【2014石景山一模】北京市石景山区2014届高三3月统一测试 数学(文)试题 Word版含答案

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}31M x x =∈-≤≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N = （ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i --3．已知向量1)=a ，(1)c =，b .若⋅a b 0=，则实数c 的值为（ ）A ．BC ．3D ．3-4．已知数列}{n a 为等差数列，4724a a ==-，，那么数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．210n a n =-+B ．25n a n =-+C ．1102n a n =-+ D ．152n a n =-+5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1286．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，那么弦AB 的长等于 （ ）A． B． CD ．17．设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()1xf x x x=-∈+R ，区间[]()M a b a b =<，，集合{}()N y y f x x M ==∈，，则使M N =成立的实数对()a b ，有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知3sin =5α，且()2παπ∈，，则cos α= ． 10．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值为 ．11．二元一次不等式组1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，所表示的平面区域的面积为 ，z x y =+的最大值为 ．12．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______． 14．已知三角形ABC ，2AB =，AC =，那么三角形ABC 面积的最大值为 ．俯视图主视图左视图三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21()f x x x x x =++∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值，并写出()f x 取最小值时相应的x 值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）求选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．M APEBDCF17.（本小题满分14分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =点E ，F 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求三棱锥P ADE -的体积； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC ；（Ⅲ）若点M 为线段AD 中点，求证：PM ∥平面AEF ．18．（本小题满分13分）已知函数()2xf x e x =-（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在．．122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈= ，，，，. （Ⅰ）若三项数列{}n a 满足1230a a a ++=，则这样的数列{}n a 有多少个？ （Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足首项10b =，11i i i b b a ---=（23i n = ，，，），且末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin2+16x π=+（）， ……………4分所以函数)(x f 的最小正周期π ……………6分 （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363xπππ-≤+≤， ……………8分 sin(2)126x π-≤+≤， ……………10分 12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值1+．……………13分所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为3535⨯=，从体质为优秀的学生中抽取的人数为2525⨯=． ……………6分 （ⅰ）设在抽取的5名学生中体质为良好的学生为1a ，2a ，3a ，体质为优秀的学生为1b ，2b ．则从5名学生中任选3人的基本事件有123()a a a ，，，121()a a b ，，，122()a a b ，，，131()a a b ，，，132()a a b ，，，231()a a b ，，，232()a a b ，，，112()a b b ，，，212()a b b ，，，312()a b b ，，10个，其中“至少有1名学生体质为优秀”的事件有121()a a b ，，，122()a a b ，，，131()a a b ，，，132()a a b ，，，231()a a b ，，，232()a a b ，，，112()a b b ，，， 212()a b b ，，，312()a b b ，，9个． 所以在选出的3名学生中至少有1名学生体质为优秀的概率为910． ……………10分 （ⅱ）“选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数”的事件有112()a b b ，，，212()a b b ，，，312()a b b ，，3个．（Ⅰ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为三棱锥P ADE -的高． ……………2分1122ADE S ∆==，所以113P ADE V -==……………4分 （Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A = ， 所以BC ⊥平面PAB 因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． ……………6分 因为PA AB =，点F 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BC PB B = ，所以AF ⊥平面PBC ． ……………8分 （Ⅲ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，BC 的中点， 所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为F 是PB 的中点，所以PM ∥FN ， ……………13分因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . ……………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）(0)1f =. ……………1分()2x f x e '=-得(0)1f '=-， ……………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分M A PEB DCFN（Ⅱ）()2xf x e '=-.令()0f x '=，即2=0xe -，解得ln 2x =. ……………5分(ln 2)x ∈-∞，时，()0f x '<，(ln 2)x ∈+∞，时，()0f x '>，此时()f x 的单调递减区间为(ln 2)-∞，，单调递增区间为(ln 2)+∞，. ……………7分（Ⅲ）由题意知1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，即1[2]2x ∃∈，使2x e x m x ->成立； ……………8分所以min 2x e xm x ->（） ……………9分令()2x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， 所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)2g x g e ==-， ……………12分 所以(2)m e ∈-+∞，. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b +=， 所以24a =， ……………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， ……………2分 解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ……………7分 所以2012288+34ky k x x k+=-+， ……………8分 因为P 为MN 中点， 所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-， 所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ， 显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分 ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）满足1230a a a ++=有两种情形：0000++=，这样的数列只有1个；1(1)00+-+=，这样的数列有6个，所以符合题意的数列{}n a 有7个． ……………3分 （Ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以1211(23)i i b a a a b i n -=++++= ，，，， ……………5分 因为首项10b =，所以121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，． 根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++= ， ……………6分而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a - ，，，中有12n -个1和12n -个1-． ……………8分 121121210()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=++++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则要求121n a a a - ，，，的前12n -项取1，后12n -项取1-． ……………11分 所以max ()(1)(2)(3)(3)(2)(1)n S n n n =-+-+-++-+-+-2(1)(2)(4)(6)14n n n n -=-+-+-++= ． 所以2max (1)()4n n S -= （n 为正奇数）． ……………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）理综试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

