中考复习《动点问题》综合练习含答案

九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第1题图(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴＝，AP AB AQ AC即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D，第1题解图则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ，∴＝，AP AB PD BC∴＝，10－2t 10PD 6∴PD ＝(10－2t )，35∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65∴当t ＝ 秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝S △ABC ，12即－t 2＋6t ＝××8×6，651212整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0，∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动，到达B 点即停止运动．M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系；(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN 是等腰三角形，求t的值．第2题图解：(1)MN ∥AC .证明：在△ADC 中，M 是AD 的中点，N 是DC 的中点，∴MN ∥AC ；(2)如解图①，分别取△ABC 三边中点E ，F ，G 并连接EG ，FG ，第2题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC ＝6，BC ＝8，∴AE ＝3，GC ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝AD ，DN ＝DC ，MN ＝AC ＝3.121212分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝AC ＝3，12第2题解图②∵cos A ＝＝，AB ＝10，AH AD AC AB即＝.3AD 610∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ，如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ＝＝，即＝，AM AC AC AB AM 6610∴AM ＝，185∴t ＝AD ＝2AM ＝.365综上所述，当t ＝5或6或时，△DMN 为等腰三角形．3653.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8厘米，BE ＝6厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝x ；当点P 在线段AD 125上时，y ＝32－4x .求y 关于x的函数表达式．第3题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°，又∵AB ＝8，BE ＝6，∴AE ＝＝＝10，22BE AB +2268+如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H，第3题解图①∵S △ABE ＝AE ·BH ＝AB ·BE ，1212∴BH ＝，245又∵AP ＝2x ，∴y ＝AP ·BH ＝x (0<x ≤5)；12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ，∵E 为BC 中点，∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，125当点P 运动至点D 时，可联立得，，{y ＝125x y ＝32－4x )解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10，∴AE ＝ED ＝5，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0，∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8，∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6，∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝＝4，22-BE AE 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝，125第3题解图②∴y ＝x (0<x ≤2.5)，125∴y ＝.{125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）)4.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .(1)求证：△CDE ≌△CBF ；(2)当DE ＝ 时，求CG 的长；12(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第4题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°，第4题解图∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，，{∠D ＝ ∠CBFDC ＝BC ∠1＝ ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴＝ ，BG AE BF AF由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝ DE ＝ ，12∵正方形的边长为1，∴AF ＝AB ＋BF ＝ ，32AE ＝AD －DE ＝ ，12∴＝，BG 121232∴BG ＝，16∴CG ＝BC －BG ＝ ；56(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形，∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°，∴∠CFA ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符，∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB .14(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB周长的最小值．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°，∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB ，14∴＝，＝，AE AB 12AF BG 12∴＝，AE AB AF BG又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF ＝∠BAG ，又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°，∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ；(2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA，第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ，∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小．∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝AD ＝2，AF ＝AB ＝1，1214∴EF ＝＝，22AF AE 5OA ＝＝，AE ·AF EF 255∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ，∴△EOA ∽△OMA ，∴＝，AEOA OA AM ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝＝，AE OA 225∴A ′A ＝2AM ＝，45∴BA ′＝＝，22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4＋.42656.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm.点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2)，点P 的运动时间为x (s)．(1)当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；(2)当0<x <2时，求y 关于x 的函数解析式；(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．