．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是( ) 【导学号：68334161】A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x10)B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋10x)C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋10x10)D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)...(1＋x＋x2＋ (x10)A[从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7,2＋6,3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5.A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B 中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A.]7．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 660 [法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]8．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．60[把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.]二、二项式定理9．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20C．30 D．60C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]10．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210C [因为f (m ，n )＝C m 6C n4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]11．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1D [(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D.]12．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________. 16 4 [由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.]13．(2016·全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 10 [(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]14.⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.－2 [T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.]16．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. －10 [T r ＋1＝C r5(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10.]17．已知对任意实数x ，有(m ＋x )(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝32，则m ＝________. 【导学号：68334162】0 [设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )A ．70B ．98C ．108D ．120B [可分为两类：选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选两门，有C 13C 27＝63；不选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选三门，有C 37＝35；所以共有98种，故选B.] 2．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5D [T r ＋1＝C r4·(ax 6)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b xr ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.]3．(2018·杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．36种 B ．24种 C ．18种D ．9种C [由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C.] 4．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．120种D ．96种B [不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B.]5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) A ．A 26×A 45种 B ．A 26×54种 C ．C 26×A 45种D ．C 26×54种D [有两个年级选择甲博物馆共有C 26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C 26×54种，故选D.] 6．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120C [因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x2 01810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 018＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎪⎫1x 2 01810，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.]7．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )【导学号：68334163】A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5C [设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r7·2r≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！－r ！·2r≥7！r －！－r ＋！·2r －1，7！r ！－r ！·2r≥7！r ＋！－r －！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤163，r ≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.]8．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2A [令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4， ∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1.] 二、填空题9．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x29的二项展开式的常数项是84，则实数a ＝________.【导学号：68334164】1 [∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x29的二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9a r x9－3r，令9－3r ＝0，即r ＝3，常数项为T 4＝C 39a 3＝84a 3， 依题意，有84a 3＝84，∴a ＝1.]10．如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 21 [⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式的各项系数之和为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3×1－1312n ＝2n ＝128，所以n ＝7，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r7·37－r ·x 7－r ·(－x )r ＝(－1)r C r 737－rx，由7－53r ＝－3，得r ＝6，所以1x3的系数是C r 7·(－1)6·3＝21.]11．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．480 [①当C 在第一或第六位时，有A 55＝120(种)排法； ②当C 在第二或第五位时，有A 24A 33＝72(种)排法； ③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 33＝48(种)排法． 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．]12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________． 472 [由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C 34种取法，两种红色卡片，共有C 24C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24C 112＝560－16－72＝472.]13．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于________．180[因为(1＋x)10＝(－2＋1－x)10，所以a8等于C810(－2)2＝45×4＝180.]14．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利72周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有________种．24[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33 A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．]15．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为________．20[令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.]。