第I卷（选择题共20题每题6分共120分）可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Cu-64 Ba-137 在每小题列出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1. 人脐带间充质干细胞在特定诱导条件下，可分化为脂肪、肝、神经等多种组织细胞。

下图表示培养人脐带间充质干细胞的大致过程，相关说法错误．．的是A. 人脐带间充质干细胞属于多能干细胞B. 通过离心去上清液可以除去胰蛋白酶C. 在超净台上操作可满足细胞培养所需的无毒、无菌条件D. 出现接触抑制前，培养瓶中的细胞数量增长呈“J”型2. 研究人员从木耳菜中提取过氧化物酶（POD），分别与四种不同酚类物质及H2O2进行催化反应，结果如下图所示。

相关说法正确的是A. 图1所示的实验目的是探究不同酚类物质的浓度对POD活性的影响B. 当底物浓度为0.08 mmol·L-1时，POD催化酚类2的反应速率一定大于酚类3C. 由图2可知，H2O2浓度过高会抑制POD的活性，降低浓度后POD活性就会恢复D. H2O2对POD活性的影响与温度和pH对POD活性的影响相同3. 油菜的凸耳和非凸耳是一对相对性状，用甲、乙、丙三株凸耳油菜分别与非凸耳油菜进行杂交实验，结果如下表所示。

相关说法错误．．的是PF1F2甲×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=15:1乙×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=3:1丙×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=3:1A. 凸耳性状是由两对等位基因控制B. 甲、乙、丙均为纯合子C. 甲和乙杂交得到的F2均表现为凸耳D. 乙和丙杂交得到的F2表现型及比例为凸耳：非凸耳=3：14. 栽培番茄含有来自野生番茄的Mi-1抗虫基因，它使番茄产生对根结线虫（侵染番茄的根部）、长管蚜和烟粉虱三种害虫的抗性。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）理综试卷本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

第I卷（选择题共20题每题6分共120分）可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 Na-23 S-32 CI-35.5 Cu-64 Ba-137在每小题列出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1. 人脐带间充质干细胞在特定诱导条件下，可分化为脂肪、肝、神经等多种组织细胞。

下图表示培养人脐带间充质干细胞的大致过程，相关说法错误的是A. 人脐带间充质干细胞属于多能干细胞B. 通过离心去上清液可以除去胰蛋白酶C. 在超净台上操作可满足细胞培养所需的无毒、无菌条件D. 出现接触抑制前，培养瓶中的细胞数量增长呈“J”型2. 研究人员从木耳菜中提取过氧化物酶（POD）,分别与四种不同酚类物质及H2O2进行催化反应,结果如下图所示。

相关说法正确的是A. 图1所示的实验目的是探究不同酚类物质的浓度对POD活性的影响B. 当底物浓度为0.08 mmol • L-1时，POD催化酚类2的反应速率一定大于酚类33 34 类«*ftftftQ 002 C L C4 O0G QI U12SI——・F 百■a2 0.4 0J6 L0 ii圏2C. 由图2可知，H2O2浓度过高会抑制POD的活性，降低浓度后POD活性就会恢复D. H2O2对POD活性的影响与温度和pH对POD活性的影响相同3. 油菜的凸耳和非凸耳是一对相对性状，用甲、乙、丙三株凸耳油菜分别与非凸耳油菜进行杂交实验，结果如下表所示。

相关说法错误的是A. 凸耳性状是由两对等位基因控制B. 甲、乙、丙均为纯合子C. 甲和乙杂交得到的F2均表现为凸耳D. 乙和丙杂交得到的F2表现型及比例为凸耳：非凸耳=3 : 14. 栽培番茄含有来自野生番茄的Mi-1抗虫基因，它使番茄产生对根结线虫（侵染番茄的根部）、长管蚜和烟粉虱三种害虫的抗性。

