2019高中数学必修1教案§3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1 方程的根与函数的零点『教材分析』：1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。

2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。

培养学生函数和方程结合思想的能力。

3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。

『重点。

难点。

关键点』：1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。

2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。

理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。

3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图像之间的联系。

『教学方法和手段』：教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。

『教学进程构思及说明』：置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。

2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+= 通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？（表格见资料）课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。

（反馈课前作业，抽学生回答。

）分析：1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。

2． 根据函数图像和方程对应的实根，观察可得到：方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）；方程0122=+-x x 的 根为121==x x ，函数122+-=x x y 与x轴的交点坐标为（1，0）；方程0322=+-x x 无实根，函数 322+-x x 与x 轴没有交点坐标。

教学设计3.1.1方程的根与函数零点一、教材分析：函数与方程思想是中学数学的重要思想。

本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础． 因此本节内容具有承前启后的作用，非常重要．二、学情分析：在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。

但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。

因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。

三、教学目标（一）认知目标：1．理解函数的零点与方程的根的联系.2. 掌握简单函数零点的求解方法3．理解并会用零点存在定理判断函数的零点．4. 初步学会利用函数的性质求解方程的根的个数问题.（二）过程与方法目标：由一元二次方程与对应的二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系。

在课堂探究中体会数形结合的数学思想，培养学生的观察能力。

（三）情感目标：通过本节课的学习，体会由特殊到一般的研究问题的方法，体验事物之间等价转化的意义与价值，以及分析问题解决问题的能力，培养思维的严谨性和执着的探究精神。

教学重点:掌握求函数零点的方法，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在定理，用函数的性质求解方程的根的个数。

四、教学过程（一） 问题导入问题1：请问下列方程有实根吗？有几个实根?04)1(2=-x 0221)2(=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x学生活动：思考并回答教师活动：第二个方程的根，目前所学的知识无法判断。

前面我们学习过基本函数，这节课我们通过研究函数来解决方程的根的问题。

《方程的根与函数的零点》的助学案高一（8）班 授课教师学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x轴交点个数？○1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y探究案：探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。

练习：求函数x x y 43-=的零点是不是所有的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=∆ 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 )0(2≠++=a c bx ax y 有几个零点∆>0∆=0∆<0探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f •)1(f _____0 （＜或＞）．○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f •)4(f ____0 （＜或＞）．观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f •)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f •)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f •)(d f _____0（＜或＞）．○4()a f •()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？○5()()d f a f • 0（＜或＞）。

§3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标：1、理解函数零点的意义；2、了解函数零点与方程根的关系；3、掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

二、教学重难点1、重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法，零点存在的判断。

2、难点：方程的根与函数零点的关系，零点存在判定方法的探究及应用三、教学过程（一）发现问题，引出课题问题 1 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f（x）=0有实数根y=f（x）的图象与x函数y=f （x ）有零点（零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的）。

例1、求下列函数的零点求零点方法总结：代数法：令f （x ）=0；解方程f(x)=0；写出零点.几何法：找出函数图象与x 轴交点的横坐标.3、观察下面函数)(x f y =的图象判断()()()()()()f a f o f b f c f d f e 、、、、、的值得符号。

判断()()f a f b 、()()f b f c 、()()f a f e 、()()f o f b 、()()f c f d 、()()f b f e 的值得符号。

思考：若函数)(x f y =满足()()0f a f b •<，在区间（a ，b ）上一定有零点吗？ 若函数)(x f y =满足()()0f a f b •>，在区间(a,b)上一定有零点吗？由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？零点存在定理：如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则 f （x ）在区间（a ，b ）上一定存在零点(,)x c a b =∈使得f （c ）=0。