第6题图解：(1)如解图①，延长FE 交AB 于点G ，由题意，得AP ＝2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ ＝DP ＝x ，∵四边形DEFQ 为正方形，∴DQ ＝DE ＝GP ＝x ，∵FG ⊥AB ，∠B ＝45°，∴△FGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝FG ＝PQ ＝2x ，∴AP ＋PG ＋BG ＝AB ，即2x ＋x ＋2x ＝4，∴x ＝，45第6题解图①(2)当0<x ≤时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，45∴y ＝x 2，(0＜x ≤)45如解图②，当<x ≤1时，设BC 交QF 于点M ，BC 交EF 于点N ，过点C 作CH 45⊥AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，∴CK ＝2－2x ，∴MQ ＝2CK ＝4－4x ，∴FM ＝x －(4－4x )＝5x －4，∴y ＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－FM 2，12∴y ＝x 2－(5x －4)2＝－x 2＋20x －8，12232∴y ＝－x 2＋20x －8 (＜x ≤1) ，23245第6题解图②如解图③，当1<x <2时，PQ ＝PB ＝4－2x ，∴DQ ＝2－x ，∴y ＝S △DEQ ＝DQ 2，12∴y ＝(x －2)2，12∴y ＝x 2－2x ＋2(1＜x ＜2)，12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，2x ＝2，∴x ＝1；当Q 为BC的中点时，BQ ＝，PB ＝1，∴AP ＝3，∴2x ＝3，∴x ＝，∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 为半径作⊙Q .(1)求证：直线AB 是⊙Q 的切线；(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ，0)，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与⊙Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图(1)证明：如解图，连接QP ，∵y ＝－x ＋3交坐标轴于A ，B 两点，34∴A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，AB ＝＝5，22OB OA ∵AQ ＝5t ，AP ＝4t ，在△APQ 与△AOB 中，＝＝t ，＝＝t ，AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴＝，AQ AB AP AO又∵∠PAQ ＝∠OAB ，∴△APQ ∽△AOB ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，又∵PQ 为⊙Q的半径，∴AB 为⊙Q 的切线；第7题解图①(2)解：①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时，如解图①，连接DQ ，∵AP ⊥QP ，AP ＝4t ，AQ ＝5t ，∴PQ ＝3t ，∴易得四边形DQPM 为正方形，∴MP ＝DQ ＝QP ＝3t ，∴cos ∠BAO ＝＝＝，MA AC PA QA 45又∵MA ＝MP ＋PA ＝3t ＋4t ＝7t ，AC ＝AO －CO ＝4－m ，∴＝，∴m ＝＝－t ＋4；7t 4－m 4516－35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时，如解图②，连接DQ ，PQ ，由①易得MA ＝PA －PM ＝4t －3t ＝t，第7题解图②AC ＝4－m ，∴＝，t 4－m 45∴m ＝－t ＋4；54综上所述，m 与t 的函数关系式为m ＝－t ＋4或m ＝－t ＋4；35454(3)解：存在，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．3827827232【解法提示】①如解图③，当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切，∴OQ ＝QP ＝3t ，∴OA ＝OQ ＋QA ＝3t ＋5t ＝8t ＝4，∴t ＝，12第1题解图③则m ＝－t ＋4＝－，35438∴C 1(－，0)；38m ＝－t ＋4＝，54278∴C 2(，0)；278②如解图④，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切，OA ＝AQ －OQ ＝5t －3t ＝2t ＝4，∴t ＝2，第7题解图④则m ＝－t ＋4＝－，354272∴C 3(－，0)；272m ＝－t ＋4＝，5432∴C 4(，0)．32综上所述，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．38278272328.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝8，∠BAD ＝60°.点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒．(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式．第8题图解：(1)由题意可知AE ＝2t ，0≤t ≤4，∵EF ⊥AD ，∠BAD ＝60°，∴sin ∠BAD ＝＝，EF AE 32∴EF ＝AE ＝t ；323(2)如解图①，∵点H 与点D 重合，菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BA ＝30°，AD 12＝AB ＝8，∴在Rt △ADG 中，DG ＝AD ·tan30°＝8×＝，33833∴在矩形FEGD 中，EF ＝DG ＝，833由(1)知EF ＝＝t ，8333∴t ＝；83第8题解图①(3)①当0<t ≤时，点H 在AD 上，83∵AE ＝2t ，∠BAD ＝60°，∠DAC ＝30°，∴EF ＝t ，AH ＝HG ＝EF ＝3t ，AF ＝t ，333∴FH ＝AH －AF ＝2t ，∴S ＝EF ·FH ＝t ·2t ＝2t 2；33②如解图②，当<t ≤4时，点H 在AD 的延长线上，83设GH 与CD 交于点M ，由(2)知∠DAC ＝30°，∴在菱形ABCD 中，∠BAC ＝30°，∵EG ∥AD ，∴∠AGE ＝∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠AGE ，∴AE ＝EG ，∵AE ＝2t ，EF ＝t ，∠BAD ＝60°，3∴在Rt △AFE 中，AF ＝AE ·cos60°＝2t ×＝t ，12∴DF ＝8－t ，∵AE ＝EG ＝FH ＝2t ，∴DH ＝2t －(8－t )＝3t －8，∵AB ∥CD ，∴∠HDM ＝∠BAD ＝60°，∴在Rt △DHM 中，HM ＝DH ·tan60°＝(3t －8)，3则DH ＝3t －8，HM ＝(3t －8)，3第8题解图②∴S ＝S 矩形HGEF －S △DHM ＝EF ·FH －DH ·HM ＝2t 2－(3t －8)·(3t －8)123123＝2t 2－(9t 2－48t ＋64)332＝2t 2－t 2＋24t －32393233＝－t 2＋24t －32，53233∴S 与t 之间的函数关系为S＝⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。

动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO=12AC.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.（备用图）CBED图1NMA BCDEMACBEDNM解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． 6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD F GB图1A D FC G B 图3ADFGB 图2AD FC GE B MA D FG B N7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.求：（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG△中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM ==∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．图1 A D E BF CGA D E BFCPNMG HA D E BF C图4（备用）AD EBF C 图5（备用）A D E BF C图1 图2A D E BF C PNM图3A D EBFCPNM（第25题）在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==． 此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP ==此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠，∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘M ，8BC =厘M ，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘M ， ∵10AB =厘M ，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘M ．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG又∵8PC BC BP BC =-=，厘M ， ∴835PC =-=厘M ， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘M/秒。

