2014南通高三期末统考数学试题及答案

A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱,其中s 为圆柱的表面积,h 为高．圆柱的侧面积公式:=S cl 圆柱,其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． (1）【2014年江苏,1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏,2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位），则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥,因此输出的5n =． （4)【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法,因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=,2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅,()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．(6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．(7）【2014年江苏，7,5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =,8642a a a =+,则6a 的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+,4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8)【2014年江苏，8,5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==,所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．(9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．255【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+,所求弦长为2292552245l r d =--． (10)【2014年江苏,10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，,都有()0f x <成立，则实数m的取值范围是________．【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩,解得202m -<<． （11)【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数）过点(25)P -，,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-． （12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中,已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________． 【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-, 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点（互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点,则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏,14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是_______．【答案】624-【解析】由已知sin 2sin 2sin A B C +=及正弦定理可得22a b c +=，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==223222262262884a b ab ab ab ab ab +---=≥=,当且仅当2232a b =，即23a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为624-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．(15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，,5sin 5α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-， ()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-．（2)∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2)平面BDE ⊥平面ABC ． 解：(1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°,∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ,∵DE ⊂平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面ABC ．(17)【2014年江苏,17,14分】如图,在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，,连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结1FC ． （1)若点C 的坐标为()4133，,且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 解：（1)∵()4133C ，，∴22161999a b+=,∵22222BF b c a =+=,∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=．（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线,∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组,解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上,∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =,∴5c a =， 5． （18）【2014年江苏,18，16分】如图，为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1)求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一:（1）如图,以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A （0, 60),C （170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ,所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为（a ，b ），则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ． (2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,（0≤d ≤60）．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M （0，d ）到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥,解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大,即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二:（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60，OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m （0≤d ≤60）．因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．(19)【2014年江苏,19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数;(2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，,使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：(1)x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>,则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-,当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--， ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增;当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==,∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->;当e a =时,()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值;(3)证明:对任意的等差数列{}n a ,总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时,112a S ==，∴1n =时,11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．(2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+,对n *∀∈N ,m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+,∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =,∴1d =-．（3)设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-,令1(2)n T m a =-,则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =;当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同,即(3)n n -非负偶数,m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+,令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ,即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立, 即{}n c 为“H 数列”,因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21—A ）【2014年江苏，21—A ，10分】（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明:∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21—B ）【2014年江苏,21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,x y ，为实数,若A α=B α，求x y ，的值．解:222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α,由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C,10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =． （21-D ）【2014年江苏,21—D ，10分】（选修4-5：不等式选讲)已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以（1+x +y 2）（ 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（22）【2014年江苏,22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球,3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．