3.1.1方程的根与函数的零点——第2课时判断函数零点个数●教学目标1．知识与技能(1)结合二次函数的图象，理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价条件，学会判断函数零点的存在性及零点的个数，从而体会函数的零点与方程的根的联系；(2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2．过程与方法培养学生观察、思考、分析、猜测、验证的能力，并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想．3．情感、态度与价值观从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值．●教学重点难点重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．难点：探究发现函数零点的存在性．重难点的突破：以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，表达了“化归〞和“数形结合〞的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫．【复习导入】知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使________ 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．温馨提示：函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二一元二次方程及相应的二次函数零点、函数的图象与x轴交点的关系.知识点三 方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有________⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有_______ ⇔函数y ＝f(x)有________ ．题型一 判断函数的零点个数【典例1】 )103)(1()(2-+-=x x x x f 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【思路引导】 直接解方程f (x )＝0的根，即为函数的零点．【变式训练1】 )1ln()(-=x x x f 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【思路引导】 优先考虑定义域．【典例2】 ⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(2x x x x x x f 的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【思路引导】 数形结合，利用函数图象判断．【典例3】 求函数2log )(2+-=x x x f 的零点个数．【思路引导】 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程F(x)= f(x)-g(x)=0的实数根，也就可以转换为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点.【变式训练2】 ⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 30,32)(22x x x x x x x f 的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【思路引导】 转换为求函数y=h(x)与y=g(x)的图象的交点.判断函数零点个数的3个方法(1)直接法〔代数法〕：直接求出函数的所有零点进行判断．(2)图象法〔数形结合〕：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．(3)单调性法：借助函数的单调性进行判断．假设函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a ，b)上有且仅有一个零点，如下图．题型二 根据函数f(x)零点个数确定参数的取值范围【典例4】假设函数k x x x x f --+-=)1(|1|)(有三个零点，则k 的取值范围为〔 〕A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛45,1B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,1C.(0,1)D. (-1,1)【思路引导】 结合函数图象分析．【变式训练3】 (1)函数b x f x --=|22|)(有两个零点，则实数b 的取值范围为___________(2)a x x x f --=|2|)(2有四个零点，则a 的取值范围为___________题型三 根据二次函数f(x)零点分布情况求参数范围【典例5】 假设函数f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m 的取值范围.【思路引导】解决有关根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(3)写出由题意得到的不等式．(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意．这类问题充分表达了函数与方程的思想，也表达了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性．。

