北师大版数学高一-必修4学案 1.2角的概念的推广

高中数学第一章三角函数1.2 角的概念的推广优化训练北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2 角的概念的推广优化训练北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2 角的概念的推广5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1。

任意角的形成:角可以看成是_____________而成的，射线的端点叫做_____________，旋转开始的射线叫做_____________，旋转终止的射线叫做_____________，按逆时针方向旋转形成的角叫做_____________，按顺时针方向旋转形成的角叫做_____________，没有作任何旋转时，这样的角叫做_____________.答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置角的顶点角的始边角的终边正角负角零角2。

在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半"等说法，像这种动作名称表示的角是多大?解：如果逆时针转体，分别是360°×3=1 080°和360°×2.5=900°;若顺时针转体，则分别为—1 080°和-900°.3。

在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.（1）908°28′; （2）-734°。

解:（1)908°28′=188°28′+2×360°,则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限的角.（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而—734°也是第四象限角。

北师大版必修四第一章第二节角的概念的推广 课标聚焦 1.了解角的概念，理解并掌握正角、零角、负角、象限角、轴线角、终边相同的角的概念;2.初步学会终边相同的角的表示方法.基础强化1.设A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90的角}，则下列关系式中正确的是（ ） . A A B C == .B A C .C A C B = .D B C C ⊂2．下列各角中与角330的终边相同的角为（ ）.510A .150B .150C - .390D -3.若α为第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的为（ ）.90A α- .90B α+ .360C α- .180D α+4.终边落在y 轴上的角的集合为（ ）{}.360,A k k Z αα=⋅∈ {}.180,B k k Z αα=⋅∈{}.90,C k k Z αα=⋅∈ {}.18090,D k k Z αα=⋅+∈ 5．已知α为第二象限角，则2α的终边在（ ）.A 第一象限角或第二象限角 .B 第二象限角或第四象限角.C 第三象限角或第四象限角 .D 第三象限角或第四象限角或y 轴非正半轴6．集合{}4590,A x x k k Z ==+⋅∈，{}9045,B x x k k Z ==+⋅∈，则集合,A B 的关系为_____.7.将567-写成360k α⋅+(,0360)k Z α∈≤<的形式为_____8．已知角θ的终边与168角的终边相同，则在)0360⎡⎣，范围内终边与3θ角的终边相同的角为_____9．(1)若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为______________；(2)若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为______________；(3)若角α与角β的终边关于原点对称，则α与β的关系为______________.10．写出下面顶点在坐标原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内角θ的集合（包括边界）.(1) (2) (3)能力提升1.终边在坐标轴上的角的集合为（ ）{}.360,A k k Z ϕϕ=⋅∈ {}.180,B k k Z ϕϕ=⋅∈ {}.90,C k k Z ϕϕ=⋅∈ {}.18090,D k k Z ϕϕ=⋅+∈ 2.在直角坐标系中，若α,β的终边互相垂直，则α与β的关系为（ ）.90A βα=+ .90B βα=±.90360,()C k k Z βα=++⋅∈ .90360,()D k k Z βα=±+⋅∈3.若集合{}36060360300,A k k k Z θθ=⋅+≤≤⋅+∈， {}360120360,B k k k Z θθ=⋅-≤≤⋅∈ ，求A B ，A B .4. 已知角α为第三象限角，试确定2α，2α的终边所在的位置.答案基础强化1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.2360153,8.56,176,296,D D C D D AB -⨯+ 9.(1)360,k k Z βα=⋅-∈(2)(21)180,k k Z βα=+⋅-∈(3)(21)180,.k k Z βα=+⋅+∈{}10.(1)36060360210,k k k Zθθ⋅+≤≤⋅+∈{}(2)180********,k k k Z θθ⋅+≤≤⋅+∈{}(3)36030360135,k k k Z θθ⋅-≤≤⋅+∈能力提升 {}1.,2.,3.36012036060,C D A B k k k Z θθ=⋅-≤≤⋅-∈{}360300360,A B k k k Z θθ=⋅-≤≤⋅∈ 4.2α的终边在第二或第四象限，2α的终边在第一、第二象限或y 轴的非负半轴上.。

