【新教材】 新人教A版必修一 函数与方程 教案

2019—2020学年新人教A版必修一函数及其表示教案1．函数2．函数的有关概念（1)函数的定义域、值域在函数y＝f（x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3）函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；（2）根式型；(3）对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5）三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B。

（×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ×)(3）函数f（x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √)(4）分段函数是由两个或几个函数组成的．（×）题组二教材改编2．函数f（x)＝错误!的定义域是________．答案（－∞,1）∪（1,4]3．函数y＝f（x）的图象如图所示，那么，f（x)的定义域是________；值域是________;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0］∪[2，3］［1，5］[1，2）∪(4，5］题组三易错自纠4．已知集合P＝｛x|0≤x≤4｝，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．（填序号）①f:x→y＝错误!x;②f:x→y＝错误!x；③f:x→y＝错误!x；④f：x→y＝错误!.答案③解析对于③，因为当x＝4时,y＝错误!×4＝错误!∉Q，所以③不是从P到Q的函数．5．已知f(错误!）＝x－1，则f(x)＝____________.答案x2－1（x≥0）解析令t＝x，则t≥0，x＝t2,所以f(t）＝t2－1(t≥0），即f(x）＝x2－1（x≥0)．6．设f(x)＝错误!则f(f(－2）)＝________.答案1 2解析因为－2〈0,所以f(－2）＝2－2＝错误!>0，所以f（f（－2)）＝f错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!。

【例2】、下列图象中不能作为函数图象的是（ ）【方法技巧】从函数的概念入手，函数图像每个x 都要有唯一确定的y 值与之对应。

【题型二、函数相等】【例3】下列各对函数中，相同的是（ ）A 、xx x g x x f 2)(,)(== B 、33)(,)(x x g x x f ==C 、 2)()(,)(x x g x x f ==D 、x x g x x f ==)()(2，【方法技巧】两个函数，必须要定义域相同，对应关系也相同才是相等函数。

【题型三、定义域】【例4】求下列函数的定义域。

(1) f(x)=232--x x ； (2) f(x)=29x -； (3) f(x)=1+x －x x -2；【方法技巧】求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义【题型四、复合函数的定义域】【例5】已知)(x f 的定义域为[0,1]，求)1(+x f 的定义域。

【例6】()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

14. 已知)1(-x f 的定义域为[-1,0]，求)1(+x f 的定义域。

15. 已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；16. 已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域能力题17. （1）已知函数()y f x =的定义域为()0,4，则函数2()y f x =的定义域为___________．（2）已知函数2()y f x =的定义域为()0,4，则()y f x =的定义域为____________．18. 若()f x 的定义域为{|0,}x x x R >∈，且()()()f x y f x f y +=+，若(3)1f =，则(9)f =________．课后作业【基础巩固】1.下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2x D ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋32.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．3.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值）1。

高中数学24函数与方程教案新人教A版必修1教案标题：高中数学函数与方程教案教学内容：函数与方程教材版本：新人教A版必修1教学目标：1.了解函数的定义与性质；2.学习函数的表示方法与函数的图像；3.掌握一元一次方程与一元二次方程的解法；4.能解决实际问题中的函数与方程相关的计算问题。

教学重点：1.函数的定义与性质；2.函数的表示方法与函数的图像；3.一元一次方程与一元二次方程的解法。

教学难点：1.函数的性质和函数的图像的关系；2.一元二次方程的解法。

教学准备：1.教师准备：教材必修1教材、多媒体设备；2.学生准备：课前预习教材内容。

教学过程：第一步：导入（5分钟）教师通过提问导入主题，引发学生的思考，激发兴趣。

教师：同学们，你们知道什么是函数吗？怎样表示一个函数呢？学生：函数是输入和输出之间的关系，通常用x表示自变量，y表示因变量。

函数可以通过一张图来表示。

教师：非常好！正是这样。

我们今天的主题就是函数与方程。

让我们一起来学习吧。

第二步：概念解释与讲解（15分钟）教师通过投影仪，呈现教材中关于函数的定义与性质的内容，并进行解释和讲解。

教师：请同学们看一下幻灯片上的内容。

函数的定义是什么？学生：函数是一个集合，其中每一个输入值都恰好对应一个输出值。

教师：非常好！函数的性质有哪些？学生：函数有定义域、值域、图像和奇偶性等性质。

教师：很好，函数的图像与具体函数的关系是什么？学生：函数的图像是函数的集合在坐标系中的表示，可以通过函数图像来判断函数的性质。

第三步：讲解函数表示方法及函数图像（20分钟）教师通过实例讲解函数的表示方法与函数图像的绘制。

教师：请同学们看一下幻灯片上的例子。

根据函数的定义域和表达式，我们可以如何表示一个函数？学生：可以用输入输出表、映射图、解析式等方法表示。

教师：非常好！接下来我们来练习一下画函数的图像。

同学们看这个例子，请问这是一个什么样的函数图像？学生：这是一个抛物线的图像。

教师：是的，抛物线是一种常见的函数图像，由一元二次方程表示。

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数与方程教案学习内容学习指导即时感悟学习目标：1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数。

2、根据函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。

3、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想。

学习重点：函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。

学习难点：理解函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。

回顾﹒预习1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系⊿>0 ⊿=0 ⊿<0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点零点个数3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似值的步骤：课前自测1．若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是 ( C )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0,1 2．函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( B ) 3、方程125x x +-=的解所在区间（ B ）A (0,1)B (1,2)C (2,3) D(3,4) 4、函数()xx x f 1-=的零点个数 （ C ） A 0 B 1 C 2 D 无零点5、用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2内的根，取区间的中点1x =2.5，则下一个有根区间是 (2，2.5)。

2019-2020年新人教a版高中数学（必修1）3.1《函数与方程》教案2篇一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。

而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

专题：函数与方程一.考纲要求：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

二.高考趋势：1.函数与方程中的零点及二分法是新增内容，高考中必将有所考察。

2.以难度较低的选择题，填空题为主，考察函数的图象及根的存在性问题。

三.知识回顾：1.函数零点的概念，函数与方程根的关系：（1）对于函数D x x f y ∈=),(，我们把使0)(=x f 的实数)(,D x x ∈称为函数)(x f y =的零点，实质上函数)(x f y =的零点就是函数)(x f y =的图象与x 轴的公共点的横坐标。