“方程的根与函数的零点”【教学目标】一、知识与技能1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系,让学生领会方程的根与函数零点之间的联系,了解零点的概念.2、以具体函数在某区间上存在零点的特点,探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件以及个数,理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.二、过程与方法1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点.由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口,探究方程的根与函数的零点的关系,以探究的方法发现函数零点存在的条件.2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律,渗透数形结合思想及转化思想以及函数与方程的思想,培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.三、情感、态度、价值观努力营造平等、民主的课堂气氛,以学生为主体,营造学习氛围,使学生产生热爱学习数学的积极心理,引导学生进行积极主动的学习,培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想,培养学生的辨证思维能力,以及分析问题解决问题的能力．从易到难,使学生体会到学习数学的成功感,体验规律发现的快乐．【教学重点】1、体会函数的零点与方程根之间的联系；2、掌握函数零点存在的判定方法.【教学难点】函数零点存在的判定方法及其运用.【教学方式与手段】电脑,多媒体,黑板．【教学过程设计】（一）设问激疑,引出新知方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题,古今中外的数学家已经作了大量的工作,取得辉煌的成果,比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》,比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”,此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年,挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.随着计算机技术的发展,方程的数值解法得到了广泛的运用,如二分法,牛顿法、弦截法等,今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法. 【设计意图：了解数学史,激发学生学习兴趣.】 问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ； （2）0652=+-x x ； （3）062ln =-+x x .问题2 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,并写出函数图象与x 轴交点的坐标.提出疑问：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？ 结论：方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x轴交点的关系,上述结论是否仍然成立？【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备.】（二）总结归纳,形成概念 1、函数的零点：对于函数y=f （x ）,我们把使方程f （x ）=0的实数x 叫做函数y=f （x ）的零点.辨析练习：函数223y x x =--的零点是：（ ）A ．（-1,0）,（3,0）；B ．x=-1；C ．x=3；D ．-1和3． 问：零点是一个点吗？说明：①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．【设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．】2、你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？ 等价关系：方程f （x ）=0有实数根函数y=f （x ）的图象与x 轴有交点 函数y=f （x ）有零点【设计意图：引导学生给出函数零点的定义,并引导学生仔细体会这段文字,感悟其中的思想方法；通过引导,学生自己归纳出三者之间的关系,并且明确提出转化思想.】 3、归纳函数的零点与方程根的关系函数的零点与方程的根有什么联系和区别？联系：（1）数值上相等：求函数零点就是求方程的根. （2）存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点区别：零点对于函数而言,根对于方程而言．【设计意图：进一步理解零点的概念,灵活运用三者之间的关系.以上关系说明：函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础．】 （三）初步运用,示例练习例1：求函数)1lg()(-=x x f 的零点. 求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点变式练习：求下列函数的零点.(1)65)(2+-=x x x f ； （2）12)(-=xx f【设计意图：让学生再次认识零点的概念,熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．】 （四）实例探究,发现定理 重温《小马过河的故事》问题4：观察下列三组画面,请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？①②③【设计意图：通过形象的生活问题,为引出函数零点存在性定理做准备.】问题5：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下,函数y ＝f(x) 观察下面函数)(x f y =的图象1、在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(f2、在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．3、在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 函数零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间[b a ,]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间（b a ,）内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f .这个c 也就是方程0)(=x f 的根.【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手,引导学生结合函数图象,通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系.总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析.】 定理辨析与灵活运用：练习：判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例.（1）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且0)()(<⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内有且仅有一个零点.（ ）（2）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且0)()(>⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内没有零点.（ ）（3）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且在区间（b a ,）内存在零点,则有0)()(<⋅b f a f .（ ）（4）已知函数)(x f y =在区间[b a ,] 满足0)()(<⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内存在零a bcxyO d点. （ ）函数零点存在定理的四个注意点： （1）函数是连续的. （2）定理不可逆.（3）至少存在一个零点,不排除更多.（4）在零点存在性定理的条件下,如果函数具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点.【设计意图：通过对定理中条件的改变,将几种容易产生的误解正面给出,在第一时间加以纠正,从而促进对定理本身的准确理解.】 （五）观察感知,例题学习例2（教材第88页）求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数. （1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．由表或图象可知,f (2)<0,f (3)>0,则f (2) f (3)<0,这说明函数f (x )在区间(2,3)内有零点． 又由于函数f (x )在(0,+∞)内单调递增,所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负,可得如下表格：f (－ － ＋ ＋x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.-1.31.13.45.67.89.912.114.2结合函数的单调性,f (x )在区间(2,3)内有唯一的零点．解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ,分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图,从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小,确定交点所在的区间,即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2,3)内有唯一的零点．【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．通过例题分析,能根据零点存在性定理,使用多种方法确定零点所在的区间,并且结合函数性质,判断零点个数．解法3作为选讲内容,视学生基础而定.】试一试：你能判断出方程 3ln 2+-=x x 实数根的个数吗？ 【设计意图：学以致用,练习强化学生的解题能力.】 