高中数学 电子题库 第1章1.2.3第一课时知能演练轻松闯关 苏教版必修2

苏教版数学必修2电子题库 第2章2.1.6知能演练轻松闯关1.已知点P (3，m )，则P 到y 轴的距离为________．P 到x 轴的距离为________． 答案：3 |m |2.动点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则OP 的最小值为________．解析：OP 的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝2 2. 答案：2 23.两平行线3x ＋4y －1＝0与3x ＋4y ＋4＝0的距离为________．解析：在其中一条直线如3x ＋4y －1＝0上任取一点(0，14)，它到3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×0＋4×14＋4|32＋42＝1. 答案：14.如果已知两点O (0，0)，A (4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数有________个．解析：解方程6m 2＋m 4＝|4m －m 2＋6|m 2＋m 4(m ≠0)， 得m ＝6或m ＝－2或m ＝4.答案：35.到两条平行直线2x ＋y ＋1＝0和2x ＋y ＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程是________．解析：设P (x 0，y 0)是所求轨迹上的任意一点，则由题意得|2x 0＋y 0＋1|22＋12＝|2x 0＋y 0＋5|22＋12，∴|2x 0＋y 0＋1|＝|2x 0＋y 0＋5|，∴2x 0＋y 0＋1＝－2x 0－y 0－5，即2x 0＋y 0＋3＝0，又∵P (x 0，y 0)是任意的，故所求点的轨迹方程为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝0[A 级 基础达标]1.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________．解析：由|a －2＋3|1＋1＝1，可求得a ＝－1± 2. 再由a ＞0得a ＝2－1.答案：2－12.若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：|4×4－3a －1|5≤3，解得0≤a ≤10. 答案：0≤a ≤103.直线l 1经过点(3，0)，直线l 2经过点(0，4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2间的距离，则d 的取值范围是________．解析：当l 1，l 2与过(3，0)、(0，4)两点的直线垂直时，d max ＝5.答案：(0，5]4.在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x ＋3y ＋2＝0的距离相等，则此点坐标是________．解析：由于点在直线x ＋3y ＝0上，设点的坐标为(－3a ，a )，又因为直线x ＋3y ＝0与直线x＋3y ＋2＝0平行，则两平行线间的距离为|2－0|12＋32＝105，根据题意有（－3a ）2＋a 2＝105，解得a ＝±15. 答案：(－35，15)或(35，－15) 5.在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．解析：法一：由图可知：符合条件的直线为y ＝3，连结AB 交y ＝3于M ，则y ＝3关于直线AB 对称的直线MN 也满足题中条件，故共有2条．法二：由题意知所求直线必不与y 轴平行，可设直线y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝53. ∴符合题意的有两条直线．答案：26.若(x ，y )是直线x ＋y ＋1＝0上的点，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值．解：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2，设M (1，1)，则所求式的几何意义是点M (1，1)与直线x ＋y ＋1＝0上的点的距离的平方．可见其最小值为点M (1，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离的平方．d ＝|1＋1＋1|2＝32 2. ∴x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2的最小值为92. 7.△ABC 的三个顶点是A (－1，4)，B (－2，－1)，C (2，3)．(1)求BC 边的高所在直线方程；(2)求△ABC 的面积S .解：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－（－1）2－（－2）＝1， 则k ＝－1k BC＝－1， 又点A (－1，4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1，4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋（－1）2＝2 2.则S △ABC ＝12·BC ·d ＝12×42×22＝8. [B 级 能力提升]8.点M 在直线x －2y －1＝0上，且点M 到直线x ＋y －2＝0的距离为2，则点M 坐标为________．解析：设M (2y ＋1，y )，则|（2y ＋1）＋y －2|2＝2， ∴y ＝－13或1， ∴M (3，1)或M (13，－13)． 答案：(3，1)或(13，－13) 9.m 变化时，两平行线3x －4y ＋m －1＝0和3x －4y ＋m 2＝0之间的距离最小值等于________．解析：d ＝|m 2－m ＋1|5＝（m －12）2＋345≥320. 答案：32010.已知正方形的中心为点M (－1，0)，一条边所在直线的方程是x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．解：设与直线x ＋3y －5＝0平行的直线为x ＋3y ＋m ＝0，则中心M (－1，0)到这两直线等距离，由点到直线的距离公式得|－1－5|12＋32＝|－1＋m |12＋32⇒|m －1|＝6＝⇒m ＝7或m ＝－5. ∴与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线方程为3x －y ＋n ＝0， 则由|－3＋n |32＋12＝|－1－5|32＋12， 得|n －3|＝6⇒n ＝9或n ＝－3，∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.11.(创新题)已知定点P (－2，－1)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，λ∈R.求证：不论λ取何值时，点P 到直线l 的距离不大于13.证明：法一：由点到直线的距离，得P (－2，－1)到直线l 的距离d ＝|（1＋3λ）·（－2）＋（1＋2λ）·（－1）－（2＋5λ）|（1＋3λ）2＋（1＋2λ）2 ＝|13λ＋5|13λ2＋10λ＋2. 整理，得(13d 2－169)λ2＋(10d 2－130)λ＋2d 2－25＝0.∵λ∈R ，∴Δ＝(10d 2－130)2－4(13d 2－169)(2d 2－25)≥0，解得0≤d ≤13.故结论成立．法二：由已知l 的方程得x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴直线l 过定点M (1，1)．当且仅当l与PM垂直时，点P到l的距离最大，故0≤d≤13.。

2021-2022年高中数学电子题库第1章1.3第二课时知能演练轻松闯关苏教版必修11.(xx·上冈高级中学高一期中测试题)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)．若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：在数轴上表示出A、B，要使A⊆B，则必须a≥4.答案：[4，＋∞)2.写出满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的所有可能情况：________．解析：A中必含5，至多含1，3，5.答案：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}3.(xx·姜堰中学高一期中试题)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设喜欢篮球运动学生的全体为集合A，喜爱乒乓球运动学生的全体为集合B，全班学生构成全集U，画出Ve nn图，可知既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为：15＋10＋8－30＝3，故喜欢篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：124.在图中用阴影部分表示下列集合(图中的圆分别表示集合A，B，C)：(1)A∩B∩C；(2)∁U(A∩B)；(3)∁B(A∩B)．答案：[A级基础达标]1.有下列四个推理：①a∈A⇒a∈A∪B；②a∈A∪B⇒a∈A∩B；③A∪B＝B⇒A⊆B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的序号为________．解析：①A⊆A∪B，∴a∈A⊆A∪B；②A∩B⊆A∪B，∴a∈A∪B不一定有a∈A∩B；③，④也成立．