【2013石景山一模】北京市石景山区2013届高三一模数学理试题Word版含答案

2013年石景山区高三统一测试化学2013.3可能用到的相对原子质量：H—1 O—16 Cl—35.5 Cu—64第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（本部分共7个小题，每小题6分，每小题只有一项符合题目要求）6．下列物质的性质、用途正确的是A．浓硫酸、浓硝酸都具有强氧化性，不能盛放在金属容器中B．Na2SiO3是制备硅胶和木材防火剂的原料C．食盐可作调味剂，不可作防腐剂D．合金的硬度大，熔点也高7．下列说法正确的是A．相对分子质量相近的醇比烷烃沸点高是因为醇分子间存在氢键B．苯和油脂均不能使酸性高锰酸钾溶液褪色C．红外光谱分析不能区分乙醇和乙酸乙酯D．蛋白质溶液中加硫酸铵或氯化铜溶液，均会发生蛋白质的变性8．下列说法正确的是A．不用其它试剂，无法鉴别AlCl3溶液和NaOH溶液B．NaHSO4、NH3、Cu2(OH)2CO3分别属于酸、碱、盐C．SO2使溴水褪色，不能说明SO2具有漂白性D．HCl、NO2溶于水都有化学键断裂，因此均属于化学变化9．下列解释物质用途或现象的反应方程式不．正确．．的是A．硫酸型酸雨的形成会涉及反应：2H2SO3+O22H2SO4B．明矾放入水中可形成带正电的Al(OH)3胶粒：Al3++3H2O3（胶体）+3H+ C．选用CuSO4溶液除去乙炔气体中的H2S：H2S+Cu2+ ===CuS↓+2H+D．热的纯碱液可以清洗油污的原因：CO32¯+2H2O2CO3+2OH¯10依据已有的知识和信息判断，下列说法正确的是A．常温下，HSO3¯的水解能力强于其电离能力B ．常温下，相同物质的量浓度的H 2SO 3、H 2CO 3、HClO ，pH 依次升高C ．Na 2CO 3溶液中存在以下关系：c (Na +)+ c (H +)＝c (CO 32¯)+ c (HCO 3¯)+ c (OH¯)D ．向氯水中加入少量NaHCO 3固体，不能增大HClO 的浓度 11．用下图所示实验装置进行相应实验，能达到实验目的的是A ．装置①可用于除去Cl 2中含有的少量HCl 气体B ．按装置②所示的气流方向可用于收集H 2、NH 3等C ．装置③可证明非金属性Cl>C>SiD ．装置④向左推动针筒活塞可检验该装置的气密性 12．反应aA(g)＋bB(g)C(g)( △H ＜0)在等容条件下进行。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】1：集合1.（2013届北京石景山区一模理科）1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则MN 等于（ ）A ． [-2，2]B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x ===,选B.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（2）已知集合{}23Mx x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选D.3．（2013届北京海淀一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则AB =（ ）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<【答案】B{0,1,2,3,4,5,6}A =，{30}B x x x =><或，所以{4,5,6}AB =，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3【答案】B因为A B A = ，所以B A ⊆，即3m =或m =解得3m =，0m =或1m =，当1m =时，集合,A B 不成立。

所以3m =或0m =，选B.5．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U AB =ð（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤<【答案】B2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11}U B x x =-≤≤ð，所以{01}U AB x x =<≤ð，选B.6.（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（ ）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】B因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.7．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()MC N =R（ ）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B{22}N x x x =><-或,所以(){22}C N =x x -≤≤R ，所以(){21}MC N =x x -≤≤R ，选B.8．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④【答案】A ①中，集合{|}1nn n ∈+N 中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在12a <的时候，不存在满足得0＜|x|＜a 的x ， ∴0不是集合{|}1nn n ∈+N 的聚点 ②集合*2{|}n n∈N 中的元素是极限为0的数列， 对于任意的a ＞0，存在2n a >，使0＜|x|=2a n<，∴0是集合*2{|}n n ∈N 的聚点③对于某个a ＜1，比如a=0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有|x ﹣0|=0或者|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z 的聚点 ④故选A9．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x=≤，B {}1x x =<，则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤ C ．{}1x x ≥D ．R【答案】A{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,{1}U B x x =≥ð，所以={2}U A B x x ≥-ð，选A.10．（2013届北京丰台区一模理科）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】7立体几何1.（2013届北京朝阳区一模理科）（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C.D. 8 【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为122482⨯⨯⨯=。

