2020版高中数学 第三章3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修2-2

一、教学目标：１、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算； 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 过程与方法：２、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．３、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．二、重点难点：重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点: 复数除法的运算法则．三、教学过程【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++.点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +. 引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34)i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算ii i i 4342)1)(41(++++-引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i -2.设复数z 满足12ii z +=，则z =（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +3.复数32321⎪⎪⎭⎫⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-D.14.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.。

3.2.2 复数代数形式的乘除运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．2．过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．3．情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：复数代数形式的乘除法运算．难点：复数除法法则的运用．(教师用书独具)●教学建议建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现i n运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．【问题导思】1．如何规定两个复数相乘？【提示】两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？【提示】满足．(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有如何规定两个复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？ 【提示】z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b c －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2.(1)z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d 为实数，c ＋d i≠0)，z 1，z 2进行除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘以c －d i 化简后可得结果：ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8iD ．8i(3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i＝________.【思路探究】 (1)先设出复数z ＝a ＋b i ，然后运用复数相等的充要条件求出a ，b 的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．(3)先计算1＋i 1－i 再乘方，且将2＋3i3－2i的分母实数化后再合并．【自主解答】 (1)设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z ＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8.(3)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33＋25＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.法二 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33－2＝i 6＋2＋32＋3i＝－1＋i.【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； (2)1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ； (3)1i＝－i.计算： (1)(1－i)2；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)；(3)2i 2＋i. 【解】 (1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i.(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝(－34－14i ＋34i ＋34i 2)(1＋i) ＝(－34＋12i －34)(1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i.(3)2i2＋i ＝－＋－＝2＋4i 5＝25＋45i.(2)若复数z ＝1＋i 1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013的值．【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝＋231＋23i ＋[(21－i )2]1 006·(21－i ) ＝i ＋(2－2i )1 006·2＋2＝i ＋i1 006·2＋2＝－22＋2－22i (2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－z 2 0141－z，而z ＝1＋i 1－i＝＋2－＋＝2i2＝i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－i 2 0141－i ＝1－i 21－i＝1＋i.1．要熟记i n的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．【解】由题意知1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013＝－i2 0141－i＝1－i4×503＋21－i＝1－i21－i＝1＋i.∴原式＝1＋i.设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论【自主解答】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＝a－b i，z2＝c－d i，∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋b i)(c－d i)＋(c＋d i)(a－b i)＝ac－ad i＋bc i－bd i2＋ac－bc i＋ad i－bd i2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z＝－1或z ＝－1＋3i.记错i 2值而致误设复数z 满足1＋2i z＝i ，则z ＝( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i【错解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项． 【答案】 D【错因分析】 将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【正解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i －b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项．【答案】 C1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)【解析】10i3＋i＝－32＋12＝－10＝1＋3i ，∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A2．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【解析】 因为a －103－i＝a －＋－＋＝a －＋10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 1 4．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i 3－2i；(3)(2－i)2.【解】 (1)法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i＝2＋3i 3＋2i 3－2i 3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2 ＝3－4i.一、选择题1．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i【解析】 (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A. 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i【解析】5＋3i4－i＝＋＋42＋1＝17＋17i 17＝1＋i.【答案】 C3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.【答案】 B5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝2i1＋i＝－＋－＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．【答案】 D 二、填空题6．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 57．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】3＋b i1－i＝＋b＋2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】 38．当z ＝－1－i 2时，z 2 012＋z 2 014＝________.【解析】 z ＝－1－i 2，∴z 2＝－2i 2＝－i ，∴z2 012＝(－i)2 012＝1，z 2 014＝(－i)2 014＝－1，∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.【答案】 0 三、解答题 9．计算下列各题： (1)＋71－i＋－71＋i－－＋34＋3i；(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7； (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8. 【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]31＋i1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －－＋2＋－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＋i＝8＋8－16－16i ＝－16i.(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1＋2]2＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－(162＋14)＋(162－1)i.(3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8 ＝(－i)12·(－32－12i)12＋(1＋i 12－32i )8＝(－12＋32i)12＋[1＋i 2]4·12－32i [12－32i 3]3＝[(－12＋32i)3]4＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i. 10．复数z ＝＋2＋1－2＋i，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .【解】 z ＝2i ＋3－3i2＋i ＝1－i ，∵a 为纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，m ≠0)， 则z 2＋a z＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋(m2－2)i<0，⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？【解】 结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z ＝－＋1＋i ＝－2＋＋－＝2－i ，∴复数z 所对应的点在第四象限.(教师用书独具)已知z 1、z 2∈C ，z 1＋2z 2∈R ，且5z 1z 2＋5z 22z 1＝1，求证：z 2－3z 1为纯虚数．【思路探究】 由题目条件推出(z 2－3z 1)2，再证明其小于0即可． 【自主解答】 ∵5z 1z 2＋5z 22z 1＝1，∴10z 21＋5z 22＝2z 1·z 2，即z 21＋4z 22＋4z 1·z 2＝－9z 21－z 22＋6z 1·z 2， 也即－(z 1＋2z 2)2＝(3z 1－z 2)2. ∵z 1＋2z 2∈R ，z 1≠0，z 2≠0， ∴－(z 1＋2z 2)2<0， ∴(3z 1－z 2)2<0， ∴(3z 1－z 2)2为负实数， ∴z 2－3z 1为纯虚数．1．证明z 为纯虚数的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，证明a ＝0且b ≠0； (2)z 2<0⇔z 为纯虚数；(3)z ≠0，且z ＋z ＝0⇔为纯虚数． 2．证明z ∈R 的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，证明b ＝0； (2)z ∈R ⇔z ＝z ； (3)z ∈R ⇔z 2≥0； (4)z ∈R ⇔|z |2＝z 2.设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，若z1＋z 2∈R ，则a 、b 应满足什么条件？并说明理由．【解】z1＋z2＝a ＋b i1＋a 2－b 2＋2ab i＝a ＋b a 2－b 2＋1－2ab a 2－b 2＋2＋ab 2＝a3＋ab2＋a－b a2＋b2－a2－b2＋2＋4a2b2∈R，∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1.复数复数的概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的运算复数的减法法则(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d ＝|z1－z2|复数的加法法则(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的乘法法则(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的除法法则a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)。

