函数与方程导学案教案

函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。

2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。

2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。

3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。

4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。

2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。

3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。

4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。

5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。

6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。

7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。

四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。

五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。

《函数与方程（一）》导学案➢ 3.4函数与方程（一）➢ 自学目标➢ 1.了解函数的零点与方程根的联系.➢ 2.能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程的根的存在性及个数,➢ 3.体验并理解函数与方程的相互转化的的数学思想方法.讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．结论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标二、新课导学学习探究:探究1：函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.结论： 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有几个实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有几个交点⇔函数)(x f y =有几个零点．练一练：求下列函数的零点： （1）452--=x x y ；（2）202++-=x x y ；（3）)13)(1(2+--=x x x y ；（4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．探究2：函数零点的判定：如图①、②、③、④中分别有A ，B 两点，试用连续不断．．．．的一条函数曲线．．．．将A ，B 两点连接，则连线一定．．会与x 轴有交点的图是 ？结论： 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断．．．．的一条曲线,并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在∈c ),(b a ，使得0)(=c f ,这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

知识导入（进入美妙的世界啦~）知识梳理函数与方程1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．4．函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．三个等价关系(三者相互转化)6．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； 第二步：求区间(a ，b )的中点c . 第三步：计算f (c )；①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二、三、四步．【题型一：函数零点所在区间的判定】【例1】函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 【例2】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【例3】函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【方法技巧】判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．【题型二：判断函数零点个数】【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【例2】(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数偶数个D. 零点个数为k ，k N ∈【方法技巧】函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )； (3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论．【题型三：函数零点的应用】【例1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【方法技巧】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． [针对训练]【题型四 由函数零点的存在情况求参数的取值】【例1】已知函数2()21f x x ex m =-++-,2()(0)e g x x x x=+>(1)若g(x)=k 有零点，求k 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【方法技巧】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图像的交点问题求解.【题型五 函数零点命题的新动向】【例1】(2011·山东高考)已知函数f(x)= log a x +x-b(a>0,且a ≠1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n ∈N+，则n=_______.【方法技巧】由条件易知函数f(x)在(0，+∞)上为增函数,然后根据a,b 满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0∈(n,n+1),n ∈N+,确定出n 的值.【题型六 函数与方程思想的综合运用】 【例1】设函数()21ln 2f x x ax x =-+. （1）当2a =时，求()f x 的最大值； （2）令()()()21032a F x f x ax x x x =+-+<≤，以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，方程()2mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.【方法技巧】本专题主要涉及函数的基本性质与图象、函数零点存在定理、函数图象在函数零点个数问题中的应用，所以应熟悉相关基本初等函数的图象，并利用数形结合的思想解决有关超越方程根的个数问题以及函数的零点个数问题.（一日悟一理，日久而成学）一、方法小结:二、本节课我做的比较好的地方是：三、我需要努力的地方是：课后作业【基础巩固】1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－122．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)3.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a，x≤0x2－3ax＋a，x>0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．4. 函数f(x)＝3cosπx2－log12x的零点的个数是()A．2 B．3 C．4 D．55. 函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)【能力提升】1.已知函数f(x)＝x＋log2x，问方程f(x)＝0在区间[14，4]上有没有实根，为什么？回顾小结2.若x 0是函数f (x )＝x ＋2x －8的一个零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)＝ .3.判断下列函数的零点个数.(1)f (x )＝x 2＋mx ＋(m －2)；(2)f (x )＝x －4＋log 2x .4.设函数f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋2a .（1）求函数f (x )的单调区间；(2)关于x 的方程f (x )＝a 2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a 的取值范围.5. 已知函数32()(32)(0)f x ax bx c a b x d a =++--+>的图像如图所示. (1)求c,d 的值；(2)若x 0=5,方程f(x)=8a 有三个不同的根，求实数a 的取值范围.6. 已知函数()()32--=ax x x x f .（1）若()x f 在区间[)+∞,1上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若()x f x 是31=的极值点，求()x f 在[]a ,1上的最大值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()bx x g =的图象与函数()x f 的图象恰有三个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.。

函数与方程班级：姓名：学号：【学习目标】1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法3体会高中数学中数形结合的思想。

4以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】函数与方程的相互转化【学习难点】函数与方程的相互转化[自主学习]1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()f xg x=图象交点的横坐标就是方程()()=的解；反之，要求y f x=与()y g x方程()()=与()y g x=图象交点的横坐标．y f xf xg x=的解，也只要求函数()3．二分法求方程的近似解1.若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是（相同／互异）2.用二分法求函数零点近似值步骤.1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；2.求区间(a,b)的中点c；3.计算f(c)；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)· f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );（3）若f(c)· f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ).4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2——4．口诀定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断[典型例析]例1（1）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围（2）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 （3）当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是_____________例2已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.变式训练1：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>.（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围.例3对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；[当堂检测]1. 1. 用二分法求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点5.20=x ，那么下一个有根区间是______________。