§2角的概念的推广知识点一角的概念[填一填]1．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．[答一答]1．一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对．如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故这个说法不正确．知识点二角的分类[填一填]2．(1)按旋转方向可将角分类(2)按角终边的位置分类[答一答]2．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°.知识点三终边相同的角的表示[填一填]3．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．[答一答]3．锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角这四种角有什么差别？提示：受初中所学角的范围的影响，看到这四种角往往就说它们相同．其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还仅仅是锐角、直角、钝角，即初中所学的角的范围，没有按任意角来看待．其突破方法是把握各种角的取值范围．这四种角的范围用集合表示如下：锐角的集合是{α|0°<α<90°},0°～90°的角的集合是{α|0°≤α<90°}，小于90°的角的集合是{α|α<90°}，第一象限角的集合是{α|k×360°<α<k×360°＋90°，k∈Z}，所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角．1．对角的概念的两点说明(1)描述角时，往往用角的第二种定义，即用运动观点来定义角，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：①要明确旋转方向；②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．任意角概念的四个关注点类型一角的概念的推广【例1】下列各种说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．第一象限角就是锐角C．锐角是第一象限角D．小于90°的角都是锐角【思路探究】锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，第一象限角的范围就与锐角的范围一致．【解析】对于选项A，－60°与300°是终边相同的角，它们并不相等，故说法错误；对于选项B,390°是第一象限角，但它不是锐角，故说法错误；对于选项D，－30°是小于90°的角，但它不是锐角，故说法错误．【★答案★】 C规律方法(1)熟记一些角的概念，如第一象限角α可表示为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．(2)熟悉一些角与角的基本关系，如锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之也不成立．经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转过多少度？解：时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，由此可求出时针转的度数；而分针每小时转－360°，因而分针转的度数也可求．所以，时针转过的角度为－⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋512×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°. 类型二 终边相同的角及象限角【例2】 在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角．(1)1 005°；(2)2 583°34′；(3)－1 342°15′；(4)－470°.【解】 (1)因为1 005°＝2×360°＋285°，所以285°就是与1 005°终边相同的角，它是第四象限角，所以1 005°是第四象限角．(2)因为 2 583°34′＝7×360°＋63°34′，所以63°34′就是与 2 583°34′终边相同的角，它是第一象限角，所以2 583°34′是第一象限角．(3)因为－1 342°15′＝－4×360°＋97°45′，所以97°45′就是与－1 342°15′终边相同的角，它是第二象限角，所以－1 342°15′是第二象限角．(4)因为－470°＝－2×360°＋250°，所以250°就是与－470°终边相同的角，它是第三象限角，所以－470°是第三象限角．规律方法 先将这些角表示成k ·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再根据角α来确定它们所属的象限．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β<－360°的角β.解：法1：赋值法与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件；故符合条件的角有－1 055°，－695°.法2：解不等式法与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．解不等式－1 080°≤k·360°＋25°<－360°，得－3572≤k<－1572.又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.当k＝－3时，β＝－1 055°；当k＝－2时，β＝－695°，故符合条件的角有－1 055°，－695°.类型三区域角的表示【例3】如图所示，写出终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角的集合．【思路探究】由题知，角的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)．可以先根据图形写出终边在每个区域内的角的集合，再对写出的两个集合求并集，并化简．也可以用k·180°＋α(k∈Z)的形式直接写出．【解】法1：在0°～360°范围内，终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角α应分别满足45°<α<135°，225°<α<315°.所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ中的角的集合分别为A＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}，B＝{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}．故满足题意的角的集合为A∪B＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k ∈Z}∪{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋45°<α<2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋45°<α<(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．