（2）函数)()(x g x f y -=的零点可以看成是函数)(x f y =与)(x g y =图象交点的横坐标。

（3）函数)(x f y =的定义域是)(+∈N n n 个单调区间的并集，则函数)(x f y =至多有n 个零点。

2.函数零点的性质：若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即：0)()(<⋅b f a f ，则在区间()b a ,内，函数)(x f y =至少有一个零点，即相应的方程0)(=x f 在区间()b a ,内至少有一个实数解（我们所研究的大部分函数，其图象都是连续的曲线）四.基础训练：1.函数8)(3-=x x f 的零点是2.已知定义在R 上的函数)(x f 与)(x g ，若)(x f 的零点是1a 和2a ，)(x g 的零点是2a 和3a ，并且1a ，2a ，3a 是互异的，则“{}0)(=∈x f x x ”是“{}0)()(=∈x g x f x x ”的 条件。

3.给出以下三个结论：○1“0”一定是奇函数的一个零点；○2单调函数有且仅有一个零点；○3周期函数一定有无穷多个零点。

其中正确的结论共有 个。

课题 函数与方程思想 总课时数 10课型复习课 编定人学习目标 知识 目标 掌握基本初等函数的具体特性，借助函数的性质解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题． 能力 目标 通过函数与方程思想的应用，培养学生灵活运用数学知识、思想和方法提出问题、分析问题和解决问题的能力． 情感 目标 通过学习培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的自主探究学习习惯，增强合作意识，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神，构建民主和谐的课堂氛围．重点 函数与方程思想的综合应用．难点 挖掘题目中的隐含条件，综合灵活应用函数与方程思想解题．教学方法自主探究、学案导学 教学手段 多媒体辅助教学 教 学 过 程师 生 活 动一、知识构建1．函数与方程思想函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题解决． 方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去转化问题，使问题解决． 注意：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y ＝0通过方程进行研究． 2．命题趋势 函数与方程思想贯穿于整个高中教学中，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多，在选择题和填空题中考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查． 3．综合应用函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；数列问题，都可以看成n 的函数；解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决． 方程思想的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究；（4）构造方程求解． 二、典例分析 例1．（福建德化一中2008理）若关于x 的方程2210x kx +-=的两根12x x 、满足12102,x x -≤<<<则k 的取值范围是___________．师生共同回顾相关知识． 3分钟二次函数与零点是高考重点内容，要学会如何判断区间根的分布．分析：研究二次方程的实根分布问题如何转化为二次函数问题？怎么结合二次函数的图像解出k 的取值范围？变式：（2009全国理）设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <，求a 的取值范围。

2.7函数与方程【知识要点】1、 函数形如y=f （x ）=2ax bx c ++，方程形如：2ax bx c ++=0 ；所以我们把函数f （x ）=0的解叫做方程2ax bx c ++=0的根。

一般地，方程f （x ）=0的实数根又叫做y=f （x ）的零点；以二次函数f （x ）=2ax bx c ++为例说明：2、 零点：对于在区间（a ，b ）上连续的函数f （x ），若存在f （a ）·f （b ）< 0，那么 一定存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =成立。

（注意是存在，不是唯一）【解题方法】一、求零点1、紧抓定义，对于在区间（a ，b ）上连续的函数f （x ），若存在f （a ）·f （b ）< 0，那么，一定存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =2、 对于求零点的此类题目，我们都可以采用数形结合的方法来解题，具体到题目，我们可以通过题目的已知，大致画出函数的草图，通过图象更直观地去判断。

[数形结合:数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

]【知识应用】【J 】例1、求证：一元二次方程25310xx +-=有两个不相等的实数根。

证法1：已知一元二次方程，∆=234*5*(1)290--=>∴方程25310x x +-=有两个不相等的实数根。

证法2： 设f （x ）=2531x x +-由已知a=5>0，二次函数开口向上，且知f （0）=-1<0， ∴ f （x ）=2531x x +-的图象与x 轴有两个不同的交点，即方程25310x x +-=有两个不相等的实数根。

第课时方程的根与函数的零点（）编制：刘泉清审查：黄小红年代一、【课程要求】明确“方程的根”与“函数的零点”的亲密联系，学会联合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点 .二、【教课过程】（一）【课前自学】（二）【新课导入】问题：填补下表：方程x22x 3 0函数 f ( x)x22x 函数图像方程的根函数的图像与轴的交点（三）【典例剖析】【例】求函数 f ( x) lg( x1) 的零点姓名班次．函数 y f (x) 的零点就是 f ( x) 的，也是 y f ( x) 图象与轴交点的．函数 f (x)x22x 3的零点是.x22x 1 0x22x 30 3足以下条件，务实数 a 的取值范围;（）函数有两个零点？（）函数有三个零点？（）函数有四个零点？【例】若函数 y x22x 3 a ，分别满． (),()．．函数 f ( x)2x b的零点为，则f ( x) x b 的零点是（四）【合作研究】．若 y mx2x 1 只有一个零点，求 m 的已知对于的方程 x22x m 1 0 ，如有值。

两个实根，且一个根比大，一个根比小，求实数的范围．判断函数y x 1 2 的零点个数.学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。

但我们发现自己的知识在慢慢的增加，从哑哑学语的婴儿到无所不可以的青年时，这类巧妙而巨大的变化怎能不让我们感觉骄傲而骄傲呢？当我们在学习中碰到困难而困难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种（五）【讲堂反省】无与伦比的感觉又有谁能表达出来呢？所以学习更是一件快乐的事情，只需我们用另一种心态去领会，就会发现有学习的日子真好！假如你热爱念书，那你就会从书本中获得灵魂的安慰；从书中找到生活的楷模；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不停地发现自己，提高自己，进而超越自己。