小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数()y f x =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．口诀：函数零点方程根,形数本是同根生.是否存在端点判,函数连续要记清. 【设计意图：归纳总结函数零点的求法,通过口诀加深对本节内容的理解记忆.】 基础检测1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续,且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定 3、方程10x x-=的一个实数解的存在区间为（ ） A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(1,2) 4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数,且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .能力提升（可供学生课外做作业）6. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-. （1）m 为何值时,函数的图象与x 轴有两个零点； （2）若函数至少有一个零点在原点右侧,求m 值. 思考题：方程x x=-2在区间______内有解,如何求出这个解的近似值？请预习下一节．【设计意图：练习强化学生解题能力,并利用拓展延伸对于零点存在取件进一步精确化,为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．】 （六）反思小结,提升能力学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！ 1．函数零点的定义2．等价关系 函数Y=f(x)的零点函数Y=f(x)的图象与X 轴交点的横坐标方程f(x)＝0实数根3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断【设计意图：引导学生从知识和数学思想上去归纳总结.让学生对本节课有个完整的,系统的认识.培养他们的概括能力,同时也对本节课起到反馈的作用.及时评价与反馈,注重个体差异性.】 （七）板书设计。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点【教学目标】知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感、态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教学过程】（一）抛转引玉浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？3）能计算出具体的时刻吗？（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）（二）溯本逐源（设计意图：回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）在《几何画板》下展示如下函数的图象： ()()()21226y x x x =-+-、28x y =-、()2y ln x =-，比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系. 函数()y f x =的图象与x 轴交点，即当()0f x =，该方程有几个根，()y f x =的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数.）1．函数零点概念对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．2．方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础． （三）顺藤摸瓜浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，温度是不均匀变化的，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？（学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图，教师选取几个具有代表性的图用实物投影仪加以展示，并让学生解释为什么这一时刻仍存在，使学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.）（设计意图：通过类比得出零点存在性定理,此刻体现变式教学．）给出零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.（四）牛刀小试1. 10x x -=３试判断方程＋３是否有根？2．求函数26f (x )x x =+-ln 的零点的个数．(设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．)（五）抽丝剥茧问题1. 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？问题2.若()()0f a f b >，函数()y f x =在区间在[]a,b 上一定没有零点吗？一定有零点吗？问题3.若()()0f a f b <，函数()y f x =在区间在[]a,b 上只有一个零点吗？可能有几个？问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数()y f x =在区间在[]a,b 上只有一个零点？(设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．)（六）再接再厉1.已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个2.函数()376f x x x =--在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗?(设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书 A 版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数 零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理， 是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 二、教学目标【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 【过程与方法】零点存在性的判定．【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点难点：重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定． 三 教学环节设计 【教学过程】（一）创设情境，感知概念 实例引入解下列方程并作出相应的函数图像 2x-4=0;y=2x-4（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表： 填空：方程 x 2-2x -3=0 x 2-2x +1=0 x 2-2x +3=0 根 x 1=-1，x 2=3 x 1=x 2=1 无实数根函数 y =x 2-2x -3 y =x 2-2x +1 y =x 2-2x +3图象图象与x 轴的交点两个交点： (-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式Δ Δ＞0Δ＝0 Δ＜042-2-4 3 -1 1 2 Oxy 4 2-2 -43 -1 1 2 Ox y 4 2-23 -1 1 2 Ox y方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 两个不相等的实数根x 1、x 2有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象函数的图象与x 轴的交点 两个交点： (x 1,0)，(x 2,0) 一个交点：(x 1,0) 无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（三）辨析讨论，深化概念概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．探究2：如何求函数的零点？练习1：求下列函数的零点 (1)y=3x- 3 (2)y=log2x小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点. 练习2：函数f (x )=x 2-4的零点为（ ） A ．(2，0) B ．2C ．(–2，0)，(2，0)D ．–2，2练习3：求下列函数的零点O xyx 1 x 2Oyxx 1 Ox y（1）f(x)=-x2+3x+4 （2）f(x)=lg(x2+4x-4)小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）零点对于函数而言，根对于方程而言. （四）实例探究，归纳定理 零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？ 观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）．完成课本87P 的探究，归纳函数零点存在的条件.【零点存在性定理】如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（五）正反例证，熟悉定理 定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点．（ × ） 例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．x1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2c bd ax O y由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题8：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4 f (x ) － － ＋ ＋结合函数的单调性，f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x ) 23 9 －7 11 －5 －12 －26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）（七）布置作业：习题3.1A 组 26O xy 2 1 3 4g (x )h (x )。