2．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥βB ．若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nC ．若m ∥α，n =βα ，则m ∥nD ．若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 【答案】CC 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。

3.（2013届北京海淀一模理科）设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】B我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置．容易看出此时 BC ＜AB=AC ．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC （这是可以做到的，只要 A 、B 的速度满足一定关系），而当A 、B 移得很高很高时，不难想象△ABC 将会变得很扁，也就是会变成顶角 A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC 成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设 A 是⊤，那么由 AD ⊥AB ，AD ⊥AC 知 L 3⊥△ABC ，从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 AB ⊥AC 矛盾．同理可知 D 是⊤时也矛盾；假设 C 是⊤，那么由 BC ⊥CA ，BC ⊥CD 知 BC ⊥△CAD ，而 l 1∥△CAD ，故 BC ⊥l 1，从而 BC 为 l 1与 l 2 的距离，于是 EF ∥BC ，EF=BC ，这样就得到 EF ⊥FG ，矛盾．同理可知 B 是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A i （i=1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．4．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．32【答案】D将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为11D BD C -,由直观图可知，最大的面为1BDC .在等边三角形1BDC 中，BD =,所以面积212S =⨯=，选D.5．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（ ）A．6+B．12．12+D．24+【答案】C由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为21222⨯⨯=，（7题图）侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是12+，选C.6．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A连接1A P ，由题意知1,A A A P ⊥因为1P E A C⊥，且P A P E=，所以11A AP A EP ∆≅∆,所以11=A A A E ，即E 为定点。

2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）高三数学（理科）一、选择题（60分）1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝A、{x|x＞－3}B、{x|－3＜x＜3}C、{x|x＞－2}D、{x|－2＜x＜3}2、若,a b R∈，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝A、－1B、1C、2D、33、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是A 、4B、6C、D、4、采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为A、4B、5C、6D、75、如右图所示，程序框图输出的结果为A、15B、16C、136D、1536、在平面直角坐标系中，不等式组1040xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域的面积是A、3B、92C、6D、97、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是A、15B、16C、17D、238、函数2cos23xy x=-的图象大致是9、若7cos(2)38xπ-=-，则sin()3xπ+学科网的值为A、14B、78C、±14D、±7810、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为A、（5,7）B、（－15,1）C、（5,10）D、（－∞,1）11、如图，棱长为1的正方体ABC－A1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝12，则下列结论中错误的是A、BD⊥CEB、△CEF的面积为定值C、直线BC与平面CEF所成的角为定值D、直线BE与CF所成的角为定值12、已知单位向量e 与向量a ，b 满足：｜a －e ｜＝｜a ｜，（a －b ）²（b －e ）＝0，对每一个确定的向量a ，都有与其对应的向量b 满足以上条件，设M ，m 分别为｜b ｜的最大值和最小值，令t ＝｜M －m ｜，则对任意的向量a ，实数t 的取值范围是A 、［0,1］B 、［0，12］C 、［1,2+∞］ D ［1，+∞］ 二、填空题（20分） 13、在621()x x +的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】9圆锥曲线1.（2013届北京石景山区一模理科）7．对于直线l ：y=k (x+1)与抛物线C ：y 2= 4x ，1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】A联立方程组2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得，22222(2)0k x k x k +-+=，当k=0时，上式变为40x -=，解得x=0，l 与C 有唯一交点。