明日会更好，相信自己没错的！我们必定要说踊跃向上的话。

3・1函数与方程新人教A版必修1优秀教案第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方而.学生学习函数的应用,目的就是利用C有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方稈这一节屮课木从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方稈的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活,从生活屮学习数学，使数学在社会生活屮得到应用和提高，让学生体会到数学是有川的，从而培养学生的学习兴趣f数学建模”也是高考考杏的重点.木章还是数学思想方法的载体，学生在学习屮会经常用到“函数方稈思想数形结合思想杠转化思想",从而提高H己的数学能力.因此应从三个方血把握木章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律. 木章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.13.1.1方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应川，与其他数学内容有着有机联系.课木选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图彖与x轴的交点的横坐标Z间的关系作为木节内容的入口，貝意图是让学生从熟悉的环境屮发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.木节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；木节体现的数学思想是:“数形结合”思想和“转化”思想.木节充分体现了函数图象和性质的应用.1大I此，把握课木要从三个方面入手：新I口知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，木节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方稈的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方稈根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今示学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过木节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图彖与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1・（情1景导入）据新华社体冇记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过稈（领先则喜，落后即悲）.请问:整场足球比赛岀现几次“比分相同''的时段?学生思考或讨论回答：三次:⑴开场;⑵由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分”时段. 教师点拨:足球比赛有“落后'”领先叫匕分相同”,函数值有“负正”“零",函数图象与足球比赛一样跌宕起伏•由此导入课题，为后面学习埋好伏笔.思路2・（事例导入）（多媒体动呦演示）•枚炮弹从地血发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,|nJ炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0,求方程20t-5t2=0的根，得t=4秒.如图3-1-1-1.思路3・（肓接导入）教师岚接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程X2-2X-3=0的根,画函数y=x2-2x-3的图象.②求方稈X2-2X+1=0的根，画函数y=x2・2x+l的图象.③求方程X2-2X+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图彖与x轴交点的个数，它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再冋答，经教师提示、点拨，对I叫答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：问题①:先求方稈的两个根，找出抛物线的顶点側出二次函数的图象（图3-I-1-2）. 问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上（图3-1-1-3）.问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是曲二次函数图彖的关键(图 3-1-1-4).问题④:方稈的根与函数的图象和x 轴交点的横坐标都是实数. 问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？ 问题⑥:函数的零点是一个实数. 问题⑦:可以利用“转化思想，问题⑧:足球比赛屮从落麻到领先是否一定经过“平分"？由此能占找出判断函数是否有零点 的方法？函数图彖穿过x 轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为・1, 3. ② 方程的实数根为1. ③ 方程没有实数根.④ 方程的根就是函数的图象与x 轴交点的横坐标.⑤ 一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x 轴交点的个数，可以用判别式来判定一元 二次方稈根的个数a 当△>()时，一元二次方稈有两个不等的实根X|、X2,相应的二次函数 的图彖与X 轴有两个交点(X],0)、(X2,0)；b.当A=0时，一元二次方程有两个相等的实根XLX2, 相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点(x h O);c.当△<()时，一元二次方程没有实根，相 应的二次函数的图象与x 轴没有交点.⑥ 一般地，对于函数y=f(x),我们把使f(x)=O 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. ⑦ 方程f(x)=O 有实根O 函数y=f(x)的图象与x 轴有交点O 函数y=f(x)有零点.⑧ 观察二次函数f!x)=x 2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x 2-2x-3在区间[-2,1] 上有零点.计算f (・2)与f(l)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间[2,4]同样如此.可以发现，f(-2)f(l)<0,函数y=x 2-2x-3在区间(・2, 1)内有零点x=-l,它是方稈 X 2-2X -3=0的一个根.同样地,f(2)f(4)<0,函数y=x 2-2x-3在(2, 4)内有零点x=3,它是方程 X 2-2X -3=0的另一个根.应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点； (2) 函数有三个零点； (3) 函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为 函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数不易讨论,所以可转化为方程|x 2-2x-3|-a=0根的个数来讨论, 即转化为方程|x 2-2x-3|=a 的根的个数问题，再转化为函数f(x)=|x 2-2x-3|与函数f(x)=a 交点个数 问题.解：设f(x)=|x 2-2x-3|和f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5),它们交点的个数，即 函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数.y\\ /3 ;/ 2I1 1 1 1■ 一 2-10 1 2 x-1图 3-1-1-4图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.⑶函数有四个零点，则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-l|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图彖(图3-1-1-6),函数y=|x-l|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-l|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2X2-3X-2=0的判别式23‘+4><2><2=25>0,所以一元二次方程2X2-3X-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2X2-3X-2=0可化为(2x+l)(x・2)=0,所以一元二次方稈2X2-3X-2=0有两个不相等的实根X|=2,x2=- —.2所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图彖是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.点评：判断函数零点个数可以结合函数的图彖.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x的方程3x'・5x+a=0的一根在(・2, 0)内,另一个根在(1, 3)内,求a的取值范围. 活动：学生白己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生屮巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大，能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象屮抽出与方稈的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察 分析.解：设f(x)=3x 2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线，如图3-1-1-8：因为f(x)=O 的两根分别在区间(・2, 0)、(1, 3)内,思路2例]若方程2农％匸0在(0, 1)内有解,求实数a 的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再冋答.教师根据实际，可以提示引导: ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.② 用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. ③ 有两种情况：a.a=0;b.a^0,A>0.解:令 f(x)=2ax 2-x-l,⑴当方程2ax 2-x-l=0在(0, 1)内恰有一个解时，f(0)-f(l)<0或妙0且△=(), 由 R0)・f(l)v0,得(・l)(2a ・2)<0,所以 a>l .由 20,得 l+8a=0,a=--8・•・方程为- -x 2-x-l= 0,即x=-2电(0,1)(舍却•综上可得a>l. 4 (2)当方程2ax2・x ・l=0在(0, 1)内有两个解时,则/(-2) > 0,22 + a > 0,所以 /(0)< 0, / ⑴ < 0,/(3) > °，即"V °’故所求a 的取值范囤是-12<a<0. —2 + a < 0,12 + a 〉0. 