课题：3.1.1方程的根与函数的零点（一）教学目标1.本节课学生通过函数零点概念的形成过程，能初步认识到函数零点与相应方程根的关系，会用零点存在性判定条件判断函数在指定区间是否存在零点；2. 在探究函数零点的存在性判定过程中，让学生感悟、体验由特殊到一般，一般到特殊，数形结合和转化的思想方法，培养学生敢于想象，善于联想的思维品质.3.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.（二）教学重点理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.（三）教学难点函数零点存在性定理的理解及初步应用（四）教学方式发现、合作、讲解、演练相结合（五）教学过程1.问题引入：某天的气温随时间变化图象是一个近似抛物线(如图所示)，但是图象中间被一段墨迹遮挡．现想了解当天12时至24时具体哪个时刻的温度为0℃，你能帮助解决这个问题吗？这个问题实际求什么？（师生交流）预答：求二次函数使函数值为0的x的值．教师引导学生回答：（1）求二次函数图象与x轴交点的横坐标，（2）求一元二次方程的根．二次函数与一元二次方程能建立联系，这种联系就是一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它能使二次函数的函数值为0．这个数能起一个桥梁作用，它能连结二次函数与一元二次方程，很重要，我们今天来专门研究它．既然专门研究，就可以给他起个名字，它能使二次函数的函数值为0，于是就叫做函数的零点．那么这节课我们就来研究方程的根与函数的零点．（板书本节课课题）回到例子，这是某一天温度与时间的变化图象．如果从某天开始计算的0-36时温度随时间的变化图象是近似三次函数图象（如下图所示），那哪个时刻温度为0℃呢？预答：所求时刻是图象与x轴交点的横坐标，也是三次方程的根．同样的，这个值能使函数值为0，是这个三次函数的零点．对于二次函数和三次函数，我们发现函数与对应方程有关系，函数的零点建立了函数与对应方程根的关系．这种联系能否推广到一般情况呢？2.师生交流过程中不断完善学生提出的定义．函数零点：对于函数 y=f (x ) ，我们把使 f (x )=0的实数 x 叫做函数 y=f (x )的零点． 函数y=f (x )的零点⇔方程f (x )=0的实数根⇔函数y=f (x )图象与x 轴交点的横坐标．问题1：你能根据定义的双重功能（判定功能和性质功能），来出两个练习吗？ （1）函数f (x )=x 3-8x 的一个零点是（ ）．A ．（0，0）B ．（-，0） C ．（0， D．（2）若函数 f (x )=x 2+ax +b 的零点是2和-4,求a ,b 的值． （3）函数f (x )= x 2-2x -3有 个零点； 问题2：可以有些什么方法？预答：a 解方程，b 求判别式，… 问题3：如何判断二次函数零点个数？当△>0时，有两个零点；△=0时，有一个零点；△<0时，没有零点.（4）函数 f (x )= x 2-2x +a 的零点位于区间(-2,0)和区间(0,3)之间,则a 的取值范围是 ． 师生交流：(2)0(0)030(3)0f f a f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩(2)0(0)0f f ->⎧⇒⎨<⎩()20f x 在(-,)内有零点 (0)0(3)0f f <⎧⇒⎨>⎩()03f x 在(,)内有零点 发现：二次函数在区间端点函数值异号，则在区间里一定存在零点．图象上表现在区间里一定穿过x 轴．对于三次函数y=x 3-3x 2+2x ，观察图象，我们发现，在零点附近左右两侧的函数值是异号的．问题4：对于一般的函数，我们如何判断在某一区间上一定零点存在呢？ 猜想：f(a )·fy = f (x )在区间(a,b )上存在零点数学语言：函数y = f (x)在区间[a,b]上有f (a)·f (b)<0，那么函数y = f (x)在区间(a,b)上存在零点．猜想对吗？演示反例修改猜想通过比较下列两组情况：修改猜想：通过比较下列两组情况：修改猜想：零点存在性判定：函数 y = f (x )在区间[a,b ]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f (a ) · f (b )<0 ，那么，函数 y = f (x )在区间(a,b )内存在零点． 初步认识判定方法：零点存在性判定表明定理能判断存在零点，只存在1个零点吗？ 零点个数有规律吗？ 演示各种零点存在情况：3.应用例 求函数ln 26y x x =+-的零点个数？ 探究解法 法1：图象法法2：存在性判定+单调性 法3：函数图象交点问题ln 26y xy x =⎧⎨=-+⎩总结：判断存在唯一零点的方法： 存在性判定+单调性4.课堂小结：函数图象连续不断 f (a )·f (b )<0y = f (x )在区间[a,b ]上存在唯一的零点 y = f (x )在 [a,b ]上是严格单调的yooab a b y o yoa ba b 函数图象连续不断f(a )·fy = f (x )在区间(a,b )上存在零点同学们通过这节课的学习在知识上、方法上、思想上有些什么收获？知识上：函数的零点，函数的零点与方程根的关系，如何判断函数零点存在，有几个？ 方法思想上：数形结合，函数思想，从特殊到一般，转化思想. （六）课后作业 1.填空题：（1）若方程210x ax --=在(1,2)内恰有一解，则实数a 的取值范围是 ．（2）若函数2()f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数2()1g x bx ax =--的零点是．（3）二次函数2,()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是 ． 2.解答题（4）函数2()2(3)214f x x m x m =++++有两个零点，且都在[0,4)内，求实数m 的取值范围． 答案： （1）302a <<． （2）11,23--． （3）(,2)(3,)-∞-+∞． 三、解答题（4）解：142)3(2)(2++++=m x m x x f . 对称轴)3(+-=m x ，画图象可知5527735277510}]3([40)]3([00)4(0)0(0-<≤-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-<-≥-≥-<>⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+--<+--≥≥>∆m m m m m m m m m f f 或.。

