高二数学三角函数的图象与性质1

三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。

其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。

本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。

正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。

它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。

正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。

在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。

正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。

余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。

它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。

余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。

在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。

余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。

正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。

它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。

正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。

正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。

正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。

三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。

三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。

接下来看看常见三角函数的图像和性质。

三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。

余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。

余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。

图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第20讲三角函数的图像与性质（精讲）题型目录一览一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中Zk∈)(1)在正弦函数xy sin=，]20[π，∈x的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．(2)在余弦函数xy cos=，]20[π，∈x的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，．π二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．对称与周期(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T ； (2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； (3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．题型一 正弦函数的图像与性质【题型训练】一、单选题1．函数(]2sin ,0,4πy x x =+∈的图象与直线2y =的交点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．“αβ=”是“sin sin αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题6．函数()sin 2|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3三、填空题题型二 余弦函数的图像与性质2π,π3⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦5π,π6⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦【题型训练】一、单选题1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A．B．C．D．⎫⎪⎭⎛ ⎝二、多选题70)sin18> 三、填空题21m =+，且m ∈题型三 正切函数的图像与性质【题型训练】一、单选题2,3ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭2,23ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭⎫⎪⎭二、多选题三、填空题。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。

下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。

当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。

2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。

3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。

正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。

当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。

4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。

这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。

例如，sin(x + 2π) = sin(x)。

5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。

这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。

1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。

正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。

正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。

•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。

•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。

2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。

余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。

•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。

•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。

3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。

正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。

正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。

数学公式知识：三角函数的图像及其性质三角函数是数学中的重要内容，有着广泛的应用。

在几何、物理、工程等领域中都有着重要作用。

在三角函数中，正弦函数、余弦函数、正切函数等图像及其性质是比较基础且重要的内容。

本文将介绍三角函数的图像及其性质，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的知识。

一、正弦函数的图像及其性质正弦函数的函数式为：y=sin⁡(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示正弦函数对应的因变量。

正弦函数的图像是一条典型的正弦曲线。

其图像的周期为2π。

正弦函数的图像在坐标轴上为(0,0)处，且在x轴的取值为kπ（k为整数）时，函数值为0，即sin⁡(kπ)=0。

正弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值分别为1和-1，即sin⁡(±π/2)=±1。

正弦函数在π/2+nπ（n为整数）时，取得最大值1；在-π/2+nπ（n为整数）时，取得最小值-1。

当自变量x增加2π时，正弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。

正弦函数为奇函数，即sin⁡(-x)=-sin⁡(x)，即正弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。

二、余弦函数的图像及其性质余弦函数的函数式为：y=cos⁡(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示余弦函数对应的因变量。

余弦函数的图像是一条典型的余弦曲线。

其图像的周期为2π。

余弦函数的图像在坐标轴上为(0,1)（0度），且在x轴的取值为kπ（k 为整数）时，函数值为1，即cos⁡(kπ)=1。

余弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值都为0，即cos⁡(±π/2)=0。

余弦函数在nπ（n为整数）时，取得最小值-1；在π+nπ（n为整数）时，取得最大值1。

当自变量x增加2π时，余弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。

余弦函数为偶函数，即cos⁡(-x)=cos⁡(x)，即余弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。