师生共用导学案函数与方程学习目标: 1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．一：课前准备: 1.二次函数的零点的概念_____________________________________________ ____________________________________________________________________2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系3. 推广 ⑴函数的零点的概念________________________________________________ ___________________________________________________________________ ⑵函数的零点与对应方程的关系_______________________________________ ____________________________________________________________________ 二：课堂活动例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：学习札记 班级小组姓名1+∞(,)3轴的上方，则实数上是减函数，那么高中数学函数与方程（师生共用）导学案苏教版必修1。

课题：一次函数与一元一次方程设计:张世宇审核: 执教: 使用时间：学习目标：1．理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。

2．学习用函数的观点看待方程的方法，感受用全面的观点处理局部问题的思想。

学习重点:会根据图象解决一元一次方程求解问题。

；学习难点:会根据图象解决一元一次方程求解问题。

教学过程:第一部分学习探究主问题1探究：直线y=kx+b的图像与方程kx+b=0的联系？1、如果y=5x-5,那么当x取何值时，y=0?2、如果y=5x-5，那么当y取何值时，x=0?3、如果y=5x-5,那么当x取何值时，y=10?当y取何值时，x= -2?探究过程：第一步：自学探究————自学要求第二步：互学探究————合作要求第三步：展学探究————展评要求主问题2.探究：直线y=6x-3与y=x+2的图像与方程6x-3=x+2的联系？由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（，），所以x=探究过程：第一步：自学探究————自学要求第二步：互学探究————合作要求第三步：展学探究————展评要求主问题3.根据主问题1、2，完成下列习题：1、根据右图一次函数y=2x+3图象,请不解方程说出一元一次方程2x+3=0的解。

2、利用函数图象解方程-2x−1=x+5.第二部分 达标检测（一） 基础练习1．方程x -3=0的解是 ，则函数y=x -3的值为0时，自变量x = ，直线y=x -3与x 轴的交点的横坐标是 ，直线ｙ=x -3与x 轴交点坐标是 ． 2．已知直线y =ax +4(a 为常数)与x 轴的交点坐标是(2，0)， 则方程ax +4=0的解为________．3．一次函数y=mx+n (m ，n 为常数且m ≠0)的图像 如图所示， 则方程m x +n =0的解是_______； 4．已知方程ax+b =0的解是x =-2，右侧图象 肯定不是直线 y=ax+b 的是（ ）5．试用一次函数图象解下列方程（1）-2x +4=0 （2）2x +1=-x -5（二）综合练习1、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x 千米，应付给个体车主的月费用是y 1元，应付给出租车公司的月费用是y 2元，y 1、y 2分别是x 之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？2、 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m ，然后自己才开始跑。

函数与方程一、基础知识：1.函数零点(1)对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)如果函数y＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c∈(a ，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a ，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c ，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.二、典型例题1.求函数的零点例1.求下列函数的零点（方程思想）：（1）f(x)＝x3－3x＋2 (2)223()1x xf xx-+=-（3）32()22f x x x x=--+例2.（数形结合思想）求方程lg260x x-+=的根的个数.2.利用函数零点求参数例3 (2020·山东)若函数()xf x a x a=-- (a＞0，且a≠1)有两个零点，求实数a的取值范围．3.二分法及其应用例4 在用二分法求方程3210x x--=的近似解时，现已经把根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在的区间为_______________.三、基础自测1.方程322xx-=的解所在的区间为（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)2.函数3()xf x e x-=-的零点的个数为（）A. 0B. 1C.2D.33.二次函数2y ax bx c=++中，ac＜0，则函数的零点个数为__________.4.若函数2()f x x ax b=--的两个零点是2和3，则不等式210bx ax-->的解集为___________.5.已知函数()24f x mx=+，若在[－2,1]上存在x0 ,使()0f x=，则实数m的取值范围为________.（拓展题1）已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围是( )A．(0,1] B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，1](拓展题2)已知函数f(x)＝22,0,0xx bx c x->⎧⎨-++≤⎩，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4（拓展题3）(2020·广东茂名调研)设方程2x＋x ＝4的根为x 0，若x 0∈11(,)22k k -+，则整数k ＝_____.变化率与导数、导数的计算一、基础知识：1.已知函数3()16f x x x =+-，（1）求曲线()y f x =在点（2，-6）处的切线方程；（2）直线m 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线m 的方程及切点坐标； （3）若曲线()y f x =的某一切线与直线134y x =-+垂直，求切点坐标与切线的方程. 拓展1.若曲线3222y x ax ax =-+拓展2.（09福建高考）若曲线()f x ___________已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是22y x =+，则(1)(1)f f '+=_______ 已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状是（ ）A B C D 曲线313y x x =+在点4(1,)3已知函数32()f x ax bx cx d =+++求()f x 的解析式.y 'y 'y 'y '22510-11。