当k ≠0时，2244(2)40k k ∆=--=，解得1k =±。

故l 与C 有唯一交点的充要条件为k=0，或1k =±。

所以1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点充分不必要条件，选A 。

2.（2013届北京朝阳区一模理科）（7）抛物线22ypx =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 【答案】A设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF 。

由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ．由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos120°=a 2+b 2+ab配方得， 22()AB a b ab =+-，又因为2()2a b ab +≤，所以2222()3()()()44a b a b a b ab a b +++-≥+-=,所以)AB a b ≥+，所以1()3a b MN AB +≤=,即MN AB的最大值为3．选：A3．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D双曲线的标准方程为2211y x m-=，所以0m >，且2211,a b m ==，因为24a b =，所以2a b =，224a b =，即41m=，解得4m =，选D.4．（2013届北京海淀一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是 （ ） A ．12B． C． D．【答案】B因为抛物线的焦点(1,0)F ,准线方程为1x =-。

北京石景山区2012— 2013学年高三第二学期统一测试理综试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分 300分，考时150分钟。

第I 卷（选择题共20题每题6分共120 分）可能用到的相对原子质量： H-1 0-16 Cl-35 . 5 Cu-64在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1•细胞自噬是将细胞内受损、变性、衰老的蛋白质或细胞器运输到溶酶体内并降解的过程。

下图中 A 、B 、C表示细胞自噬的三种方式，相关说法正确的是① 细胞通过 C 减少有害蛋白在细胞内的积累，从而延长细胞 -------------------------- 寿命② 能体现膜结构具有流动性的是：自吞小泡与溶酶体融合、 溶酶体吞噬颗粒物③ 若人工破坏溶酶体膜可阻断细胞自噬进程，受损的物质和 细胞器会在细胞中积累④ 细胞自噬被维持在一定水平，能确保细胞内的稳态 ⑤ 细胞自噬贯穿于正常细胞生长、分化、A .①②③B .①④⑤2•将一份刚采摘的新鲜蓝莓用高浓度的 终在I C 的冷库内贮藏。

从采后算起每量，计算二者的比值得到下图所示曲线。

A •比值大于1,表明蓝莓既进行有氧呼吸，又进行无氧呼吸B .第20天对照组蓝莓产生的乙醇量高于CO 2处理组C .第40天对照组蓝莓有氧呼吸比无氧呼吸消耗的葡萄糖多D •贮藏蓝莓前用 CO 2短时处理，能抑制其在贮藏时的无氧呼吸蛋白质 3.研究人员采用某品种的黄色皮毛和黑色皮毛小鼠进行杂交实验。

第一组：黑鼠2398;第二组：黄鼠X 黄鼠一黄鼠 2396:黑鼠1235。

多次重复发现，第二组产生的子代个体数总比第一组少 1/4左右。

下列判断不正确的是① 该品种中黄色皮毛小鼠不能稳定遗传② 第二组的结果表明该性状的遗传不遵循基因分离定律 ③ 黄鼠和黄鼠交配，不能产生成活的纯合黄鼠后代 ④ 若种群中黑鼠个体占 25%，则黑鼠基因的基因频率为 50%A .①②B .②③C .③④D .②④衰老、凋亡的全过程C .②③⑤D .⑨④⑤ CO 2处理48h 后，贮藏在温度为1 C 的冷库内。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】1：集合1.（2013届北京石景山区一模理科）1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M N 等于（ ）A ． [-2，2]B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x === ,选B.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)- 【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}M N x x =-≤< ，选D.3．（2013届北京海淀一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =（ ）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<【答案】B{0,1,2,3,4,5,6}A =，{30}B x x x =><或，所以{4,5,6}A B = ，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3【答案】B因为A B A = ，所以B A ⊆，即3m =或m =解得3m =，0m =或1m =，当1m =时，集合,A B 不成立。