2014年石景山区高三统一测试语文本试卷共8页，150分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、本大题共7小题，共17分。

1．依次填入下面横线处的成语、俗语及节日名，恰当的一项是（3分）汉字的语义在变化，但没有脱离本义变化。

如“巧”，技也，本义为“技艺高明”，“①”中的“巧”用的就是本义；“②”中的“巧”是由本义引申出的“灵巧、能干”之意。

另外，还有源于牛郎织女传说的“③”，这里的“巧”也与其本义密切相关。

A．①巧夺天工②巧妇难为无米之炊③乞巧节B．①巧立名目②无巧不成书③巧女节C．①巧夺天工②巧妇难为无米之炊③巧女节D．①巧立名目②无巧不成书③乞巧节2.多年来邻居奶奶一直很关心李明，奶奶生病了，李明带着礼物去看望。

进门后，李明说了很多问候的话，下列各句最恰当的一项是（3分）A．奶奶，听说您得了很重的病，我来看您了。

B．奶奶，我家水果太多，没人爱吃，您就吃吧。

C．奶奶，您一直很硬朗，怎么一下子就病成这样了！D．奶奶，我还带了您最爱吃的点心，您一定要多吃些。

阅读下面的文字，完成3-7题。

一场秋雨，一层凉意。

东京大学校园里的银杏开始①，进校门便是一地金黄。

如果恰逢正午的太阳，景色更为壮观。

报载北京前两天下雪，想来北大校园里的银杏早已②。

银杏有大小，一地金黄的时间也有先后，可两座校园确有不少相似之处，难怪刚来时老有梦里曾相见之感。

客居异国，不免思乡。

忽忆起杜牧诗句：“十年一觉扬州梦，赢得青楼薄幸名。

”并无牧之之才气，也难得“烟花三月下扬州”，只是凭空觉得“十年一觉”四字惊心动魄。

曲指算来，从我第一次到北大寻梦，到今秋东渡访学，刚好十年。

人生能有几个“十年”？更何况适逢从“而立”走向“不惑”？倘若不是此次偶然的出游，造成一种时空的距离和陌生化的效果，或许不会如此清醒地“追忆逝水年华”，也不会如此真切地感受到十载燕园梦的③。

3．文中画线词语有错别字的一项是（2分）A．确有 B．薄幸 C．曲指算来 D．东渡4．依次填入文中①、②、③处的词语，最恰当的一项是（2分）A.凋零飘落飘逝B. 飘落飘逝凋零C.飘落凋零飘逝D. 飘逝凋零飘落5．下列句中加点字的运用，不同．．于其他三句的一项是（2分）A.一场秋雨，一层．凉意B.一盏．明月静悬高空C.江南无所有，聊赠一枝．春D.一缕．花香浸润心间6．扬州三月美，瘦西湖景最佳。