中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD =　)cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。

中考数学总复习《动点问题》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________例题1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A B C D解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4∴AB＝AD∴△ABD是等边三角形∴AE＝ED=12AD＝2，BE=√3AE＝2√3∵AM＝2x，AN＝x∴AMAN=ABAE=2∵∠A＝∠A∴△AMN∽△ABE∴∠ANM＝∠AEB＝90°∴MN=√AM2−AN2=√3xx×√3x=√32x2∴y=12当2≤x≤4时，点M在BC上y=12AN⋅BE=12x×2√3=√3x综上所述，当0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分故选：A．2．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC＝．解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用两点之间线段最短，得到P A﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25设BE的长度为t则AB＝t+1∴（t+1）2+t2＝25即：t2+t﹣12＝0∴（t+4）（t﹣3）＝0解得t＝﹣4或t＝3由于t＞0∴t＝3∴AB＝t+2＝3+2＝5，AD＝BC＝3×2＝6．故答案为：6．3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D（BD＞AD），动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，△BPD的面积为y，y与x的函数图象如图②，则BC的长为．解：由题意得：AB+AC＝2√13，△ABD的面积＝3∵AB＝AC∴AB＝AC=√13∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°，BC＝2BD∴AD2+BD2＝AB2∴AD2+BD2＝13∵△ABD的面积＝3∴12AD•BD＝3∴AD•BD＝6∴（AD+BD）2＝AD2+2BD•AD+BD2＝13+2×6＝25∴AD+BD＝5或AD+BD＝﹣5（舍去）∵AD2+BD2＝AB2∴BD2+（5﹣BD）2＝13∴BD＝2或BD＝3当BD＝2时，AD＝5﹣BD＝3（舍去）当BD＝3时，AD＝5﹣BD＝2∴BC＝2BD＝6故答案为：6．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y 轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线AD的解析式；（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2∴OC＝6∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°∴OA＝OC＝6，∠BOC=1∠AOC＝30°2∴CD＝OC•tan30°＝6×√3=2√33∴D（6，2√3）过点A作AH⊥OC于H∵∠AOH＝60°OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6×√32=3√3∴OH=12∴A（3，3√3）设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（3，3√3），D（6，2√3）得：{3k+b=3√36k+b=2√3解得：{k=−√3 3b=4√3∴直线AD的解析式为y=−√33x+4√3；（2）解：由（1）知在Rt△COD中，CD=2√3，∠DOC＝30°∴OD=2CD=4√3，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°∵直线y=−√33x+4√3与y轴交于点E∴OE=4√3∴OE＝OD∴△EOD是等边三角形∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，ED=OD=4√3∴∠OFE＝30°＝∠DOF∴DO=DF=4√3①当点N在DF上，即0≤t≤2√3时由题意得：DM=OD−OM=4√3−t，DN=4√3−2t过点N作NP⊥OB于P则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4√3−2t）×√32=6−√3t∴S=12DM×NP=12（4√3−t）×（6−√3t）=√32t2﹣9t+12√3；②当点N在DE上，即2√3＜t≤4√3时由题意得：DM＝OD﹣OM=√3−t，DN＝2t﹣4√3过点N作NT⊥OB于T则NT ＝DN •sin ∠NDT ＝DN •sin60°＝（2t ﹣4√3）×√32=√3t −6 ∴S =12DM ⋅NT =12(4√3−t)(√3t −6)=−√32t 2+9t −12√3； 综上，S ={√32t 2−9t +12√3(0≤t ≤2√3)−√32t 2+9t −12√3(2√3＜t ≤4√3)；（3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN 是直角边时，则CN ⊥EF ，过点N 作NK ⊥CF 于K∵∠NFC ＝30° OE =4√3 ∴∠NCK ＝60° OF =√3OE =12 ∴CF ＝12﹣6＝6 ∴CN =12CF =3∴CK ＝CN ×cos60°＝3×12=32 NK ＝CN ×sin60°＝3×√32=3√32 ∴将点N 向左平移32个单位长度，再向下平移3√32个单位长度得到点C ∴将点A 向左平移32个单位长度，再向下平移3√32个单位长度得到点Q∵A(3，3√3) ∴Q （32，3√32）； ②如图，当AN 是对角线时，则∠ACN ＝90°，过点N 作NL ⊥CF 于L∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60° ∴△AOC 是等边三角形 ∴∠ACO ＝60°∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC∴CL＝FL=12CF＝3∴NL＝CL•tan30°＝3×√33=√3∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移√3个单位长度得到点N ∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移√3个单位长度得到点Q ∵A(3，3√3)∴Q（6，4√3）；∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是(32，3√32)或（6，4√3）．练习题1．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．15√52B．√427C．17D．5√32．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2√3）B．（4，4）C．（4，2√5）D．（4，5）3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）A B C D4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A B C D5．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D6．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q 为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是．8．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．