§14 . 3 . 1 一次函数与一元一次方程导学案蛟流河中学八年级组数学学科学习目标：.1•用函数观点认识一元一次方程.2•用函数的方法求解一元一次方程.3 •加深理解数形结合思想.重点1•函数观点认识一元一次方程.2•应用函数求解一元一次方程.难点用函数观点认识一元一次方程.第一学习时间自主预习案学法指导1. 当天落实用20分钟左右时间，阅读探究课本P123-P124的内容，熟记基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题；3・将预习中不能解决的问题标识出来，相关知识并填写到后面“我的疑问”处。

(1 )解一兀一次方程kx+b=0(kb为常数，k^0)(2)怎样求y=kx+b与坐标轴的交点？预习自测1.用多种方法解方程:x+3=5我的疑问：__ __________________________________________________第二学习时间新知探究案☆探究点一例1我们来看下面两个问题：1.解方程2x+20=02.当自变量x为何值时，函数y=2x+20 的值为0?思考：这两个问题之间有什么联系吗？3. 画出函数y=2x+20 的图象，并确定它与 x轴的交点坐标.思考：直线y=2x+20 的图象与x轴交点坐标为( ___________ , ____ _ 明方程2 x+20 = 0的解是x= _______注：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0 (k、b为常数，k丰0 )的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b (k、b为常数，k^O).当函数值为0时，？即kx+b=0 就与一元一次方程完全相同.总结：从数的角度看：求ax+b=0 (a丸)的解与x为何值时，____________ 的值为0 ?是同一问题。

从形的角度看：求ax+b=0 (a丸)的解与确定直线____________ 与x轴的横坐标是同一问题。

函数与方程教案教案：函数与方程一、教学内容：1. 函数概念及性质；2. 方程概念及求解方法；3. 函数与方程的关系。

二、教学目标：1. 了解函数的定义及性质；2. 掌握方程的概念及求解方法；3. 理解函数与方程的关系，能够在实际问题中应用函数和方程进行求解。

三、教学过程：1. 导入：通过提问引导学生回顾线性方程的概念及求解方法。

2. 讲解函数的概念及性质：（1）引导学生思考函数的含义。

函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量与唯一的一个因变量对应起来。

例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，其中x是自变量，y是因变量。

（2）介绍函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

b. 单调性：函数的单调性是指函数曲线的上升与下降方向。

可以分为增函数和减函数。

c. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系在对称中的表现。

奇函数的函数图象关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，偶函数的函数图象关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。

d. 图象和方程：函数的图象是函数关系在坐标系中的表示，函数的方程是表示函数关系的代数式。

3. 讲解方程的概念及求解方法：（1）引导学生思考方程的含义。

方程是一个等式，含有一个或多个未知数，通过求解可以得到未知数的值。

（2）介绍方程的求解方法：a. 方程的转化：可以通过变形、移项等方法将方程转化为更简单的形式。

b. 方程的解法：可以通过列方程、联立方程等方法求解方程。

4. 讲解函数与方程的关系：（1）引导学生思考函数与方程的关系。

函数是一个特殊的方程，它是自变量与因变量之间的关系。

（2）举例说明函数与方程的关系。

例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，也可以写成2x + y - 3 = 0的方程。

5. 练习与巩固：（1）通过练习题，让学生巩固函数与方程的概念及性质。

（2）设计实际问题，让学生应用函数和方程进行求解。

四、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数和方程的概念有了更深入的理解。

课题函数与方程课型复习课授课人执教时间课程标准学业要求1、结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2、结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性. 【数学抽象】1、能够从函数的观点认识方程和不等式.【数学建模、数学运算和逻辑推理】2、能够从函数的观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解；能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式.3、以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理4、利用转化思想求解函数零点问题.教学过程：【必备知识】自主学习、知识任务化1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个【关键能力】问题情景化、思维可视化题型一、函数零点所在区间的判断（自主练透）1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A ．⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，23 C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫0，13 4．(一题多解)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点题型二、函数零点的个数(师生共研)例1、 (1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0变式训练1：1、(一题多解)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1，3} B ．{－3，－1，1，3} C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}2、偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10题型三、函数零点的应用(多维探究) 角度1、根据函数零点个数求参数例2、(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫2，52 D ．⎣⎡⎭⎫2，103 (2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0，ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)角度2、根据函数零点的范围求参数例3、(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2) (2)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1，2]上有零点，则m 的取值范围为________．变式训练2：1、已知M 是函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx (x ∈R )的所有零点之和，则M 的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．122、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]【素养提升】素养情景化、情景真实化。