(2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23)【2014年江苏,23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>,设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值;（2）证明：对任意的n *∈N ,等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解:（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x xf x f x x x x '⎛⎫'===-⎪⎝⎭, 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+, 故122()()1222f f πππ+=-．(2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+,类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+,344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i)当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立， 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时，等式也成立．综合(i)，(ii ）可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ）．所以1()()444n n nf f πππ-+=（n ∈*N )．。

南通市2014届高三数学临门一脚数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ．(第8题图)(第10题图)(第9题图)9法流程图．若输入A =3，B 则输出A ，B 的值分别▲ ．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．(第15题图)BAC如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．(第17题图)图1图2(第16题图)设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1+的最大值．D(第21A 图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．23．（本小题满分10分）设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．南通市2014届高三数学临门一脚参考答案与评分建议数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 答案：3．2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 答案：-2i ．3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 答案：16． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 答案：25．(第10题图)(第9题图)8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ． 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ． 答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ． 答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 答案：ln 31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，(第8题图)a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，|AB AC-|=3，|BC BA-|=5，|CA CB-|=7．(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长．解：(1)依题意BC=3，CA=5，AB=7．······························································1分由余弦定理，得222cos2CB CA ABCCB CA+-=⋅⋅=12-．·········································4分因0<C<π，··························································································6分故C=23π．··························································································8分(2)由余弦定理，得13cos14A=．·······························································11分在△ADC中，AD=72，CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos A=194，于是CD．··················································································14分16．（本小题满分14分）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD3π，M为BD的中点，平面ABCD⊥平面ABEF．求证：(1)BF⊥平面DAF；(2)ME∥平面DAF．(第15题图)B AC(第16题图)解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ············································································3分 因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ···························································4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形， 所以ME ∥NF ．···················································································11分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·············································································14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π．所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (第17题图)图1图2(2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b +=，将(1，1)代入得221112b b+=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．·············································5分(2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．······························································10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以212S OM x =⋅=． ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ·············································16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ······································································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···································16分20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a -与曲线y =g (x )=ex x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1e xx-=0，得x =1．列表： ·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e)．于是题设等价于0<12a -<1e ⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分 (2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x xx --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02xx x x --<， 于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)，故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分D(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1+的最大值．解：因 a 、b 、c ＞0，故+)2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分+≤，==a =b =c =13时，取“=”．．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。

南通市2014届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为▲ ． ．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，．7． 若函数32()fx x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-，则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）（第5题）【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ．10y +--=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ． 【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ． 【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．PABCDE （第16题）【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=， 亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分（方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分（2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得s i n ()c o sc o s s i n A B a B bA C c --=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．PABCDE（第16题）FM 因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥． 