专题二 巧做高考题型第一讲六招秒杀选择题——快得分选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点．注重多个知识点的小型综合，侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力．常用方法分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝．直接法推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[例1] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.[答案] C直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．1．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b a x的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0 解析：选B 由两个正数a ，b 的等差中项是92，得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25，得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4.又由b a ＝45＝2p ，得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b a x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0.特例法从题干(或选项)特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2][解析] 根据三角函数的性质利用特殊值法代入逐项判断： ∵ω＝2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不合题意，∴排除D.∵ω＝1时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，合题意，∴排除B 、C ，故选A.[答案] A特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．2．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)恒过(－1,0)，选项只有D 符合，故选D.排除法通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．[例3] 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ][解析] 选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]；选项C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3，[x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]．排除A ，B ，C ，故选D.[答案] D排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．3．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：选D 由题意知，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A ，B ，C.数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．[例4] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [解析] 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.[答案] B涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合法求解．(1)求解方程根的个数．画出相关的两个函数的图象，则两函数图象的交点个数即是函数零点的个数；(2)讨论图象交点问题的参数范围，如本例就是利用图象中直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )图象恰有三个不同的交点，得到实数k 的取值范围．4．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．[例5] 对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3][解析] 函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3＝x 2＋3－a (x ＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.[答案] D函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．5．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意得，①正确，如f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f (x )＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f (x )＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f (x )是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间内存在零点，所以有两个结论正确.估算法的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，快速找到答案．[例6] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152[解析] 连接BE ，CE ，四棱锥E ABCD 的体积为V E ABCD ＝13×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥E ABCD 的体积，即所求几何体的体积V >V E ABCD ＝6，而四个选项里面大于6的只有152，故选D.[答案] D本题既用了估算法又用了排除法，解题的关键是利用θ的范围求sin θ的范围一定要准确，否则将达不到解题的目的或解答错误．6.(2017·宁波效实中学模拟)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.第二讲分类智取填空题——稳得分填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．在解填空题时要做到：一、单空题——四招速解直接法直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．[例1] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. [解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．1．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1特殊值法定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] 法一：AP ―→·AC ―→＝AP ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·BC ―→＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·(BD ―→＋DC ―→) ＝AP ―→·BD ―→＋2AP ―→·AB ―→， ∵AP ⊥BD ，∴AP ―→·BD ―→＝0.又∵AP ―→·AB ―→＝|AP ―→||AB ―→|cos ∠BAP ＝|AP ―→|2， ∴AP ―→·AC ―→＝2|AP ―→|2＝2×9＝18. 法二：把平行四边形ABCD 看成正方形， 则P 点为对角线的交点，AC ＝6， 则AP ―→·AC ―→＝18. [答案] 18求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．2．若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.解析：取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14.答案：－14图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．[例3] 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．[解析] 如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.[答案]2图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．3．不等式⎝⎛⎭⎪⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________． 解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[例4] 如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝2，则球O的体积等于________．[解析] 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.[答案] 6π构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.4．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.解析：由a n＋1＝2a n＋3，则有a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即a n＋1＋3a n＋3＝2.所以数列{a n＋3}是以a1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列，即a n＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以a n＝2n＋1－3.答案：2n＋1－3二、多空题——辨式解答并列式——两空并答此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．[例1] (2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.[解析] ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ， ∴A ＝2，b ＝1. [答案]2 1[点评] 例1中根据题设条件把2cos 2x ＋sin 2x 化成1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4后，对比原条件恒等式两边可直接得出两空的结果，A ＝2，b ＝1.1．(2015·浙江高考)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x . 答案：2 3 y ＝±22x 分列式——一空一答之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．[例2] (1)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．[解析] (1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)， 体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0， 此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3. [答案] (1)72 32 (2)0 22－3[点评] 例2(1)中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2(2)中，两空都是在已知一分段函数的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值．2．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．答案：π⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)递进式——逐空解答结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．[例3] (2016·浙江高考)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.[解析] ∵a n＋1＝2S n＋1，∴S n＋1－S n＝2S n＋1，∴S n＋1＝3S n＋1，∴S n＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n＋12是公比为3的等比数列，∴S2＋12S1＋12＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋12＝⎝⎛⎭⎪⎫S1＋12×34＝32×34＝2432，∴S5＝121.[答案] 1 121[点评] 例3中根据题设条件求出a1＝1后，再根据等比数列的求和公式求出S5.第二空的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.3．(2017·台州模拟)以坐标原点O为圆心，且与直线x＋y＋2＝0相切的圆方程是________，圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．解析：由题意所求圆的半径等于原点O到直线x＋y＋2＝0的距离，即r＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．答案：x 2＋y 2＝2 相交选择填空提速专练(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |y 2＝x }，B ＝{y |y 2＝x }，则( ) A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝A C ．A ＝BD ．