故正确的有①③④.答案：①③④2.图①，图②中阴影部分所表示的集合分别为________，________.解析：图①中阴影部分的元素属于B ，但不属于A 或C ；图②中阴影部分的元素属于A 或C ，但不属于B.答案：B∩∁U (A∪C) (A∪C)∩(∁U B)3.已知全集U ＝{x |0≤x <10，x ∈N }，A ∪B ＝U ，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，则集合B ＝________． 解析：U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{0，2，4，6，8}．答案：{0，2，4，6，8}4.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B≠∅，若A∪B＝A ，则m 的取值范围为________．解析：∵A∪B＝A ，∴B ⊆A.又B≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1.∴m 的取值范围为2<m ≤4.答案：2<m ≤45.高三(1)班共54人，在今年高考中，两门选修科目物理与化学，其中物理得A(或A ＋)的20人，化学得A(或A ＋)的15人，两门均得A(或A ＋)的共10人，则两门选修均未得A(或A＋)的人数是________．解析：设物理得A(或A ＋)的人组成集合M ，化学得A(或A ＋)的人组成集合N ，全集为高三(1)班全体同学，则M 中元素20个，N 中15个，M ∩N 中10个，画出Ve nn 图易得两门均未得A(或A ＋)的人数为54－(10＋10＋5)＝29.答案：296.(xx·江苏省南通第一中学期中试题)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，集合B ＝{x |2<x <8}，求∁R (A∪B)及(∁R A)∩B.解：(1)A∪B＝{x |2<x <8}，∁R (A∪B)＝{x |x ≤2或x ≥8}．(2)∁RA ＝{x |x <3或x ≥7}，(∁R A)∩B＝{x |2<x <3或7≤x <8}．7.(xx·扬州市三校高一期中试题)设集合A ＝{x |a≤x ≤a＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，分别就下列条件，求实数a 的取值范围：①A∩B≠∅；②A ∩B ＝A.解：(1)∵A∩B≠∅，∴a<－1或a ＋3>5，即a<－1或a>2.(2)∵A∩B＝A ，∴A ⊆B ，∴a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5.[B 级 能力提升]8.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－a x ＋a －1＝0}，若A∪B＝A ，则a 的值为________．解析：由题意，集合B 可能为∅，{1}，{2}与{1，2}，分别讨论得a ＝2或3.答案：2或39.已知非空集合A ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，B ＝{(x ，y )|y ＝(5－3a)x －2a}．若A∩B＝∅，则a ＝________.解析：∵A、B 非空，A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a 2－1）x ＋（a －1）y ＝15，①y ＝（5－3a ）x －2a ， ②无解，把②代入①，得 (－2a 2＋8a －6)x ＝15＋2a 2－2a 无解，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2＋8a －6＝0，15＋2a 2－2a ≠0. ∵15＋2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋292>0， ∴只需求－2a 2＋8a －6＝0，即a ＝1或a ＝3.经检验，当a ＝1时方程不成立，A ＝∅与题设矛盾，故舍去，∴a ＝3.答案：310.设A ＝{x |a≤x <a ＋3}，B ＝{x |x >6或x <－2}，当a 为何值时，A ∪(∁RB)＝∁RB. 解：∵∁RB ＝[－2，6]，∴当a≥－2，且a ＋3≤6，即－2≤a≤3时，A ∪(∁RB)＝∁RB. 11.(创新题)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A∩B＝B ，求a 的取值；(2)若A∪B＝B ，求a 的取值．解：∵A＝{x |x 2＋4x ＝0}，∴A ＝{0，－4}．(1)∵A∩B＝B ，∴B ⊆A.①当B≠∅时，若0∈B，则a 2－1＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0} A.若－4∈B，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7或a ＝1.当a ＝7时，B ＝{x |x 2＋16x ＋48＝0}＝{－12，－4}，与A∩B＝B 矛盾，应舍去．②当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a<－1.综合①②所述，a ≤－1或a ＝1.(2)∵A∪B＝B ，∴A ⊆B.∵A ＝{0，－4}，而B 中最多有两个元素，∴A ＝B ，即a ＝1.30589 777D 睽25315 62E3 拣cZ C 35331 8A03 訃40243 9D33 鴳21743 54EF 哯40412 9DDC 鷜20319 4F5F 佟31844 7C64 籤*|。

1.判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“全体著名的文学家”构成一个集合．( )(2)小于8但不小于－2的偶数集合是{0，2，4，6}．( )(3)集合{0}中不含元素．( )(4){0，1}，{1，0}是两个不同的集合．( )解析：(1)标准不明确，研究的对象不具备确定性，故不可以构成集合．(2)小于8但不小于－2的偶数集合应为{－2，0，2，4，6}．(3)集合{0}中含有一个元素为0.(4)由集合中元素的无序性可知{0，1}与{1，0}是相同的集合．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2.给出下列关系：①12∈R ；② 2∉Q ；③|－5|∉N *； ④|－3|∈Q.其中正确的是________．(填序号)解析：|－5|＝5∈N *，故③不正确；|－3|＝3∉Q ，故④不正确；其他两个均正确．答案：①②3.集合A ＝{x |x ＝|a |a ＋|b |b，a ，b 为非零实数}的元素个数为________． 解析：若a >0，b >0，则x ＝2；若a <0，b <0，则x ＝－2；若a ，b 异号，则x ＝0.故A ＝{－2，0，2}．答案：34.如果集合{x |x 2－2x ＋a ＝0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：Δ＝4－4a <0得a >1.答案：a >15.用描述法表示下列集合：(1){0，1，2，3，4}＝________________________________________________________________________；(2){13，24，35，46，57}＝________________________________________________________________________；(3)不等式2x －4<3在自然数集合中的元构成的集合是________________________________________________________________________.解析：(1)抓住这几个元素的特征：都是自然数，且都不大于4，故可表示为{x |x ＝n ，n ∈N 且n ≤4}．(2)这5个分数都为真分数，分子比分母小2，且分子都在1到5之间，都为正整数．故可表示为{x |x ＝nn ＋2，1≤n ≤5且n ∈N}．(3)抓住元素的特征：为自然数，故可表示为{x |2x －4<3，x ∈N}．答案：(1){x |x ＝n ，n ∈N 且n ≤4}(2){x |x ＝nn ＋2，1≤n ≤5且n ∈N}(3){x |2x －4<3，x ∈N}[A 级 基础达标]1.(2012·江阴市一中高一期中试题)若1∈{x ，x 2}，则x ＝________．解析：由1∈{x ，x 2}，则x ＝1或x 2＝1，∴x ＝±1，当x ＝1时，x ＝x 2＝1，不符合元素的互异性，∴x ＝－1.答案：－12.用符号“∈”或“∉”填空：π________Q ，13________Q ，0________∅，2________R ，0________N *，32________{0，1，2}，－2________Z.答案：∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈3.集合A ＝{x 2，3x ＋2，5y 3－x }，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x |x －3＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．解析：集合A 是用列举法描述的．答案：B 、C 、D4.如图，是用Venn 图表示的集合，用列举法表示为________；用描述法表示为________． 解析：其中元素为－2，－1，0，1，2，3.答案：{－2，－1，0，1，2，3} {x |－3<x <4，x ∈Z} 5.