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N = （ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1286． 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好落在正方形与曲线y =(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______． 11． 若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为 ．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切 于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．A DCBE．OOCy =AB13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF的倾斜角为o150，则||PF =______．14． 已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥P ABCD -的高PA 的长为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21f x x x x =++． （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．A 1ABDCPE16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅ ，求实数m 的取值范围.A PEBDC19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（）． （ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin 2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z， ………6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分sin(2)16x π≤+≤， 12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分 所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值1．………13分（ⅰ）设“在选出的3名学生中至少有名体质为优秀”为事件A ，则 3335C 9()1C 10P A =-=． 故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910．……9分（ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===． …………12分 所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分 17．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分 取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ， 所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ……………3分 又PA AC A = ，所以CD ⊥平面PAC . ……………4分 （Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP = ，，，(110)AC = ，，，(011)AE =，，．APEB DCG因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ……6分 设平面EAC 的法向量为1()n x y z = ，，，由10n AC ⋅= ，10n AE ⋅= 得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ………8分所以1cos n AP <>== ，因为二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --． ………9分（Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ． 设(00)F a ，，，则(110)CF a =-- ，，，(112)CP =--，，． 设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，， 由20n CF ⋅= ，20n CP ⋅= 得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =， 所以2(11)2an a =- ，，是平面PCF 的一个法向量．…12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅= ，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ．……14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2xf x e x =-，(0)1f =，()2xf x e '=-，得(0)1f '=-，………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分 （Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅ ，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，…9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分 所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x -'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分 所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=， 所以24a =， …………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， …………2分 解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分因为MP PN = ，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥， 所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3yy y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-， 此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分 综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……3分 （Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，， 若1(121)i a i n ==- ，，，，则满足1n b n =-．此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列； 若121n a a a - ，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意； 所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分（ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++= ．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a - ，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a - ，，，前12n -项取1，后12n -项取1-， 所以2max(1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）． 要求n S 的最小值，则只需121n a a a - ，，，前12n -项取1-，后12n -项取1， 则2min(1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2014年石景山区高三统一测试数学（文科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B = ð（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．直线:40l x -=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ）A ．5B C D5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ） A ．2sin()23x y π=+B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin()23x y π=-6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A B ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）A ．4B ．12CD ．24A ．2-B ．12C ．1-D ．2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________． 11．已知命题p :0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________. 13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 14．若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域内的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率．17.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．18．（本小题满分13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，其短轴上的一个端点到F 的CDBAF E（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .2014年石景山区高三统一测试高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：2sinb A =，2sin sin A B A =， ………………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以sin B =………………4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B = ． ………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， ………………8分解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． ………………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， ………………2分 由茎叶图知：分数在[5060)，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. ………………4分 （Ⅱ）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.