变式训练关于x 的方稈x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2,求实数a 的収值范序I. 解：设f(x)=x 2-ax+a 2-7,图彖为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9). 因为方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2, 所以函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的零点一个大于2,另一个小于2.即函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的图象与x 轴的两个交点在点(2, 0)的两侧. 只需 fi[2)<0,即 4・2a+a 「7<0,所以-l<a<3.a > 0, /（0） > 0, /（I ） > 0, 0v 丄<1,或<4a /（丄）< 0 4aa < 0, /（0）< o, /（l ）<0, 0<丄<1,4a /（丄）> 0, 4a容易解得实数a 不存在. 综合⑴⑵，知a>l.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1,求实数a 的取值范围.解：⑴当a=0时,x=0满足题意.(2)当 a 工0 时,设"x)=ax'+3x+4a. 方法一：若方稈ax 2+3x+4a=0的根都小于1,贝9——< a4 4a > 0或a < -1.5, ,\o<a <2.、 ~ 4 a > 0或a < -0.6,△ = 9-16/ >0,_±<!2a ' 妙⑴> 0,综上⑴⑵M 0<a< -.4方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1,则A = 9 — 16cr > 0, v 兀I + x 2 < 2,（兀[一 1）（兀2 一 1）> °， △ = 9 — 16d~ > 0,X ）+ x 2 < 2,%!x 2 -（X] +X ・2）+ 1 > 0,A = 9-16«2>0,3 3 * --- V 2,解得0<aW —.a44 + - + 1>0,综上⑴⑵，得0<a< -.4点评：有两种方法：(1)结合函数图彖利用函数符号列不等式纽.. (2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例 2 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=O 的两个根为 x r x?,满足 0<X|<x 2<—. a ⑴当 XW(O,X])时，求证:x<f(x)<xi ；⑵设函数f(x)的图彖关于肓线X=Xo对称，求证：x0<—.2活动：根据方稈与函数关系，学生先思考或讨论后再I川答，教师点拨、提示并及时评价学生. 因为方程f(x)-x=o的两个根为X|、X2,可考虑把f(x)・x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明：(1)VX|> X2是方程f(x)-x=O的两个根，且0<X|<X2<—,a・••当xW(O,xJ时,有f(x)-x=a(x-x 1 )(x-x2)=a(x l-x)(x2-x)>0,即f(x)-x>0.又fi(x)-x=a(xrx)(x2-x)<a- — (xi-x)=xi-x,即fi[x)-x<x l-x,故O<fi[x)-x<xi-x,即x<fi(x)<X|.a(2) Vf(x)-x=ax2+(b-l)x+c,K f(x)-x=O 的两个根为x【、x2,・・・二次函数f(x)-x的对称轴为x= 土士2 = 一1.・・・玉=—2 +丄—乞.22a 2 2a 2a 2又由已知，W x()=-—,・*. — =x()+ ——土.2a 2 2a 2又x2< ————土>0.故—=x()+ 丄一土>x(),即x0< —.a la 2 2 2a 2 2变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3・x)=f(3+x),且其两零点分别为Xi、x?,求X|+x2.解：T对任意x都有f(3-x)=f(3+x), /.函数f(x)的图象上有两点(3・x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.・・・二次函数f(x)的对称轴为x=3.・・・xi、X2为二次函数f(x)的两个零点，.*.X|+X2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3, /.3(xi+x2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为xi、x2, 则二次函数解析式为f(x)=a(x-xi)(x-x2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系忌二次函数f(X)的对称轴为x=^.总二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.知能训练讨论函数y=e x+4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出H己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.⑴利川f(a)f(b)<0及函数的单调性.⑵作出y=e x和y=4-4x的图象，把函数y=e'+4x-4的零点的个数转化为方程e x=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图彖交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x, f(x)的对应值表：由表和图可知，f(0)<0,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间(0,1)内有零点，由于函数在定义域(~,炖)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出尸h和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：⑴解方程;⑵呦图彖;(3)利用fl：a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测，理19已知mWR,设P:x】和x?是方x2 3-ax-2=0的两个根,4不等式|m-5|<|x i-x2|Xt任意实数aG ［1, 2］恒成立;Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+ —有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范I韦I.解：由题意知xi+x2=a,X|X2=-2, |xi-x2|= + X2)2-4X(X2 = Va2 + 8.当aw ［1,2］ H、J,Ja： +8的最小值为3.要使|m-5|<|x r x2|^j任意实数泻［1, 2］恒成立,只需|m—5|<3,B|J 2<m<8.4 4由已知得Q 'I l:f(x)=3x2+2mx+m+-的判别式△=4n?・12(m+—)=4n?・12m・16>0,得m<・l 或m>4.f2 < m < 8,综上，要使P和Q同时成立，只需4 / 解得实数m的取值范围是(4,8］ •［m <一 1 或加 > 4,2.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a ,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再冋答•利用函数图象进行探索分析：①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意白然数.下血讨论在区间［-3,31上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).2 可能有一个零点如图(图3-1-1-12).3 可能有两个零点如图(图3-1-1-13).(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(nGN)个零点,图略.点评：在区间[-3,31 ±函数零点个数可以是任意白然数.借助计算机可以验证同学们的判断, 激发学生学习兴趣.课堂小结木节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本Pgs练习1.设计感想木节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴木节主题，为示面讲解埠好了伏笔•因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以木节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方稈的根的问题•木节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高•另外，木节目的明确、层次分明、难度适屮，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢.第2课时方程的根与函数的零点复习提出问题①已知函数f(x)=mx2+mx+l没有零点,求实数m的范围.②证明函数f(x)=x2+6x4-10没有零点.③已知函数fl；x)=2mx2-x+ — m有一个零点，求实数m的范围.④已知函数fi[x)=2(m+l)x2+4mx+2m-l有两个零点，求实数m的范围.活动：先让学生动手做题示再冋答，经教师提示、点拨，对冋答正确的学生及时表扬，对冋答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为A=m2-4m<0或m=0,二0Wm<4.②因为△=36・40二4<0,・・・没有零点.(3)A= 1 -4m2=0 或m=0, m=—或m= 一丄或m=0._ 2 2④厶=16m2-8(m+1 )(2m-1 )=-8m+8>0 且2(m+1 )#),/. m< 1 且m/-l.导入新课思路1・(情景导入)歌中唱到:再“穿过,，一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过、轴的？学生思考或讨论冋答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.思路2・(直接导入)教师玄接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究①如果函数相应的方稈不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点？②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再冋答，经教师提不、点拨，对冋答正确的学生及时表扬，对冋答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果*①在闭区间［a,b］上,若f(a)f(b)<0, y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在cW(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根. 我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零占”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示：因为方稈lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易向出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0,及函数单调性.解：利用计算机作出x, f(x)的对应值表：由表和图3-1-1-15可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0,这说明賈x)在区间(2,3)内有零点.