＝48cm2；③当14＜t＜22时，y 给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，求AC•EF的值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（√3，0），B（0，1），D（2√3，1），矩形EFGH的顶点E（0，12），F(−√3，12)，H（0，32）．（1）填空：如图①，点C的坐标为点G的坐标为；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当2√33≤t≤11√34时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．11．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．12．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF 时，求线段CF的长；①当m=13②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y 与m的关系式．参考答案1．C．2．C．3．A．4．A．5．B．6．8．7．72≤m≤132．8．①③⑤．9．30．10．（1）（√3，2）（−√3，32）；（2）当2√33≤t≤11√34时，则√316≤S≤√3．11．（1）√2；（2）BE＝2MN MN⊥BE （3）9π．12．（1）①√23；②h＝﹣m2+m＝﹣（m−12）2+14，∴m=12时，h最大值是14；（2）y={1−12m−1−m2(1+m)+m2(0≤m≤12) 1+m22m2+2m(m＞12)．。

动点问题专题训练1、如图，已知△ ABC 中， AB AC 10 厘米， BC 8厘米，点 D 为 AB 的中点．（1）假如点 P 在线段 BC上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q在线段 CA上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△ BPD 与△CQP能否全等，请说明原因；②若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，可以使△ BPD 与△CQP全等？（2）若点 Q以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以本来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q第一次在△ ABC 的哪条边上相遇？ADQBPC2、直线3x 6与坐标轴分别交于、B两点，动点、点出发，同时抵达A点，运动停止．点y A P Q同时从O4Q 沿线段OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O → B → A 运动．y （ 1）直接写出A、B 两点的坐标；B （ 2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为 S ，求出 S 与t之间的函数关系式；P（ 3）当48时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点、、Q 为极点的平行四S O P5O Q A 边形的第四个极点 M 的坐标．3 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y －x－8分别与 x 轴， y 轴订交于 A，B 两点，点 P（，k）是 y 轴=20的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3为半径作⊙ P.（）连结 PA，若 PA PB，试判断⊙ P 与 x 轴的地点关系，并说明原因；1=（2）当 k 为什么值时，以⊙ P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为极点的4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四边形 ABCO是菱形，点 C在 x 轴的正半轴上，直线 AC交 y 轴于点 M，AB边交 y 轴于点 H．（1）求直线 AC的分析式；（2）连结 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC方向以 2 个运动，设△ PMB的面积为 S（ S≠ 0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与自变量 t 的取值范围）；（3）在（ 2）的条件下，当 t 为什么值时，∠ MPB与∠ BCO互为余所夹锐角的正切值．x5在Rt△ABC中，∠ C °， AC= 3，AB= 5．点 P 从点 C 出发沿 CA=90匀速运动，抵达点 A 后马上以本来的速度沿AC返回；点 Q从点 A 出发向点 B 匀速运动．陪伴着 P、Q的运动，DE保持垂直均分 PQ，且交 PQ于点E．点P、Q同时出发，当点 Q抵达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点（1）当 t = 2 时， AP =，点 Q到 AC的距离是；B （2）在点 P 从 C向 A 运动的过程中，求△ APQ的面积 S 与t 的函数关系式；（不用写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED可否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不可以，请说明原因；E（）当 DE经过点 C 时，请直接写出 t 的值．Q 4．．DA PC图 166 如图，在 Rt△ ABC 中，ACB 90°， B 60°， BC 2 ．点 O 是 AC 的中点，过点 O 的直线 l 从与 AC 重合的地点开始，绕点 O 作逆时针旋转，交AB 边于点 D ．过点 C 作 CE ∥ AB 交直线 l 于点 E ，设直线 l 的旋转角为．（ 1）①当度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为；②当度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为；（ 2）当90°时，判断四边形 EDBC 能否为菱形，并说明原因．lCEOA D BCOA B（备用图）8 如图 1 ，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点F ． AB 4，BC 6，∠B 60 .（ 1）求点 E 到 BC 的距离；（ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF交BC于点 M ，过点N，连结 PN，设EP x .①当点 N 在线段 AD 上时（如图2），△PMN 的形状能否发生改变？若改变，请说明原因；），能否存在点 P ，使△PMN 为等腰②当点 N 在线段 DC 上时（如图3足要求的 x 的值；若不存在，请说明原因.A D ANDPE F E FB C BMC B图 1图 2A D（第 8题）AE F EB C B图 4（备用）图 5（备用7 如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC， AD 3， DC5， AB 4 2，∠B45 ．动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒．A D（ 1）求 BC 的长．（ 2）当 MN ∥ AB 时，求t的值．（ 3）尝试究：t为什么值时，△ MNC 为等腰三角形．NBM C9 如图①，正方形ABCD中，点 A、B 的坐标分别为（，），（，）01084方形 ABCD的边上，从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动，同时动上运动，当 P 点抵达 D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为(1)当 P 点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标x（长度单位）对于运动所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及极点 C的坐标；(3)在（ 1）中当 t 为什么值时，△ OPQ的面积最大，并求此时 P 点的(4)假如点 P、Q保持原速度不变，当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时写出全部切合条件的 t 的值；若不可以，请说明原因．（Ⅱ）若折叠后点B落在边O A上的点为B，设O B x，O Cy，试写出y对于x的函数分析式，并确立 y 的取值范围；10数学课上，张老师出示了问题：如图，四边形 ABCD是正方形，点 E 是边 BC的中点．AEF90o，1且 EF 交正方形外角DCG 的平行线 CF于点 F，求证： AE=EF．