2角的概念的推广2

No. 2 课 题：4.1 角的概念推广（二） 教学目的：1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2．掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：通过复习回顾，使学生进一步理解角的概念，象限角的概念.通过具体的例子，使学生掌握终边在坐标轴上的角和终边不在坐标轴上的角的集合表示以及符号语言的运用.教学过程：一、复习引入：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了3︒ 还有零角 一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3．终边相同的角结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和⑷注意以下四点：(1)Z k ∈(2) α是任意角；(3)0360⋅k 与α之间是“+”号，如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二、讲解新课：例1写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.解：∵ 在0°～360°间，终边在y 轴的正半轴上的角为90°，终边在y 轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y 正半轴、负半轴上所有角分别是：S1={α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z}；S2={α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z}探究：怎么将二者写成统一表达式？∵S1={α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z}={α|α=2k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}；S2={α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z}={α|α=2k ⋅180︒+180︒+90︒,k ∈Z}={α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k ∈Z}；∴终边在y 轴上的角的集合是：S=S1Y S2={α|α=2k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}Y {α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k ∈Z}={α|α=180︒的偶数倍+90︒,k ∈Z}Y {α|α=180︒的奇数倍+90︒,k ∈Z}={α|α=180︒的整数倍+90︒,k ∈Z}={α|α=n ⋅180︒+90︒,n ∈Z}引申：写出所有轴上角的集合{α|α=k ⋅360︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+180︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒,k ∈Z}{α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z}{α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z}{α|α=k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}{α|α=k ⋅90︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅90︒+45︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅45︒, k ∈Z} (最后两个可以根据实际情况处理)例2．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{α|k ⋅360︒<α<k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}；第二象限的角表示为{α|k ⋅360︒+90︒<α<k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}；第三象限的角表示为{α|k ⋅360︒+180︒<α<k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}；第四象限的角表示为{α|k ⋅360︒+270︒<α<k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}；或{α|k ⋅360︒-90︒<α<k ⋅360︒，（k ∈Z ）}例3 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)解：.(1)｛α｜60°＋k ·360°＜α＜255°＋k ·360°，k ∈Z }(2)｛α｜－120°＋k ·360°＜α＜45°＋k ·360°，k ∈Z }例4 已知α是第二象限角，问2α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明解：∵α在第二象限，∴k ⋅360︒+90︒＜α＜k ⋅360︒+180︒，k ∈Z于是， k ⋅180︒+45︒＜2α＜k ⋅180︒+90︒, ∵k ∈Z, ∴k=2n 或k=2n+1 当k=2n 时，n ⋅360︒+45︒＜2α＜n ⋅360︒+90︒, ∴2α在第一象限； 当k=2n+1时，n ⋅360︒+225︒＜2α＜n ⋅360︒+270︒, ∴2α在第三象限； ∴当α在第二象限时，∴2α可能在第一象限，也可能在第三象限类似地，2α可能在第三、四象限或y 轴负半轴上三、课堂练习：1.若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列关系中正确的是( )A.Ａ＝Ｂ＝ＣB.Ａ＝ＢI ＣC.ＡY Ｂ＝ＣD.ＡＢＣ2.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( )A.α＝β＋180°B.α＝β－180°C.α＝－βD.α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ4.终边在第一或第三象限角的集合是 .5.α为第四象限角，则2α在 .6.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.参考答案：1.D2.C3.D4.｛α｜k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z ｝5.第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上6.一 二 三 四四、小结用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）（1）象限角：第一象限的角表示为{α|k ⋅360︒＜α＜k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}；第二象限的角表示为{α|k ⋅360︒+90︒＜α＜k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}；第三象限的角表示为{α|k ⋅360︒+180︒＜α＜k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}；第四象限的角表示为{α|k ⋅360︒+270︒＜α＜k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}；或{α|k ⋅360︒-90︒＜α＜k ⋅360︒，（k ∈Z ）}（2）轴线角：终边在x 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒， k ∈Z}；终边在x 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+180︒，k ∈Z}；终边在x 轴上的角的集合：{α|α=k ⋅180︒，k ∈Z}；终边在y 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+90︒，k ∈Z}；终边在y 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+270︒，k ∈Z}；终边在y 轴上的角的集合：{α|α=k ⋅180︒+90︒，k ∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ⋅90︒，k ∈Z}5．区间角：锐角：(0︒,90︒)，钝角：(90︒,180︒)，注意区间(α,β)与(k ⋅360︒+α, k ⋅360︒+β)的区别五、课后作业：1.写出与370°23′终边相同角的集合S ，并把S 中在－720°～360°间的角写出来.2.在直角坐标系中作出角Z k 60180∈︒+︒⋅=，k α，Z k 6090∈︒+︒⋅=，k β角的终边.3.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)参考答案：1.Ｓ＝｛α｜α＝10°23′＋k ·360°，k ∈Z ｝在－720°～360°之间的角分别是10°23′ －349°37′ －709°37′.2.3.(1)｛α｜45°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z}(2)｛α｜－150°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}六、板书设计（略）七、课后记：1.在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.在［360°，1620°］中与21°16′终边相同的角有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限4.第二象限角的集合可表示为.5.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是6.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．参考答案：1.C 2.C 3.A4.｛α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z｝5.｛α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z｝6. 四三一。