函数与方程考纲要求1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.考情分析1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交汇命题.教学过程基础梳理1.函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．2．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c ∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1 x .(2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.3．二分法对于在区间[],a b上连续不断，且__________________的函数()y f x=，通过不断地把函数()f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

函数与方程（1） 编写 赵继森 审查 董猛学习目标1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法3体会高中数学中数形结合的思想。

学习重点难点函数与方程的相互转化一、热身训练1. 若函数)0()(≠-=b b ax x f 有一个零点3，那么函数ax bx x g 3)(2+=的零点是 ．2. 在用二分法求方程0123=--x x 的一个近似解时，现在已经将一个根锁定在区间)2,1(内，则下一步可断定该根所在的区间为 。

3. 已知函数a x x f +=2log )(在区间)4,2(内有零点，则实数a 的取值范围是 二、知识梳理1．函数零点的概念： 。

2．函数零点的性质如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根.3．函数零点与方程根的关系（1）函数()x f y =有零点.⇔函数()x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标⇔ 方程()0=x f 有实根（2）函数)()(x g x f y -=的零点可以看成是函数)(x f y =与)(x g y =图象交点的横坐标。

4．用二分法求方程的近似解步骤：1.确定区间[a ,b ]，验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε；2.求区间(a ,b )的中点c ；3.计算f(c)；（1）若f (c )=0，则c 就是函数的零点；（2）若f (a )· f (c )<0，（此时零点x 0∈(a , c )（3）若f (c )· f (b )<0，（此时零点x 0∈( c , b )4.判断是否达到精确度ε;否则重复步骤2——4．口 诀定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断三、典型例题分析例1．判断函数下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）()[]2318 1,8f x x x x =--∈（2）()[]3 1 1,2f x x x x =--∈-（3）()()[]2log 2 1,3f x x x x =+-∈变式训练：判断函数()[]2324 1,13f x x x x x =+-∈-的零点个数。

九年级数学函数与方程的优秀教案范本教案一：了解函数和方程一、教学目标1. 理解函数和方程的概念；2. 能够区分函数和方程的不同之处；3. 掌握函数和方程在实际问题中的应用。

二、教学重点1. 函数的定义和特点；2. 方程的定义和特点；3. 函数和方程在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和实例引导学生思考：你们能给出函数和方程的定义吗？函数和方程有什么区别？2. 理论讲解（15分钟）教师详细讲解函数的定义和特点，以及方程的定义和特点。

同时，在黑板上做出相应的标记和示例，以便学生更好地理解。

3. 示例分析（15分钟）教师给出一些实际问题，鼓励学生用函数和方程的概念来解决。

通过解析问题的过程，学生将会更加深入地理解函数和方程的实际应用。

4. 练习与巩固（20分钟）学生进行小组活动，完成相关练习题，巩固对函数和方程的理解和应用。

教师巡视并指导学生。

5. 拓展与归纳（10分钟）学生展示他们在实际生活中找到的函数和方程的例子，并进行总结和归纳。

教师给予点评和补充。

6. 作业布置（5分钟）布置相应的作业，要求学生找出五个函数和方程在实际问题中的应用，并解释其意义。

教案二：线性方程组的求解一、教学目标1. 理解线性方程组的概念和求解方法；2. 掌握高斯消元法和矩阵法求解线性方程组的步骤；3. 能够应用线性方程组解决实际问题。

二、教学重点1. 线性方程组的定义和特点；2. 高斯消元法的步骤和应用；3. 矩阵法的概念和求解过程。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和实例引导学生思考：你们能给出线性方程组的定义吗？线性方程组有哪些解法？2. 讲解高斯消元法（20分钟）教师详细讲解高斯消元法的步骤和应用，以及解方程组的原理。