……………7分 （Ⅲ）将[8090)，之间的3个分数编号为123a a a ，，, [90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， ………………8分在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， ………………10分 其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90100)，之间的概率是70.710=. ……………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点， FG ∴∥CD ，且112FG DC ==. BE ∥CD ， ………………2分 FG ∴与BE 平行且相等.∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . ………………3分又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .CDBAFEGHEF ∴∥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）ABC ∆ 为等边三角形，G 为AC 的中点，BG AC ∴⊥. ………………5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， ………………6分又AC DC C = ，BG ∴⊥平面ADC . ………………7分EF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， ………………8分 EF ⊂ 平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . ………………10分（Ⅲ）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC == , AH BC ∴⊥.DC ⊥ 平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BC DC C = ，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =………………12分11(12)1332BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯=梯形………………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. ………………1分 22()2a f x x x '=-2222x a x-=2()()x a x a x +-=. ………………2分()f x 在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. ………………3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>， 所以a 的值为1. ………………4分 （Ⅱ）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. ………………5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. ……………8分 （Ⅲ）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->，解得 02a <<与a e ≥矛盾. ………………10分 （ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<所以1a <<. ………………12分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a的取值范围为0a << ………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）1c a b ==∴= ，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分准圆方程为224x y +=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(2)2n n b n n *=∈≥N ，， ∴231148b b =±=±，， 由于11171115111311112488248824882488++=+-=-+=--=，，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． ………………5分（Ⅱ）∵1312(1312nn nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，. ∴3()n k k *=∈N 时，12345632313111111111()()()222222222n k k k S --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++ 32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=-----38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-. 11[1()]72n n S ∴=-.31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ；32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ；*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，， ………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,2}A =-，，则A B ⋂=（ ） A ．{0} B ．{2} C ．{0,1,2} D ．φ 【答案】B 【解析】{2}A B ⋂=,故选B . 考点：1.集合的概念；2.集合的基本运算. 2.函数sin()1y x π=--的图象（ ）AB ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x π=对称【答案】A 【解析】试题分析：因为sin()1sin 1y x x π=--=-，其图象是sin y x =的图象向下平移一个单.选A .考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.3.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）A ．48，49B ．62，63C ．75，76D ．84，85 【答案】D 【解析】试题分析：从表中可以看出，靠窗子的号码有1,6,11,16,......;5,10,15,.......即三座一侧靠窗子的号码是5的倍数，故选D . 考点：归纳推理.4.如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c x a y b x y R =+∈，则x y +=（ ）A．0 B ．1 C【答案】D 【解析】试题分析：设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c xa yb x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D .考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理.5.，则输入的x 的值可能为（ ）A ．1-B ．0C ． 1D ．5 【答案】C 【解析】试题分析：若输入1x =-，符合条件2x ≤，得到1sin(),62y π=-=-不合题意；若输入0x =，符合条件2x ≤，得到sin 00,y ==不合题意；若输入1x =，符合条件2x ≤，得到1sin,62y π==符合题意.故选C . 考点：算法与程序框图.6.函数))(()(b x a x x f --=（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+ 的大致图象是（ ）A B C D 【答案】B 【解析】试题分析：由给定图象可知，01a <<，1b <-.所以()x g x a b =+的图象，是指数函数x y a =的图象，向下平移超过一个单位，故选B .考点：1.二次函数的图象和性质；2.指数函数的图象和性质.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）AC ．3 D【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体是三棱锥，如图所示，其中面BAD ⊥平面BCD ，面BCD ⊥平面,ABD BC BD ⊥，A 在BD 上的正射影恰是BD 的中点E .由图中给定数据，较长的棱是,AC CD .计算得CD ===连,AE CE ，则AE CE ⊥且2,AE CE ===,所以，3,AC ===故选C.考点：1.空间的距离；2.几何体的特征；3.三视图.8.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【答案】BMD ABC B 1A 1D 1 C 1P ． ．考点：1.几何体的结构特征；2.曲线与方程；3.空间直角坐标系. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知角α的终边经过点(,6)P x-，则x的值为．【答案】10【解析】考点：任意角的三角函数.10.设变量,x y满足约束条件20701x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，的最大值为．【答案】6【解析】试题分析：画出可行域（如图）考点：1.简单线性规划；2.直线的斜率.11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．【答案】丙【解析】试题分析：若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意；若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意；当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.故答案为丙. 考点：合情推理.12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(2,0)，C(1,0)，分别以△ABC的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ．【答案】4140x y +-= 【解析】试题分析：分别作HM y ⊥轴，FN y ⊥轴，,M N 为垂足.因为ACGH 是正方形，所以t AHM Rt AO,AM=OC,MH=OA.R C ∆≅∆又因为(0,2),C(1,0),A 所以2,1MHO AAM O C O M O A A M====⇒=+=所以(2,3),H 同理可得(2,4),F -所以直线FH 的斜率为431224k -==---，由直线方程的点斜式得13(2)4y x -=--，化简得4140x y +-=.考点：1.直线方程；2.直线的斜率.13.某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计成 米．【答案】100 【解析】试题分析：设矩形的长为x 米，半圆的直径为d ，中间矩形的面积为S ，依题意可得，424xx d ππ-+=2400211(4002)2(4002)2[]222xx x S dx x x x πππ--+==⋅=-⋅≤ 20000π=，当且仅当40022,100x x x -==时，学生的做操区域最大.即矩形的长应该设计成100米.考点：1.函数的应用；2.二次函数的图象和性质；3.基本不等式.14.