3.1.1 方程的根与函数的零点教案1. 教学目标本课程旨在使学生了解方程的根与函数的零点的概念，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。

具体目标如下：•了解方程的根与函数的零点的定义；•能够找到方程的根与函数的零点；•能够应用方程的根与函数的零点解决实际问题；•培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

2. 教学内容2.1 方程的根与函数的零点的定义•方程的根：对于方程f(f) = 0，f是方程的根是指当f = f时，方程成立。

•函数的零点：对于函数f(f)，f是函数的零点是指当f(f) = 0，即函数在f = f处取得零值。

2.2 方程的根的求解•方程的根的存在性：介绍方程根的存在性判断方法，例如奇偶效应等。

•方程的根的求解方法：介绍常见的求根方法，如因式分解、配方法、公式法等。

•方程根的重数：定义方程根的重数，了解重根的概念。

2.3 函数的零点的求解•函数的零点的求解方法：介绍几种常见的求零点的方法，如图像法、几何意义法、代数法等。

•函数零点的性质：介绍零点的性质，如唯一性、存在性和多个零点等。

3. 教学过程3.1 导入与提问通过展示一道实际问题，引出方程的根与函数的零点的概念，并提问学生是否了解这些概念。

3.2 概念讲解分别介绍方程的根与函数的零点的定义，并与实际问题进行对比，使学生更好地理解。

3.3 方程的根的求解通过实例演示和练习题的讲解，引导学生掌握方程根的存在性判断方法和求解方法，并加深对重根概念的理解。

3.4 函数的零点的求解介绍函数零点的求解方法，并通过实例演示和练习题的讲解，让学生熟练运用求零点的方法。

3.5 实际问题的应用通过一个或多个实际问题的案例分析，引导学生应用所学的方程的根与函数的零点的知识解决实际问题，培养学生的问题解决能力。

4. 教学评价4.1 课堂练习在课堂上进行几道练习题，既可以检验学生的掌握程度，又可以帮助学生巩固所学知识。

4.2 作业布置布置一些作业题，要求学生独立完成，并在下节课前交回，以检验学生对方程的根与函数的零点的理解情况。

课题：§ 3.1.1 方程的根与函数的零点教课目的：知识与技术理解函数（联合二次函数）零点的观点，领悟函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判断条件．过程与方法零点存在性的判断．感情、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转变思想的意义和价值．教课要点：要点零点的观点及存在性的判断．难点零点确实定．教课程序与环节设计：创建情境联合二次函数引入课题．组织研究二次函数的零点及零点存在性的．试试练习零点存在性为练习要点．研究研究进一步研究函数零点存在性的判断．作业回馈要点放在零点的存在性判断及零点确实定上．课外活动研究二次函数在零点、零点以内及零点外的函数值符号，并试试进行系统的总结．教课过程与操作设计：环节教课内容设置先来察看几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：122x30 与函数 y x22x3○方程 x创22 2 x10 与函数 y x22x1○方程 x设322x30与函数 y x22x3○方程 x情境师生双边互动师：指引学生解方程，画函数图象，剖析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的观点．生：独立思虑达成解答，察看、思虑、总结、归纳得出结论，并进行沟通．师：上述结论推行到一般的一元二次方程和二次函数又如何？函数零点的观点：关于函数 y f ( x)( x D ) ，把使 f ( x)0 成立的实数 x 叫做函数 y f (x)( x D ) 的零点．函数零点的意义：师：指引学生认真领会左侧的这段文字，感悟此中的思想方法．函数 y f ( x)的零点就是方程 f ( x)0 实数根，亦即函数y f ( x) 的图象与x 轴交点的横坐组标．生：认真谛解函数零点即：的意义，并依据函数零方程 f (x) 0有实数根函数 y f ( x)的点的意义研究其求法：织图象与 x 轴有交点函数 y f ( x) 有零点．1代数法；○○几何法．2探函数零点的求法：求函数 y f ( x) 的零点：0 的实数根；○（代数法）求方程 f (x)1究○ （几何法）关于不可以用求根公式的方程，2能够将它与函数y f ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二次函数的零点：师：指引学生运用函数零点的意义研究二次二次函数函数零点的状况．y ax 2bx c(a0) ．