因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分（2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天， 浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分 因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a --.令44a --≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b ab+=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分 （2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分 因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=， 即()()222182y x +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分 ②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分（方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． ……………15分当k ＝0，S △AMB 116129=⨯=>；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． ……………16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OM k k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nS n S =，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立． 故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分（3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a=时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a --+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设ab cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ab c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|， 所以|1|||1(x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3． 所以|1||x ax a-++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()2201CE x y λλ=+-=+，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212|||⋅=n n|n n ．解得λ=±233－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． (10)分23.（本小题满分10分）设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数． 【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：77181111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ．显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C k kk -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

海门市三厂中学1.已知函数f(x)=13 x 3+12 x 2+ax+2，x ∈[1,2]的图像上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则a 的取值范围为___________.解：f ’(x)=x 2+x+a 在x ∈[1,2]上递增，则f ’(x) ∈[a+2,a+6],依题意有：(a+2)(a+6)≤-1,解得： -4- 3 ≤x ≤-4+ 32. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形. （I ）求椭圆方程；（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OP OM ∙为定值；（III ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（I ）222,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+y x ,………4分（Ⅱ）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→→,直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x y y +=，代入椭圆4222=+y x 得042121)81(2020220=-+++y x y x y ,8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x ，882001+=∴y y y ，)88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ，48324888)8(42020********=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值）,………10分（III）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥,, ………14分3. 已知函数x e x f x 2)(-=，m x x g +=2)(（R m ∈）（Ⅰ）对于函数)(x f y =中的任意实数x ，在)(x g y =上总存在实数0x ，使得)()(0x f x g <成立，求实数m 的取值范围（Ⅱ）设函数)()()(x g x af x h -=，当a 在区间]2,1[内变化时， （1）求函数)(x h y '= ]2ln ,0[∈x 的取值范围；（2）若函数)(x h y =]3,0[∈x 有零点，求实数m 的最大值.解：（Ⅰ）原命题⇔<min )]([x g min )]([x f ，先求函数)(x f y =的最小值02)(=-='x e x f ，得2ln =x .当2ln >x 时，0)(>'x f ；当2ln <x 时，0)(<'x f ，故当2ln =x 时，)(x f y =取得极（最）小值，其最小值为2ln 22-；而函数)(x g y =的最小值为m,故当2ln 22-<m 时，结论成立（Ⅱ）（1）：由m x x ea x h x---=2)2()(，可得x e a x h x2)2()(--='，把)(x h y '=这个函数看成是关于a 的一次函数，（1）当]2ln ,0[∈x 时，02<-x e ，因为]2,1[∈a ，故)(x h '的值在区间]2)2(,2)2(2[x e x e x x ----上变化，令x e x M x 2)2(2)(--=，]2ln ,0[∈x ，则022)(>-='xe x M ，)(x M 在]2ln ,0[∈x 为增函数，故)(x h '在]2ln ,0[∈x 最小值为2)0(-=M ，又令x e x N x2)2()(--=，同样可求得)(x N 在]2ln ,0[∈x 的最大值1)0(-=N ，所以函数)(x h y '=在]2ln ,0[∈x 的值域为[-2，-1]（Ⅱ）（2）当]2ln ,0[∈x 时，x e x N x2)2()(--=的最大值1)0(-=N ，故对任意]2,1[∈a ，)(x h 在]2ln ,0[∈x 均为单调递减函数，所以函数m a h x h -==)0()(max当]3,2[ln ∈x 时，因为02>-x e ，]2,1[∈a ，故)(x h '的值在区间]2)2(2,2)2[(x e x e x x ----上变化，此时，对于函数)(x M ，存在]3,2[ln 0∈x ，)(x M 在],2[ln 0x x ∈单调递减，在]3,[0x x ∈单调递增，所以，)(x h 在]3,2[ln ∈x 的最大值为m e a h ---=9)6()3(3，因为]2,1[∈a ，09)7()0()3(3>--=-e a h h ，所以)0()3(h h >，故)(x h 的最大值是m e a h ---=9)6()3(3，又因为]2,1[∈a ，故当函数)(x h y =有零点时，实数m 的最大值是9)6(23--=e m 2123-=e .4. 设函数2()f x x =，()ln (0)g x m x m =>，已知()f x 与()g x 有且仅有一个公共点． (1)求m 的值；(2)对于函数()(,)h x ax b a b =+∈R ，若存在a ，b ，使得关于x 的不等式()()()g x h x f x +≤≤对于()g x 定义域上的任意实数x 恒成立，求a 的最小值以及对应的()h x 的解析式．（1）令()()f x g x =，即2ln (0)x m x x =>， 可得21ln x m x =，设2ln ()(0)xp x x x=>， 则244112ln 2(ln )2()(0)x x x x x x p x x x x ⋅-⋅-'==>， 令()0p x '=，得x =当x ∈时，()0p x '>，()p x递增；当)x ∈+∞时，()0p x '<，()p x 递减． 考虑到(0,1]x ∈时，，(1x ∈时，2ln 1()(0,(0,]2e x p x p x =∈=；)x ∈+∞时，2ln 1()(0,(0,]2ex p x p x =∈=．考虑到0m >，故112em =，因此2e m =．………………………………4分 （2）由（1）知，()2eln g x x =．()()()1g x h x f x +≤≤，可知0a >． ………………………………6分 （ⅰ）由()()1h x f x +≤对(0,)x ∈+∞恒成立，即210x ax b --+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，所以2()4(1)0a b ∆=---+≤，解得214a b -+≤①．……………………8分（ⅱ）由()()g x h x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立， 即2eln 0x ax b --≤对(0,)x ∈+∞恒成立， 设()2eln G x x ax b =--，(0,)x ∈+∞，则2e ()2e ()a x a G x a x x--'=-=，令()0G x '=，得2e x a =． 当2e (0,)x a ∈时，()0G x '>，()G x 递增；当2e(,)x a∈+∞时，()0G x '<，()G x 递减．故max 2e 2e 2()()2eln2e 2eln G x G b b a a a ==--=-， 则须22eln 0b a -≤，即得22eln b a≥②．由①②得222eln 14a b a -+≤≤③． ……………………10分 存在a ，b ，使得③成立的充要条件是：不等式222eln 14a a -+≤④有解． ……………………12分不等式④可化为222eln 104a a --+≥，即22eln 1042a a-++≥， 令2a t =，则有22eln 10t t -++≥，设2()2eln 1t t t ϕ=-++，则2e 2(()2t t t t tϕ-'=-+=，可知()t ϕ在上递增，)+∞上递减．又(1)0ϕ=，10ϕ=>，22(e)e 2elne 1e 2e 10ϕ=-++=-++<，所以2()2eln 1t t t ϕ=-++在区间内存在一个零点0t ，故不等式22eln 10t t -++≥的解为01t t ≤≤，即012a t ≤≤，得022a t ≤≤． 因此a 的最小值为2，代入③得00b ≤≤，故0b =，对应的()h x 的解析式为()2h x x =． ………………………………16分。

