快速绘制剪力图和弯矩图

多种方法快速绘制剪力图和弯矩图摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。

本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。

关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。

绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。

不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。

2 直接绘制剪力图和弯矩图例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。

解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。

(2) 绘制剪力图。

过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。

从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。

遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。

AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。

在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。

BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。

CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。

剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图是结构力学中常用的分析工具，用于分析和设计结构的受力情况。

以下是剪力图和弯矩图的制作方法：
剪力图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。

2. 确定剪力方向：根据结构受力情况，确定每个截面上的剪力方向，通常用箭头表示。

3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的剪力大小。

4. 画出剪力图：根据确定的剪力方向和大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的剪力图。

弯矩图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。

2. 确定截面位置：根据需要绘制弯矩图的位置，确定绘制弯矩图的截面位置。

3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的截面剪力大小。

4. 确定截面抵抗矩：根据截面形状，计算每个截面上的截面抵抗矩。

5. 计算弯矩：根据截面抵抗矩和截面剪力大小，计算每个截面上的弯矩大小。

6. 画出弯矩图：根据计算得到的弯矩大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的弯矩图。

在绘制剪力图和弯矩图时，需要考虑结构的几何形状、支座条件、荷载情况等因
素，同时应满足受力平衡条件和连续性要求。

这些图形分析的结果可以帮助工程师评估结构的受力情况，进行结构设计和优化。

怎样快速绘制剪力图和弯矩图3毛和业(黔南职业技术学院机电系,贵州,都匀558022)摘　要:在工程构件中,最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。

它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提,而这一绘制过程复杂,计算量大。

根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化,可找到一种学生易于掌握,且准确率高的方法。

关键词:剪力图;弯矩图;绘制;快速中图分类号:T B23 文献标识码:B 文章编号:1005-6769(2005)03-0081-03How to D raw the Shear i n g Force D i a gram and Bend i n g M o m en t D i a gram Rap i dlyMAO He -ye(Mechanical and Electr onic Depart m ent,Q iannan Vocati onal and Technical College,Duyun 558022,China )Abstract:I n structural me mbers,the defor mati on is usually caused by bending or by a combinati on of bending and t orsi on .W e calculate their strength based on finding the critical secti on by drawing the shearing force diagra m and bending moment diagra m that is relatively comp lex and needs l ots of work .Theref ore,according t o the regulati ons of shearing f orce diagra m and bending moment diagra m caused by different l oad models,this paper si m p lifies the p r ocess and finds an easy and accurate method .Key words:shearing f orce diagra m;bending moment diagra m;dra w;rap id1　引言 《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课,特别对于机电类专业,学生学习质量的好坏,对后续课程的学习,如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。

《机电技术》2010年第3期 机电研究及设计制造利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图陈小兰 陈晓波(鄂东职业技术学院，湖北 黄冈 438000)摘 要：本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效的、巧妙的绘制出剪力图和弯矩图。

关键词：微分法；剪力图；弯矩图；直梁弯曲中图分类号：TB301 文献标识码：A 文章编号：1672－4801(2010)03－060－03在高职教材《机械设计基础》材料力学这一篇中，直梁的弯曲变形是杆件的基本变形之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即将梁上所有横截面上的剪力和弯矩用函数图象的形式表示出来），以便清楚地看出梁各个横截面上剪力和弯矩的大小、正负以及危险截面（即弯矩最大值所在截面的位置）。

这一节内容往往是学生不容易掌握的，是教学的难点，但是它又是教学的重点，是后面章节尤其是轴的强度校核的基础。

所以学好梁的弯曲变形这一节内容显得非常重要。

而分析梁的弯曲变形主要就是绘制梁的各个横截面上的剪力和弯矩，即绘制剪力图和弯矩图。

因此剪力图和弯矩图的正确快速绘制是分析问题的关键。

本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效、巧妙地绘制出剪力图和弯矩图。

1 微分法绘制剪力图和弯矩图1.1 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度q 、剪力Q F 、弯矩M 三者存在的微分关系为：弯矩方程的一阶导数等于剪力方程，剪力方程的一阶导数等于载荷集度，即()()(),()Q Q dF x dM x F x q x dx dx==。