若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素舍去．故a ＝－1，b ＝0.答案：－1，06.已知p ∈R ，且集合A ＝{x |x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x |x 2－92x －p ＝0}，若12∈A ，求集合B 中的所有元素．解：由12∈A ，得12为方程x 2－px －52＝0的一个根，代入得p ＝－92，从而B ＝{x |x 2－92x ＋92＝0}＝{32，3}，即集合B 中的元素为32和3. 7.已知集合A ＝{x |x ∈N，126－x∈N}, 用列举法表示集合A . 解：∵126－x∈N ，x ∈N ，∴6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.∴集合A ＝{0，2，3，4，5}．[B 级 能力提升]8.(2012·黄桥中学州市高一期中试题)已知集合M ＝{x 2－5x －5，1}，则实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2－5x －5≠1，∴x 2－5x －6≠0，∴(x ＋1)(x －6)≠0，∴x ≠－1且x ≠6.故x 的取值范围为{x |x ∈R，x ≠－1且x ≠6}．答案：{x |x ∈R，x ≠－1且x ≠6}9.已知集合A ＝{a ，b ，c }，若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是________．(填序号)①等腰三角形；②直角三角形；③锐角三角形；④钝角三角形；⑤等边三角形． 解析：由集合中元素的互异性可知a ，b ，c 互不相等，故应填①⑤.答案：①⑤10.用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；(4)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合．解：(1)满足条件的数为3，5，7，所以所求集合为B＝{3，5，7}．集合B是有限集．(2)所求集合可表示为C＝{(x，y)|x<0且y<0}．集合C是无限集．(3)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，故无实根，所以由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合是空集．(4)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合可表示为P＝{x|x是周长等于10 cm的三角形}．P为无限集．11.(创新题)已知集合A＝{x|x＝a＋2b，a∈Z，b∈Z}，试判断下列元素x与集合A间的关系：(1)x＝0；(2)x＝12＋1；(3)x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈A；(4)x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈A.解：(1)∵x＝0＝0＋0×2，取a＝b＝0，0∈Z，∴x∈A；(2)∵x＝12＋1＝2－1＝(－1)＋1×2，－1∈Z，1∈Z.∴x∈A；(3)∵x1∈A，x2∈A.∴有a1，a2，b1，b2∈Z，使得x1＝a1＋2b1，x2＝a2＋2b2，则x＝x1＋x2＝(a1＋a2)＋2(b1＋b2)，而a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，∴x∈A；(4)由(3)，x＝x1·x2＝(a1＋2b1)(a2＋2b2) ＝(a1a2＋2b1b2)＋2(a1b2＋a2b1)，而a1a2＋2b1b2∈Z，a1b2＋a2b1∈Z，故x∈A.。

苏教版数学必修2电子题库第1章1.2.1知能演练轻松闯关1.如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上________；②直线a在平面α内________；③点D在直线b上，点C在平面α内________．答案：①A∈a，B∈a②a⊂α③D∈b，C∈α2.若点A，B，C∈平面α，点A，B，C∈平面β，且A，B，C三点不共线，则α与β________．解析：由公理3可知，经过不在同一条直线上的三点A，B，C有且只有一个平面，所以α与β重合．答案：重合3.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________．解析：设α∩β＝l，∵A，B∈α且A，B∈β，∴A，B∈l.答案：α与β的交线上4.给出以下三个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；③两两相交的三条直线共面．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：③中三条直线两两相交于同一点时，可以不共面．①②都正确．答案：①②5.已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或3[A级基础达标]1.下列说法中正确的个数为________．①过三点至少有一个平面；②过四点不一定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有无数个平面；②正确，四点不一定共面；③正确．答案：32.①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．空间中，上述四个结论一定成立的是________(填上所有你认为正确的命题的序号)．解析：空间中，两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示．答案：①②④3.空间有四个点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三个点的平面有________个．解析：当四点共面时，经过三点的平面有1个；四点不共面时，经过其中的三点可画四个平面．答案：一或四4.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈5.已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们满足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C∉α，又直线AB∩l＝D，A、B、C三点确定的平面为γ，则平面β与平面γ的交线是________．解析：∵D∈l，l⊂β，∴D∈β，又C∈β，γ由A、B、C三点确定，∴AB⊂γ，C∈γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β与γ的交线．答案：直线CD6.已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G，求证：E、F、G三点共线．证明：如图，过A、B、C作一平面β，则AB⊂β，AC⊂β，BC⊂β.∴E∈β，F∈β，G∈β.设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G，∴E∈α，F∈α，G∈α.∴E、F、G必在α与β的交线上．∴E、F、G三点共线．7.已知：a∥b∥c，a∩d＝A，b∩d＝B，c∩d＝C，求证a，b，c，d共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵A∈a，∴A∈α.同理B∈α.∴AB确定的直线d⊂α.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.∵B∈b，∴B∈β.同理C∈β.∴BC确定的直线d⊂β.∵α与β同时过两相交直线b，d，∴α与β重合．∴a，b，c，d共面．[B级能力提升]8.A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在________上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．解析：(1)如图，由AB、AD确定平面α.∵E、H在AB、DA上，∴E∈α，H∈α，∴直线EH⊂α，又∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，P∈α.设BC、CD确定平面β，同理可证，P∈β，∴P是平面α，β的公共点，∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．同理可证(2)点Q在直线AC上．答案：(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线9.在如图所示的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________(填序号)．解析：图①中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；图②中，连结PS并延长交右上方棱的延长线于M.连结MR并延长，交右下方的棱于N.连结NQ，可知P、S、N、Q共面，所以P、Q、R、S四点共面．图③中SR∥PQ，∴P、Q、R、S四点共面．答案：①②③10.如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点．证明：如图所示，∵A1B1∥AB，∴A1B1与AB确定一平面α，同理，B1C1与BC确定一平面β，C1A1与CA确定一平面γ.易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，根据公理2知，P∈C1C，∴AA1、BB1、CC1交于一点．11.(创新题)求证：每两条都相交且不共点的四条直线，必在同一平面内．证明：记此四条直线为a，b，c，d.(1)存在三线共点，不妨设a，b，c共点P，则P∉d，故P，d确定一个平面α，又a，d相交，交点为Q，则Q≠P且P，Q∈α，又P，Q∈α，故a⊂α.同理b，c⊂α，即a，b，c，d共面α.(2)任意三线不共点，则a，b，c两两相交且不共点，由(1)的证明，得a，b，c共面α，设a∩d＝P，b∩d＝Q，则P≠Q，由P，Q∈d且P，Q∈α，得d⊂α，故a，b，c，d共面α.总之，两两相交且不共点的四线共面．。