≌△，经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M，连结 ME，则 AM EC，易证△AME ECF=所以AE EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，假如把“点 E 是边 BC的中点” 改为“点 E 是边 BC上（除 B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“ AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC的延伸线上（除 C 点外）的随意一点，其余条件不变，结论“ AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．FA D A D A DF FB E CG B E CG BC E G图 1图 2图 3（Ⅲ）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B ，且使 B D ∥ OB ，求此时点12 问题解决如图（ 1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点 B 落在边上一点 E （不与点 C ，合），压平后11 已知一个直角三角形纸片 OAB ，此中 AOB 90°，OA2，OB 4 ．如图，将该纸片搁置在平面直角坐标获得折痕 MN ．当CE系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C ，与边 AB 交于点 D ．（Ⅰ）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标；y方法指导：B为了求得AM的值，可先求BN 、 AM 的长，不如设： A xOA类比概括若 CECD联系拓广如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E（不与点 C， D 重合），压平后获得折痕 MN，设 AB1CE1则 AM的值等于．（用含 m， n 的式子表m CD BNBC m 1 ，n，AE B N C图（ 2）由题意，得15x3x 2 10，4解得 x80 秒．3∴点 P 共运动了80380 厘米．3∵ 80 2 28 24，∴点 P 、点Q在 AB 边上相遇，∴经过80秒点 P 与点Q第一次在边 AB 上相遇． (3)2.解（1）A（8，）B（，6）·1分（2）QO A8，O B6参照答案1.解：（1）①∵ t 1秒，∴BP CQ 3 1 3厘米，∵AB 10 厘米，点 D 为 AB 的中点，∴ BD 5厘米．又∵ PC BC BP，BC 8厘米，∴PC 8 3 5厘米，∴PC BD．又∵AB AC，∴B C ，∴△ BPD ≌△ CQP ．·····················（4分）②∵ v P v Q，∴ BP CQ ，又∵△BPD≌△CQP ，B C，则BP PC 4，CQ BD 5，AB 10Q 点Q由O到A的时间是88 （秒）点P的速度是6 1012（单位/秒）1 分8当 P 在线段 OB 上运动（或0≤ t ≤ 3 ）时，OQ t， OP 2tS t 2·····························当 P 在线段 BA 上运动（或 3t ≤ 8）时，OQ t，AP 6 10 2t 1如图，作 PD OA于点 D，由PD AP，得 PD486t， (1)OQ 3 t224 tBO AB5S PD (255)（自变量取值范围写对给 1 分，不然不给分．）（ 3）824·························P，55824， M 21224， M12，24·············I 1，5，3555553.解：（1）⊙ P 与 x 轴相切 .∵直线 y=－ 2x－8 与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（ 0，－ 8），∴OA=4，OB=8.由题意， OP=－k，∴PB=PA=8+k.在 Rt△AOP中， k2+42=(8+k) 2，∴ k =－3，∴ O P 等于⊙ P 的半径， ∴⊙ P 与 x 轴相切 .（ ）设⊙ P 与直线 l 交于 C ，D 两点，连结 PC ，PD 当圆心 P 在线段 OB 上时 作 PE2,⊥CD 于 E.3，PD ，∵△PCD 为正三角形，∴ DE1CD == =322∴ PE=3 3.2∵∠ AOB=∠PEB=90°， ∠ ABO=∠ PBE ， ∴△ AOB ∽△ PEB ，3 3∴AO PE,即4=2，AB PB4 5PB∴ PB 3 15,2 ∴ PO BOPB 8 3 15，2 ∴ P(0,315 8) ，2 3 15∴ k28 .－315－当圆心 P 在线段 OB 延伸线上时, 同理可得 P 8)，(0,2∴ k =－3 15－8， 2∴当 k=3 15－ 8 或 k=－315－8 时，以⊙ P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为极点的三角形是正三角形 .224.5. 解：（1）1，8；5（ ）作 QF ⊥AC 于点 F ，如图 ， AQ=CP t ，∴ AP 3 t ．23=由△AQF ∽△ABC ， BC 52 324 ，得 QFt ．∴ QF4 t ． 455∴ S1(3 t) 4t ，25即 S2 t 2 6 t ．55（ 3）能．①当 DE ∥QB ，如 4．∵ DE ⊥PQ ，∴ PQ ⊥QB ，四 形 QBED 是直角梯形．此 ∠ AQP=90°． 由△ APQ ∽△ ABC ，得AQAP ， BACAB即 t 3 t． 解得 t9 ．3 58②如 ，当 PQ ∥BC ， DE ⊥ BC ，四 形 QBED 是直角梯形．5Q此 ∠ APQ°．=90D E由△ AQP ∽△ ABC ，得AQAP ，APCABAC即 t 3t． 解得 t15 ．图 5B538（ 4） t5或 t45 ．214①点 P 由 C 向 A 运 ， DE 点 C ．QG接 QC ，作 QG ⊥BC 于点 G ，如 6．PC t ， QC2QG2CG 23 t)] 2[4 42．D( ) [ (5(5t)]A C E55P由 PC2QC 2，得 t2[ 3 (5 t)] 2[4 4 (5 t)] 2，解得 t5 ．图 6B552②点 P 由 A 向 C 运 ， DE 点C ，如 ．QG7(6 t )2[ 3(5 t )]2[44(5 t)] 2 ， t45 】 D5514C ( E)A P6. 解（ 1）① 30，1；② 60，；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分图 7（ 2）当∠α =900 ，四 形 EDBC 是菱形 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵∠α =∠ACB=90，∴ BC ∵ CE 在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=900，∠ B=600 , BC=2, ∴∠ A=300.∴ AB AC 3. =4, =2∴ AO 1AC = 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分=2在 Rt △AOD 中，∠ A=300，∴ AD=2.∴ BD =2.∴ BD BC = .又∵四 形 EDBC 是平行四 形，∴四 形 EDBC 是菱形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分7. 解：（ 1）如 ①， A 、 D 分 作 AKBC 于 K ， DH BC 于 H ， 四 形 ADHK 是矩形∴ KH AD 3．·······················在 Rt △ ABK 中， AKABgsin 454 2． 242BKABgcos454 2g 24······2在 Rt △CDH 中，由勾股定理得， HC 52 423∴ BC BK KHHC 4 3 310 ··ADABKCBGH M（图①）（图②）（ 2）如 ②， D 作 DG ∥ AB 交 BC 于 G 点， 四 形 ADGB 是平行四∵MN ∥AB∴ MN ∥DG ∴ BGAD3∴ GC 10 3 7 ····················· 4 分由 意知，当 M 、 N 运 到 t 秒 ， CN t ， CM 10 2t ．∵ DG ∥MN∴ ∠NMC ∠ DGC又∠C ∠C∴ △MNC ∽△ GDC ∴CN CM······················· 5 分 CD CG即 t 102t5 7解得， t50·······················17（3）分三种状况 ：①当 NC MC ，如 ③，即 t 10 2t∴ t10·························7 分3AA DNBCBM HM（图③）（图④）②当 MN NC ，如 ④， N 作 NEMC 于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC 1MC110 2t 5 tEC 5 t 22在 Rt △CEN 中， cosctNCCH3又在 Rt △DHC 中， cosc5CD∴ 5 t3t5解得 t25 ························8 分8解法二：∵∠C ∠ C ， DHCNEC 90∴ △ NEC ∽△ DHC∴ NCECDC HC 即 t 5 t 5 3∴ t25························· 8 分 81NC 1 t ③当 MN MC 时，如图⑤，过 M 作 MF CN 于F 点. FC2 2 解法一：（方法同②中解法一）FC1 t 3 A DcosC2MC 10 2t5N解得 t6017FB解法二：H MC∵∠C ∠C ， MFCDHC 90∴ △ MFC ∽△ DHC （图⑤）∴FC MC HC DC1 t10 2t即23 5∴ t601710 、 t 25 或 t 60时， △ MNC 为等腰三角形 ·· 9 分 综上所述，当 t3 8 178. 