由于函变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,0为f(l)=-7,f(10)=3,Af(l)fi［10)<0.・•・函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.Vy=lgx为增函数,y=x-8是增函数,・•・函数fi［x)=lgx+x-8是增函数.・•・函数fi［x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:⑴利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.X— 2 例2已知函数f(x)=3x+-——，x + \(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.Y— 2解：⑴设g(x)=3\h(x)=-——-,x + 1作出它们的图象(图3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.X— 2 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3"+ —有且仅有一个零点.兀+ 1图3-1-1-17(2)因为f(0)=・l,f(l)=2.5,所以零点泻(0,1). 变式训练x图3-1-1-18由表和图3-1-M8可知，f(O)<O,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(8,+g)内是增函数.设X b X2^ (-00,4-00),且X02,nx1)-fi[x2)=2X1 +4X|・4・(2 勺+4X2-4)=2V,-2X2 +4(x r x2)=2 V2 (2X, -x2-l)+4(xrx2).Vxi<x2,・•.X|-X2<0,2V,・X2・l<0,2勺>0..•.f(Xi)-f(X2)<0.函数在定义域(4,+8)内是增函数. 则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x!-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-l-l-19,V f(-2)=2,f(0)=-1 卫2)=2,・•・ f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.・・・函数y=2|x!-2有两个零点.要证恰有两个零点，需证函数y=2|x|-2在(0, +©上为单调的，函数y=2|x|-2在(s 0)上为单调的. •・•在(0, +oo)上，函数y=2x|-2可化为y=2x-l, 下面证明f(x)=2x-l在(0, +oo)上为增函数.证明：设X],X2为(0, +oo)上任意两实数，且0<X]<x2,•・・ f(x!)-f(X2)=2 x, -2-(2 X2 -2)=2 x, -2 紐=2 七(2 x, -x2-l),V 0<X]<x2, /.X|-x产0,2Al・x产1./. 2 V2 >0,2 v,・X2・l<0.：.2X2 (2 v, -x2-l)<0.・・・f(xJ・f(X2)<0.・・・f(X|)<fi[X2).・•・函数y=2|x-2在(0, p)上为增函数. 同理可证函数y=2|x|-2在(s, 0)上为减函数.・•・函数y=2|x-2恰有两个零点.变式训练证明函数f(x)=x+ — -3在(0, +8)上恰有两个零点.证明:Vf(|)=|,f(l)=-l,f(3)=|,1/.f(-)f(l)<0,f(l)fi[3)<0.・・・函数f(x)=x+--3在(0, +oo)上有两个零点.X要证恰有两个零点，需证函数f(x)=x+ — -3在(0, 1)上为单调的,函数f(x)=x4- — -3在(1, +cc)上为单调的. X X证明：设X[,X2为(0, 1)上的任意两实数,且X1<X2.•・• f(X])・f(X2)=X|+ —-3-(X2+ 丄-3)=(X|-X2)+( ---- )=(X|・X2)+ 土— =(X r X2)( —-),x^x2x{x2— Xi X|X?— 1T 0<X|<x2<l, Ax r X2<0, ------ ------ <0. /• (x r x2)( ------ ---- )>0.x t x2x,x2.•.f(X!)-f(X2)>0.・•・函数f(x)=x+--3在(0, 1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+丄・3在(1, +8)上为增函数.X・•・函数f(x)=x+-1- -3在(0, +00)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).x点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基木初等函数可以借助函数图象和方稈来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f(x)=ax3+bx24-cx4-d有三个零点,分别是0、1、2,如图3-1-1-21,求证:b<0.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a、c表示b.方法二：用参数a表示函数.证法一：因为f(0)=f(l)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.… b 2所以a= ---- £= ------ b.3 3b r b所以f(x)= ---- x(x-3x+2)= ------- x(x-1 )(x-2).当x<0 时，f(x)<0,所以b<0.证法二因为f(0)=f(l)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-l)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=・3a.所以b<0.变式训练函数y=ax2-2bx的一个零点为1,求函数y=bx2-ax的零点. 答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.点评：如果题li给出函数的零点，这涉及到零点的应川问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. ⑵利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间?()A.(4,5)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在[・2,1]上存在零点，则实数m的取值范围是()A. [--4]B.(・®・2] U [l,+oo)2C. L-1,2]D.(-2,l)3.已知函数f(x)=—3x> — 6x +1,有如下对应值表：函数y=f(x)在哪儿个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0, 1),因为f(0)<l)<0.点评：结合函数图彖性质判断函数零点所在区间是木节重点，丿应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范弗I? 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：⑴观察函数的图象计算f(l)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f(x)=lnx+2x+3有一个零点xe(l,2).请同学们白己探究能否进一步缩小根所在范I韦I?借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方稈思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本卩88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过"是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别，并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理•木节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以木节是数与形的完美统一.3丄2用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这Z前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难•木节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程屮要让学生体会到人类在方稈求解屮的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方稈的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.冋忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（情景导入）师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50 元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半; 如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前血的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活屮我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3 500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样毎隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测.师：生3的冋答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）. 思路2・（事例导入）有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好•（让同学们白由发言，找出最好的办法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.笫三次，两端备放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程X2-X-2=0.③解方稈x '-2x~・x+2=0.④解方程(X L2)(X L3X+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2, 3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取屮点''后，怎样判断所在零点的区间？⑦什么叫二分法？⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2, 3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近彳以值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似値的特点.讨论结果：①x=&②x=・l,x=2.③x=・l,x=l,x=2.④x=-近,x= V2 ,x= 1 ,x=2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值•为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.(“取中点”，一般地,。