南通市2014届高三一模试卷--数学试题填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 已知集合 U {1 , 2, 3, 4, 5}, A {1 , 2, 4}，则 e u A _______________ .已知复数Z 1 1 3i , Z 2 3 i (i 为虚数单位).在复平面内，Z 1 Z 2对应的点在第 ___________________ 象限. 命题：“ x R , x < 0 ”的否定是 __________ .xOy 中，抛物线y 2 8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为x > 0, 设实数x , y 满足 尸0 则z 3x 2y 的最大值是 __________________ . x y <3, 2x y < 4, 如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为2,则输出y 的值是 _______________ 抽样统计甲，乙两个城市连续 5天的空气质量指数(AQI)，数据如下： “、 空气质量指数(AQI)则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 __________ (填甲或乙).已知正三棱锥的侧棱长为 1,底面正三角形的边长为2 .现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 __________ . 将函数f(x) sin 2x 0的图象上所有点向右平移—个单位后得到的图象关于原点对称，则等于 _____11 4 等比数列{a n }的首项为2，公比为3,前n 项和为S n .若log 3 : ?a n (®m +1)］ =9，则的最小值 是 .若向量 a cos , sin , b cos , sin ，且 a b <2a b ，则 cos( )的值是______________________________ . 在平面直角坐标系 xOy 中，直线y x b 是曲线y alnx 的切线，则当 a > 0时，实数b 的最小值 是 ______ .已知集合 M={(x, y)|x 3 < y < x 1} , N={P|PA > . 2PB, A( 1,0), B(1,0)}，则表示 M n N 的图形面 积等于 ______ .若函数f (x)ax 2 20x 14 (a 0)对任意实数t ，在闭区间［t 1,t 1］上总存在两实数 石、x 2，使得1. 2. 3.4. 5.6. 7.8.9.10.11. 12.13.14.第1天 第2天 第3天 第4天第5天 甲 109 111 132 118 110乙 110 111 115 132 112 在平面直角坐标系|f(xj f(X2)|》8成立，则实数a的最小值为二、解答题：本大题共 6小题，共90分•请在答题卡指定区域.内作答•解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱 ABCD AB I GU 中，AB//CD , AB }16. (本小题满分14分)(1) 求tanB 的值；(2) 若c 2，求△ ABC 的面积. 17. (本小题满分14分)a 已知a 为实常数，y=f(x)是定义在(—3 0) U (0, + g )上的奇函数，且当 x<0时，f(x)=2x —冷+1 .X (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x) >a — 1对一切x > 0成立，求a 的取值范围.BC ，且 AA(1)求证：AB //平面 DQCO ；(2)求证：AB 丄平面ABC .在厶ABC 中, a , b , c 分别为C 所对的边长，且 c=—3bcosA ,3 tanC=-.（第 15 题）内），/ EOF =2_ .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片D 在?F 上，设/ AOD = 2 （1） 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于 的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos 的值.（第 18题）如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为 4 dm （圆心 O 在弓形 EMF ABCD （不计损耗），AD II EF ，且点A 、2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 笃a 1(ab 0)过点(1,四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线 「、十- 1 uu AC , BD 相交于点P(1, 4，且AP，离心率为，又椭圆内接2uuu iur iuur 2PC , BP 2PD .(1) 求椭圆的方程； (2) 求直线AB 的斜率.已知等差数列｛a n｝、等比数列｛b n｝满足a i+a2= a3, b i b2 = b3，且a3, a2+ b i, a i+ b2成等差数列，a i, a2, b2成等比数列.(1)求数列｛a n｝和数列｛ b n｝的通项公式；(2)按如下方法从数列｛a n｝和数列｛b n｝中取项：第i次从数列｛a n｝中取a i，第2次从数列｛ b n｝中取b i，b2，第3次从数列｛a n｝中取a2，a3，a4，第4次从数列｛b n｝中取b3，b4, b5, b6.第2n—i次从数列｛a n｝中继续依次取2n —i个项, 第2n次从数列｛ b n｝中继续依次取2n个项，由此构造数列{c n}: a i, b i, b2, a2, a3, a4, b3, b4, b5, b6, a5, a6, a7, a8, a9, b7, b8, b9, b io, b ii, b i2，…，记数列{c n}的前n和为S n .求满足S v220i4的最大正整数n.数学n （附加题）参考答案与评分标准21. 【选做题】A .选修4—1:几何证明选讲（本小题满分10分）B .选修4—2:矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵A , B满足A 1 1 2, BA3 4 ，求B在厶ABC中，已知CM是/ ACB的平分线, △ AMC的外接圆交BC于点N,且 BN 2AM . 求证：AB 2AC .C .选修4— 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线 C : 2sin，过极点0的直线I 与曲线C 相交于A 、B 两点,AB 3，求直线I 的方程.D .选修4— 5:不等式选讲（本小题满分10分）y z》1 丄丄zxxyxyz 已知x, y, z均为正数，求证：2yz【必做题】22. (本小题满分10分)如图，设P , P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点•现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S .(1)求S -2的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S).23. (本小题满分10分)已知1, 2，…，n满足下列性质T的排列Q , a2，…，a n的个数为f(n) ( n> 2，且n€ N*).性质T：排列a1 , a2，…，a n中有且只有一个a j a j 1 ( i {1 , 2,…，n 1}).(1)求f(3) ; (2)求f(n).数学I 参考答案与评分标准、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. _____________________________________________________________ 已知集合 U {1，2, 3，4，5}，A {1，2，4}，则 e u A _____________________________________________ •【答案】{3 , 5}. 2.已知复数Z 1 1 3i , z 2 3 i （i 为虚数单位）•在复平面内，Z 1z 2对应的点在第 ______ 象限.【答案】二.3. ______________________________________ 命题：“ x R , x < 0”的否定是 .【答案】 x R , |x| 0.【答案】3.x > 0,5. ________________________________________________________ 设实数x , y 满足 尸0 则z 3x 2y 的最大值是 ___________________________ .x y <3,2x y < 4,【答案】7. 6.如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为2,则输出y 的 值是 _______ . 【答案】3.2 7.抽样统计甲，乙两个城市连续 5天的空气质量指数（AQI ），数据如 下：空气质量指数 (AQI)城市 第1天第2天 第3天 第4天 第5天甲109 111 132 118 110 乙110 111 115 132 112则空气质量指数（AQI ）较为稳定（方差较小）的城市为 ______ （填甲或乙） 【答案】乙.& 已知正三棱锥的侧棱长为 1，底面正三角形的边长为2 .现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是 ________ . 【答案】2 .54. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2 8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为（第6题）9.将函数f（x） sin 2x 0的图象上所有点向右平移 -个单位后得到的图象关于原点对称, 则等于________ .【答案】—.1 1 410. 等比数列{a n}的首项为2，公比为3,前n项和为S n.若log3 :-a n(S4m+1) : =9，则千+不的最小值是______ .【答案】5.211. 若向量a cos , sin __________________________________________ , b cos , sin ，且a b < 2a b，则cos( )的值是 _________________________________________________________ .【答案】1.12 .在平面直角坐标系xOy中，直线y x b是曲线y al nx的切线，则当a > 0时，实数b的最小值是______ .【答案】1 .13.已知集合M={(x,y)|x 3 < y w x 1} , N={P|PA2PB, A( 1,0), B(1,0)}，则表示M n N 的图形面积等于______ .【答案】4 2 3 .14.若函数f (x) ax2 20x 14 (a 0)对任意实数t，在闭区间［t 1,t 1］上总存在两实数洛、x?，使得|f(xj f (x2) |> 8成立，则实数a的最小值为____________ .【答案】8 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCD AB1C1D1 中，AB//CD , AB1 BC，且AA1 AB .(1)求证：AB //平面UDC。

南通市2014届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议带解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ▲ ．【答案】{}1,22． 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ▲． 【答案】1i -3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ． 【答案】154． 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ▲ ． 5． 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．【答案】16． 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．【答案】7． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 且过点(1,则曲线C 的标准方程为 ▲ ． 【答案】221y x -=8． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()2,+∞9. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．【答案】810． 在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．（第5题）【答案】1011．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f【答案】12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】⎡-⎣13．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ． 【答案】3+14．在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ． 