已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①2{(,)|+1}M x y y x ==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ． 【答案】③④ 【解析】考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点均在函数y x =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；(Ⅱ) 221n n T n =+-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意得n S n n=，即2=n S n ．讨论当1111n a S ===时，， 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；验证当11n a ==时，2111⨯-=适合，得出结论. (Ⅱ) 由已知可得2q =，12n nb -=，1212n n n a b n -+=-+，利用“分组求和法”即得所求.试题解析：（Ⅰ）依题意得n S n n=，即2=n S n ．当1111n a S ===时， ……………1分当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； ……………3分当11n a ==时，2111⨯-= 所以21n a n =- (4)分(Ⅱ) 312328b b b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=，1112n n n b b q --∴==， ……………8分1212n n n a b n -∴+=-+，011(212)(412)(212)n n T n -=-++-++⋅⋅⋅+-+ 011(214121)(222)n n -=-+-+⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+221n n =+- (1)3分考点：1.数列的求和、“分组求和法”；2.等比数列；3.数列的通项. 16.（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A C π+=．（Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）求sin B 的值；ABC的面积．【答案】(Ⅰ)cos C =sin B =（Ⅲ）S =．【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知得2B C =．应用正弦定理及二倍角的正弦公式得2sin cos sin C CC=，化简即得.(Ⅱ)根据()0,C π∈，得到sin C ==．由sin sin2B C =即得.（Ⅲ）由2B C =，求得cos cos2B C =，sin sin()A B C =+， 再据b c=， b =92c =．进一步即得三角形面积． 试题解析：(Ⅰ)因为A B C π++=，3A C π+=，所以2B C =． ……………………1分又由正弦定理，得sin sin b cB C =，sin sin b B c C=，2sin cos sin C C C =，化简得，cos C = ………………………4分(Ⅱ)因为()0,C π∈，所以sin C ==．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====． ………………………7分（Ⅲ）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………9分所以sin sin()31()3A B C =+=-=． ……………………11分因为b c=，b =，所以92c =． ……………………12分所以△ABC的面积119sin 222S bc A ==⨯=． ………………………13分考点：1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理的应用；3.三角形面积. 17.（本小题满分13分）已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；（Ⅲ）已知10,8a b≥≥，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.【答案】()()100. 1417.a bⅠⅡ＝，＝（Ⅲ）3 ()14P A=.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知18n＝0.18，得抽取的学生人数是100.(Ⅱ) 由（Ⅰ）知100n=，790.3100a=++，得到14a＝，由792018456100a b＋＋＋＋＋＋＋＋＝，得到17b＝.（Ⅲ）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A，由(Ⅱ)易知31a b＋＝，且108a b≥≥，，利用“列举法”知，满足条件的a b（，）共有14组，其中满足1116b a+>+的有3组，故可得3 ()14P A=.试题解析：(Ⅰ)由题意可知18n ＝0.18，得100n=.故抽取的学生人数是100. ………………2分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知100n=，790.3100a=++，故14a＝，………………4分而792018456100a b＋＋＋＋＋＋＋＋＝，故17b＝. ………………6分（Ⅲ）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A，由(Ⅱ)易知31a b＋＝，且108a b≥≥，，满足条件的a b （，）有 10,2111,2012,1913,18,14,17,15,16,16,15,17,14,18,13,19,1220,11,21,10,22,9,23,8（）,（）,（）,（）（）（）（）（）（）（）,(）（）（）（）,共有14组， ………………10分 其中1b a +>+的有3组， ………………12分 则所求概率为3()14P A =. ………………13分 考点：1.由个体估计总体;2.古典概型. 18.（本小题满分14分）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB 90=，AB//CD ，AD =AF =CD =2，AB =4．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求三棱锥A -CDE 的体积；（Ⅲ）线段EF 上是否存在一点M ，使得BM ⊥CE ?若存在，确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；(Ⅱ) 43；（Ⅲ）存在，点M 为线段EF 中点.【解析】试题分析：（Ⅰ）过C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，ACDEFB由AD ⊥DC 可知四边形ADCN 为矩形．AN =NB =2. 又由给定数据知, AC 2+BC 2=AB 2，得到AC ⊥BC ；根据AF ⊥平面ABCD ，AF//BE 得到BE ⊥平面ABCD ，BE ⊥AC ，即可得证； (Ⅱ) 由AF ⊥平面ABCD ，AF//BE ，得知BE ⊥平面ABCD ，利用“等体积法”得到1.3A CDE E ACD ACD V V EB S --∆==⋅ （Ⅲ）在矩形ABEF 中，因为点M ，N 为线段AB 的中点，得到四边形BEMN 为正方形，BM ⊥EN ；由AF ⊥平面ABCD ，得到AF ⊥AD.在直角梯形ABCD 中，可得AD ⊥平面ABEF ，而CN//AD ，得到所以CN ⊥平面ABEF ，CN ⊥BM ；进一步由BM ⊥平面ENC ，即得 BM ⊥CE. 试题解析：（Ⅰ）过C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，因为AD ⊥DC ，所以四边形ADCN 为矩形．所以AN =NB =2. 又因为AD=2，AB =4，所以AC =，CN 2=，BC =所以AC 2+BC 2=AB 2，所以AC ⊥BC ； ………2分因为AF ⊥平面ABCD ，AF//BE 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC ， ………3分又因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE BC =B 所以AC ⊥平面BCE ． ………4分 (Ⅱ) 因为AF ⊥平面ABCD ，AF//BE所以BE ⊥平面ABCD ，1433A CDE E ACD ACD V V EB S --∆==⋅= ………8分（Ⅲ）存在，点M 为线段EF 中点，证明如下： …………9分在矩形ABEF 中，因为点M ，N 为线段AB 的中点，所以四边形BEMN 为正方形， 所以BM ⊥EN ； …………10分因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD.在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，又AF ⋂AB =A ，所以AD ⊥平面ABEF ， 又CN//AD ，所以CN ⊥平面ABEF ，又BM ⊂平面ABEF 所以CN ⊥BM ； …………12分又 CN ⋂EN =N ，所以BM ⊥平面ENC ，又EC ⊂平面ENC ， 所以BM ⊥CE. …………14分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积. 19.（本小题满分14分）M N ACDE FB如图，已知椭圆CB ， M（1，0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22148x y +=．（Ⅱ）满足条件的点N 存在，坐标为(40),. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知, 2b =,由e =a = （Ⅱ）假设存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数.由题意直线PQ 的斜率不为0，可得直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈； 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=,应用韦达定理12122246,1212m y +y =y y =m m --++ 根据PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k =即12120y yx t x t +=--，整理得222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ 即(4)0m t -= 求得=4t . 试题解析：（Ⅰ）由题意知,2b = …………………1分由2e =，a = …………………3分椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--，即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=， 即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 20.(本小题满分13 分)（Ⅰ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；x 在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足111,ln 2(*)n n n a a a a n N +==++∈， 求证：21n n a ≤-.【答案】（（Ⅰ）(,1]a ∈-∞-. （Ⅱ）]45,22(ln --∈b .（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，221()(0)ax x f x x x+-'=->，由 ()0f x '≥在(0)x >时恒成立，得到22121(1)1x a x x -≤=--在(0)x >时恒成立，确定得到21(1)1x--取最小值1-，即得所求.