法2：终边落在第一、三象限内的边界线上的一个角为45°，则终边落在该边界线上的角可写为45°＋k·180°，k∈Z；终边落在第二、四象限内的边界线上的一个角为135°，则终边落在该边界线上的角可写为135°＋k·180°，k∈Z，故所求角的集合为{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．规律方法区域角的表示是在有限制条件的角的基础上进行的，解题的关键是找出终边落在区域边界上的角．解题时，需注意以下三点：(1)区域边界线是实线还是虚线；(2)角的旋转方向；(3)一般地，角α的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时，角可以表示为“k·180°＋θ1<α<k·180°＋θ2，k∈Z”(θ1<θ2)的形式．(1)若角α＝45°，β＝150°的终边分别在射线OA，OB上，求终边落在如图(1)中阴影范围内(包括边界)的角的集合；(2)已知角α的终边在如图(2)的阴影部分(不包括边界)内，求角α的集合．解析：(1)在0°～360°之间落入阴影部分的角是45°≤θ≤150°，则终边落在图中阴影范围内(包含边界)的角的集合是{θ|k·360°＋45°≤θ≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2)终边落在l1上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}，终边落在l2上的角的集合为{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，则所求角的集合为{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋120°，k∈Z}．类型四由已知角的范围、象限，研究未知角的范围、象限【例4】若角α是第二象限角，试确定角2α,α3分别是第几象限角.【思路探究】【解】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．(1)180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(2)法1：k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＋30°<α3<n ·360°＋60°(n ∈Z )，此时，α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋150°<α3<n ·360°＋180°(n ∈Z )，此时，α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α3<n ·360°＋300°(n ∈Z )，此时，α3是第四象限角．综上所述，α3是第一象限角或第二象限角或第四象限角．法2：将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1,2,3,4，如图所示．∵α是第二象限角，∴图中标有数字2的区域即α3的终边所在的区域，故α3是第一象限角或第二象限角或第四象限角．规律方法 倍角是第几象限角的判定思路已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．已知角θ终边所在的象限，确定θn (n ∈N ＋)终边所在象限的常用方法有以下两种：方法1 分类讨论法．利用已知条件写出角θ的范围(用k 表示)，由此确定θn 的范围，然后对k 进行分类讨论，从而确定θn 的终边所在的象限．方法2 等分象限法．要确定θn 终边所在的象限，可以作出n 等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是θ为第几象限角时θn 的终边所在的区域，这样角θn 的终边所在的象限就可以直观地看出．说明：当n ≥4时，角θn 的终边所在的区域分布在四个象限，研究的价值不大，一般只讨论n ＝2，n ＝3的情形．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( D )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°，k ∈Z .当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．——易错警示——对角的概念理解不正确致误【例5】 下面说法正确的个数为( )(1)第二象限角大于第一象限角．(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．(3)钝角是第二象限角．(4)小于90°的角是锐角．A．1 B．2C．3 D．4【错解】选B或C【正解】第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角①，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的；小于90°的角②如－60°，不是锐角，故(4)错．所以正确的只有1个．【错解分析】在①处三角形的内角误认为只有锐角和钝角，忽略了直角，从而误认为(2)正确；在②处依据初中的习惯，认为小于90°的角为锐角误认为(4)正确．【★答案★】 A【防范措施】明确角的分类的实质按照角的旋转方向分为正角、负角和零角类似于实数正负之分；按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角，如在本例①处易忽略终边落在坐标轴上的角的情况．在坐标系中，下列说法中错误的是(C)A．锐角是第一象限角B．顺时针方向旋转生成的角是负角C．始边与终边重合的角是零角D．相等的角终边相同解析：360°角的终边也与始边重合．即始边与终边重合的角的集合应为{α|α＝360°k，k∈Z}．故选C．一、选择题1．下列说法正确的是( D )A ．终边相同的角都相等B ．钝角比第三象限角小C ．第一象限角都是锐角D ．锐角都是第一象限角解析：任何一个角α的终边旋转360°的整数倍后，还与它的终边相同，但它们相差360°的整数倍．象限角只反映角的终边的位置，而不反映角的大小，某象限角有无数多个，其中有正角，也有负角，所以第三象限角不一定比钝角大．第一象限角不一定是锐角，但锐角一定是第一象限角．2．下列各组角中，终边相同的是( C )A ．495°和－495°B ．1 350°和90°C ．－220°和140°D ．540°和－810°解析：终边相同的两角差应是360°的整数倍．3．下列命题中正确的是( D )A ．终边在y 轴负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，则α与β终边相同解析：根据任意角的概念可以判断D 正确．二、填空题4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是1_110°.(2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是－960°.解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ×180°＋135°，k∈Z}．三、解答题6．已知α＝－1 640°，试把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并求角θ，使θ与α的终边重合，且满足－720°<θ<0°.解：α＝－5×360°＋160°(k＝－5，β＝160°)．因为θ与α的终边相同，所以可设θ＝k·360°＋160°(k∈Z)．又－720°<θ<0°，所以k＝－2或k＝－1.所以θ＝－560°或θ＝－200°.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