【答案】3二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ． …………………………… 7分 （2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分 因为BC ⊥CD ，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分 因为B C ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． …………………………… 14分CE A B DF（第15题）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．（1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．【解】（1）因为8BA BC ⋅=，所以cos 8ac B =． …………………………… 3分 由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-，因为4b =，所以2232a c +=． …………………………… 6分 （2）因为222a c ac +≥，所以16ac ≤， …………………………… 8分 所以81cos 2B ac =≥．因为()0,πB ∈，所以π03B <≤． …………………………… 10分因为21π1()cos cos 2(1cos2)sin(2)262f B B B B B B B +++=++，…… 12分由于ππ5π2666B <+≤，所以π1sin(2),162B ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f B 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………………………… 14分17．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧 BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ． 在直角三角形ABC 中，100AB =，BAC θ∠=， 所以100cos AC θ=．由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分 所以()2100cos 100s θθθ=⨯+，即()200cos 100s θθθ=+，π(0,)2θ∈． ……………………………7分（2）()100(2sin 1)s θθ'=-+， ……………………………9分 令 ¢s (q )=0，则π6θ=， ……………………………11分列表如下：O（第17题）ABCθ所以，当π6θ=时，()s θ取极大值，即为最大值． ……………………………13分答：当π6θ=时，绿化带总长度最大． ……………………………14分18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD +的取值范围．【解】（1）由题意知，1c e ==，72CD a =-，所以22224,3a c b c ==． ……………………………2分因为点74(,)2c c -在椭圆上，即222274()2143c c c c -+=，所以1c =．所以椭圆的方程为22143y x +=． ……………………………6分（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=；……………………………7分 ② 当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 所以1x =2x =所以212212(1)|34k AB x x k+=-=+． ……………………………10分同理，222112(1)12(1)4343k k CD k k++==++． （第18题）所以2222222212(1)12(1)84(1)3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++， ………………………12分令21t k =+，则1t >，23441k t +=-，23431k t +=+， 设222(41)(31)111149()12()24t t f t t t t t-+==-++=--+， 因为1t >，所以1(0,1)t ∈，所以49()(12,]4f t ∈，所以8448[,7)()7AB CD f t +=∈．综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48[,7]7． ……………………………16分19．已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．【解】（1）()e ()(2)x f x x a x a '=--+，由题意知(2)0f '=，解得2a =或4a =． …………………………… 2分 当2a =时，()e (2)x f x x x '=-，易知()f x 在(0,2)上为减函数，在(2,)+∞上为增函数，符合题意； 当4a =时，()e (2)(4)x f x x x '=--，易知()f x 在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,)+∞上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的2a =． …………………………… 5分 （2）因为()0f x ≥，所以0m ≥． …………………………… 7分 ① 若0m =，则2n ≥，因为4(0)4e f n =<，所以24(2)e e n n n -=． …………… 9分 设2(2)()e (2)x x g x x x -=≥，则2224(2)()e 0x x x g x x x ⎡⎤--'=+⎢⎥⎣⎦≥，所以()g x 在[2,)+∞上为增函数．由于4(4)e g =，即方程24(2)e e n n n -=有唯一解为4n =．…………………………… 11分 ② 若0m >，则[]2,m n ∉，即2n m >>或02m n <<<．（Ⅰ）2n m >>时，2424()(2)e e ()(2)e e m n f m m mf n n n ⎧=-=⎨=-=⎩， 由①可知不存在满足条件的,m n ． …………………………… 13分（Ⅱ）02m n <<<时，2424(2)e e (2)e e m n m nn m⎧-=⎨-=⎩，两式相除得22(2)e (2)e m n m m n n -=-． 设2()(2)e (02)x h x x x x =-<<，则32()(44)e (2)(1)(2)e x x h x x x x x x x '=--+=+--，()h x 在(0,1)递增，在(1,2)递减，由()()h m h n =得01m <<，12n <<，此时24(2)e 4e e m m n -<<，矛盾．综上所述，满足条件的,m n 值只有一组，且0,4m n ==．……………………………16分 20．各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分 即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以115n n n n b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112nn b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k k c cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分 （Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc cm m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分）南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，//EF CB ，EF 交AD 的 延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．【解】因为//EF CB ，所以BCE FED ∠=∠， ………………3分 又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠， ………………6分 又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EAF ． ………………10分 21B ．选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值． （第21—A 题）【解】设直线l 上任意一点(,)P x y 在矩阵M 作用下的点P '的坐标为(,)x y ''， 则'012'x a x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,2.x ax y x y '=⎧⎨'=-+⎩……………………………4分 将点(,)P x y '''代入直线:40l x y '+-=， 得(1)240a x y -+-=．即直线l 的方程为1202a x y -+-=．所以3a =． ……………………………10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线 l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．【解】设直线l 的参数方程为cos ,1sin .x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角）设A ，B 两点对应的参数值分别为1t ，2t ． 将cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入2220x y x +-=， 整理可得22(sin cos )10t t αα+-+=．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以） 所以121PA PB t t ⋅==． ……………………………10分 21D ．选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b y++≤．【证明】因为0x >，0y >，所以0x y +>，所以要证()222ax by a x b yx y x y++++≤，即证222()()()ax by x y a x b y +++≤．即证22(2)0xy a ab b -+≥， ……………………………5分 即证2()0a b -≥， 而2()0a b -≥显然成立，故()222ax by a x b yx y x y++++≤． ……………………………10分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证： 1202k k k +=．【解】（1）设点(),N x y ，(,0)M a ，(0,)P b ． 由PM PN +=0可知，点P 是MN 的中点，所以0,20,2a xy b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,,2a x y b =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以点(),0M x -，0,2y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以,2y PM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,2y PF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………3分由0PM PF ⋅=，可得20y x -+=，即24y x =．所以动点N 的轨迹C 的方程为24y x =．……………5分 （2）设点()1,Q t -，由于过点Q 的直线()1y t k x -=+与轨迹C ：24y x =相切，联立方程()241y xy t k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，整理得()()2222220k x k kt x k t ++-++=．…………7分则()()22224240k kt k k t ∆=+--+=，化简得210k tk +-=．显然，1k ，2k 是关于k 的方程210k tk +-=的两个根，所以12k k t +=-． 又02t k =-，故1202k k k +=． 所以命题得证． ……………………………10分 23．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<；（2）111n x n-<<．【证明】（1）因为0n x >，112n n x x ++<，所以1102n n x x +<<-，所以112n nx x +>-，且20nx ->．因为2221(1)1222n n n n n n nx x x x x x x -+--==---≥0． 