3．2.2 复数代数形式的乘除运算[提出问题]问题1：两个实数可以相乘，两个复数可以相乘吗？提示：可以．问题2：复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？提示：类似．问题3：复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律吗？提示：满足．[导入新知]1．复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有：[化解疑难]对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[提出问题]问题1：复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i(a ，b ∈R)有什么关系？ 提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．问题2：试求z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R)的积． 提示：z 1z 2＝a 2＋b 2，积为实数．问题3：如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)相除？ 提示：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子和分母都乘(c －d i)，化简后可得结果．即a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． [导入新知] 1．共轭复数的概念当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．[化解疑难]对复数除法的理解(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后把结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R)的形式即可．[例1] 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i. [解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i) ＝－2＋3i 1＋2i＝(－2＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋6)＋(3＋4)i12＋22＝45＋75i. (4)法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i(2－3i)2－3i －－i(2＋3i)2＋3i＝i ＋i ＝2i. [类题通法]复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[活学活用](1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部．(2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i.于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.(2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(b －2)＋(b ＋2)i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.[例2] (1)(山东高考)若复数z ＝1－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)(全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i[解析] (1)∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z ＝1－i.(2)∵z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，∴z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C.[答案] (1)B (2)C [类题通法]共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．[活学活用]已知复数z ＝1＋i ，复数z 的共轭复数＝1－i ，求实数a ，b 使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 解：∵z ＝1＋i ，＝1－i ， ∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数，∴由az ＋2b ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.[例3] 已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．[解] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i. 因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． [类题通法]解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，注意题目对a ，b 取值的限制，然后用a ，b 表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．[活学活用]已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0. ① 又∵|ω|＝52， ∴x 2＋y 2＝50. ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.5.误用判别式求解复数方程[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，则实数k 的值为________．[解析] 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝22，所以k 的值为－22或2 2. [答案] ±2 2 [易错防范]1．求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k ＋2i)2－4(2＋k i)≥0，解得k ≥23或k ≤－2 3.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．2．复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．[成功破障]在复数范围内方程x 2－5|x |＋6＝0的解的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则原方程可化为(a ＋b i)2－5a 2＋b 2＋6＝0，即⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1.[随堂即时演练]1．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.2．(湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝2i 1＋i ＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)，在第四象限．3．已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R)，若复数z 2＝kz 1(k ∈R)，则a ＝________.解析：依题意得z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1得a ＋3i ＝k (1＋2i)，即有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝k ，3＝2k ，故a ＝32.答案：324．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83.答案：835．计算：(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i 3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i. (2)2＋3i3－2i ＝(2＋3i)(3＋2i)(3－2i)(3＋2i)＝(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝6＋2i ＋3i －65 ＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.[课时达标检测]一、选择题1．(全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选A 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，则a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i＝2i＝－2i. 3．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．4．(山东高考)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i解析：选B 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.法二 由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B.5．已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，是z 的共轭复数，则z ·等于( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选A ∵z ＝3＋i(1－3i)2＝－3i 2＋i (1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i1－3i ＝i(1＋3i)4＝－34＋i4， ∴z ＝－34－i 4， ∴z ·z ＝14.二、填空题6．若z ＝－1－i 2，则z 2 012＋z 102＝________.解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i.z 2 012＋z 102＝(－i)1 006＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3＝－1＋i.答案：－1＋i7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________. 解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i)2＋y (1＋2i)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2y 5i ， 而51－3i ＝5(1＋3i)10＝12＋32i ， 所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32， 解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：48．设z 2＝z 1－i 1(其中1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.答案：1三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i； (2)1－3i (3＋i)2. 解：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (2)1－3i (3＋i)2＝(3＋i)(－i)(3＋i)2 ＝－i 3＋i＝(－i)(3－i)4 ＝－14－34i.10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y z 3. (1)求实数x ，y 的值；(2)求z 1·z 2.解：(1)由已知x z 1－5z 2＝y z 3， 得x 1－i －51－3i ＝y 1－2i ， 即x －12＋x －32i ＝y 5＋2y 5i. ∵x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＝y 5，x －32＝2y 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5. (2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i ＋3i 2＝－2＋4i.。