§2 角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教法: 类比探究交流法。

四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

1.2角的概念推广一、新旧知识连接：初中已学过命题的知识，请同学们回顾什么叫角？角的范围？长跑运动员在操场长跑可以用角360、两圈可以是多少？顺时针与逆时针有区别吗？引入角的定义和相关概念；度来恒量吗？一圈0二、我能自学：1.认识角的概念：①如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)。

②象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．三、范例分析例1.判断下列各角是第几象限角. （借助多媒体课件展示）(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵—950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.四．归纳小结1、通过范例分析讲解理解概念及公式；2、反思角定义的合理性？同时还有其它方法表示角吗分析特点和缺点。

§2 角的概念的推广一、学习目标1．理解引入大于360°角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．二、重点难点1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．三、知识链接：本节课将在已掌握0°~360°角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．四、问题逻辑：（1）正角、负角、零角概念①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角__________，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角_________，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角_________，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是________，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为_________③我们作出390°，-330°及30°三个角，易知，它们的终边相同。

还可以看出，β=30°+k×360°，的终边也是与30°角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同30°在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成_____________或写成集合___________________________形式．五、例题分析【例1】在0°~360°间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）—120°；（2）660°；（3）．练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，C．【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来：（1）；（2）；（3）．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（2）分别写出：轴负半轴上的角的集合；①终边落在②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．【例3】用集合表示：（1）第三象限角的集合．轴右侧的角的集合．（2）终边落在【例4】若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？练习：1．设，，则相等的角集合为_______________．2．如图，终边落在阴影处（包括边界）的角集合为（）A．B．C．D．【例5】设，，，，那么有（）．B．A．C．（）D．六、课时作业1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1）（2）（3）（4）2．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．上的角的集合，并给出集合中介于和之间5．写出终边在直线的角．6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．7．若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在_______．8．下列各题中，正确的是（）A．终边和始边都相同的两个角一定相等B．是第二象限的角C．若，则是第一象限角D．相等的两个角终边一定相同9．与终边相同的角可写成（）A．．B．．C．．D．．六、探究活动的终边与轴的正半轴所夹的角为，且终边落在第二象限，又1、已知角，求．2、已知．求，．七、归纳小结：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

§2角的概念的推广1．角的概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形．2．角的分类(1)(2)按角终边的位置分类预习交流1(1)终边和始边重合的角一定是零角吗？(2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边相同的角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的______倍的和．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．预习交流2(1)下列各角中与330°角终边相同的角是()．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°的范围内，与412°角终边相同的角是______．★答案★：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}整数预习交流2：(1)D(2)52°，－308°1．角的概念的辨析问题判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，则有P＝Q；(2)角α和角2α的终边不可能相同；(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；(4)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角的概念的理解．(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边相同的角及象限角已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．思路分析：观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k ·360°(k ∈Z )．特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n ×180°(n ∈Z )即可；若区域包括了x 轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k ×360°(k ∈Z )．4．已知α角所在的象限，判断角α2的终边所在的位置已知角α是第二象限角，试判断角α2是第几象限角．已知角α是第三象限角，试判断角α2是第几象限角． (1)各象限角的集合如下象限角集合表示 第一象限角{α|0°＋k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z } 第二象限角{α|90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z } 第三象限角{α|180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°，k ∈Z } 第四象限角 {α|270°＋k ·360°＜α＜360°＋k ·360°，k ∈Z }★答案★：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P ＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q .(2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边相同．(3)不正确．由90°＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°(k ∈Z )知180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z ，故2α是第三或第四象限的角，也可能终边在y 轴的非正半轴上．(4)不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°.迁移与应用：解：A ∩B ＝{α|0°＜α＜90°}，A ∪C ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z }，C ∩D ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z ，k ≤0}，A ∪D ＝{α|α＜90°}．活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k ＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，故－1 840°是第四象限角．(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l 1旋转至l 2，与l 1终边相同的角有60°角，与l 2终边相同的角有310°角．∴图①阴影部分中角的集合为S ＝{α|60°＋k ×360°≤α≤310°＋k ×360°，k ∈Z }．(2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S 1＝{α|45°＋k ×360°≤α≤90°＋k ×360°，k ∈Z }．第三象限内阴影部分中角的集合为S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }．∴所求阴影部分中角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边相同的角有－30°角，与l 1终边相同的角有30°角．∴图③阴影部分中角的集合为S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }．迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．活动与探究4：解法一：(分类讨论法)∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.∵k ×180°＋45°＜α2＜k ×180°＋90°，k ∈Z ， ∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2＜n ×360°＋90°， 即角α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ×360°＋225°＜α2＜n ×360°＋270°， 即角α2是第三象限角． ∴角α2的终边落在第一或第三象限． 解法二：(几何法)先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2的区域即为角2α的终边所在区域，如图所示，故角2α是第一、三象限角．迁移与应用：解法一：(分类讨论法)∵α是第三象限角，∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ， ∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z. ∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α是第二象限角； 当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2α是第四象限角． ∴角2α是第二或第四象限角． 解法二：(几何法)仿照“活动与探究4”的“解法二”即可知角 是第二或第四象限角．1．下列命题中正确的是( )．A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．与405°角终边相同的角是( )．A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·360°－405°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________．(2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．★答案★：1．D 解析：90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C 不正确；对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．2．C 解析：①②③正确，④错误．3．C4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°. 5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }{α|α＝k×180°＋135°，k∈Z}。