所以3m =或0m =，选B.5．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤< 【答案】B2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11}U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.6.（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（ ）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】B因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.7．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()M C N =R（ ）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B{22}N x x x =><-或,所以(){22}C N =x x -≤≤R ，所以(){21}M C N =x x -≤≤R ，选B.8．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④【答案】A ①中，集合{|}1nn n ∈+N 中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在12a <的时候，不存在满足得0＜|x|＜a 的x ， ∴0不是集合{|}1nn n ∈+N 的聚点 ②集合*2{|}n n∈N 中的元素是极限为0的数列， 对于任意的a ＞0，存在2n a >，使0＜|x|=2a n<，∴0是集合*2{|}n n ∈N 的聚点③对于某个a ＜1，比如a=0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有|x ﹣0|=0或者|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z 的聚点 ④故选A9．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x =≤，B {}1x x =<，则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤ C ．{}1x x ≥D ．R【答案】A{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,{1}U B x x =≥ð，所以={2}U A B x x ≥- ð，选A.10．（2013届北京丰台区一模理科）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥ 的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

北京市石景山区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合M=x∈R x2+2x−3≤0，N=x∈R x+1<0，那么M∩N= ______A. −1,0,1B. −3,−2,−1C. x −1≤x≤1D. x −3≤x<−12. 复数i1−i= ______A. 12+i2B. 12−i2C. −12+i2D. −12−i23. 已知向量a=x,1，b=4,x，则“ x=2”是“ a∥b”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知数列a n为等差数列，a4=2，a7=−4，那么数列a n的通项公式为 ______A. a n=−2n+10B. a n=−2n+5C. a n=−12n+10 D. a n=−12n+55. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为______A. 3B. 126C. 127D. 1286. 在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y=x围成的区域内（阴影部分）的概率为______A. 12B. 23C. 34D. 457. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为______A. 324B. 328C. 360D. 6488. 已知函数f x满足f x+1=1f x+1，当x∈0,1时，f x=x，若在区间−1,1上，g x=f x−mx−m有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______A. 0,12B. 12,+∞ C. 0,13D. 0,12二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知圆C的参数方程为x=1+2cosθ,y=2sinθ,（θ为参数）则圆C的直角坐标方程为______，圆心C到直线l:x+y+1=0的距离为______．10. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=6，c=4，cos B=13，则b= ______．11. 若x,y满足约束条件x≤1,y≥0,x−y+2≥0,则z=x+y的最大值为______．12. 如图，已知在△ABC中，∠B=90∘，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则AB的长为______，CD的长为______．三、解答题（共6小题；共78分）13. 已知函数f x=23sin x cos x+cos2x+1．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．14. 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在85,100之间为体质优秀；在75,85之间为体质良好；在60,75之间为体质合格；在0,60之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：91356801122333445667797056679645856（1）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（2）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．15. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，∠ABC =90∘，AD ∥BC ，且 PA =AD =2，AB =BC =1，E 为 PD 的中点．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求二面角 E −AC −D 的余弦值；（3）在线段 AB 上是否存在一点 F （不与 A ，B 两点重合），使得 AE ∥平面PCF ?若存在，求出 AF 的长；若不存在，请说明理由．16. 已知函数 f x =e x −ax （e 为自然对数的底数）．