3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计
吉林省桦甸市第八中学
潘金鸿
【教学目标】
1知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算；理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．
2过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．
3情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．
【重点难点】
重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．
难点:复数除法的运算法则
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i换成1 ；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质。

精品3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3.了解共轭复数的概念．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考 1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2 换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意 z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考 2：|z|2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而 i2＝－1.2．共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示．即 z＝a＋bi，则 z ＝a－bi.3．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(c＋di≠0)．[基础自测]1．思考辨析(1)实数不存在共轭复数．( )(2) 两个共轭复数的差为纯虚数．( )(3) 若 z1，z2∈C，且 z21＋z22＝0，则 z1＝z2＝0.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×2．复数(3＋2i)i 等于( )A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3iB [(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选 B.]3．已知复数 z＝2－i，则 z· z 的值为( )【导学号：31062220】A．5B． 5精品C．3D． 3A [z· z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选 A.]4．(2－i)÷i＝________.2－i 2－i －i[解析] (2－i)÷i＝ i ＝ i －i＝－1－2i.[答案] －1－2i[合 作 探 究·攻 重 难]复数乘法的运算(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2.(1)B [z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以a1＋ －1a<>00，解得 a<－1，故选 B.](2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.[规律方法] 1.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2.常用公式1 a＋bi 2＝a2＋2abi－b2 a，b∈R ；2 a＋bi a－bi ＝a2＋b2 a，b∈R ；3 1±i 2＝±2i.[跟踪训练]1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )【导学号：31062221】A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)(2)复数 z＝(1＋2i)(3－i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是________．[解析] (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选 C精品(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以 z 的实部是 5.[答案] (1)C (2)5复数除法的运算(1)如图 3­2­3，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是O→A，O→B，则复数zz12对应的点位于()图 3­2­3A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1＋i 7 1－i 7 3－4i 2＋2i 3(2)计算： 1－i ＋ 1＋i －4＋3i.(1)B [由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i， 所以zz12＝－2i－i＝－1＋2i，对应的点在第二象限．](2)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i－83－4i 1＋i 3－4i i3＝ (2i)3·i ＋ ( － 2i)3·( － i) －8·2i 1＋i i＝8＋8－16－16i＝－16i.