专家点评（高新一中党效文）
张老师《角的概念的推广》一节的教学设计内容全面，环节齐全，过程详细，反思深刻，体现了老师对教材的深刻理解，新课标教学理念的贯彻和精细认真的工作态度。

教材分析透彻深刻，不但从教学内容上进行了全面的分析，还能从数学思想方法恰当把握；学情分析中重视初中知识基础和学生认知特点的分析，较好认识教学内容和学生认知特点的联系与对策；教学过程设计能从四个实例入手引出课题，及凸显出学习本节内容的必要性，有不失时机的激发学生的学习兴趣；教学中巧妙的运用多媒体投影对教学内容进行展示，既节省了宝贵的教学时间，有直观的展现学生不易理解的正角、负角、象限角形成过程，加深学生理解记忆。

设计的反馈练习更是别具匠心，体现易错概念的辨析、重点知识的巩固和主要方法的落实。

总的来说本节教学设计是一节优秀的教学案例，但有几个问题需再探讨一是角的定义中“一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角 ”应该没有旋转方向，逆时针方向旋转只定义了正角；二是教学设计中应把教师活动活动多、学生活动显得少了一些，概念的形成、理解、辨析多让学生参与或独立完成，会更有利于学生的发展。

学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4 解 终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }．因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }． 跟踪训练4 解 终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝33x (x <0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }． 因此，终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝30°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝30°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }． 故终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }． 当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，k ∈Z }． 终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，k ∈Z }．。

《角的概念的推广》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节内容从角大于周角的非负角开始扩充到任意角，使有正角、负角、零角之分。

在平面直角坐标系建立适当的坐标系，根据角的终边在哪一个象限，把角划分为四个象限角和特殊角若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。

再由特殊到一般进行归纳总结。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

【过程与方法目标】类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

【情感态度价值观目标】通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

◆教学重难点【教学重点】理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

【教学难点】把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

◆课前准备多媒体课件◆教学过程一、情境导学同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

1.2 角的概念的推广整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.图1思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课知识探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.图2我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.如图3.图3②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S 的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.教师适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 判定下列各角是第几象限角:(1)-60°;(2)585°;(3)-950°12′.解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.变式训练在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图4.图4因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.变式训练写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合图5S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本习题1—2 1、2.课堂小结提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.作业①习题1—2 3.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.习题详解习题1—21.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°,故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z},当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60°②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝,当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.③｛β|β=k·360°+1 303°18′,k∈Z ｝,当-720°≤β＜360°时,β为-136°42′,223°18′,-496°42′.④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z ｝,当-720°≤β＜360°时,β为-225°,-585°,135°.点拨:利用终边相同的角的定义写出β的集合,再取k 的值,求出符合条件的角.备课资料备用习题1.若角α与β终边相同,则一定有( )A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k·360°(k∈Z )D.α+β=k·360°(k∈Z )2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z },B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B 等于( )A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是( )A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=α+90°+k·360°(k∈Z )D.β=α±90°+k·360°(k∈Z )4.集合Z ={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z },Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z }之间的关系是( ) A.Z Y B.Z YC.Z=YD.Z 与Y 之间的关系不确定5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与3θ角的终边相同的角是_____________________.6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k ·180°+90°,k∈Z },集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+405°,k∈Z },求A∩B.7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.参考答案:1.C2.C3.答案:D点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后,知α±90°与角β的终边重合.4.答案:C点拨:先分别将n 和k 赋以不同的整数值,找出角x 的终边,然后再比较.5.答案:56°,176°,296°点拨:根据已知条件有θ=k·360°+168°,k∈Z ,3θ=k·120°+56°,k∈Z .又0≤k·120°+56°＜360°,满足条件的k 为0,1,2.6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z }.采用数形结合法,在直角坐标系内,分别寻找集合A 和集合B 中的角的终边所在的区域,终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B,可以求得A∩B={x|30°+k·360°＜x ＜45°+k·360°,k∈Z }.7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为{β|β=n·90°-45°,n∈Z }.。