以下是⽆忧考为⼤家整理的关于《⾼⼀数学必修⼀全册教案(⼈教A版)》，供⼤家学习参考！4、2⼀元⼆次⽅程根的问题4、2、1 ⼀元⼆次⽅程根的分布（1）第⼀部分⾛进复习【复习】1、⼀元⼆次⽅程的解法（1）因式分解法例如：解⽅程（1），（2）(2)求根公式法例如：解⽅程（1），（2）2、⼀元⼆次⽅程根的判别式对⼀元⼆次⽅程当△= 时，⽆实数根当△= 时，有两个相等实根。

当△= 时，有两个不等实根。

3、⼀元⼆次⽅程根与系数的关系（韦达定理）设、是⼀元⼆次⽅程的两个根，则，4、⼆次函数⼆次函数的性质（1）当时，图象开⼝向上，，当时，图象开⼝向下，，（2）⼆次函数图象是抛物线，顶点为，，对称轴为（3）当时，若，随的增⼤⽽增⼤，若，随的增⼤⽽减⼩。

当时，若，随的增⼤⽽减⼩，若，随的增⼤⽽增⼤。

5、⼀元⼆次不等式应会解不等式：（1）（2）（3）（4）（5）第⼆部分⾛进课堂【探索新知】（⼀）⼀元⼆次⽅程根的根有正有负例1．已知⽅程，分别在下列情况下求实数的取值范围。

①⽆实数根②有解③有两个不等的实根④⽆正根⑤只有⼀个正根⑥有两个不等正根⑦有两个不等的⾮负根⑧有⼀个正根⼀个负根，且负根的绝对值⼤⑨⾄少有⼀个正根⑩⾄多有⼀个正根（⼆）⼀元⼆次⽅程的根控制在⼀个区间内例2已知⽅程，分别在下列情况下求参数的取值范围。

①根都在（，4）内②根都⼤于例3已知⽅程，分别在下列情况下求参数的取值范围。

①在[-1，2]内⽆解②在[-1，2]内只有⼀个解反思总结:第三部分⾛向课外【课后作业】1．已知A= ，，若A∩ =φ，求实数的取值范围。

2．当为何值时，⽅程的根（1）在，内；（2）都⼤于2 ？3．⽅程在，有实数解，求实数的取值范围。

4、2、2⼀元⼆次⽅程根的分布（2）第⼀部分⾛进复习【复习】1、⼀元⼆次⽅程根的分布问题①⽆正根②只有⼀个正根③有两个不等正根④有两个不等的⾮负根⑤有⼀个正根⼀个负根，且负根的绝对值⼤⑥⾄少有⼀个正根⑦⾄多有⼀个正根⑧根都在（，4）内⑨根都⼤于2、⼀元⼆次⽅程根在⼀个区间内的问题①在[-1，2]内⽆解②在[-1，2]内只有⼀个解③在[-1，2]内有两个不同的解④在[-1，2]内有解第⼆部分⾛进课堂【探索新知】（⼀）先求补集（补集思想）例1、已知下列三个⽅程：，，⾄少有⼀个⽅程有实根，求实数的取值范围。

【考纲要求】1．结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【命题规律】函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题。

【典型高考试题变式】 (一）判断零点所在的区间例1。

【2014北京卷】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ) A.()0,1 B.()1,2 C 。

()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键。

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断;当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．【变式1】【改变例题中的函数式】函数的零点位于下列哪个区间（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵函数，∴f （1)=1，f （2）=,∴f(1）f （2）＜0，再根据函数零点的判定定理可得函数的零点一定位于区间(1，2），故选B.【变式2】【改变例题中的结论】已知函数()26log f x x x=-的零点的区间是(,1)(Z)k k k +∈，则k 的值为__________。

【答案】3【解析】作图可知函数()f x 的零点所在的区间是(3,4)，所以3k =.(二)判断函数零点的个数例2.【2014福建卷】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________。

【答案】2【解析】令220x -=得，2x =±，只有2x =-符合题意；令26ln 0x x -+=得，62ln x x -=，在同一坐标系内，画出62,ln y x y x =-=的图象,观察知交点有1个，所以零点个数是2.学&科网【名师点睛】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【变式1】【改变例题中的函数式】函数则方程的根的个数是A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个 【答案】B【变式2】【改变例题的结论】函数22,0()1ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点之和为__________。

函数与方程班级：姓名：学号：【学习目标】1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法3体会高中数学中数形结合的思想。

4以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】函数与方程的相互转化【学习难点】函数与方程的相互转化[自主学习]1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()f xg x=图象交点的横坐标就是方程()()=的解；反之，要求y f x=与()y g x方程()()=与()y g x=图象交点的横坐标．y f xf xg x=的解，也只要求函数()3．二分法求方程的近似解1.若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是（相同／互异）2.用二分法求函数零点近似值步骤.1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；2.求区间(a,b)的中点c；3.计算f(c)；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)· f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );（3）若f(c)· f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ).4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2——4．口诀定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断[典型例析]例1（1）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围（2）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 （3）当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是_____________例2已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.变式训练1：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>.（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围.例3对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；[当堂检测]1. 1. 用二分法求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点5.20=x ，那么下一个有根区间是______________。

第一节函数与方程第二课时教学设计(一)整体设计教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．设计理念倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合．教学目标通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．教学重点与难点教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学过程(一)创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆.10 km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法查找的角度解决问题．学情预设学生独立思考，可能出现以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下的一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C检查．用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD 段中点E 来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)．在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)．设计意图从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．(二)师生探究，构建新知问题2：假设电话线故障点大概在函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x 轴相交，即方程f (x )＝0在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础)．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．2．我们已经知道，函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内有零点，且f (2)<0，f (3)>0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究．(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性)生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值．其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围．但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便．因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．引导学生分析理解求区间(a ，b )的中点的方法x ＝a ＋b 2. 合作探究：(学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．)步骤一：取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈－0.084<0.由f (3)>0，得知f (2.5)·f (3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．步骤二：取区间(2.5,3)的中点 2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512>0.因为f (2.5)·f (2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．结论：由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．学情预设学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，故它的零点在区间(2,3)内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长很快得出表3—2，找出零点的大概位置．设计意图从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意引导学生分化二分法的定义：一是二分法的适用范围，即函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；二是用二分法求函数的零点近似值的步骤．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；2．求区间(a，b)的中点c；3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，b)〕；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕；4．判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.学情预设学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数f(x)＝ln x＋2x－6的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有a、b、x0的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．设计意图以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．(三)例题剖析，巩固新知例借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐．此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法．思考问题1：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题2：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流.反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.设计意图及时巩固二分法的解题步骤，让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法．解题过程中也起到了温故转化思想的作用．(四)尝试练习，检验成果1．下列函数中能用二分法求零点的是( )设计意图让学生明确二分法的适用范围．2．用二分法求图象是连续不断的函数y＝f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定设计意图让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法．3．借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确度0.1)设计意图进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解．答案：略(五)课堂小结，回顾反思学生归纳，互相补充，老师总结：1．理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断的；2．用二分法求方程的近似解的步骤．设计意图帮助学生梳理知识，形成完整的知识结构．同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化．(六)课外作业1．[书面作业]课本习题3.1A组3、4、5；2．[知识链接]本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．3．[课外思考]：如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处，要不要把水泥板全部掀起？板书设计3．1.2 用二分法求方程的近似解1．二分法的定义2．用二分法求函数的零点近似值的步骤3．用二分法求方程的近似解教学反思这节课既是一堂新课又是一堂探究课．整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习热情，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构．整个教学设计中，特别注重以下几个方面：(1)重视学生的学习体验，突出他们的主体地位．训练了他们用从特殊到一般，再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力．不断加强他们的转化类比思想．(2)注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中的案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决现实生活中的问题．(3)注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣．(4)注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高．。