解（ 1）如图 1，过点 E 作 EG BC 于点 G ．··· 1 分∵ E 为 AB 的中点，A D1AB∴ BE2．2EF在 Rt △EBG 中， ∠ B 60 ，∴∠BEG 30 ． ·· 2 分∴ BG1BE 1，EG22 123．BC2G即点 E 到 BC 的距离为 3． ········· 3 分图 1（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， △ PMN 的形状不发生改变．∵ PMEF ，EGEF ，∴ PM ∥ EG ．∵EF∴ EP GM ， PM EG 3．∥ BC ， 同理 MN AB 4． ······················如图 2，过点 P 作 PH MN 于H ，∵MN ∥AB ， ∴∠NMC ∠B 60 ，∠ PMH 30 ． AN∴ PH1PM3 ． EP22∴ MHPM gcos303 ． HB2G M则 NH MN MH43 5． 图 22 22 2在 Rt △ PNH 中，PNNH 2PH 25 3 ．227∴ △PMN 的周长 = PM PN MN374．·······②当点 N 在线段 DC 上运动时， △ PMN 的形状发生改变，但 △MN 当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR ． 近似①， MR3 ．2 ∴ MN 2MR 3． ······················∵ △ MNC 是等边三角形，∴ MC MN 3． 此时， x EP GM BC BG MC 6 13 2． ·······ADADAPNPEFEF ERNBM CBG MC BGG图 3图 4图 5如图 4，这时 MCMN MP3．此时， xEP GM 6 13 5 3．当 NP NM 时，如图 5，∠ NPM ∠PMN 30 ． 则∠PMN 120 ，又 ∠MNC 60 ， ∴∠PNM ∠ MNC 180 ． 所以点 P 与 F 重合， △PMC 为直角三角形． ∴ MC PM gtan30 1． 此时， x EP GM 6114．综上所述，当 x 2或4或 53 时， △PMN 为等腰三角形． ··9 解：（ 1） Q （1，0） ······················点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度．··············（2） 过点 B作 BF ⊥y 轴于点 F ， BE⊥ x 轴于点E ，则BF ＝，OFBE8∴ AF 1046．y在 Rt △AFB 中， AB82 62103分D过点 C 作 CG ⊥ x 轴于点 G ，与 FB 的延伸线交于点 H ．C∵ ABC 90 , AB BC ∴△ ABF ≌△ BCH ．A PM∴ BHAF 6, CHBF8 ．FHBON Q EGx∴ OG FH 8 6 14,CG 8 4 12．∴所求 C 点的坐标为（ ， ）．4 分14 12 （ 3） 过点 P 作 PM ⊥ y 轴于点 M ， PN ⊥ x 轴于点 N ， 则△ APM ∽△ ABF ． ∴ APAM MP ． t AM MP ． ABAF BF10 68∴ AM3 t ，PM4 t ． ∴ PNOM 10 3 t , ON PM4 t ．5555设△ OPQ的面积为 S （平方单位）∴ S 1 (10 3 t )(1 t) 5 47 t 3t 2（0≤ t ≤10） ············5 分2510 10说明 : 未注明自变量的取值范围不扣分．3 <04747时， △OPQ 的面积最大． ····· 6 分∵ a∴当 t10 3 102( ) 610此时 P 的坐标为（94，53） ． ··················7 分15 10（ 4） 当 t5或 t 295时， OP 与 PQ 相等． ············ 9 分31310. 解：（ 1）正确． ············ （1 分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM EC ，连结 ME ．（ 2 分）A DBM BE ． BME 45°， AME 135°． MF Q CF 是外角均分线，DCF 45°，B EC G ECF 135°．AME ECF ． Q AEB BAE 90°， AEB CEF 90°， BAE CEF ．△ AME ≌△ BCF （ASA ）． ·················· （5 分）AE EF ． ·························（6 分） （ 2）正确． ············· （7 分） 证明：在 BA 的延伸线上取一点 N ． 使 AN CE ，连结 NE ． ········ （8 分） NFBN BE ．A DN PCE 45°．Q 四边形 ABCD 是正方形，AD ∥BE ．B C E GDAE BEA ． NAE CEF ．△ ANE ≌△ ECF （ASA ）． ·················· AE EF ． （11 分）11. 解（Ⅰ）如图①，折叠后点 B 与点 A 重合，则 △ACD ≌△ BCD .设点 C 的坐标为 0，m m 0 .则 BC OB OC 4 m . 于是 AC BC 4 m .在 Rt △ AOC 中，由勾股定理，得 AC 2 OC 2 OA 2 ，即 4 mm 2 22 ，解得 m 3 .22点 C 的坐标为30， . ·······················2（Ⅱ）如图②，折叠后点 B 落在 OA 边上的点为 B ,则△BCD ≌△BCD.由题设 OB x ， OC y ，则 B CBCOB OC4 y ，在 Rt △ B OC 中，由勾股定理，得 B C 2OC 2OB 2.4 y 2x 2 ，y 2即 y1 x2 2 ·························8由点 B 在边 OA 上，有 0 ≤ x ≤ 2，分析式 y1 x2 2 0 ≤ x ≤ 2 为所求 .8Q 当 0 ≤ x ≤ 2时， y 随 x 的增大而减小，y 的取值范围为 3≤ y ≤ 2 . ·················2 B 落在 OA 边上的点为 B ，且 B D ∥OB. （Ⅲ）如图③，折叠后点则 OCB CBD. 又 Q CBD CB D ， OCBCBD ，有 CB ∥ BA .Rt △COB ∽ Rt △ BOA .有 OBOC，得 OC 2OB . ·················OA OB 在 Rt △ B OC 中，设 OB x 0 x 0 ，则 OC 2x 0 .由（Ⅱ）的结论，得 2x 01 x2 0 2 ，8解得 x 0 8 4 5．Q x 0 0， x 08 45.点 C 的坐标为 0，8 5 16 .·················10 分12 解：方法一：如图（ 1-1 ），连结 BM ，EM ，BE ．FAMDEBNC图（ 1-1 ）由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 对于直线 MN 对称．∴ MN 垂直均分 BE ．∴ BM EM ，BN EN ． ········ 1 分 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ADC 90°, AB BC CD DA 2．∵ CE1， CEDE1．设 BN x ，则 NEx ，NC 2 x ．CD2在 Rt △CNE 中， NE 2 CN 2 CE 2 ．∴ x 2212．解得 x5，即BN5．··········3 分2 x44在 Rt △ ABM 和在 Rt △ DEM 中，AM 2 AB 2 BM 2， DM 2 DE 2 EM 2，AM 2 AB 2 DM 2 DE 2．················· 5 分设 AM y ，则 DM 2 y ，∴ y22222 y12．解得 y1，即 AM1． ··················6 分44∴ AM1．·······················7 分BN 55．················方法二：同方法一， BN3 分4如图（ 1－2），过点 N 做 NG ∥ CD ，交 AD 于点 G ，连结 BE ．A MFG DEBNC图（ 1-2 ）∵ AD ∥ BC ，∴四边形 GDCN 是平行四边形． ∴ NG CD BC ．同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ AG BN5．∵ MN BE ， EBC BNM 90°．Q NG BC ， MNG BNM 90°， EBC MNG ．在 △BCE 与△ NGM 中EBCMNG ，BC NG ，∴ △BCE ≌△NGM ，ECMG ． ·····CNGM90°．∵ AMAG MG ，AM =5 1． (1)44∴AM 1．·······················5类比概括n 22（或4）；9 1；················51017n 21联系拓广n 2 m 2 2n 1n 2m 2 1························。