（1）当 a =2 时，求曲线 f x 在点 0,f 0 处的切线方程； （2）求函数 f x 的单调区间；（3）已知函数 f x 在 x =0 处取得极小值，不等式 f x <mx 的解集为 P ，若 M =x 12≤x ≤2 ，且 M ∩P ≠∅，求实数m 的取值范围．17. 已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 过点 2,0 ，且椭圆的离心率为 12．（1）求椭圆的方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且 MP =PN ，再过作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．18. 已知集合 A = −1,0,1 ，对于数列 a n 中，a i ∈A i =1,2,3,⋯,n ．（1）若 50 项数列 a n 满足 a i 50i =1=−9， a i −1 250i =1=107，则数列 a n 中有多少项取值为零?（ a i n i =1=a 1+a 2+⋯+a n ,n ∈N ∗）（2）若各项非零数列 a n 和新数列 b n 满足 b i −b i−1=a i−1 i =2,3⋯,n ． （ⅰ）若首项 b 1=0，末项 b n =n −1，求证数列 b n 是等差数列；（ⅱ）若首项 b 1=0，末项 b n =0，记数列 b n 的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最大值和最小值．答案第一部分 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C6. B7. B8. D第二部分9. x −1 2+y 2=4； 2 10. 6 11. 4 12. 4；3 第三部分13. （1） f x = 3sin2x +cos2x +1=2sin 2x +π6 +1， 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以函数 f x 的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6 k ∈Z ． （2） 因为 −π4≤x ≤π4，−π3≤2x +π6≤2π3，−32≤sin 2x +π6 ≤1，− 3+1≤2sin 2x +π6 +1≤3，所以当 2x +π6=−π3，即 x =−π4时，函数 f x 取得最小值 − 3+1．14. （1） 根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 1030×300=100 人． （2） 依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10=3:2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为 35×5=3，从体质为优秀的学生中抽取的人数为 25×5=2．（ⅰ）设“在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀”为事件 A ， 则 P A =1−C 33C 53=910．故在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀的概率为 910． （ⅱ）随机变量 X 的所有取值为 1,2,3． P X =1 =C 31⋅C 22C 53=310， P X =2 =C 32⋅C 21C 53=610，P X =3 =C 33C 53=110．所以，随机变量 X 的分布列为：X 123P310610110EX =1×310+2×610+3×110=95．15. （1） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ．取AD的中点G，连接GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90∘，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且CG=12AD，所以∠ACD=90∘，即AC⊥CD．又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（2）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz．A0,0,0，C1,0,0，E0,0,1，P0,0,2，所以AP=0,0,2，AC=1,0,0，AE=0,1,1．因为PA⊥平面ABCD，所以AP=0,0,2为平面ACD的一个法向量．设平面EAC的法向量为n1=x,y,z，由n1⋅AC=0，n1⋅AE=0得x+y=0, y+z=0,令x=1，则y=−1，z=1．所以n1=1,−1,1是平面EAC的一个法向量．所以cos n1,AP=222=33．因为二面角E−AC−D为锐角，所以二面角E−AC−D的余弦值为33．（3）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．F a,0,0，则CF=a−1,−1,0，CP=−1,−1,2．设平面PCF的法向量为n2=x,y,z，由n2⋅CF=0，n2⋅CP=0得a−1x−y=0,−x−y+2z=0,令x=1，则y=a−1，z=a2，所以n2=1,−1,a2是平面PCF的一个法向量．因为AE∥平面PCF，所以AE⋅n2=0，即a−1+a2=0，解得a=23，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且AF=23．16. （1）当a=2时，f x=e x−2x，f0=1，fʹx=e x−2，得fʹ0=−1，所以曲线y=−x+1在点y=−x+1处的切线方程为y=−x+1．（2）fʹx=e x−a．当a≤0时，fʹx>0恒成立，此时f x的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；当a>0时，x∈−∞,ln a时，fʹx<0，x∈ln a,+∞时，fʹx>0，此时f x的单调递增区间为ln a,+∞，单调递减区间为−∞,ln a．（3）由题意知fʹ0=0得a=1，经检验此时f x在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f x<mx在12,2上有解，即∃x∈12,2使f x<mx成立，即∃x∈12,2使m>e x−xx成立，所以m>e x−xx min．令g x=e xx −1，gʹx=x−1e xx，所以g x在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，则g x min=g1=e−1，所以m∈e−1,+∞．17. （1）因为点2,0在椭圆C上，所以4a +0b=1，所以a2=4，因为椭圆C的离心率为12，所以ca=12，即a2−b2a=14，解得b2=3，所以椭圆C的方程为x 24+y23=1．