第一节函数与方程第五课时教学设计(四)整体设计教材分析本节课选自?普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)?第三章用二分法求方程近似解．由于在实际问题解决中，列出方程可能相当复杂．设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根表达式，却因比拟复杂，难以用它来计算根近似值．所以，当根存在时，研究求根数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值实用且根本方法——二分法．教材在学生了解了函数零点与方程根联系根底上，从实例入手介绍了求方程近似解二分法．学生不难理解函数零点及其求法，而困难地方在于使用二分法求函数零点计算过程相当繁杂．在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索与解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂计算、理解数学概念、探索数学结论．学情分析学生在学习了方程根与函数零点后，对于不能用公式法求根方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数性质找出零点或零点所在区间，从而求出方程根，或者用二分法求出方程近似解．本节课学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵数学模式进展思考与作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式自主学习、探究活动，让学生体验数学发现与创造历程，开拓他们创新意识与“逐步逼近〞数学思想．教学目标知识与技能：通过具体实例理解二分法概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解常用方法，并从中体会函数与方程之间联系及其在实际问题中应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感态度与价值观：体会数学逼近过程，感受准确与近似相对统一．重点难点重点：通过用二分法求方程近似解，体会函数零点与方程根之间联系，初步形成用函数观点处理问题意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定准确度方程近似解．课前准备1．学生要准备能进展较为复杂运算计算器．2．课前学习材料：分治算法．分治是实际生活中使用得比拟广泛一种解决问题方法．在程序设计中，分治算法设计思想是：将一个规模比拟大、难以直接解决问题，分割成一些规模较小子问题，这些子问题互相独立且与原问题一样；然后将这些子问题各个击破，分而治之．值得注意是，分治算法设计思想很自然地导致了递归算法应用．它一般设计模式如下：if 问题规模小到可以直接解决then 直接解决该问题else 将问题分解成k个规模较小子问题end iffor i＝1 to k递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题next i将各子问题解合并为原问题解．设计意图从学生感兴趣计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法思想与方法，为后面引出二分法思想与方法做铺垫．教学环节创设情境教学过程一、创设情境，引出课题问题：现有大小与形状完全一样金属小球16个，其中有一个是实心，其余都是空心．用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少)让学生思考、讨论，并得出结论．学生可能会得出这样结论：先将这16个小球分成个数相等两局部，将这两局部放在天平上称，实心球在较重这局部球中，再将较重这局部球分成个数相等两局部，将这两局部放在天平上称，实心球又在较重这局部球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球．学生也有可能将小球分成一样四局部，再两局部两局部地去称，也可得到结果，等等．教师根据学生得出方法进展总结．设计意图以实际问题为载体，通过学生亲自产生思维方法体会二分法查找思想与方法．二、组织探究，导出算法1．问题：通过上一节课学习，我们知道函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点(如下列图所示)．那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点近似值吗？设计意图上面问题有着承上启下作用，它既是对前面一节课结果进一步深入，也提醒了本节课所要解决问题．2．将学生分成几组进展合作学习，并要求学生将自己求解过程进展记录、归纳．设计意图由于这一任务具有一定难度，问题又具有一定挑战性，有利于激发学生主动性与小组学习活动激情及发挥学习共同体创造性，因此采用了小组合作学习方式进展教学．这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，表达了学生自主探究学习方式．3．通过学生合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)＝ln x ＋2x－6零点过程，可用下表反映：812 5<0.01，所以我们可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根近似值．4．给定准确度ε，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值根本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；(2)求区间(a，b)中点x1；(3)计算f(x1)：①假设f(x1)＝0，那么x1就是函数零点；②假设f(a)·f(x1)<0，那么令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；③假设f(x1)·f(b)<0，那么令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；(4)判断是否到达精度ε；即假设|a－b|<ε，那么得到零点近似值a(或b)；否那么重复步骤2～4.设计意图从特殊到一般，提醒数学通常发现过程，给学生“数学创造〞体验．这种教学方式易于学生承受与形成二分法算法思想与计算原理．三、探索发现，寻找内涵1．教师：通过前面探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法〞、“二分法〞、“中点法〞等，教师最后进展评析)设计意图从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义内涵，这也是新课程提倡教学理念之一．2．问题：是不是所有有零点函数都适合用二分法求零点近似值呢？请同学们先看下面几个函数图象再答复．图一图二图三学生通过上图比拟与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点近似值，因此要用二分法求零点近似值函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0.这时教师对二分法定义进展完善：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值方法叫做二分法．设计意图通过学生自己观察、比拟、分析，深化学生对定义认识与理解，进一步挖掘二分法内涵，使学生对二分法算法思想与计算原理有了新感悟．3．教师进一步指出，从“数〞角度看，函数零点即是使f(x)＝0实数；从“形〞角度看，函数零点即是函数f(x)图象与x轴交点横坐标．假设函数f(x)图象在x＝x0处与x轴相切，那么零点x0通常称为不变号零点；假设函数f(x)图象在x＝x0处与x轴相交，那么零点x0通常称为变号零点．二分法条件f(a)·f(b)<0说明用二分法求函数近似零点都是指变号零点．设计意图引导学生从“数〞与“形〞两个角度去体会函数零点意义，掌握常见函数零点求法，进一步明确二分法适用范围．四、尝试练习，体会应用1．例题：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7近似解．(准确度0.1)分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在区间，然后利用二分法逐步计算解答．注意：(1)第一步确定零点所在大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1区间．(2)建议列表样式如下：最后一步．(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点近似值，注意标准方法、步骤与书写格式．学生要根据二分法思想与步骤独立完成思考，并进展交流、讨论、评析．)设计意图该例题是对这节课前面所学知识与数学思想综合运用与稳固，解题过程表达了数学表达简洁性与数学思维严谨性，也表达了函数思想在解方程中应用．2．学生练习：f(x)＝2＋2x－x2，(1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)解析式；(2)借助计算器或计算机，画出函数g(x)图象；(3)求出函数g(x)零点．(准确到0.1)分析：此题第(1)问是一道代入法复合函数解析式问题，第(2)、(3)问需用本节知识进展解决．另外在求g(x)零点时，不妨用函数g(x)奇偶性，只需用二分法求出其中一个零点，另一个便知道了．答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4；(2)(3)±1.7.设计意图利用课堂练习稳固所学知识内容、数学思想、数学方法，以求到达教学目标．本环节以个别指导为主，表达面对全体学生课改理念．五、小结体会，教师归纳以学生发言形式对本堂课进展小结，教师归纳强调：1．二分法求方程近似解，要求函数f(x)在某一区间[a，b]内连续，并且在此区间端点函数值异号．2．用二分法不能求二次重根．3．在学习中要注意运用函数与方程思想、数形结合思想与“逐步逼近〞数学思想．设计意图关注学生学习主动性，培养学生表达交流数学能力．学生课堂小结既是对一节课简单回忆与梳理，也是对所学内容再次稳固．六、作业回馈，稳固知识1．教材习题3.1(A组)第3～6题、(B组)第4题．2．提高作业：(1)函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.①m为何值时，函数图象与x轴有两个交点？②如果函数一个零点在原点，求m值．(2)用二分法求33近似值(准确到0.01)．设计意图1为稳固作业，2为课外拓展作业，培养学生探究、创造能力．七、课外活动，培养能力查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程解研究史料，追寻阿贝尔(Abel)与伽罗瓦(Galois)．设计意图增强探索精神，培养创新意识．相关链接利用函数图象解方程与函数问题1．求方程x＋lg x＝3近似解．求某些方程解，不容易通过笔算来获得，可以通过函数图象，但往往不太容易直接画图，而且画出图象也不准确，此时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂函数都可以很快在图形计算器上画出)，对于我们来说，方法是更重要．第一步：按Y＝键，输入函数：y1＝lg x，y2＝3－x.第二步：按Graph键，画出两个函数图象，如下列图所示：第三步：按F5键：intersection(求交点)，屏幕会出现对话框：选择第一条曲线、第二条曲线、下限、上限之后，屏幕上会给出交点值：x c：2.587 17，y c：0.412 826，那么x＝2.587 17即为方程x＋lg x＝3近似解．小结：利用函数图象交点解方程是一个重要方法，而图形计算器为我们提供了一个强有力工具．2．一片树林中现有木材30 000米3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y米3，写出x、y间函数关系式，并且利用图象，求约经过多少年，木材可以增加到40 000米3？(结果保存一位有效数字)画出函数图象后，可以通过用Trace键移动光标，寻找当y＝40 000时x值；也可再作函数y2＝40 000图象，用intersection求图象交点即可．。