(∁R A )∩B ＝∅解析：选B 因为A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ∈R}，所以A ∩B ＝A ，故选B.2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是( ) A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α B ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β C ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α D ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β解析：选D 易知A ，B ，C 均正确；D 中a 和β的位置关系有三种可能，a ∥β，a ⊂β或a 与β相交，故D 错误，故选D.3．已知函数f (2x)＝x ·log 32，则f (39)的值为( ) A.16B.19C ．6D ．9解析：选D 令t ＝2x(t >0)，则x ＝log 2t ，于是f (t )＝log 2t ·log 32＝log 3t (t >0)，故函数f (x )＝log 3x (x >0)，所以f (39)＝log 339＝9，故选D.4．在复平面内，已知复数z ＝|1－i|＋2i1－i，则z 在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为z ＝|1－i|＋2i 1－i ＝2＋2i1－i ＝2＋2i 1＋i 1－i1＋i＝2－22＋2＋22i ，所以复数z 在复平面上对应的点为2－22，2＋22，显然此点在第二象限，故选B. 5．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：选B 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z)，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6，故选B.6．已知实数a ，b ，则“|a ＋b |＋|a －b |≤1”是“a 2＋b 2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A由绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，|2b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a 2＋b 2≤1表示单位圆域(含边界)，故由⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，可以推出a 2＋b 2≤1，但是反之不成立，故选A.7．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1和双曲线N ：y 2a 2－x 2b2＝1，其中b >a >0，双曲线M 和双曲线N交于A ，B ，C ，D 四个点，且四边形ABCD 的面积为4c 2，则双曲线M 的离心率为( )A.5＋32 B.5＋3C.5＋12D.5＋1解析：选C 设A 为双曲线M ，N 在第一象限的交点，由对称性易知四边形ABCD 是正方形，因为正方形ABCD 的面积为4c 2，所以边长为2c ，即A (c ，c )，代入双曲线M 中，得c 2a2－c 2b 2＝1，即c 2a 2－c 2c 2－a 2＝1，变形为e 2－e 2e 2－1＝1，整理得e 4－3e 2＋1＝0，所以e 2＝3＋52e 2＝3－52<1，舍去，故e ＝3＋52＝6＋254＝52＋25＋14＝5＋12，故选C.8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1,3x ＋4y≤0，则x －3x －y －2的取值范围是( )A ．[1,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，113D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，113 解析：选B 因为x －3x －y －2＝1x －y －2x －3＝11－y －1x －3，故需要先求出y －1x －3的取值范围，而y －1x －3表示动点(x ，y )与定点A (3,1)连线所成直线的斜率，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，3x ＋4y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，是直线3x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＝1围成的下半圆区域(含边界)．易得B －45，35，由图可知直线AB 的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min＝1－353＋45＝219.又过A (3,1)且在x 轴下方与圆x 2＋y 2＝1相切的直线斜率最大，可设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，由圆心到切线的距离等于半径可得d ＝|1－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3max＝34，故y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤219，34.于是x －3x －y －2＝11－y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4，故选B.9．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.10.在直角梯形 ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)．若AP―→＝λED ―→＋μAF ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值是( )A.22 B.324C. 2D.34解析：选B 以A 为原点，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，E (1,0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，所以ED ―→＝(－1,1)，AF―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 则AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ＋32μ，λ＋12μ.又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ， 所以点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋32μ＝22，λ＋12μ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝24，μ＝22，从而λ＋μ＝324.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝2exe x ＋1，在F (x )＝f (x )＋1和G (x )＝f (x )－1中，________为奇函数；若f (b )＝32，则f (－b )＝________.解析：由G (x )＝f (x )－1＝e x －1e x ＋1，G (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－ex1＋ex ＝－G (x )，故G (x )＝f (x )－1为奇函数．由f (b )＝32得，G (b )＝f (b )－1＝12，所以G (－b )＝f (－b )－1＝－12，f (－b )＝12.答案：G (x )1212．已知等比数列{a n }的前n 项和满足S n ＝1－A ·3n，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则A ＝________，B 的取值范围为________．解析：因为任意一个公比不为1的等比数列前n 项和为S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n，而等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－A ·3n ，所以A ＝1，b n ＝n 2＋Bn .又因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)2＋B (n ＋1)－n 2－Bn ＝2n ＋1＋B >0恒成立，所以B >－(2n ＋1)恒成立，所以B >－3.答案：1 (－3，＋∞)13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成的，如图，故该几何体的体积V ＝13×4×4×4＋4π×42＝643＋8π，表面积为S ＝π×22＋2π×2×42＋4×4×22＋4×42×22＝16＋162＋12π.答案：643＋8π 16＋162＋12π 14．已知在一次考试中甲、乙、丙三人及格的概率均为23，那么三人中至少有2人及格的概率为________，记考试及格的人数为X ，则随机变量X 的期望为________．解析：因为甲、乙、丙三人及格的概率均为23，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133－C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－127－627＝2027，E (X )＝3×23＝2.答案：2027215．已知实数x >0，y >0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy 的最小值为________．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．答案：2＋2 216．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，对任意的x 1，x 2，x 3，且0≤x 1<x 2<x 3≤π，都有|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|≤m 成立，则实数m 的最小值为________．解析：原不等式恒成立，只需要m 大于或等于|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值即可，则只需|f (x 1)－f (x 2)|，|f (x 2)－f (x 3)|都取得最大值，结合f (x )＝sin2x ＋π3，x∈[0，π]的图象易知，当x 1＝π12，x 2＝7π12，x 3＝π时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|1－(－1)|＝2，|f (x 2)－f (x 3)|max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－32＝1＋32，所以|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值为3＋32，即m 的最小值为3＋32. 答案：3＋3217.已知扇环如图所示，∠AOB ＝120°，OA ＝2，OA ′＝12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：以O 为坐标原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，易知A (2,0)，B (－1，3)，设P (2cos α，2sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， (1)当点P 在AA ′上运动时，向量OP ―→与OA ―→共线，显然y ＝0，此时OP ―→＝x OA ―→＝(2x,0)，12≤2x ≤2，所以12≤2x ＋y ≤2； (2)当点P 在BB ′上运动时，向量OP ―→与OB ―→共线，显然x ＝0，此时OP ―→＝y OB ―→＝(－y ，3y )，－2cos 60°≤－y ≤－12cos 60°，即14≤y ≤1，所以14≤2x ＋y ≤1；(3)当点P 在»AB 上运动时，由OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得(2cos α，2sin α)＝x (2,0)＋y (－1，3)，即2cos α＝2x －y ，2sin α＝3y ，所以2x ＋y ＝43sin α＋2cos α，变形可得2x ＋y ＝2213sin(α＋φ)，其中tan φ＝32，因为P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，所以x ，y 均为非负实数，又33<32<1，所以可取π6<φ<π4，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＋φ＝π2时，2x ＋y 取得最大值，最大值为2213，当α＝2π3时，2x ＋y 取得最小值，最小值为1；(4)当点P 在¼A B ′′上运动时， 因为|OA ′||OA |＝|OB ′||OB |＝14，故2x ＋y 的最大值为14×2213＝216，最小值为14×1＝14.