（Ⅱ）已知条件等价于方程213ln 042x x x b -+-=在[1,4]上有两个不同的实根，设213()ln ,[1,4]42g x x x x x =-+∈，求得xx x x g 2)1)(2()(--='，[1,2)x ∈时，0)(<'x g ，(2,4]x ∈时，0)(>'x g ，通过确定,22ln )2()(min -==g x g 22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，由0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <即得. （Ⅲ）先证：当0x >时，ln 1x x ≤-.令1()ln 1()xh x x x h x x-'=-+=，，可证(0,1)x ∈时()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞时()h x 单调递减，1x =时0)(max =x h .证得ln 1x x ≤-.用以上结论，由,0>n a 可得1ln -≤n n a a .进一步得到),1(211+≤++n n a a 从而当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a 211021≤++<--n n a a ，…，,211012≤++<a a相乘得112110-≤++<n n a a . 试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，221()(0)ax x f x x x+-'=->， ……………2分依题意()0f x '≥在(0)x >时恒成立，则22121(1)1x a x x-≤=--在(0)x >时恒成立， 当1x =时，21(1)1x--取最小值1-，(,1]a ∴∈-∞-. ………… 4分（Ⅱ）已知条件等价于方程213ln 042x x x b -+-=在[1,4]上有两个不同的实根，设213()ln ,[1,4]42g x x x x x =-+∈，xx x x g 2)1)(2()(--='，[1,2)x ∈时，0)(<'x g ，(2,4]x ∈时，0)(>'x g,22ln )2()(min -==g x g 22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ， ………… 6分由0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则]45,22(ln --∈b (8)21 分（Ⅲ）先证：当0x >时，ln 1x x ≤-. 令1()ln 1()x h x x x h x x-'=-+=，，可证(0,1)x ∈时()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞时()h x 单调递减，1x =时0)(max =x h .所以0x >时，ln 1x x ≤-. ……………9分 用以上结论，由,0>n a 可得1ln -≤n n a a .12212ln 1+=++-≤++=∴+n n n n n n a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a ……10分 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a 211021≤++<--n n a a ，…，,211012≤++<a a 相乘得112110-≤++<n n a a . ………12分 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a . ……………13分考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式；2.数列的通项；3.不等式恒成立问题.。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）数学（文）试卷本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x << B ．{}|0x x < C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2xy =3．直线:40l x +-=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定4．双曲线22221x y ab -=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ） A ．5B．2CD5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin()23x y π=+ B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin()23x y π=- 6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（ ）A ．4B ．127．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）AB ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．i 是虚数单位，计算41ii +=+_________.10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{nb 的前n 项和=nS_____________．11．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________.13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.14．若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域内的任意实数x 分别满足：C．D ．24A ．2-B ．12C ．1-D ．2左视图()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高； （Ⅲ）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率．17.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．18．（本小题满分13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O ，的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F. CDBAF E（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分） 对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把ia 或ia -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S.2014年石景山区高三统一测试 高三数学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分， 第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 2sin b A =，2sin sin A B A =， ………………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， ………………4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，………………8分解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． ………………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， ………………2分 由茎叶图知：分数在[506，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. ………………4分 （Ⅱ）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.……………7分（Ⅲ）将[8090)， 之间的3个分数编号为123a a a ，，,[90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， ………………8分在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， ………………10分其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90100)， 之间的概率是70.710=. ……………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点，FG ∴∥CD ，且112FG DC ==.BE ∥CD ， ………………2分 FG ∴与BE 平行且相等.∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . ………………3分又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）ABC ∆ 为等边三角形，G 为AC 的中点，CDBAFEGHBG AC ∴⊥. ………………5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， ………………6分又AC DC C = ，BG ∴⊥平面ADC . ………………7分EF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， ………………8分 EF ⊂ 平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . ………………10分（Ⅲ）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC == , AH BC ∴⊥.DC ⊥ 平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BC DC C = ，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =， ………………12分11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形. ………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. ………………1分 22()2a f x x x '=-2222x a x -=2()()x a x a x +-=. ………………2分()f x 在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. ………………3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>，所以a 的值为1. ………………4分（Ⅱ）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. ………………5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. ……………8分 （Ⅲ）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->，解得02a <<与a e ≥矛盾. ………………10分（ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增，2m i n ()()(12l n )f x f a a a ==->，解得0a <<所以1a <<. (12)分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a 的取值范围为0a << ………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）1c a b ==∴= ，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分准圆方程为224x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(2)2n n b n n *=∈≥N ，， ∴231148b b =±=±，， 由于11171115111311112488248824882488++=+-=-+=--=，，，，∴3S 可能值为13578888，，，． ………………5分 （Ⅱ）∵1312(1312n n n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，.