人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形 则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ． 由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =． 在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==． 所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==． 在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++． 整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1【答案】 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +， 那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案（16道）一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．484．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x 菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中O为原点35OA OB==点C为平面内一动点32BC=连接AC点M是线段AC上的一点且满足:1:2CM MA=．当线段OM取最大值时点M的坐标是（）A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．365,555C．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D．6125,55510．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC△中动点P从A点运动到B点再到C点后停止速度为2单位/s 其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A155B427C．17D．5311．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中60A∠=︒4AB=动点M N同时从A 点出发点M以每秒2个单位长度沿折线A B C--向终点C运动点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动当其中一点运动至终点时另一点随之停止运动．设运动时间为x秒AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P从等边三角形ABC的顶点A出发沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x PByPC图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．43D．23二解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC中①C=90° 点M从点C出发沿CB方向以1cm/s 的速度匀速运动到达点B停止运动在点M的运动过程中过点M作直线MN交AC于点N且保持①NMC=45° 再过点N作AC的垂线交AB于点F连接MF将①MNF关于直线NF对称后得到①ENF已知AC=8cm BC=4cm设点M运动时间为t（s）①ENF与①ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中能否使得四边形MNEF为正方形？如果能求出相应的t值如果不能说明理由（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围（3）当y取最大值时求sin①NEF的值．AB=点O是对角线AC的中点动点P 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中4cmQ分别从点A B同时出发点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动点Q以2cm/s的速度沿折线-向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M连接QO并延长交折线DA ABBC CD-于点N连接PQ QM MN NP得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（04<<）四边形PQMN的x面积为y（2cm）(1)BP的长为__________cm CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时直接写出x的值．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标 分M 的横坐标x 在01 12 23~之间三个阶段 用含x 的代数式表示出PMN 的底和高 进而求出分段函数的解析式 根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 ∴2AB AD == 3OA =∴()2222231OB AB OA --= ∴123OC OB BC =+=+=∴(3A ()10B , ()3,0C 设直线AB 的解析式为y kx b =+ 将(3A ()10B ,代入 得： 03k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为33y x =-MN y ∥轴∴N 的横坐标为x（1）当M 的横坐标x 在01之间时 点N 在线段AB 上 PMN 中MN 上的高为1x + ∴(,33N x x ∴(3333MN x x -+∴()()2113313122PMNS MN x x x x =⋅+=⋅+= ∴该段图象为开口向上的抛物线（2）当M 的横坐标x 在12之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中3MN = MN 上的高为1x + ∴()()113313122PMNS MN x x x =⋅+=+=∴该段图象为直线（3）当M 的横坐标x 在23~之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中MN 上的高为1x + 由(3D ()3,0C 可得直线CD 的解析式为333y x =-+∴(,333M x x + (),0N x ∴333MN x =-+ ∴()(()21133313331322PMN S MN x x x x =⋅+=-+⋅+=++ ∴该段图象为开口向下的抛物线观察四个选项可知 只有选项A 满足条件故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 涉及坐标与图形 菱形的性质 二次函数 一次函数的应用等知识点 解题的关键是分段求出函数解析式．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大 匀速跑一段时间后减速到① 然后再加速再匀速到① 由于体力原因 应该第一个50米速度快 用的时间少 第二个50米速度慢 用的时间多故他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是D ．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象 要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件 结合实际意义得出正确的结论．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x 在图中表示出来 设,25AE z BE z ==- 在直角三角形中 找到等量关系 求出未知数的值 得到BDE △的值．【详解】解：当10x =时 由题意可知10,5AD CD ==在Rt CDB △中 由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=设,25AE z BE z ==-222(25)50625BE z z z ∴=-=-+在Rt ADE △中 由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-在Rt DEB △中 由勾股定理得222BD DE BE =+即2242510050625z z z =-+-+解得6z =6,19DE BE ∴==1198762BDE a S ∴==⨯⨯=当25x =时 由题意可知 10CD BD ==设,25BE q AE q ==-222(25)62550AE q q q =-=-+在Rt CDA △中 由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-Rt DEA 中 由勾股定理得222AD DE AE =+即2232510062550q q q =-+-+解得8q =6DE ∴=168242BDE b S ∴==⨯⨯= 762452a b ∴-=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理 根据勾股定理列出等式是解题的关键 运用了数形结合的思想解题． 