1.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________．解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－32.已知函数y ＝|x |在[a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：画出函数y ＝|x |的图象(图略)，可知函数的单调增区间为[0，＋∞)，∴a ≥0. 答案：[0，＋∞)3.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0x 2，x <0的单调递增区间为________；单调递减区间为________． 解析：当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数．答案：[0，＋∞) (－∞，0)4.(2012·郑州高一检测)已知函数y ＝f (n )(n ∈N *)的函数值全为整数且该函数是一个单调增函数，若f (4)＝0，f (1)＝－4，则f (2)可能取的值是________．解析：由于函数y ＝f (n )(n ∈N *)是一个单调增函数且f (4)＝0，f (1)＝－4，所以－4<f (2)<f (3)<0，故f (2)可能取的值为－3或－2.答案：－3或－25.若f (x )在R 上是增函数且f (x 1)>f (x 2)，则x 1、x 2的大小关系为________．解析：由增函数的定义知，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2.答案：x 1>x 2[A 级 基础达标]1.函数y ＝－2x的单调递增区间为________． 解析：由函数y ＝－2x的图象可知增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞)2.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0”的是________(填序号)．①f (x )＝2x； ②f (x )＝－3x ＋1； ③f (x )＝x 2＋4x ＋3; ④f (x )＝x ＋1x 解析：由题意f (x )在(0，＋∞)上为增函数，函数f (x )＝2x及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f (x )＝x 2＋4x ＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③. 答案：③3.若函数f (x )＝k －x x在(－∞，0)上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：f (x )＝k x －1与函数y ＝k x 有相同的单调性，∴只要转化为函数y ＝k x在(－∞，0)上是减函数即可．答案：k>04.右图为y ＝f (x )的图象，则它的单调递减区间是________．答案：(－2，1)，(3，＋∞)5.设函数y ＝f (x )为R 上的减函数，且f (－2)＝0，则不等式f (x －1)>0的解集是________． 解析：f (x －1)>0即f (x －1)>f (－2)，由函数单调性知x －1<－2，故x <－1.答案：(－∞，－1)6.求证：函数f (x )＝－32x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 证明：任取区间(－∞，0)上的两个值x 1，x 2，设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，x 1x 2>0，因为f (x 1)－f (x 2)＝－32x 1－1－(－32x 2－1) ＝32×1x 2－1x 1＝32×x 1－x 2x 1x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝－32x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 7.判断函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明如下：设0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝(x 22－x 21)＋(1x 1－1x 2＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋1x 1x 2)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋1x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 1)<f (x 2)，即函数y ＝f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． [B 级 能力提升]8.若函数f (x )是定义在R 上的增函数，当a ＋b>0时给出下列四个关系：①f (a )＋f (b)<f (－a )＋f (－b)；②f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)；③f (a )＋f (－a )>f (b)＋f (－b)；④f (a )＋f (－a )<f (b)＋f (－b)．其中正确的关系序号为________．解析：∵a ＋b>0，即a >－b ，b>－a ，又∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b)，f (b)>f (－a )．∴f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)．答案：②9.已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a （x ＋2）＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2. ∵f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，∴1－2a <0，即a >12. 答案：a >1210.已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (2x －1)，求x 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1，－1≤2x －1≤1，x －1<2x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤1，x >0，∴0<x ≤1，∴x 的取值范围是(0，1]．11.(创新题)设函数f (x )＝x ＋a x ＋b(a >b>0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：f (x )的定义域为{x |x <－b 或x >－b}．设x 1，x 2∈(－∞，－b)，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋a x 2＋b＝（x 1＋a ）（x 2＋b ）－（x 2＋a ）（x 1＋b ）（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝（b －a ）（x 1－x 2）（x 1＋b ）（x 2＋b ）. ∵a >b>0，∴b －a <0，又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，故(b －a )(x 1－x 2)>0.又∵x 1＋b<0，x 2＋b<0，∴(x 1＋b)(x 2＋b)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0.即y ＝f (x )在(－∞，－b)上为减函数．同理可得f (x )在(－b ，＋∞)上也是减函数．因此，f (x )的单调减区间为(－∞，－b)和(－b ，＋∞)．。