根据上式微分关系得出以下推论[1]： (1)在梁的某段，若无载荷作用，即()0q x =，则()Q F x =常数，剪力图是一条与x 轴平行的水平线，而()M x 为一次函数，弯矩图为一条斜直线，斜率为剪力的值。

图1外伸梁AB承受图F B=3.8kN（↑）画剪力图。

从左到右画，对于平衡问题，剪到零结束。

A截面作用有向下的集中力，所以剪力图要向下突变，从零开始，突变值3kN，AC段没有分布荷载作用，线。

C截面有向上的集中力作用，图2剪力图图3弯矩图到零结束。

A 截面是自由截面且没有集中力偶作用，所以弯矩为零。

C 截面弯矩即AC 段-3kN ·m 。

AC 段没有分布荷载，弯矩CD 段有均布荷载作用，弯矩图抛物均布荷载箭头向下，所以抛物线向下凸。

画抛个截面，分别是均布荷载的起端、末端及剪力为零处对应的弯矩值即抛物线顶点。

由剪力图可求得剪力为零处的位置，根据积分关系就能求得该处的弯矩值为1.41kN ·弯矩值为-2.2kN ·m 。

D 截面处有集中力偶作用，矩图要发生突变。

集中力偶的方向是顺时针，而下，所以弯矩图向下突变，突变值到3.8kN ·m 。

DB 段没有分布荷载作用，图是斜直线。

B 截面是铰接处，没有集中力偶作用，弯矩为零。

标明弯矩的单位及正负号总结本文以横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，总结归纳了几种荷载作用下剪力图和弯矩图的特征，具体讲述了如何用简易法画内利用它们之间的积分关系，可由内力图面积快速求出控制截面的内力值。

掌握这些特征，就可以不用写内力方程而根据外力直接画出相应的内力图，简单、高效。

参考文献［1］邓宗白,陶阳,吴永端.材料力学［M ］.北京2013.［2］刘鸿文.材料力学(Ⅰ)［M ］.北京:高等教育出版社［3］孙训方.材料力学［M ］.(第5版)北京:高等教育出版社2009.. All Rights Reserved.。

剪力图弯矩图快速画法口诀剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有P力作零点。

无力梁段水平线，集中力偶同样看，均布荷载对斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。

弯矩图快速画法口诀弯矩图，较复杂，对照剪图来画它，自由端，铰支端，没有力偶作零点。

剪图水平弯图斜，剪力正负定增减，天上下雨池水满，向上射出弓上箭。

剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。

均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。

集中力处有转折，顺着外力折个尖。

集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。

弯矩图形已画完，注意极大极小点，数值符号截面点，三大要素标齐全。

7.2.1 截面法求内力问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？例：欲求图示简支梁任意截面1-1上的内力。

1.截开：在1-1截面处将梁截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。

2.代替：在左半段的1-1截面处添画内力、，(由平衡解释)代替右半部分对其作用。

3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。

由得如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力和，但左、右半段求得的及数值相等，方向（或转向）相反。