[规律方法] 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 1 首先将除式写为分式； 2 再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； 3 然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.2.常用公式 1 1i＝－i； 2 11＋ －ii＝i； 3 11－ ＋ii＝－i.[跟踪训练]2．(1)设复数 z 满足11＋ －zz＝i，则|z|＝()A．1B． 2C． 3D．27＋i－1＋i 2＋i(2)计算：①3＋4i；②－i.精品(1)A[由11＋ －zz＝i 得 1＋z＝i(1－z)，即 z＝－1＋1＋ii，z＝－1＋i 1＋i1－i 1－i＝－1－i 22＝i，|z|＝1，选 A.](2)①37＋＋4ii＝7＋i 3＋4i3－4i 3－4i＝25－2525i＝1－i.－1＋i 2＋i －3＋i －3＋i ·i②－i＝ －i ＝ －i·i ＝－1－3i.共轭复数及其应用[探究问题]1．若 z＝ z ，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：z＝ z ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．3．三个实数|z|，| z |，z· z 具有怎样的关系？提示：设 z＝a＋bi，则 z ＝a－bi，所以|z|＝ a2＋b2，| z |＝ a2＋ －b 2＝ a2＋b2，z· z ＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝| z |2＝z· z .(1)已知复数 z＝3＋i 1－ 3i2， z 是 z 的共轭复数，则 z· z 等于(A．14 C．1B．12 D．2) 【导学号：31062222】(2)已知复数 z 满足|z|＝ 5，且(1－2i)z 是实数，求 z .[思路探究] 可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A[法一：∵z＝3＋i 1－ 3i－ 3i2＋i i 1－ 3iii＝＝＝＝2 1－ 3i 2 1－ 3i 2 1－ 3i1＋ 3i 43i ＝－ 4 ＋4，∴ z ＝－ 43－i4，∴z· z ＝14.法二：∵z＝3＋i 1－ 3i2，∴|z|＝ 3＋i 1－ 3i2＝|| 3＋i| 1－ 3i2|＝24＝12，∴z· z ＝14.](2)法一：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z精品是实数，所以 b－2a＝0，即 b＝2a，又|z|＝ 5，所以 a2＋b2＝5.解得 a＝±1，b＝±2，所以 z＝1＋2i 或－1－2i，所以 z ＝1－2i 或－1＋2i，即 z ＝±(1－2i)．法二：因为(1－2i)z 是实数，故可设 z＝b(1＋2i)，b∈R，由|z|＝ 5可知|b| 1＋4＝ 5，所以 b＝±1， 即 z ＝±(1－2i)．z 母题探究：1.(变结论)在题设(1)条件不变的情况下，把题设(1)的结论改为求 .z[解]由例题(1)的解析可知z＝－3i 4 ＋4，z＝－43－i4，z·z1 ＝4，∴z zz2 ＝z· z＝－413＋4i2＝12－3 24i.2．(变条件)把题设(2)的条件“(1－2i)z 是实数”换成“(1－2i)z 是纯虚数”，求 z .[解] 设 z＝a＋bi，则 z ＝a－bi，由例题(2)的解可知 a＝－2b，由|z|＝ a2＋b2＝ 5b2＝ 5，得 b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2.所以 z ＝－2－i，或 z ＝2＋i.[规律方法] 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数.2.注意共轭复数的简单性质的运用.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设复数 z 满足 iz＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )【导学号：31062223】A．－iB．iC．－1D．1A [z＝1i＝－i.]2．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( )A．2－3i C．3＋2iB．2＋3i D．3－2iA [∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴ z ＝2－3i.]3＋i 3．复数 i2 (为虚数单位)的实部等于________．3＋i [解析] 由题可得 i2 ＝－3－i，－3－i 的实部为－3. [答案] －3 4．(1＋i)2－22－ ＋ii＝________.[解析]∵(1＋i)2－22－ ＋ii＝2i－2－i 52精品＝－35＋154i.[答案] －35＋154i5．已知复数 z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝a1＋－2ii，其中 a，b∈R.若 z1 与 z2 互为共轭复数，求 a，b 的值.【导学号：31062224】[解]z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝a1＋－2ii＝a＋2i 1－i1＋i 1＋i＝a＋ai＋2 2i－2＝a－a 2＋a＋2 2i.由于 z1 和 z2 互为共轭复数，所以有a－2 2＝－b－1， a＋2 2＝1－b，解得ab＝ ＝1－.2，。