１）△＞０，方程ax2bx c0 有两不等环节组织探究教课内容设置实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程 ax 2bx c有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程 ax 2 bx c 0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点．零点存在性的研究：（Ⅰ）察看二次函数 f ( x)x22x 3 的图象：2,1] 上有零点______；○在区间[1f (2)_______ ，f (1)_______,f (2) · f (1) _____0（＜或＞）．○在区间 [2,4] 上有零点______；2f (2) · f (4) ____0（＜或＞）．（Ⅱ）察看下边函数y f ( x) 的图象师生双边互动生：依据函数零点的意义研究研究二次函数的零点状况，并进行交流，总结归纳形成结论．生：剖析函数，按提示研究，达成解答，并认真思虑．师：指引学生联合函数图象，剖析函数在区间端点上的函数值的符号状况，与函数零点能否存在之间的关系．生：联合函数图象，思虑、议论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行沟通、评析．○1在区间 [a,b] 上______(有/无)零点；f (a) · f (b) _____0（＜或＞）．○2在区间 [b,c] 上______(有/无)零点；f (b) · f (c) _____0（＜或＞）．○3在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点；f (c) · f (d ) _____0（＜或＞）．由以上两步研究，你能够得出什么样的结论？如何利用函数零点存在性定理，判定函数在某给定区间上能否存在零点．师：指引学生理解函数零点存在定理，剖析此中各条件的作用．环节教课内容设置例 1．求函数f ( x)ln x2x 6 的零点个数．问题：例1 ）你能够想到什么方法来判断函数零点个数？题2 ）判断函数的单一性，由单一性你能得该函研数的单一性拥有什么特征？究例 2．求函数y x32x 2x 2 ，并画出它的大概图象．1．利用函数图象判断以下方程有没有根，有几个根：（ 1）x23x50；（ 2）2x(x2) 3 ；尝（ 3）x24x 4 ；试（ 4）5x22x3x2 5 ．练 2 ．利用函数的图象，指出以下函数零点所在师生互动设计师：指引学生研究判断函数零点的方法，指出能够借助计算机或计算器来画函数的图象，联合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，联合图象确立零点所在的区间，而后利用函数单一性判断零点的个数．师：联合图象观察零点所在的大概区间与个数，联合函数的单一性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基天性质（特别是单一性）在确立函数零点习的大概区间：（ 1）f ( x)（ 2）f ( x)（ 3）f ( x)（ 4）f ( x)x 33x 5 ；2x ln( x2) 3 ；e x 14x 4 ；3(x2)( x3)( x 4) x ．中的重要作用．1．已知f ( x)2x47 x317 x258 x 24 ，请研究方程 f (x)0 的根．假如方程有根，指出每探个根所在的区间（区间长度不超出1）．究2．设函数f (x) 2x ax1．与（ 1 ）利用计算机研究a 2 和 a 3 时函数发现f ( x) 的零点个数；（2）当a R时，函数f ( x)的零点是如何分布的？环节作业回馈课外活动教课内容设置1．教材 P108习题 3． 1（ A 组）第 1、 2 题；2．求以下函数的零点：（ 1）y x25x 4 ；（ 2）y x2x20 ；（ 3）y(x1)(x2 3 1)xf ( x) ( x 22)( x23x 2) ．3．求以下函数的零点，图象极点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（ 1）y 1 x2 2 x 1；3（ 2）y2x24x 1．4．已知f (x)2(m 1) x24mx2m 1 ：（ 1 ）m为什么值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）假如函数起码有一个零点在原点右边，求 m 的值．5．求以下函数的定义域：（ 1）y x29；（ 2）234；y x x（ 3）y x24x12研究 y ax2bx c ， ax2bx c 0 ，ax 2bx c0 ， ax2bx c0 的互相关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果试试用一种系统的、简短的方式总结表达．师生互动设计考虑列表，建议画出图象帮助剖析．收获谈谈方程的根与函数的零点的关系，并给出判与定方程在某个区产存在根的基本步骤．体会。