苏教版数学必修2电子题库第1章1.2.4第二课时知能演练轻松闯关1.下列命题中，是真命题的为________(填序号)．①二面角的大小范围是大于0°且小于90°；②一个二面角的平面角可以不相等；③二面角的平面角的顶点可以不在棱上；④二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直．解析：二面角的大小范围是[0°，180°]，故①不正确；一个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角必相等，故②为假命题；由二面角的平面角的定义可知③不正确；由线面垂直的判定定理可知④正确．答案：④2.过直二面角α－l－β的面α内的一点P作l的垂线a，给出以下四个命题：①a⊥β；②垂线a是惟一的；③垂线a有无数条，且它们共面；④垂线a有无数条，且它们都不与β垂直．其中正确的命题为________．(写出所有正确的命题序号)解析：条件只说明a上有一点P在α内，所以垂线a可以在α内，也可以不在α内．答案：③3.下列说法中正确的是________(填序号)．①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．答案：③4.锐二面角α－l－β，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．解析：如图，作AO ⊥l 于O ，作AC ⊥β于C ，连结BC ，OC .∴在Rt △AOB 中，设AB ＝1，则AO ＝22，∵在Rt △ACB 中，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝12，∴在Rt △ACO 中，sin ∠AOC ＝AC AO ＝1222＝22，∴∠AOC ＝45°.答案：45°5.如图，把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是________．解析：在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.过D作DE⊥BC于E，连结AE，则E为BC的中点，且AE⊥BC，所以AE即为点A到BC的距离．易知，AD＝32a，△BCD是边长为a2的等边三角形，所以DE＝34a，AE＝AD2＋DE2＝154a.答案：154a[A级基础达标]1.自正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB和平面PAD所成二面角大小是________．解析：画出图形，∠BAD即为所求二面角的平面角．∵∠BAD＝90°，∴所求二面角为90°.答案：90°2.用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中正确说法的序号为________．解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a 与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．答案：①④3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．解析：面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，面PAD⊥面PAB. 答案：54.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.解析：如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.答案：④5.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线AC 、BD ，交于点O ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD . ∴BD ⊥平面OAC ，∴BD ⊥AC ，OA ＝OC ＝OD ，且两两垂直， ∴AC ＝CD ＝AD ，△ACD 是等边三角形． ∠ABO ＝45°为AB 与平面BCD 所成的角，取AD 、AC 的中点E 、F ，易证OE ＝EF ＝OF ＝12CD .△OEF 为等边三角形，∴AB 与CD 成60°角．∴①②④正确． 答案：①②④6.如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA . 求证：(1)平面AMD ∥面BPC ； (2)平面PMD ⊥面PBD .证明：(1)∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，∴PB∥MA.∵MA⊄平面BPC，PB⊂平面BPC，∴MA∥平面PBC，同理AD∥平面PBC.又∵MA∩AD＝A，∴平面AMD∥平面BPC.(2)连AC交BD于O，取PD中点N，连结ON、MN，∵MA 12PB，ON12PB，∴MA NO，∴四边形MAON为平行四边形，∴MN∥AO.∵AO⊥BD，PB⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD.∴AO⊥PB，∴AO⊥平面PBD，∴MN⊥平面PBD.又∵MN⊂平面PMD，∴平面PMD⊥平面PBD.7.如图，已知平面α∩平面β＝AB，平面γ⊥β，γ∩β＝CD，CD⊥AB.求证：γ⊥α.证明：在平面γ内作直线MN⊥CD，N为垂足(图略)．∵平面γ⊥平面β，则MN⊥β，而AB⊂β，∴AB⊥MN.由已知AB⊥CD，且CD∩MN＝N，∴AB⊥平面γ，又AB⊂平面α，∴α⊥γ.[B级能力提升]8.已知E是正方形ABCD的边BC的中点，沿BD将△ABD折起，使之成为直二面角，则∠AEB ＝________．//////解析：在折起后的空间图形中，过A作AO⊥BD于O，则O为BD的中点，由折起后的图形是直二面角，可得AO⊥平面BCD，∴BC⊥AO.连结OE，则OE∥CD，∴BC⊥OE，故BC⊥平面AOE，从而∠AEB＝90°.答案：90°9.(2010·高考四川卷)如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC＝a，则AB＝2a，AD＝32a，∴sin∠ABD＝32a2a＝34.答案：3 410.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．求证：平面EFG⊥平面PDC.证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PCD.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.11.(创新题)已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别是AB，AC，AD以及BC的中点．求证：面EHG⊥面FHG.证明：法一：如图，取CD中点M，连结HM，MG，则四边形MHEG为一菱形．连结EM交HG于O，连结FO.在△FHG中，O为HG中点，且FH＝FG，∴FO⊥HG.同理可证FO ⊥EM ，∴FO ⊥面EHMG . 又FO ⊂面FGH ，∴面EHG ⊥面FHG . 法二：取HG 中点O ，连结FO ，EO ， 则易证FO ⊥HG ，EO ⊥HG .∴∠EOF 为二面角E －HG －F 的平面角． 设四面体ABCD 的棱长为1，则EF ＝12，EO ＝FO ＝12HG ＝24，在△EFO 中，EO 2＋FO 2＝18＋18＝14＝EF 2，∴∠EOF ＝90°，∴面EHG ⊥面FHG .。

苏教版数学必修2电子题库第1章1.2.3第二课时知能演练轻松闯关1.如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.答案：平行2.下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．答案：24.下列说法中正确的个数是________．①如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直；③如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．答案：25.若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，则A到α的距离为________．解析：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH＝45°.在Rt△ABH中，AH＝AB sin45°＝3 2.答案：3 2[A级基础达标]1.已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b 和c的位置关系是相交、平行或异面．答案：相交，平行或异面2.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直3.如图，边长为22的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为2，则AD 与α所成的角为________．解析：在Rt△AED中，AE＝2，AD＝22，∴∠ADE＝30°.答案：30°4.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.答案：①5.如图，PA⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB，△PAC为直角三角形．∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．∵BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.∴△PBC也为直角三角形．答案：46.如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC.求证：AC⊥平面PBD.证明：设AC∩BD＝O，连结PO(图略)．∵PA＝PC，∴AC⊥PO.又ABCD为菱形，∴AC⊥BD.而PO∩BD＝O，PO，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.7.已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图，过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，则AO ⊥CD .连结OB ，OC ， ∵AB ⊥CD ，AO ∩AB ＝A ， ∴CD ⊥平面AOB ，∴BO ⊥CD .