所以12nnx x -≥，所以12n n nx x x +<-≤1，即1n n x x +<． ……………………………4分 （注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：11n x n >-．① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时，11k x k >-，当1n k =+时，由（1）得，()11111211121k k k x x k k +>>==--++--． 由①，②可得，11n x n >-． ……………………………7分下面先证明1n x ≤．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+． 因为112k k x x ++<，()11121121k k m x x m m+>>=---+，()21111221211k k m x x m m ++->>=---+-，…，()()1221k m m m x m m +--->=--， 与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤．若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．所以1n x <成立． ……………………………10分南通市2014届高三第三次调研测试数学讲评建议第1题 考查集合基本运算． 第2题 考查复数的四则运算． 第3题 考查概率基础知识．解：基本事件共有10个，符合要求的2个，所以概率为15．第4题 考查球的相关知识．解：截面圆的半径为1 第5题 考查流程图中选择结构，要注意对2x +1＝3的结果进行检验．第6题 考查数据分析相关知识，注意审题、运算的准确性和基础知识的牢固掌握． 第7题 考查双曲线的性质，利用等轴双曲线的方程可以设为22x y λ-=进行求解． 【变式】如果离心率为2，如何进行求解？ 第8题 考查二次函数的图象与性质，零点问题． 第9题 考查不等式在求解最值上的应用．方法一：x y +(1)(1)8x y =-++≥，注意不等式及等号成立的条件；方法二（消元）：161611811x y x x x x +=+-=-+--≥，注意对1x >的判断．第10题 考查平面向量的相关知识，教学中要提醒学生学会方法的选择：在垂直的条件下，建系求解是最佳选择．第11题 考查三角函数的图象，灵活运用知识的能力． 方法一：求解出3π4ω=，π4ϕ=-，再求出相应的结论；方法二：由函数的图象，结合相应比例发现5π(2)sin 4f ==．在三角函数图象教学中，既要抓住5点，也要关注其它特殊点．第12题 考查圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式等知识，解题中要体会转化思想的运用：先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P 到圆心的距离为，再将“直线上存在点P 到圆心的距离为转化为“圆心到直线的距离小于等于，再利用点到直线的距离公式求解．第13题 考查等差数列、等比数列的性质：方法一：设123,,a a a 分别为,,a d a a d -+，因为12a a <，所以0d >，又2213b b b =，所以422()()a a d a d =-+222()a d =-，则222a d a =-或222a d a =- （舍），则d =．若d =，则222211()(131b aq b a ====-，舍去；若d =，则221()32a q a == 方法二：由题意可知422213a a a =，则2213a a a =±．若2213a a a =，易知123a a a ==，舍去；若2213a a a =-，则21313()2a a a a +=-且10a <，则22113360a a a a ++=，所以23311()6()10a a a a ++=，则313a a =-±2223332111()b a a q b a a ===，且1q >，所以3q =+第14题 考查解三角形的知识和运算能力．设CBA α∠=，AB BD a ==，则在三角形BCD 中，由余弦定理可知222CD a α=++，在三角形ABC 中，由余弦定理可知2cosα=，可得sin α=，所以222CD a =+，令22t a =+，则2CD t t =59=，当2(5)4t -=时等号成立．本题还可以通过求导、三角换元、数形结合、面积转化等方法求解．第15题 考查立体几何中的线面平行与垂直关系，在教学中要注意对不规则图形的识图能力的培养，对不规则图形向规则图形转化能力的培养．第16题 考查两角和与差的三角函数、解三角形、向量的数量积等基础知识，与不等式知识作了一定的结合，在教学中要注意提醒学生加强余弦定理与不等式的联系．第17题 考查运用数学知识解决实际问题的能力．本题的建模比较容易，数学模型为()2cos f θθθ=+的形式，对其求导求解应为常规解决思路．第18题 考查椭圆的方程及椭圆与直线的位置关系．本题还可以利用角度关系设元，设点的坐标为11(cos ,sin )c r r θθ+，22ππ(cos(),sin())22c r r θθ+++，…进而求解出132124cos AB r r θ=+=-，242124sin CD r r θ=+=-，简化求解过程．第19题 考查导数在研究函数上的应用．教学中要提醒学生注意利用函数值域进行范围的初判，加强对在02m n <<≤时 (),()f a b f b a =⎧⎨=⎩采用作商（差）构造函数研究方法的理解．第20题 综合考查数列的通项公式、前n 项和等知识，第（2）问的关键是寻找到1k m =+． 第21题A ． 本题考查平面几何中的三角形相似问题已经圆中的部分结论．B ． 本题为课本复习题中第10题的改编题，考查矩阵与曲线变换．C ． 本题考查直线的参数方程，要注意提醒学生注意直线参数方程中参数t 的几何意义及其应用．D ． 本题考查不等式相关知识，要注意引导学生注意到本题的本质为()222y y x x a ba b x y x yx y x y ≤++++++，即说明函数2y x =为下凸函数．第22题 本题考查轨迹问题的求解方法、直线和抛物线方程的位置关系，在教学中要注意提醒学生在运算的速度和准确性，对于几何证法要注意考虑但需注意时间的合理分配．第23题 本题重点考查数学归纳法．反证法证明过程如下：假设存在*n ∈N ，使得1n n x x +≥，则111112n n n n x x x x ++++≥+≥，这与112n n x x ++<相矛盾，故假设不成立，所以1n n x x +<．要注意提醒学生在使用反证法证明时，对于结论的否定要认真思考．在本题中，不能假设为对于任意的*n ∈N ，使得1n n x x +≥．。

南通一中2014-2015学年度第二学期高三数学最后一练参考答案1．{（3，﹣1）}； 2．真；34；5．π4； 6．(3,1)(3,)-+∞ ； 7．π4ϕ=； 8．λ>－3；9．1023； 10．②③；1112．ππ(,)；13．915,44⎛⎫⎪⎝⎭； 14． 【解析】11．方法一：令y ＝tx ，则t >0，代入不等式得x 2＋2tx 2≤a (x 2＋t 2x 2)，消掉x 2得1＋2t ≤a (1＋t 2)，即at 2－2t ＋a －1≥0对t >0恒成立，显然a >0，故只要Δ＝4－4a (a －1)≤0，即a 2－a －1≥0，考虑到a >0，得a .方法二：令y ＝tx ，则a ≥22222121x xy tx y t ＋＋＝＋＋，令m ＝1＋2t >1，则t ＝12m -， 则a ≥2121tt ＋＋＝22444541)252m m m m m m m＝＝＋(－－＋＋－，故a . 13．分析：由条件213(2)n n S S n n -+=≥得21)1(3+=++n S S n n ，两式相减得361+=++n a a n n ，故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a ，由2=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=，从而a n a n 2662-+=；3=n 得2721321=++++a a a a a ，a a 233+=，从而a n a n 23612+-=+，由条件得⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-+-<-+-<an a n a n a n a a 26)1(6236236266212，解之得41549<<a 14．左焦点为1F .连结11,AF BF 可得四边形1AFBF 是矩形，所以AO OF OB c ===.所以2AB c =又,AF BF ⊥所以. 2sin ,2cos AF c BF c αα==.又因为1A FB F =，12AF AF a +=.所以2s i n 2c o s c c a αα+=.即11sin cos)4c aπααα==++.因为ππ,,124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π)4α+.c a ==故填. 15．（1）max()3f x =，5π12α=；（2）0b c -=.解：（1）由题意可得：ππ()1cos(2)21sin 2212sin(2)23f x x x x x x ⎡⎤=-+=+-=+-⎢⎥⎣⎦，（3分）又∵ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ2π2633x -≤≤，（5分）故当ππ232x -=，即5π12x α==时，max ()3f x =；（7分）（2）由（1）知ππ123A α=-=，（8分）又∵2sin sin sin B C A =，∴2bc a =，（9分） ∵222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，（11分）∴22b c bc bc +-=，即2()0b c -=，故b c =（13分） 所以△ABC 是等边三角形（14分）16．解：（1）连结OE Q O 是正方形的中心O AC \是的中点，又Q E 是PC 的中点 \OE 是PCA V 的中位线 \ OE ∥P A ， （3分）又Q OE Ì 平面BDE ,PA Ë 平面BDE \P A ∥平面BDE .（7分）（2）Q PO ⊥底面ABCD ，BD Ì平面ABCD ，\PO ⊥BD（9分） 又Q BD ⊥AC AC PO O ?，且,AC PO ⊂平面P AC ，\BD ⊥平面PAC （12分） 又Q BD Ì 平面BDE \平面PAC ⊥平面BDE ． （14分） 17．（1）21(sin )2S R θθ=-弓；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成π3时，总利润取最大值24π5(3R -.解：（1）212S R θ=扇，21sin 2OBD S R θ∆=, 21()(sin )2S f R θθθ==-弓. （3分）（2）设总利润为y 元，种植草皮利润为1y 元，种植花卉利润为2y ，种植学校观赏植物成本为3y2211130(π)22y R R θ=-，221sin 802y R θ=⋅，231(sin )202y R θθ=-⋅， （6分）2222123111130(π)sin 80(sin )202222y y y y R R R R θθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ .25[3π(510sin )]R θθ=--（9分） 设()510sin g θθθ=- (0,π)θ∈.'()510cos g θθ=-'1π()0,cos ,()0,2g g θθθθ<>∈在（）3上为减函数； '1π()0,cos ,(),π2g g θθθθ><∈在（）3上为增函数. （12分） 当π3θ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大：224π5[3π(510sin )]=5-3y R R θθ=--（.（13分） 答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润取最大值24π53R -（. （14分） 18．（1）2212516x y +=或2225125616x y+=；（2）5m =． 解：（1）当焦点在x 轴上时， 由2222221616161625332555a c a c a a c c a a ⎧⎧-=-=⎪⎪⇒⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2212516x y +=．（2分）当焦点在y 轴上时，由22222161625631225455a c a c a c c ⎧⎧-==-⎪⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2225125616x y +=．（4分）综上所述，所求椭圆方程为2212516x y +=或2225125616x y +=．