（2）设P−1,y0，y0∈ −32,32，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y−y0=k x+1，M x1,y1，N x2,y2，由3x2+4y2=12,y−y0=k x+1,得3+4k2x2+8ky0+8k2x+4y2+8ky0+4k2−12=0，所以x1+x2=−8ky0+8k23+4k，因为MP=PN，即P为MN中点，所以x1+x22=−1，即−8ky0+8k23+4k2=−2．所以k MN=34y0y0≠0，因为直线l⊥MN，所以k l=−4y03，所以直线l的方程为y−y0=−4y03x+1，即y=−4y03 x+14，显然直线l恒过定点 −14,0．②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=−1，此时直线l为x轴，也过点 −14,0．综上所述直线l恒过定点 −14,0．18. （1）设数列a n中项为1,−1,0分别有x,y,z项．由题意知x+y+z=50, x−y=−9,z+4y=107,解得z=11．所以数列a n中有11项取值为零．（2）（ⅰ）a i∈−1,1且b i−b i−1=a i−1，得到b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，若a i=1i=1,2,⋯,n−1，则满足b n=n−1．此时b i−b i−1=1，数列b n是等差数列；若a1,a2,⋯,a n−1中有p p>0,p∈N∗个−1，则b n=n−1−2p≠n−1不满足题意；所以数列b n是等差数列．（ⅱ）因为数列b n满足b i−b i−1=a i−1，所以b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，根据题意有末项b n=0，所以a1+a2+⋯+a n−1=0．而a i∈−1,1，于是n为正奇数，且a1a2⋯a n−1中有n−12个1和n−12个−1．S n=b1+b2+⋯+b n=a1+a1+a2+⋯+a1+a2+⋯+a n−1=n−1a1+n−2a2+⋯+ a n−1．要求S n的最大值，则只需a1a2⋯a n−1前n−12项取1，后n−12项取−1，所以S n max=n−2+n−4+⋯+1=n−124（n为正奇数）．要求S n的最小值，则只需a1,a2,⋯,a n−1前n−12项取−1，后n−12项取1，则S n min=−n−2−n−4−⋯−1=−n−124（n为正奇数）．。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】12程序与框图
1.（2013届北京石景山区一模理科）4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）
A．-3 B．2 C．
1
2
-D．
1
3
【答案】A
第1次循环，S=﹣3，i=2；第2次循环，S=﹣，i=3；第3次循环，S=，i=4；
第4次循环，S=2，i=5；第5次循环，S=﹣3，i=6；
…
框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次
数是2013次，即输出的结果为﹣3，故选A．
2．（2013届北京大兴区一模理科）执行如图所示的程序框图．若5
n=，则输出s的值是（）A．-21 B．11
C．43 D．86
【答案】A
第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==；
第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.
3.（2013届北京丰台区一模理科）执行右边的程序框图，输出k 的值是
（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】A。

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ）A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．38 B ．4 C ．2 D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4正（主）视图 侧（左）视图俯视图22 3231开始 输出y 输入x否是结束>2x2=-1y x 2=log y x第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ． 11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．12． 在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．PA BCO•D三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．A BCD E图1图2A 1B CDE甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2s i n s i n +c o s =2s i n +s i n 2x x x x x =２ 2s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分 （Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.题号 9 10111213 14 答案2；6611222n ；---3329①③由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -. 所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则44sin =cos 555BE θ<⋅>==⋅n ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分 （Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，2221(-0)(0-3)(6--0)A B x x =++22-1245x x =+ …………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33．即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33． …………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为A 1BCD Exzy121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X 分布列为：X 0 1 2 3 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x . 若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0af e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=，因为32e =，所以224a b =， 又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分 （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。