同理得CO ⊥BD ，∴O 是△BCD 的垂心． 连结DO 并延长交BC 于M ，则DM ⊥BC ， 而AO ⊥BC ，AO ∩DM ＝O ，∴BC ⊥平面AOD ， ∴BC ⊥AD .[B 级 能力提升]8.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________． 解析：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩PA ＝P ， ∴QD ⊥平面APQ ，∴AQ ⊥QD .即Q 在以AD 为直径的圆上，当半圆与BC 相切时，点Q 只有一个．故BC ＝2AB ＝2，即a ＝2. 答案：29.正△ABC 边长为a ，沿高AD 把△ABC 折起，使∠BDC ＝90°，则B 到AC 的距离为________． 解析：如图，作DH ⊥AC 于H ，连结BH .∵BD ⊥AD ，BD ⊥DC ，AD ∩DC ＝D ，∴BD ⊥平面ACD .从而BD ⊥DH ， ∴DH 为BH 在平面ADC 内的射影，∴BH ⊥AC ，又正△ABC 边长为a ，∴DH ＝34a ，∴BH ＝BD 2＋DH 2＝74a . 答案：74a10.如图，已知α∩β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明：∵EA⊥α，l⊂α，∴EA⊥l.同理EB⊥l.∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a.又AB⊥a，AB∩EB＝B，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.11.(创新题)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，M为DE的中点，将△AED 沿DE折起，使AB＝AC.求证：AM⊥平面BCDE.证明：取BC中点N，连结MN，AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.又MN⊥BC，MN∩AN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴BC⊥AM.∵AD＝AE，∴AM⊥DE.而直线BC与DE为相交直线，∴AM⊥平面BCDE.。

苏教版数学必修2电子题库 第2章2.1.4知能演练轻松闯关1.直线3x －2y －5＝0和6x ＋y －5＝0的交点坐标是________． 答案：(1，－1)2.已知直线3x ＋5y ＋m ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在x 轴上，则m ＝________．解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)．则(－1，0)在直线3x ＋5y ＋m ＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m ＝0，∴m ＝3. 答案：33.过直线x ＝－1和y ＝2的交点，且斜率为－1的直线的方程为________．解析：交点为(－1，2)，所求直线的方程为y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝04.l 过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且与直线x －2y ＝2平行，则直线l 的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点为(1，6)．又∵l 与x －2y －2＝0平行，∴l 的方程为y －6＝12(x －1)，即x －2y ＋11＝0.答案：x －2y ＋11＝05.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则实数k 的值等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0中得k ＝－12.答案：－12[A 级 基础达标]1.若直线2x ＋3y －m ＝0和x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，则m 的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －m ＝0x －my ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2－362m ＋3y ＝m ＋242m ＋3，令x ＝0，解得m ＝6或m ＝－6. 答案：6或－62.直线y ＋(m 2－2)x ＋1＝0与直线y －x ＋m ＝0有公共点，则m 的取值范围是________．解析：两直线有公共点即两直线不平行，若两直线平行，则m 2－2－1＝1≠1m，m ＝－1，故m ≠－1时，两直线有公共点． 答案：{m |m ≠－1}3.两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围为________．解析：联立两直线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －63＋m2，y ＝6＋4m 3＋m2.由交点位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m3＋m2＞0，解得－32＜m ＜2.答案：－32＜m ＜24.(2012·苏州质检)若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a 、b 的值分别为________、________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0x －2y ＋3＝0，得交点B (1，2)，代入方程ax ＋by －11＝0中有a ＋2b －11＝0. ①又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34，②11b ≠12.③ 由①②③知a ＝3，b ＝4. 答案：3 45.设两直线(m ＋2)x －y －2＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴构成三角形，则m 的取值范围为________． 解析：∵(m ＋2)x －y －2＋m ＝0与x 轴相交，∴m ≠－2，又(m ＋2)x －y －2＋m ＝0与x ＋y ＝0相交， ∴m ＋2≠－1，∴m ≠－3，又∵x ＋y ＝0与x 轴交点为(0，0)， ∴(m ＋2)·0－0－2＋m ≠0， ∴m ≠2，故m ≠±2，且m ≠－3. 答案：{m |m ≠±2，且m ≠－3}6.求经过直线2x ＋y ＋8＝0和x ＋y ＋3＝0的交点，且与直线2x ＋3y －10＝0垂直的直线方程．解：法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋8＝0，x ＋y ＋3＝0，得交点P (－5，2)，因为直线2x ＋3y －10＝0的斜率k ＝－23，所以所求直线的斜率是32.因此所求直线方程为3x －2y ＋19＝0. 法二：设所求直线方程为3x －2y ＋m ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋8＝0，x ＋y ＋3＝0，得交点P (－5，2)，把点P的坐标(－5，2)代入3x －2y ＋m ＝0中，求得m ＝19，故所求直线方程为3x －2y ＋19＝0. 法三：设所求直线的方程为2x ＋y ＋8＋λ(x ＋y ＋3)＝0，即(2＋λ)x ＋(1＋λ)y ＋8＋3λ＝0，(*)．因为所求直线与直线2x ＋3y －10＝0垂直，所以－2＋λ1＋λ＝32，解得λ＝－75，把λ＝－75代入(*)式，得所求直线方程为3x －2y ＋19＝0. 7.当实数m 为何值时，直线mx ＋y ＋2＝0与直线x ＋my ＋m ＋1＝0：(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：m ＝0时，两直线互相垂直，属相交．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－m ，b 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－1m ，b 2＝－m ＋1m.(1)两直线平行⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－1m，－2≠－m ＋1m .∴m ＝－1.(2)两直线重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－1m，－2＝－m ＋1m ，∴m ＝1.(3)两直线相交⇔m ≠1且m ≠－1.[B 级 能力提升]8.不论m 怎样变化，直线(m ＋2)x －(2m －1)y －(3m －4)＝0恒过定点________． 解析：原方程可化为：m (x －2y －3)＋(2x ＋y ＋4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝02x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2， ∴直线恒过定点(－1，－2)． 答案：(－1，－2)9.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．解析：由两条直线互相垂直得－m 4×25＝－1，即m ＝10.