课题：第三章第一节§方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能①理解函数握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观二、教学重难点、教学重点:零点的概念及存在性的判定．、教学难点:零点的确定．三、教学准备1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、从而完成本节课的教学目标。

2．教学用具：投影仪。

四、教学设想(一)创设情景，揭示课题、提出问题：一元二次方程 (≠)的根与二次函数(≠)的图象有什么关系？．①方程与函数②方程与函数③方程与函数零点的概念．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程无零点．．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象：①在区间上有零点；。

3.1.1 方程的根与函数的零点教案【教学目标】1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定条件. 【教学重难点】教学重点：方程的根与函数的零点的关系。

教学难点：求函数零点的个数问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ； （2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号 ② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.（三）典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数. 解析：引导学生借助计算机画函数图像，缩小解的范围。

第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?学生思考或讨论回答：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段. 教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.图3-1-1-1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用“转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.图3-1-1-2 图3-1-1-3 图3-1-1-4应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4. (3)函数有四个零点,则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-1-1-6)，图3-1-1-6函数y=|x-1|-2的图象与x 轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根x 1=2,x 2=21 . 所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x 2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.图3-1-1-7点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的取值范围. 活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：图3-1-1-8因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-,0)3(,0)1(,0)0(,0)2(ffff即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+.012,02,0,022aaaa故所求a的取值范围是-12<a<0.变式训练关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围.解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9).因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧.只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1<a<3.图3-1-1-9思路2例1若方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.③有两种情况：a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.解：令f(x)=2ax2-x-1，(1)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)<0或a≠0且Δ=0,由f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=81-∴方程为41-x2-x-1=0,即x=-2∉(0,1)(舍去).综上可得a>1.(2)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0af a f f a 容易解得实数a 不存在.综合(1)(2),知a>1.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a 的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a≠0时，设f(x)=ax 2+3x+4a.方法一:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a aa 解得0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组.(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x ∈(0,x 1)时，求证：x<f(x)<x 1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f(x)-x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f(x)-x=0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x ∈(0,x 1)时,有f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x)(x 2-x)>0,即f(x)-x>0.又∵f(x)-x=a(x 1-x)(x 2-x)<a·a 1(x 1-x)=x 1-x,即f(x)-x<x 1-x,故0<f(x)-x<x 1-x,即x<f(x)<x 1.(2)∵f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,∴二次函数f(x)-x 的对称轴为x=221x x +=a b 21--.∴21x =22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1,∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0,即x 0<21x . 变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x 1、x 2,求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.∵x 1、x 2为二次函数f(x)的两个零点，∴x 1+x 2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x 1、x 2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x 1)(x-x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y=e x +4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=e x 和y=4-4x 的图象，把函数y=e x +4x-4的零点的个数转化为方程e x =4-4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y=e x 和y=4-4x 的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.图3-1-1-10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19已知m ∈R ,设P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立；Q ：函数f(x)=3x 2+2mx+m+34有两个不同的零点,求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a,x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+.当a ∈［1,2］时,8a 2+的最小值为3.要使|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3,即2≤m≤8.由已知得Q 中:f(x)=3x 2+2mx+m+34的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16>0，得m<-1或m>4. 综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4,8］. 2.如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).图3-1-1-11 图3-1-1-12(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).图3-1-1-13 图3-1-1-14(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(n∈N*)个零点,图略.点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.(设计者：赵冠明)。