立体图形的直观图 PPT

类型一 平面图形的直观图
【典例】1.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中 正确的个数是（ ）
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍
然平行。
A.0
B.1
C.2
D.3
2.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图。
2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形 可能是下图中的（ ）
【解析】选A。由直观图可知，该平面图形为两腰不 平行且不与底边垂直的梯形。
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边 分别平行于x轴、y轴，且∠A=90°，则在直观图中 ∠A′=（ ） A.45° B.135° C.45°或135° D.90°
立体图形的直观图
1.直观图的概念 把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面 内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置 关系和度量关系的图形叫做直观图。
【思考】 直观图与立体图形之间有什么关系？ 提示：直观图与立体图形的形状往往不完全相同。在 立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画 出的平面图形。
【类题·通】 画平面图形的直观图的关键点及对策
（1）关键点：画水平放置的平面多边形的直观图的 关键是确定多边形的顶点位置。 （2）对策：首先画与坐标轴平行的线段（平行性不 变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的 线段确定它的两个端点，然后连接成线段。
【习练·破】 用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正 三角形的直观图。
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 （1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两 轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和 y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°）， 它们确定的平面表示水平面。
（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直 观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。 （3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观 图中长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为 原来的一半。
（3）正方形的直观图为平行四边形。（ ） （4）梯形的直观图不是梯形。（ ）
提示：（1）×。由直观图的性质知，原来垂直的不一定 垂直。
（2）√。斜二测画法中平行关系不变。 （3）√。利用斜二测画法，原来平行的线段仍然平行， 所以正方形的直观图为平行四边形。
（4）×。利用斜二测画法所得梯形的直观图仍是梯形。
【解析】选C。在画直观图时，∠A′的两边依然分别 平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′=45°或135°。
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′=3， B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为________。
【解析】由于在直观图中∠A′C′B′=45°，则在原图形 中∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AB边上的中 线为2.5。 答案：2.5
【解析】（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x 轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴。
（2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°。在
x′轴上截取O′B′=O′C′=OB=OC=2cm，在y′轴上取
O′A′=
1 2
OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′
即为正三角形ABC的直观图，如图②所示。
类型 空间几何体的直观图的画法 【典例】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的 直观图。
【思维·引】本题所要画的是四棱锥的直观图，所以 要先画轴，再画水平放置的正方形的直观图，再画侧 棱，最后成图。
【解析】画法：（1）画轴。画Ox轴，Oy轴，Oz轴， ∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如图。
【思考】 用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的 直线还平行吗？原来长度相等的线段长度还相等吗？
提示：用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来
平行的直线仍然平行；原来长度相等的线段长度不一 定相等，因为与x轴平行的线段，长度不变，与y轴平 行的线段，长度减半。
3.空间几何体直观图的画法 （1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z′轴。 （2）画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和 x′O′z′表示竖直平面。
【思维·引】1.按照用斜二测画法画水平放置的平面图 形的要求逐个判断。 2.按步骤画直观图。
【解析】1.选C。由斜二测画法规则可知，直观图保持 线段的平行性，所以④对，①对；而线段的长度，角 的大小在直观图中都会发生改变，所以②③错。
2.画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴， AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐 标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°。
（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的 线段，在其直观图中平行性和长度都不变。 （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。
【思考】 空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？ 提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得 见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”） （1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中 的线段，原来垂直的仍垂直。（ ） （2）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中 的线段，原来平行的仍平行。（ ）
（2）画底面。以O为中心在xOy平面内，画出正方形 的直观图ABCD。 （3）画顶点。在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四 棱锥的高。
（4）成图。顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助 线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图。
（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB，在y轴上
取O′E′=
1 2
OE，以E′为中点画线段C′D′∥x′轴，
并使C′D′=CD。
（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′
就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图。
【内化·悟】 画直观图时怎样建系，建系时应注意哪些问题？ 提示：建系时，要让尽可能多的点在坐标系上，另外 还要注意对称原则。