1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。

其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。

角的概念的推广教案教案名称：角的概念的推广教学目标：1. 了解角的定义和各种特性；2. 掌握角的度量方法；3. 能够应用角的概念解决实际问题。

教学重点：1. 角的定义；2. 角的度量方法；3. 角的特性。

教学难点：1. 度量角的方法；2. 应用角的概念解决实际问题。

教学步骤：Step 1：导入新知1. 引导学生回顾前一节课所学的角的定义。

2. 提问学生：你能否举出一些你所了解的角的例子？Step 2：引入新知1. 让学生观察图像，引导学生观察图像中的各种角。

2. 让学生尝试用自己的话解释什么是角。

3. 调整学生的回答，引导学生正确理解角的定义。

Step 3：探究1. 针对学生在引入环节中的回答，给出一个准确的角的定义。

2. 让学生观察不同的角，找出它们之间的共同点和不同点。

3. 引导学生总结角的特性，如角的顶点、边、大小等。

Step 4：实践应用1. 引导学生观察实际生活中的角，如门把手上的角、书桌上的角等。

2. 让学生思考这些角的度量方法，并给出自己的解答。

3. 引导学生探究度量角的方法，如用角度的单位度来量角。

Step 5：作业布置1. 让学生在实际生活中寻找各种角，并计算其度数。

2. 布置作业任务，要求学生画出30°、60°和90°的角，并标注度数。

Step 6：课堂小结1. 回顾角的定义和度量方法。

2. 引导学生总结角的特性。

3. 检查学生对角的理解程度，并答疑解惑。

Step 7：拓展延伸1. 让学生阅读相关角的知识，如锐角、钝角等，并总结其特性。

2. 引导学生用创新的思维探索角的应用领域，如建筑设计、工程施工中的角度计算等。

教学手段：1. 多媒体教学：使用图片、视频等多媒体资源引导学生观察和理解角的定义和特性。

2. 集体讨论：鼓励学生在小组中相互讨论，探索角的度量方法和特性。

3. 实践操作：让学生通过实际操作，将角的概念应用于解决实际问题。

教学资源：1. 角的图片、视频资料；2. 画板、白板和笔；3. 角的练习题和作业。

姓名，年级：时间：§1周期现象§2角的概念的推广1．周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．2．任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．（2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角3.(1)在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角．（2）象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角｛α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z｝第二象限角{α｜k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°〈α<k·360°＋270°，k∈Z｝第四象限角{α｜k·360°＋270°〈α〈k·360°＋360°，k∈Z}(3轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角｛α｜α＝k·360°，k∈Z｝终边落在x轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在x轴上的角｛α｜α＝k·180°，k∈Z｝终边落在y轴的非负半轴上的角{α｜α＝k·360°＋90°,k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}终边落在y轴上的角｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z｝终边落在坐标轴上的角｛α｜α＝k·90°，k∈Z}(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）（1）钟表的秒针的运动是周期现象．( ）(2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．（）（3）钝角是第二象限的角．( ）(4）第二象限的角一定比第一象限的角大．（）(5）终边相同的角不一定相等．( ）解析：（1）正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．（2)错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．(3）正确．大于90°而小于180°的角称为钝角，它是第二象限角．（4)错误.100°是第二象限角，361°是第一象限角,但100°<361°.(5)正确．终边相同的角可以相差360°的整数倍．答案：（1)√(2)×（3)√(4）×（5)√2．已知下列各角：①－120°;②－240°;③180°；④495°。

角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。

角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。

本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。

一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。

根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。

锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。

角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。

除了大小外，角还具有其他一些重要性质。

首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。

其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。

此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。

这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。

二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。

角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。

例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。

2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。

例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。

在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。

此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。

3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。

例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。

此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。

4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。

例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。

这些信息对于导航和地图制作非常关键。

5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。

角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教法:类比探究交流法。

四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

《角的概念的推广》——说课稿work Information Technology Company.2020YEAR《角的概念的推广》——说课稿惠安中学王辉各位评委、老师：大家好!今天我说课的课题是高一必修4第一章第二节《角的概念的推广》。

我现就教材研究，教学方法，学情学法，教学程序，板书设计，教材设计六个方面进行说明，恳请在座的各位专家,同仁批评指正。

一、说教材研究1．教材内容：本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角.从而来完善初中角的定义。

2．地位和作用：本节内容是高中数学三角函数这一大章的第一节，是在学了集合和函数之后的又一重要章节,是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数，也是对集合与函数的知识的又一渗透.所以本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。