由于点(1，p )在两条直线上，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0. 可解得p ＝－2，n ＝－12，∴m ＋p －n ＝10－2＋12＝20. 答案：2010.(2012·苏北五市联考)已知 △ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0，求顶点C 的坐标． 解：(1)由题意BH 与AC 垂直，∴k BH ·k AC ＝12k AC ＝－1.∴k AC ＝－2，∴直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝02x ＋y －11＝0，得点C 的坐标为(4，3)．11.(创新题)已知三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0，求分别满足下列条件的m 的值：(1)使这三条直线交于同一点； (2)使这三条直线不能构成三角形．解：(1)要使三条直线交于同一点，则l 1与l 2不平行，所以m ≠4.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －4＝0，mx ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44－m ，y ＝－4m4－m，即l 1与l 2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m .代入l 3的方程得2×44－m －3m ·－4m 4－m －4＝0，解得m ＝－1或23.(2)若l 1，l 2，l 3交于同一点，则m ＝－1或23；若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 无解．综上所述，m ＝－1，或23，或4，或－16.。

苏教版数学选修1-1电子题库 第1章1.2知能演练轻松闯关1.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．①(綈p )或q ；②p 且q ；③(綈p )且(綈q )；④(綈p )或(綈q )．解析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p )或(綈q )为真命题．答案：④2.由命题p ：“矩形有外接圆”，q ：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题中真命题是________．解析：由p 真q 假可得．答案：p 或q3.命题“5的值不超过3”看作“非p ”形式时，则p 为________．解析：不超过的否定为超过，注意格式上的否定，不关注真假． 答案： 5 >34.已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1或p 2；q 2：p 1且p 2；q 3：(綈p 1)或p 2；q 4：p 1且(綈p 2)中，真命题有________．解析：易知p 1是真命题；对p 2，取特殊值来判断，如取x 1＝1<x 2＝2，得y 1＝52<y 2＝174；取x 3＝－1>x 4＝－2，得y 3＝52<y 4＝174，故p 2是假命题．由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真． 答案：q 1，q 45.若p 、q 是两个命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则p 、q 的真假性是________． 解析：由p 或q 的否定是真命题，即p 或q 为假命题，因此p 、q 为假命题． 答案：p 假q 假[ＴA 级 基础达标]1.若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是________． ①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈p 且綈q .解析：因为命题p 真，命题q 假，所以“p 或q ”为真．答案：②2.对于命题p 、q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或綈q 是真命题；②p 且綈q 是真命题；③綈p 且綈q 是假命题；④綈p 或q 是假命题．其中真命题是________．解析：∵p 且q 真，则p 真，q 真，∴綈p 假，綈q 假，所以只有①③为真命题． 答案：①③3.4名学生参加一次数学竞赛，每人预测情况如下甲：如果乙获奖，那么我就没获奖；乙：甲没有获奖，丁也没有获奖；丙：甲获奖或者乙获奖；丁：如果丙没有获奖那么乙获奖．竞赛结果只有1人获奖且4人预测恰有3人正确，则________获奖．解析：若甲获奖，则甲、丙对，乙，丁错；若乙获奖，则甲、乙、丙、丁都对；若丙获奖，则甲、乙、丁对，丙错；若丁获奖，则甲对，乙、丙、丁错，因此学生丙获奖了．答案：学生丙4.给出两个命题：p ：|x |＝x 的充要条件是x 为正实数，q ：奇函数的图象一定关于原点对称，则(綈p )∧q 为________命题(填真、假)．解析：∵p 为假命题，∴綈p 为真命题，又∵q 为真命题，故(綈p )∧q 为真命题．答案：真5.若命题p ：不等式4x ＋6>0的解集为{x |x >－32}，命题q ：关于x 的不等式(x －4)(x －6)<0的解集为{x |4<x <6}，则“p 且q ”，“p 或q ”，“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因为命题p 为真命题，q 为真命题，所以“綈p ”为假命题，“p 或q ”，“p 且q ”为真命题．答案：p 或q ，p 且q6.指出下列命题的形式及其构成．(1)若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；(2)一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形．解：(1)是非p 形式的复合命题，其中p ：若α是一个三角形的最小内角，则α>60°.(2)是p 且q 形式的复合命题，其中p ：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q ：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形．(3)是p 或q 形式的复合命题，其中p ：有一个内角为60°的三角形是正三角形，q ：有一个内角为60°的三角形是直角三角形．7.分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的命题的真假．(1)p ：6<6.q ：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等．q ：梯形的对角线互相平分；(3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点．q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解；(4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数．q ：函数y ＝cos x 是奇函数．解：(1)∵p 为假命题，q 为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．(2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题．(3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．(4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．[B 级 能力提升]8.由下列各组构成的命题中，p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真的是________．①p ：3＋2＝6；q ：5>3；②p ：3是偶数；q ：4是奇数；③p ：a ∈{a ，b }；q ：{a }{a ，b }；④p ：Z R ；q ：N ＝N.解析：①中p 假q 真；②中p 假q 假；③中p 真q 真；④中p 真q 真．答案：①9.已知命题p ：集合{x |x ＝(－1)n ，n ∈N}只有3个真子集，q ：集合{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }与集合{x |y ＝x ＋1}相等．则下列新命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q .其中真命题的个数为________．解析：命题p 的集合为{－1，1}，只有2个元素，有3个真子集，故p 为真；q 中的两个集合不相等，故q 为假，因此有2个新命题为真．答案：210.设函数f (x )＝Ｔlg ax －5x 2－a的定义域为A ，若命题p ：3∈A 与q ：5∈A 有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a >0， 若p ：3∈A 为真，则3a －59－a >0，即53<a <9； 若q ：5∈A 为真，则5a －525－a>0，即1<a <25； 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧53<a <9a ≤1或a ≥25，所以a 无解；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤53或a ≥91<a <25，所以1<a ≤53或9≤a <25. 综上，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53∪[9，25)． 11.(创新题)数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能做我的丈夫．”盒子上的话如图所示，求婚者猜中了，你知道他是怎样猜中的吗？解：金盒上的铭牌：“肖像在这盒里”(即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是两个命题，其中一个是另一个的否定．依据简易逻辑知识，可知：一句话要么是真，要么是假，两者必具其一，因此可以得出结论，这两句话必是一真一假．又因为三句话中只有一句是真话，所以银盒的铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子里”就肯定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里．。