（5分）（2）如图所示：设直线AB 的方程为()()3,0y k x k =-≠，()()1122342525,,,,,,,33A x y B x y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由()()222222316515025400012516y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， 根据韦达定理（根与系数的关系）得：21221501625k x x k +=-，21222254001625k x x k -=+， （8分） ∴由()()()()2112121222232563316253y k x k y y k x x k y k x ⎧=--⎪⇒=--=⎨+=-⎪⎩ …… ①（10分）M D A 、、三点共线，即//MD DA ,且325,3MD m y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,DA x m y =-,∴()()()1311313252533y m y x m y m y m x -⎛⎫--=-⇒= ⎪-⎝⎭,同理可得()()2423253y m y m x -=-, ∴()()()21234123259m y y y y m x m x -=-- ……②（12分）根所题意,π2MFN ∠=（直径所对圆周角），即0FM FN FM FN ⊥⇔⋅= ，∴233434416,31625603916,3FM y y y y y FN y ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒+=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ ……③ （14分）由①、②、③得：()()()()()22222123252562561164000916259m k k m m x m x k --⨯=-⇒+-=--+， 210k +>，∴由21640005m m -=⇒=±， 点D 在()3,0F 的右侧，∴3m >，5m =．∴存在满足条件的D 点，且5m =．（16分） 19．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2a ax a f x ax x x +++'=+＝，（2分）当0a ≥ 时，0f x '（）＞ ，故()f x 在0（，）+∞上单调递增；当1a -≤ 时，0（）＜f x ' ，故()f x 在0（，）+∞上单调递减； （4分）当10a -＜＜ 时，令0（）f x '=，解得x ， 即0,x ⎛∈⎝时，()0f x '>；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0.f x '< （6分） 故f （x）在0（上单调递增，在+∞）上单调递减．（8分）（2）不妨设12x x …，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减， 从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有121212||04x x f x f x x x ∀∈+∞--，（，），（）（）≥ ⇔1221()()4()f x f x x x --…⇔1122()4()4f x x f x x ++…（11分）令()()4g x f x x =+，则1()24a g x ax x+'=++等价于()g x 在(0,)+∞单调递减， 即1()240a g x ax x+'=++…，（13分）从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++…， 故a 的取值范围为(],2.-∞-（16分）另解：min 241()21x a x --+≤ 设241()21x x x ϕ--=+， 则222222222224(21)(41)48448444(21)(1)()(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x ϕ-+---⋅+-+--+'====++++当1(0,)()0,()2x x x ϕϕ'∈<时，为减函数，1(,)()0,()2x x x ϕϕ'∈+∞>时，为增函数．∴min 1()()22x ϕϕ==- ∴2].a -∞-的取值范围为（，20．解：（1）82423()03(30)9a a a a =+-=+⨯-= ）91314()24210a a a a =+⨯-=+⨯=,8919a a ∴+= （3分） （2）{}n a 是3级等差数列，332n n n a a a +-+=，2(2sin )2(3)sin(3)2(3)sin(3)n n n n n n ωωωωω+=++++-+-（n ∈*N ）（4分） 2sin sin(3)sin(3)2sin cos3n n n n ωωωωωωω∴=++-=（n ∈*N ）所以sin 0n ω=，或cos 31ω=，sin 0n ω=对n ∈*N 恒成立时， π()k k ω=∈Zcos 31ω=时，2π32π(),(),3k k k k ωω=∈∴=∈Z Z2π{|()}{|π()}3k k k k ωωωωω∴∈=∈=∈Z Z （6分）ω最小正值等于2π3，此时2π2sin 3n n a n =+. 由于2(32)π2(31)π2(3)πsin sin sin 0333n n n --++=（n ∈*N ）323136(31)n n n a a a n --∴++=-（n ∈*N ） （8分）312345632313[126(31)]()()()2n n n n n n S a a a a a a a a a --+-=+++++++++=293n n =+（n ∈*N ） （9分）（3）若{}n a 为2级等差数列，222n n n a a a +-+=，则212{},{}n n a a -均成等差数列，（10分）设等差数列212{},{}n n a a -的公差分别为12,d d ，{}n a 为3级等差数列，332n n n a a a +-+=，则32{}n a -成等差数列，设公差为D 17,a a 既是中21{}n a -的项，也是32{}n a -中的项，71132a a d D -== 410,a a 既是中2{}n a 的项，也是32{}n a -中的项，104232a a d D -==12332d d D ∴== （12分）设122d d d ==，则3D d =所以21111(1)(22)n a a n d a n d -=+-=+-（n ∈*N ），2222(1)(22)n a a n d a n d =+-=+-，（n ∈*N ）又4113a a D a d =+=+，42222a a d a d =+=+，所以21a a d =+， 21(21)n a a n d ∴=+-（n ∈*N ）（14分）综合得：1(1)n a a n d ∴=+-，显然{}n a 为等差数列． （16分）附加题参考答案21B ．得a ＝2（3分）设点列式（3分）得22114x y +=（4分） 21C ．（10y -=；（2）32⎛⎝⎭. 解：（1）∵πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭12y -=即所求直线l0y -．（3分） （2）曲线C 的直角坐标方程为：()()221101x y y -+=≤≤ ， （6分）∴()22011y x y ---+=⎪⎩，解得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）． （9分）所以，直线l 与曲线C的交点的直角坐标为32⎛ ⎝⎭． （10分）22．解：（1）设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==． 所以取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为67．（4分） （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，，3，4，33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望14241712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（10分） 23．解：（1）由题意知(,0)2p F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+，因为||||FA FD =，由抛物线的定义知：3||22p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t+=，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（3分） （2）（ⅰ）由（1）知(1,0)F ， 设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，（8分）故直线AB 的斜率为02AB y k =-，因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，000220002044444E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4yy y x x y -=--，由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ， 所以直线AE 过定点(1,0)F .（6分）（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，所以000011||||||(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++，设直线AE 的方程为+1x my =，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，故001x m y -=，设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--， 由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线方程得2008840y y x y +--=， 所以0108y y y +=-，可求得1008y y y =--，10044x x x =++， 所以点B 到直线AE 的距离为0048|4()1|x m y d ++++-===. 则ABE ∆的面积00112)162S x x =⨯++≥， 当且仅当001x x =即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16. （10分）考后反思表。

江苏省南通市通州区2014届4月高三数学最后一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．设集合1|2A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|21x B x =>，则A B = ▲ ．2．复数512i+的共轭复数是 ▲ ．3．已知集合|,9n A n Z παα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l的斜率小于零的概率是 ▲ ．4．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是 ▲ ．（填写序号）①1a b >-； ②1a b >+； ③22a b >； ④33a b > 5．设函数1()1f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为零），则()()f a f c += ▲ ． 6．执行如图所示的程序框图，输出n = ▲ ．7．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()0f x '<恒成立，且()41f =，若()1f x y +≤，则22x y +的最小值是 ▲ ．8．设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，KLM ∆为等 腰直角三角形，90,1KML KL ∠== ，则1()6f 的值为 ▲ ．9．若两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，其中,,0a b R ab ∈≠，则2241a b +的最小值为 ▲ ．第6题 x10．如图，在直角梯形ABCD 中，,,,BC DC AE DC M N ⊥⊥分别是,AD BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起．下列说法正确的是 ▲ （填上所有正确的序号）．①不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN DEC 平面；②不论D 折至何位置，都有MN AE ⊥； ③不论D 折至何位置（不在平面ABC 内）， 都有//MN AB ；④在折起的过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥．11．已知函数()221,11,1x ax x f x ax x x ++≥⎧=⎨++<⎩在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是▲ ．