通过具体的例子演示，让学生理解高斯消元法的思想和具体步骤。

3. 讲解矩阵法（20分钟）教师引入矩阵的概念，并讲解如何用矩阵法解决线性方程组。

通过演示和实例让学生掌握矩阵法的求解过程和应用。

函数与方程一、考纲要求函数与方程是紧密联系、相辅相成的关系，在一定条件下，它们可以相互转化，初等函数的解析式就是二元方程，函数的研究离不开方程，而研究方程的问题有需要函数的性质和图象辅助，函数与方程是高考考查的重点内容.在高考中一般一填空的形式考查函数零点、二分法等知识.函数与方程（A 级要求）； 二、复习目标1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 三、重点难点函数零点的概念及用“二分法”求方程的近似解，使学生初步形成用函数观点处理问题的意识． 四、要点梳理1．函数的零点：一般地,如果函数()y f x =在实数c 处的值等于_____，即：______，则c 叫做这个函数的零点。

2．函数零点的判断 ： 如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，则函数()y f x =在区间________内有零点，即存在(),c a b ∈使得()0f c =，即c 为函数()y f x =的一个零点，即c 为方程()0f x =的一个根。

对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)函数y ＝f(x)如果满足：①函数在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点．(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y ＝x 2有零点x 0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．(4)函数在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a ，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y ＝f(x)在(a ，b)内有且只有一个零点．但要注意：如果函数y ＝f(x)在[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，且x 0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.3．二分法 对于在区间[],a b 上连续不断，且__________________的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

高三数学一轮复习教案：函数与方程1教材分析：函数零点的概念是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。

主要考察函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。

学情分析：函数零点的概念，函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。

由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念为主，为接下来二分法的学习做铺垫。

教学目标：1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件；2. 培养学生的观察能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生分析、解决问题的能力；3. 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．教学难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学过程：一、知识梳理：1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3．函数)(x f y =零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二、例题讲解c 例1．求函数2223+--=x x x y 与x 轴的交点，并画出它的大致图象．b/a 例2．：研究方程|x2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．解：设y=|x2－2x －3|和y=a ，利用Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当a=0或a ＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根．练习c1.如果抛物线f(x)= c bx x ++2的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ C ） A ． (-1,3) B ．[-1,3] C ． D ．c2．已知d cx bx x x f +++=23)(,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根；其中正确的命题题号是 (2) ．b/a3. 讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数． 解:原方程转化为,即方程x2-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由得:,设f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是,若得有一根在区间（1,3）内,即当时,原方程有一根; 若得时,原方程有两根;时, 原方程无解．三、归纳小结1．函数零点的概念 2．函数零点的意义 3．函数零点的求法四、布置作业c1. 设方程1022=+x x的根为β,则∈β（ C ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ．(3,4)c2. 关于x 的一元二次方程0142)3(22=++++m x m mx 有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是 . 解：设f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当或时,符合题意得.b/a3.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中R c b a ∈,,且满足c b a >>，0)1(=f .证明：函数)()(x g x f 与的图象交于不同的两点.解：由，即函数)()(x g x f 与的图象交于不同两点。

19.2.3 一次函数与方程、不等式学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）之间的关系.2、能用函数的观点解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）.3、熟练地掌握用数形结合法解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）.重点难点：1、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）之间的关系.2、用函数的观点解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）.学习过程 一、阅读课本 二、自学指导【活动1】①已知函数y ＝2x ＋20，当函数y ＝0时，求得自变量x ＝ . ②解方程2x ＋20＝0，求得x ＝ .①②的联系是：在函数y ＝2x ＋20中，当y ＝0时，该函数就变成了方程 ,所以解方程2x ＋20＝0就相当于在 中，已知 ，求 的值. 【活动2】①已知函数y ＝2x －4，当函数y ＞0时，求得自变量x 的取值范围是 . ②解不等式2x －4＞0,求得x .①②的联系是：在函数y ＝2x －4中，当函数y ＞0时，该函数就变成了不等式 ，所以解不等式2x －4＞0就相当于在 中，已知 ，求 的取值范围.【活动3】将下列二元一次方程转化成一次函数y ＝kx ＋b （k ,b 为常数，k ≠0）的形式 ① 3x ＋5y ＝8−−→−转化 ；② 2x －y ＝1−−→−转化. 归纳：任何一个二元一次方程都可转化成 的形式,所以任何一个二元一次方程的图象都是 . 【活动4】 解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+12853y x y x 得⎩⎨⎧==y x ，所以直线3x ＋5y ＝8与直线2x －y ＝1的交点坐标为 .三、知识归纳1、解方程ax ＋b ＝0（a ,b 为常数，a ≠0）等同于在一次函数y ＝ax ＋b （a ,b 为常数，a ≠0）中已知 ，求 . 2、从“数”的角度看：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解，就是一次函数 的函数值 （或 ）时，相应的自变量x 的取值范围。