∴3()n k k *=∈N 时， 12345632313111111111()()()222222222n k k k S --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=----- 38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-.11[1()]72n n S ∴=-.31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ；32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ；*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，，………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）数学（理）试卷本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x << B ．{}|0x x < C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2xy =3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt △ABC 中，o9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）5． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．8CD ．4A ．4B ．95C ．125D ．165ACB6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）A ．2-B ．12C ．1-D ．28．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）AB ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{nb 的前n 项和=nS_____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．A． B． C．D．左视图12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________.13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．1235567889 135567罗非鱼的汞含量（ppm ）（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17.（本小题满分14分） 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1.19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O ，的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F. A 1A1B1CCD B（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分） 对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把ia 或ia -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分， 第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 2sin b A =，2sin sin A B A =， ……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， …………… 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ……………6分 （Ⅱ）因为2a =，b=，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. ……………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………5分ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分……………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B于M ，连结1B C DM，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以四边形11AA B B是矩形，所以M 为1A B的中点．因为D 是AC 的中点， 所以MD 是三角形1AB C的中位线， ……………2分所以MD ∥1B C． ……………3分 因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD，MA 1A1B1CBCD所以1B C∥平面1A BD． ……………4分（Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA =D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C ，，1(10)A ， ……………5分所以1(02D ，，3(02BD = ，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量， 所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(23)n =，是平面1A BD 的一个法向量． ……………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， ……………7分所以11cos 2n AA <>==，． ……………8分 所以二面角1A BD A--的大小为3π． ……………9分（Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1C E x =-，11(10C B，，=-设平面11B C E的法向量1111()n x y z，，=，所以111100n C E n C B，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩令1z =13x =，1y =，x1(3n=，……………12分又1n n⋅=，即--=，解得3x=，所以存在点E，使得平面11B C E⊥平面1A BD且3AE=．……………14分18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）1a=时, 2()ln(0)f x x ax x x=+->，1(21)(1)()21x xf x xx x-+'∴=+-＝，……………1分11(0)()0()()022x f x x f x''∈<∈+∞>，，，，，，()f x的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. ……………3分（Ⅱ）1()2f x x ax'=+-()f x在区间(01]，上是减函数，()0f x'∴≤对任意(01]x∈，恒成立，即120x ax+-≤对任意(01]x∈，恒成立，……………5分12a xx∴≤-对任意(01]x∈，恒成立，令1()2g x xx=-，min()a g x∴≤，……………7分易知()g x在(01]，单调递减，min()(1)1g x g∴==-.1a∴≤-. ……………8分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t tt =+-+-=+-∴-+=，即：，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. ……………11分再证唯一性：设()21ln t t tϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. ……………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1c a b ==∴= ，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分准圆方程为224x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=.设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴231148b b =±=±，，由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，． ……………3分 （Ⅱ）∵311(1)78n n S =-， 当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=， 当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=， 3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， ……………5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±； ∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中， 当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2n n n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． ……………8分 （Ⅲ）2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ ，即12122n n nn S -≤≤， 又12322212n n n n n S ---±±±±= ，分子必是奇数，满足条件121222n n n n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． ……………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项． 由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++ 12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++ 1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．…12分 ∴2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n - ，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． ……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。