12．设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 ()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且12PF PF λ=，则λ的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，3AB AC =，AD 是A ∠的平分线，且AD mAC =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知等比数列{}n a 满足11a =，102q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项，则公比q 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知()sin sin sin cos cos B C A B C +=+． （1）判断ABC ∆的形状；（2）若角A 所对的边1a =，试求ABC ∆内切圆半径的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，已知ABCD 是直角梯形，90,//,2,1ABC AD BC AD AB BC ∠==== ， PA ABCD ⊥平面．（1）证明：PC CD ⊥；（2）若E 是PA 的中点，证明：//BE PCD 平面；BE DCMNPDAE（3）若3PA =，求三棱锥B PCD -的体积．17．（本小题满分14分）诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发 放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以 便保证奖金数逐年递增．假设基金平均年利率为 6.24%r =．资料显示：2002年诺贝 尔奖发奖后基金总额约为19800万美元．设()f x 表示为第x (*x ∈N )年诺贝尔奖发奖 后的基金总额(2002年记为()1f )．（1）用()1f 表示()2f 与()3f ，并根据所求结果归纳出函数()f x 的表达式．（2）试根据()f x 的表达式判断网上一则新闻 “2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：101.0624 1.83≈，101.0312 1.36≈）19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =+-的最大值；（2）若0x ∀>，不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x x x x x x ->-+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈．（1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()112n n n b bb n +-=≥，且121,2b b ==．①记()611nn c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；②若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．南通市通州区2012届高三数学最后一卷参考答案及评分标准一、填空题1．{}0x x ≠ 2．12i + 3．494．② 5．2 6．10 7．88 9．139 10．①②④ 11．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．2 13．3(0,)2 14．1} 二、解答题15．解：由已知等式利用正、余弦定理得222222()22a c b a b c b c a ac ab+-+-+=+， …………………………3分整理得()()2220b c b c a ++-=，222b c a ∴+=，所以，ABC ∆为直角三角形，且90A ∠= ． …………………………6分 （2）由ABC ∆为直角三角形， 知内切圆半径11(sin sin 1)(sin cos 1)222b c a r B C B B +-==+-=+-， …………11分sin cos )4B B B π+=+≤ r ∴ …………………………14分16．（1）证明：由已知易得AC CD ==，222,90AC CD AD ACD +=∴∠= ，即AC CD ⊥． …………………………3分又PA ABCD ⊥ 平面，CD ABCD ⊂平面，PA CD ∴⊥，由PA AC A=，CD PAC∴⊥平面，PC PAC⊂平面，CD PC∴⊥．…………………………6分（2）证明：取AD的中点F，连接,BF EF．2,1,//,AD BC BC FD BC FD==∴=，∴四边形BCDF是平行四边形，即//BF CD，BF PCD⊄平面，//BF PCD∴平面．………8分,E F分别是,PA AD的中点，//EF PD∴，EF PCD⊄平面，//EF PCD∴平面．………10分EF BF F=，//BEF PCD∴平面平面，,//BE BEF BE PCD⊂∴平面平面．………11分（3）解：由已知得12BCDS∆=，所以，1132B PCD P BCD BCDV V PA S--∆==⨯⨯=．…………………………14分17．解：（1）由题意知：1(2)(1)(1 6.24%)(1)6.24%2f f f=⋅+-⋅⋅(1)(1 3.12%)f=⋅+，一般地：1(3)(2)(1 6.24%)(2)6.24%2f f f=⋅+-⋅⋅2(1)(1 3.12%)f=⋅+，…4分∴1()19800(1 3.12%)xf x-=⋅+（*x∈N）．……………………………………7分（2）2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为：9(10)19800(1 3.12%)26100f=⋅+≈，…………………………………………10分2012年度诺贝尔奖各项奖金额为11(10) 6.24%13662f⨯⨯⨯≈万美元，………12分与150万美元相比少了约14万美元．答：新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻．……14分18．解：（1）点()3,1A代入圆C方程，得2(3)15m-+=．∵m＜3，∴m＝1．…………………… 2分圆C：22(1)5x y-+=．设直线PF1的斜率为k，则PF1：(4)4y k x=-+，即440kx y k--+=．∵直线PF1与圆C解得11122k k==或．…………………… 4分PDCBAEF当112k =时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当12k =时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4． ()()124,0,4,0F F ∴-．∴2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =a 2＝18，b 2＝2．所以，椭圆E 的方程为：221182x y +=． ………………………8分（2）(1,3)AP = ，设(),Q x y ，(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． …………………… 10分∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴33xy -≤≤． …………………… 12分则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[]0,36．3x y +的取值范围是[]6,6-．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[]12,0-． …………………… 16分（注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决）19．解：（1）()()()ln 11g x x x x =+->-，则()1111xg x x x -'=-=++．…………2分 当()1,0x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在()1,0-上单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()0,+∞上单调递减，所以，()g x 在0x =处取得最大值，且最大值为0． ………………………4分（2）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在0x >上恒成立． ………………………6分设()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'=．当()1,x e ∈时，()0h x '>；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，所以，()1h x e≤． 要使()f x ax ≤恒成立，必须1a e≥． ………………………8分另一方面，当0x >时，12x x+≥，要使21ax x ≤+恒成立，必须2a ≤． 所以，满足条件的a 的取值范围是1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………………10分 （3）当120x x >>时，不等式()()1222212122f x f x x x x x x ->-+等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-．……12分 令12x t x =，设()()222ln 11t t t t t μ-=->+，则()()()()22221101t t t t t μ-+'=>+， ()t μ∴在()1,+∞上单调递增，()()10t μμ∴>=，所以，原不等式成立． ……………………………16分20．解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+ ．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．……………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n cc a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=， 所以，数列{}n c 为等差数列． …………………… 8分②设()6*nn i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i cc a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=，即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列． …………………… 10分设()677767766666666i i k i i k i k a i a i a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++．（其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =； …………………… 12分当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a if f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦． （Ⅰ）若76i a i >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76i a i <，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ ．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…… 16分。

南通市2014届高三数学临门一脚数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ．(第8题图)(第10题图)(第9题图)9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．(第15题图)BAC如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．(第17题图)图1图2(第16题图)设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1D(第21A 图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．23．（本小题满分10分）设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．。