3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立． 所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1， 所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。

第二课时3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。

教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 3. 计算：（1）(13)(23)+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。

例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。

变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。

②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。

③类比12(12)(23)23(23)(23)+++=--+，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。

bdbc ad ac d c b a +++=++)(）（i bc ad bd ac )()(++-=21z z 《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教学设计山西省阳泉市第三中学校 王玮教学目标1、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算； 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 2、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性． 3、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．教学重点掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算． 教学难点复数除法的运算法则．三、教学过程一、复习旧知1、复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； .复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；2、多项式的乘法法则： 二、讲授新课探究一、复数的乘法运算设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把 换成－1，然后实部虚部分别合并.()()i i +12-32）（()()()[]i i i -+-11214）（22)(bi a -=222ib a -=22b a +=))((bi a bi a -+bi a z -=即22b a z +=2222b a z z z z +===⋅22b a z +=i 23-i 2-5-i 43+22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++i i -+111）（()2112i +）（=+=z 4i,32i)-z(1)3则若（()0≠+di c 体现数学思想：类比计算1：()()i i 2311-+）（ ()()()[]()i i i -+-11213 总结：复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅ （2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅ 例2 共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常复数 bi a z +=的共轭复数记作结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。

学习目标1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.68~ P 70，找出疑惑之处）复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-=(32)(3)a b a b +--=二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=()()ac bd ad bc i -++即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：34i +的共轭复数为a bi +的共轭复数为bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？探究任务三：复数的除法法则2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠典型例题例1 计算：（1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i +变式：计算：（1）；（2）2(1)i -；（3）(2)(12)i i i --小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算.例2 计算（1）(12)(34)i i +÷-；（21996+变式：计算（1）232(12)ii -+，（2）23(1)1i i -+-小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。

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3.2。

2 复数代数形式的乘除运算[学习目标］1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．[知识链接］写出下列各小题的计算结果:(1）(a±b）2＝________；（2)（3a＋2b)（3a－2b)________;(3）(3a＋2b)(－a－3b)________．(4）（x－y)÷(x＋错误!）________．答案（1)a2±2ab＋b2(2)9a2－4b2(3）－3a2－11ab－6b2(4）错误!－错误!［预习导引］1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i,z2＝c＋d i（a,b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i）(c＋d i)＝(ac－bd)＋（ad＋bc）i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律（z1·z2)·z3＝z1·（z2·z3)乘法对加法的分配律z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z33如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用z 表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i。