石榴高级中学高三数学科教学案课 题：函数与方程主备人 审核人： 上课时间：考点要求：1． 了解函数零点的概念以及零点与方程根的关系；2． 提高数形结合的能力自主学习：1．函数 8)(3-=x x f 的零点是2．已知定义在Ｒ上的函数)(x f 与)(x g ，若)(x f 得零点为1a 和2a ，)(x g 的零点为2a 和3a ，并且321,,a a a 是互异的,则“}{0)(=∈x f x x ”是“}{0)()(=∈x g x f x x ”的 条件3．给出以下三个结论：)1(“0”一定是奇函数的一个零点；（2）单调函数有且有只一个零点；（3）周期函数一定有无穷多个零点，其中正确的结论共有 个4．已知函数22)(x x f x -=，则)(x f 的零点共有 个5. 关于x 的方程x x -=3lg 的唯一解在区间)1,(+k k 内（)z k ∈，则k =6. 方程33log x x +=0在区间（)1,31内实数根的个数为合作探究：例1． 判断下列函数在给定的区间上是否存在零点（1）[]8,1,183)(2∈--=x x x x f ； （2）[];2,1,1)(3-∈--=x x x x f （3）[]3,1,)2(log )(2∈-+=x x x x f .例2． 1x 与2x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02=++-c bx ax 得一个根，且21x x ≠，01≠x ，02≠x ，求证：方程022=++c bx x a 有且只有一个根介于1x 与2x 之间。

例3． 设函数)(x f 在R 上满足),7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-，且在闭区间[]7,0上只有0)3()1(==f f(1) 是判断函数)(x f y =的奇偶性；(2) 是求方程0)(=x f 在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论.巩固练习：，1. 设1x ，2x 是实系数方程012=++mx x 的两个实根,且211x x <-<,则实系数m 的取值范围是2. 已知函数)(x f y =满足：对任意R x ∈，均有)6()(x f x f -=．若)(x f y =共有５个相异的零点，则这５个零点之和3. 方程0224=-+x x 的根是4. 关于x 的方程a x lg 11)21(-=有正根，则实数a 的取值范围是。

第一节函数与方程第三课时教学设计（二)错误!教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步,从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手,由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图象和性质来研究方程的解,体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系"；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想,并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣,达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法"进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际,是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子"．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际—-理论—-实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术,采用教师引导—-学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法,使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想,培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法;感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解,根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解,区间长度的缩小．错误!1．教学基本流程图2。