综上所述，2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213选择填空提速专练(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A. 5 B.7 C.13D ．3解析：选C 由题意得|3＋2i|＝32＋22＝13，故选C. 2．已知A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，1) C ．(0,1)D ．(－2,0]解析：选 D 由题意得集合B ＝{x |x >0}，所以∁R B ＝{x |x ≤0}，则A ∩(∁R B )＝{x |－2<x ≤0}，故选D.3．若(x －1)8＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 5＝( ) A ．56 B ．－56 C ．35D ．－35解析：选B 二项式(x －1)8的展开式中x 5的系数为a 5＝C 38(－1)3＝－56，故选B. 4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关D ．与ω无关，但与φ有关解析：选D 因为ω决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期，φ决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象沿x 轴平移的距离，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知x ∈R ，则“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为|x －3|－|x －1|≤|(x －3)－(x －1)|＝2，当且仅当x ≤1时，等号成立，所以|x －3|－|x －1|<2等价于x >1，所以“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32.且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3 C.3－1D.3＋1解析：选D 在△ABC 中，由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，△ABC 的面积为12ac sin B ＝12ac ×12＝32，解得ac ＝6，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝(2b )2－(2＋3)×6.解得b ＝3＋1，故选D.7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B 当甲组有两人时，有C 25A 23种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C 35A 22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C 25A 23＋C 35A 22＝80种不同的分配方案，故选B.8．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( )A ．数列{x i }可能是等比数列B ．数列{y i }是常数列C ．数列{x i }可能是等差数列D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列解析：选C 设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px的交点为－c ia，±－2pc ia，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c i a，此时数列{x i }是公比为q的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }是以q 为公比的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合根与系数的关系易得x i ＝pb 2a2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C. 9．若定义在(0,1)上的函数f (x )满足：f (x )>0且对任意的x ∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )，则( )A ．对任意的正数M ，存在x ∈(0,1)，使f (x )≥MB ．存在正数M ，对任意的x ∈(0,1)，使f (x )≤MC ．对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)D.对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)解析：选A 令x 1∈(0,1)，x 2＝2x 11＋x 21，则易得x 2∈(0,1)，f (x 2)＝2f (x 1)，令x 3＝2x 21＋x 22，则易得x 3∈(0,1)，f (x 3)＝2f (x 2)＝22f (x 1)，…，依次类推得f (x n )＝2n －1f (x 1)，所以数列{f (x n )}构成以f (x 1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f (x 1)>0，所以对任意的正数M ，存在n ∈N *，使得2nf (x 1)≥M ，即存在x ＝x n ∈(0,1)，使得f (x )≥M ，故选A.10.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段CD ，AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析：选B 延长D 1P 交平面ABCD 于点Q ，则直线D 1Q 与直线MN 所成的角即为直线D 1P 与直线MN 所成的角，则由最小角定理易得当点M 与点D 重合，且直线MN 过点Q 时，直线D 1Q 与直线MN 所成的角取得最小值，此时∠D 1QD 即为直线D 1Q 与直线MN 所成的角，所以∠D 1QD ＝π3，则∠DD 1Q ＝π6，所以点P 在以DD 1为轴，顶角为π3的圆锥面上运动，又因为点P 在平面A 1C 1D 上，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分，故选B.二、填空题11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．。
专题限时集训(一) 三角函数问题(对应学生用书第111页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 2．(2016·宁波十校联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( ) A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.]3．(2017·杭州第二次质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．由函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin2x －π8＋π4＝sin2x 的图象，故选C.]4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图13所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图13A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－π12，－2，所以f －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) 【导学号：68334033】 A ．[－1,1] B ．[－1，2] C ．[－2，1]D ．[1，2]A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]二、填空题6．(2017·浙东北教学联盟高三一模考试)已知sin α＝13，0＜α＜π，则tan α＝________，sin α2＋cos α2＝________.±24 233 [因为0＜α＜π，所以tan α＝sin αcos α＝±sin 2αcos 2α＝±sin 2α1－sin 2α＝±24，又0＜α2＜π2，所以sin α2＞0，cos α2＞0，所以sin α2＋cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋2sin α2cos α2＝1＋sin α＝233.]7．(2017·温州第二次适应性测试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图14所示，则ω＝______，φ＝________.图142π6 [由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.]8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.] 三、解答题9．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．[解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，3分且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间. 5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12， 7分当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.11分由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图15所示，P是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ＝13.图15(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域. 【导学号：68334035】[解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55. 2分 又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分 (2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x . 7分∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分 当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，11分∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).14分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( ) A.513 B ．－513C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.]2．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12 C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2017·温州第二次检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图16所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图16A ．±223B.223C ．－223D.13C [由题图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.] 二、填空题5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是______.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.]三、解答题7．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.[解] (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分 且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 6分(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 7分因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .8分由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 12分 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14分8．已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R .(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分 ∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分 ∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. 7分 由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.8分∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45. 10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，12分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452＝－1010.14分。