为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。

3．教学目标：知识教学点：⑴.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

⑵.掌握所有与α角终边相同角的集合(包括α角)的表示方法。

⑶.体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。

能力培养点：⑴.借助实物演示、绘制图形等手段，让学生充分体会数与形结合对探究数学问题的作用。

⑵.在老师引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。

德育渗透点：⑴.通过本节的学习，体验生活中处处有数学，培养学习数学的兴趣。

⑵.体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物.⑶.通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，逐渐形成独立思考、合作交流、自我反思的学习精神，敢于坚持正确观点，勇于修正错误的品质。

4．重点与难点：教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示二、说教学方法本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过实例教具展示，在教师的带领下，学生发现就概念、方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性较强的新课.三、说学情学法(1)分类法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。

§2 角的概念的推广【教学目标】1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角；2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法；3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念；2.初步学会终边相同的角的表示方法.【教学难点】终边相同的角的集合的表示方法.【教学方法】六环节分层导学法【课前准备】（学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查.学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线.（小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。

（检查反馈）学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题：1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写；2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件；3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练；4)概念辨析缺乏方法.完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.【教学过程】一、导入新课初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题：（1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？（2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？（3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？（4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念.教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角.【板书】角的概念的推广二、展示评价学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价.展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题.三、导引探究教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法.探究1：判断角所在象限例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（1）480°；（2）-760°；（3）932°；归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限.跟踪训练1：象限角的概念：第一象限角的集合可表示为____________ ______；第二象限角的集合可表示为_________ ________ _；第三象限角的集合可表示为；第四象限角的集合可表示为.跟踪训练2：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？探究2：终边相同的角的表示方法例2写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素写出来.归纳小结：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.跟踪训练3：在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°~360°表示）四、当堂检测学生独立完成导学案巩固提高部分，教师巡视学生完成情况，检测学生学习效果.五、课堂小结师生共同回顾本节课的相关概念，总结解题方法1.正角、负角、零角2.象限角和终边相同的角3.角所在象限的判定和终边相同的角的表示方法六、作业布置习题1-2 第2，3题【教学反思】本节课是北师大版必修4第一章第二节的内容，是在初中的基础上进一步学习角的概念，是学好三角函数的基础. 本节课使用的方法是六环节分层导学法，由学生先课前预习，完成导学案，小组进行交流学习，课堂由学生展示和教师引导的课堂探究以及当堂检测组成. 由于学生课前预习的过程中存在较大的问题，自主学习能力较差，学习的主动性不够，获取信息的能力较弱，导致学生课前完成的导学案问题较多，影响了课堂展示评价环节的进行，再加上教师对六环节分层导学模式的应用不够熟练，导致课堂评价展示环节流于形式，变成教师的“满堂解释”，导引探究部分，教师引导学生对角所在象限的判断和终边相同的角的表示方法进行探究，学生基本能掌握两种方法，但理解不够，动手能力还不好. 最后由于时间把握不好，当堂检测部分未能按时完成. 这节课基本上完成了教学任务，但是没能很好的体现六环节分层导学模式，今后在教学中将会对这种教学模式进行进一步的探究，以期能熟练应用这种教学模式进行教学，提升教学效率.。

第四章三角函数总第1教时4.1-1角的概念的推广（1）教学目的：1、推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。

2、让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。

3、从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。

教学重点：1、理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；2、掌握总边相同角的表示方法及判定。

教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒)0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 4．（P6例1）例1 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)-120°；(2)640°；(3)-950°12′． 解：(1)-120°=240°-360°，所以与-120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角； (2)640°=280°+360°，所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角； (3)-950°12′=129°48′-3×360°，所以与-950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角． （P5） 五、小结： 1︒ 角的概念的推广,用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4习题1.4 1总 第2课时4.1-2 角的概念的推广(2)教学目的：1、进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；2、能进行角的集合之间的交与并运算；3、讨论等分角所在象限问题。

角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。

教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。

教学难点：终边相同的角的表示。

设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。

树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。

教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。

通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。

教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。

二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。

§2角的概念的推广学习目标1. 理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；2. 掌握终边相同的角的表示；3. 了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.学习过程一、课前准备（预习教材找出疑惑之处）复习1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α. 旋转开始时的射线OA 叫做角的，OB叫，射线的端点O 叫做叫α的顶点.初中所研究的角的范围为.复习2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？①体操比赛中术语：“转体720 o”（即转体周），“转体1080 o”（即转体周）；②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（时针旋转度）如果慢了5分钟，又该如何校正？（时针旋转度）③又如：自行车车轮；螺丝扳手。

二、新课导学※学习探究探究任务一：角的概念问题：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法呢？新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角.反思：角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角.探究任务二：坐标系中讨论角问题：如何将角放入坐标系中讨论？角的顶点与重合，角的与x 轴的非负半轴重合.新知：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.试试：在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别它们分别在第、、象限.反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？探究任务三：终边相同的角问题：与60°终边相同的角有、、、…都可以用代数式表示为.与α终边相同的角如何表示？新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为：∈；（2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一注意：（1）k z定相同。