苏教版数学必修2电子题库 第1章1.1.4知能演练轻松闯关1.关于用斜二测画法画直观图有下列四种说法：①用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的平面图形；②几何体的直观图的长、宽、高的比例与原几何体的长、宽、高的比例相同；③水平放置的矩形的直观图是平行四边形；④水平放置的圆的直观图是椭圆．其中正确的说法是________．(写出所有正确说法的序号)解析：注意斜二测画法的规则，可知②不正确，①③④都正确． 答案：①③④2.用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则正五边形的各个角________(填“相等”、“不相等”、“不全相等”)．解析：作出直观图可知各个角不全相等． 答案：不全相等3.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A ′B ′∥y 轴，则原图中△ABC 是________三角形． 解析：∵A ′B ′∥y 轴，∴∠B ′A ′C ′＝45°，∴∠BAC ＝90°. 即△ABC 是直角三角形． 答案：直角4.如图，线段OA 在平面xOy 中，它与x 轴的夹角为45°，它的长为22，则直观图中O ′A ′的长为________．解析：如图，原图中的AB (B 为AB 垂直x 轴的垂足)对应直观图中的A ′B ′(A ′B ′平行y ′轴，B ′为A ′B ′与x ′轴的交点)，则A ′B ′＝1，过A ′作O ′x ′的垂线，垂足为D ′，∠A ′B ′D ′＝45°.∵B ′D ′＝22，A ′D ′＝22，∴O ′A ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝5＋2 2.答案： 5＋2 2[A 级 基础达标]1.有下列说法：①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的空间图形； ②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线； ④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式． 其中正确说法的个数是________．解析：利用平行投影与中心投影的概念逐一判断，以上四句话都正确． 答案：42.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是________(填序号)． ①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变；②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同． 解析：画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时， ∠x ′O ′y ′也可以是135°. 答案：③ 3.水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：原图为Rt △ABC 且AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边上的中线长为52.答案：524.如图所示，用斜二测画法作△ABC 水平放置的直观图，得△A 1B 1C 1，其中A 1B 1＝B 1C 1，A 1D 1是B 1C 1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是________．(填序号) ①AB ＝BC ＝AC ；②AD ⊥BC ；③AC ＞AD ＞AB ＞BC ； ④AC ＞AD ＞AB ＝BC .解析：由直观图画出原实际图形，如图所示，知AB ＝2BC ，∠ABC ＝90°. 答案：③5.如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：画出直观图(图略)，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.答案：226.用斜二测画法画出水平放置的正六边形的直观图．解：画法：(1)如图①所示，在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，x 轴和y 轴相交于点O ；任取点O ′，画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)如图②所示，以点O ′为A ′D ′及G ′H ′的中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取G ′H ′＝12GH ，以点H ′为E ′F ′的中点画F ′E ′∥O ′x ′，并使F ′E ′＝FE ；再以G ′为B ′C ′的中点画B ′C ′∥O ′x ′，并使B ′C ′＝BC .(3)顺次连结A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′、A ′，并擦去辅助线，所得到的六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′就是水平放置的正六边形ABCDEF 的直观图，如图③所示．7.如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC . 解：(1)画法：过C ′，B ′分别作y ′轴的平行线交x ′轴于D ′，E ′；(2)在直角坐标系xOy 中．在x 轴上取二点E ，D 使OE ＝O ′E ′，OD ＝O ′O ′，再分别过E ，D 作y 轴平行线，取EB ＝2E ′B ′，DC ＝2D ′C ′.连结OB ，OC ，BC 即求出原△ABC .[B 级 能力提升]8.一个建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样．已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m ，10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为________． 解析：由比例尺可知图形中长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和0.8 cm ，再结合直观图的特征，图形的尺寸应为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm. 答案：4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm9.右图为水平放置的矩形ABCD 的斜二测图，已知A ′B ′＝4，A ′D ′＝1.5，则矩形ABCD 的面积为________．解析：由斜二测画法可知，AD ＝3. ∴S 矩形ABCD ＝AD ×AB ＝3×4＝12. 答案：1210.画棱长为2 cm 的正方体的直观图． 解：如图，按如下步骤完成：第一步 作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使∠BAD ＝45°，AB ＝2 cm ，AD ＝1 cm.第二步 过A 作z ′轴，使∠BAz ′＝90°.分别过点B ，C ，D 作z ′轴的平行线，在z ′轴及这组平行线上分别截取AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝2 cm.第三步 连结A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′，得到的图形就是所求的正方体直观图． 11.(创新题)我们知道用斜二测画法画平面图形的直观图时，只要确定特殊点的位置即可连线成图，请用斜二测画法画出圆的水平放置的直观图．解：(1)如图①，在圆O 上取互相垂直的直径AB 和CD ，分别以它们所在直线为x 轴和y 轴，将线段AB 分成n 等份，过各分点分别作y 轴的平行线，交圆O 于E ，F ，G ，H ，…，画对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)如图②，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取C ′D ′＝12CD ，将A ′B ′分成n 等份，分别以这些分点为中点，画与y ′轴平行的线段E ′F ′，G ′H ′，…，使E ′F ′＝12EF ，G ′H ′＝12GH ，…； (3)用平滑曲线顺次连结A ′，…，D ′，F ′，H ′，…，B ′，G ′，E ′，C ′，…，A ′，并擦去辅助线，得到圆的水平放置的近似直观图，如图③.。