专题限时集训(二十)排列组合、二项式定理(对应学生用书第157页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．如图201，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图201A．24 B．18C．12 D．9B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]4．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种D[满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．] 5．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )【导学号：68334160】A．484 B．472C．252 D．232B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B.]6．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是( ) 【导学号：68334161】A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x10)B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋10x)C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋10x10)D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)...(1＋x＋x2＋ (x10)A[从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7,2＋6,3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5.A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A.]7．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)660 [法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]8．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．60[把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.]二、二项式定理9．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20C．30 D．60C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]10．(2014·浙江高考)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120D ．210C [因为f (m ，n )＝C m 6C n4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]11．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1D [(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D.]12．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.16 4 [由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.]13．(2016·全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 10 [(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]14.⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.－2 [T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.]16．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.－10 [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10.]17．已知对任意实数x ，有(m ＋x )(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝32，则m ＝________. 【导学号：68334162】0 [设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )A ．70B ．98C ．108D ．120B [可分为两类：选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选两门，有C 13C 27＝63；不选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选三门，有C 37＝35；所以共有98种，故选B.] 2．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5D [T r ＋1＝C r4·(ax 6)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b xr ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab3＝5.]3．(2018·杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．36种 B ．24种 C ．18种D ．9种C [由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C.] 4．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A ．240种B ．192种C ．120种D ．96种B [不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B.]5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) A ．A 26×A 45种 B ．A 26×54种 C ．C 26×A 45种D ．C 26×54种D [有两个年级选择甲博物馆共有C 26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C 26×54种，故选D.] 6．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120C [因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x2 01810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 018＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎪⎫1x 2 01810，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.] 7．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )【导学号：68334163】A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5C [设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r7·2r≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！－r ！·2r≥7！r －！－r ＋！·2r －1，7！r ！－r ！·2r≥7！r ＋！－r －！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤163，r ≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.]8．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2A [令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4， ∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1.] 二、填空题9．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 29的二项展开式的常数项是84，则实数a ＝________.【导学号：68334164】1 [∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 29的二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9a r x 9－3r，令9－3r ＝0，即r ＝3，常数项为T 4＝C 39a 3＝84a 3， 依题意，有84a 3＝84，∴a ＝1.]10．如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 21 [⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式的各项系数之和为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3×1－1312n ＝2n ＝128，所以n ＝7，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27，其展开式的通项为T r ＋1＝C r7(3x )7－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 7·37－r ·x 7－r·(－x )r ＝(－1)r C r 737－rx，由7－53r ＝－3，得r ＝6，所以1x3的系数是C r 7·(－1)6·3＝21.]11．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．480[①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；③当C在第三或第四位时，有A22A33＋A23A33＝48(种)排法．所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．]12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．472[由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C34种取法，两种红色卡片，共有C24C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24C112＝560－16－72＝472.]13．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于________．180[因为(1＋x)10＝(－2＋1－x)10，所以a8等于C810(－2)2＝45×4＝180.]14．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利72周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有________种．24[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．]15．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为________．20[令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.]本文档仅供文库使用。