7.2.2 剪力和弯矩是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。

由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。

剪力的正负：使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。

弯矩的正负：使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。

归纳剪力和弯矩的计算公式：（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力矩的代数和。

）公式中外力和外力矩的正负规定：剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。

快速绘制梁的剪力图和弯矩图哎呀，今天咱们来聊聊一个很有意思的话题：快速绘制梁的剪力图和弯矩图。

这可不是啥高深莫测的技术活儿，就是让大家了解一下梁的结构特点，然后用简单的方法画出它的受力情况。

别看这个过程好像挺复杂的，其实只要掌握了一定的技巧，就能轻松搞定！咱们得了解一下梁的基本结构。

梁是建筑物中常见的一种构件，它的主要作用是承受垂直于其长度方向的荷载，将这些荷载传递到支撑结构上。

梁通常由两个平行的钢板或混凝土板组成，这两个板之间的距离叫做梁的宽度。

梁的长度可以是任意值，但通常会根据建筑物的实际需求进行设计。

接下来，我们来说说如何绘制梁的剪力图。

剪力图是一种表示梁在不同位置受到剪力作用时的力的分布情况的图形。

要画出剪力图，我们需要知道梁的几何尺寸、材料的抗剪强度以及荷载的大小。

有了这些信息，我们就可以用一些简单的公式来计算梁在不同位置受到的剪力大小了。

我们要把梁划分成若干个小的单元，这样才能更好地观察和分析梁的受力情况。

一般来说，我们可以把梁划分成若干个矩形或梯形的小单元。

然后，我们可以用一些公式来计算每个小单元受到的剪力大小。

这些公式包括：1. 矩形单元的剪力大小 = 矩形面积× 材料抗剪强度× 剪切模量2. 梯形单元的剪力大小 = (梯形面积× 材料抗剪强度× 剪切模量) ÷ 2有了这些公式，我们就可以开始画剪力图了。

我们在纸上画出一个坐标系，然后用坐标轴表示梁的长度和位置。

接着，我们可以用不同的颜色或线条来表示不同位置的剪力大小。

例如，我们可以用红色表示剪力较大的区域，用蓝色表示剪力较小的区域。

我们可以在图上加上一些注释，说明各个区域的具体含义。

现在，我们再来说说如何绘制梁的弯矩图。

弯矩图是一种表示梁在不同位置受到弯曲作用时的力的分布情况的图形。

要画出弯矩图，我们同样需要知道梁的几何尺寸、材料的抗弯强度以及荷载的大小。

有了这些信息，我们就可以用一些简单的公式来计算梁在不同位置受到的弯矩大小了。

口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）弯矩与剪力有这样的关系：弯矩方程比剪力方程高一阶，弯矩方程的一阶导数是剪力方程，弯矩图的在某个截面的斜率值恰恰就是该截面的剪力。

弯矩与剪力、分布荷载之间的微分积分关系，可作为弯矩图绘制的理论依据。

本文以画梁的内力图为例，淡淡形象教学法在力学教学中的应用。

利用形象的口诀同时将弯矩、剪力与荷载集度问的微分关系及梁的内力图的一些特点，文献中的作者们做了大量工作，这里作汇总如下（部分略有改动）。

（1）黄氏口诀[3]：剪力图口诀：剪力跟随载荷走；均布载荷顺着斜；集中力处随着跳；上下看力的方向，遇到力偶剪力不会变。

（要求从左至右画）。

弯矩图口诀：差值等于Q与轴围图的面积；突变朝着同向矢；曲线突向顺着q；顶点正好对零剪。

特征：分段、突变、直线、曲线。

（2）高氏口诀[4]：均布荷载负，剪力下（右下）斜路．弯矩下（下凸）抛物；均布荷载零，剪力直线平，弯矩斜向行；集中力在梁上现．剪力要突变（顺F方向），弯矩定折转（F作用截面出现折角）；力偶作用面，剪力照常现（左右相同），弯矩要突变（顺时针力偶向下突变）。

最大弯矩可能发生在F，零（剪力为零）、F。

变（剪力变号）和紧靠力偶一侧面。

（3）钱氏口诀[5]：剪力图口诀：没有外力，水平线；均布外力，斜直线；集中外力，有突变；集中力偶，不用变。

剪力、弯矩图的相对应口诀：①你无我平，你平我斜，你斜我弯，弯线顶点你为0；②顺流而下，逆流而上，集中力偶来管上；③上尖角、下尖角，外力指向要看好。

（4）网络口诀（作者不详）。

剪力图口诀:外伸端，自由端，没有集中力取零点。

无力梁段Q水平线，集中力偶同样看，均布荷载Q应为斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。

弯矩图口诀:弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点。

剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上下雨池水满，向上射出弓上箭。