4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象 即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧 即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的外部时 重叠部分为矩形 如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K①垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 ①3IE FK t ==①在矩形ABCD 中 4AB =43BC =①228AC AB BC =+=①4OA OB AB ===①ABO 为等边三角形①60OAB OBA ∠=∠=︒①tan60AI BK IE t ==÷︒=①42IK t =- ①()23422343S IK IE t t t t =⋅=-=-+ 图象为开口向下的一段抛物线①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时 与AOB 重叠部分即为正方形EFGH 如图：由①可知：42EF IK t ==-①()242S t =- 图象是一段开口向上的抛物线当MN 过点O 时 即2t =时 ,E F 重合 此时 0S =综上：满足题意的只有B 选项故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分04t ≤< 48t ≤< 812t ≤<三种情况 分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D 作DH CB ⊥于H①5DE DF == 8EF = ①142EH FH EF === ①223DH DE EH =-当04t ≤<时如图，重叠部分为EPQ △ 此时EQ t = PQ DH ∥①EPQ EDH ∽ ①PQ EQ DH EH= 即34PQ t = ①34PQ t = ①2133248S t t t =⨯= 当48t ≤<时如图，重叠部分为四边形PQC B '' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=- 8FC t '=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽ ①2PB F DCF S B F SCF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭又183122DCFS =⨯⨯=①212128PB F S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ①()231216PB F S t '=-①DH BC ⊥ 90A B C '''∠=︒①A C DH ''∥①C QF HFD '∽①2C QF HFD S C F S HF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即2814432C QF S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⨯ ①()2388C QF S t '=-①()()22233331283168162PB F C QF S S S t t t t ''=-=---=-++当 812t ≤<时如图，重叠部分为四边形PFB ' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽①2PB F DCF S B F S CF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即212128PB FS t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭①()231216PB F S S t '==-综上 ()()()()22230483334816231281216t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩①符合题意的函数图象是选项A ．故选：A ．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律 考查二次函数相关知识根据平移点的特点列出函数表达式是关键 有一定难度．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分三种情况分别求出S 与x 的函数关系式 根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：①60MAN ∠=︒ 6AC AB ==①ABC 是边长为6的正三角形①AD 平分MAN ∠①30MAD NAD ∠=∠=︒ AD BC ⊥ 3CD DB ==①当矩形EFGH 全部在ABC 之中 即由图1到图2 此时03x <≤①EG AC ∥①30MAD AGE ∠=∠=︒①30NAD AGE ∠=∠=︒①AE EG x ==在Rt AEF 中 60EAF ∠=︒ ①33EF AE =①23S = ①如图3时 当AE AF GE AF AF CF AC +=+=+= 则162x x += 解得4x = 由图2到图3 此时34x <≤如图4 记BC EG 的交点为Q ，则EQB △是正三角形①6EQ EB BQ x ===-①()626GQ x x x =--=- 而60PQG ∠=︒ ①)3326PG QG x ==-①PQG EFHG S S S =-矩形())231263262x x =-⨯-- 233123183x =+- ①如图6时 6x = 由图3到图6 此时46x <≤如图5 同理EKB △是正三角形①6EK KB EB x ===- 162FC AC AF x =-=- 3EF x = ①EKCF S S =梯形1136622x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 23333x x =+ 因此三段函数的都是二次函数关系 其中第1段是开口向上 第2段 第3段是开口向下的抛物线 故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 求出各种情况下S 与x 的函数关系式是正确解答的前提 理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m【答案】C【分析】根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a = 作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，则可得33m AF AB == ))333m PE PB AB PA a t =-=- 从而得到22334216PBQa St a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 根据PBQS的最大值为3求出a 的值 从而得到4m 43m 23m AB BC AF ===，， 最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a =作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F120ABC ∠=︒ 60ABF ∴∠=︒33m AF AB ∴== ))333m PE AB PA a t ==-=- )2221133333322444216PBQa SBQ PE t a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由图象可得PBQS 的最大值为323316a ∴=解得：4a =或4a =-（舍去） 4a ∴=4m 43m 23m AB BC AF ∴===，，∴平行四边形ABCD 的面积为：2432324m BC AF ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握平行四边形的性质 二次函数的图象与性质 添加适当的辅助线构造直角三角形 是解题的关键．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x 一个角为60︒的菱形 找到临界点 分情况讨论 即可求解． 【详解】解：作PD AC ⊥于点D 作⊥QE AB 于点E由题意得AP x = 3AQ x = ①3cos30AD AP =⋅︒= ①12AD DQ AQ ==①PD 是线段AQ 的垂直平分线 ①30PQA A ∠=∠=︒①60QPE ∠=︒ PQ AP x == ①132QE AQ x == PQ PN MN QM x ==== 当点M 运动到直线BC 上时此时 BMN 是等边三角形 ①113AP PN BN AB ==== 1x = 当点Q N 运动到与点C B 、重合时①1322AP PN AB === 32x = 当点P 运动到与点B 重合时 ①3AP AB == 3x = ①当01x <≤时 233y x x ==当312x <≤时 如图，作FG AB ⊥于点G 交QM 于点R则32BN FN FB x ===- 33FM MS FS x ===- )333FR x =- ①())2231373939333332y x x -⋅--=+当332x <<时 如图，作HI AB ⊥于点I则3BP PH HB x ===- )33HI x =- ①())21333393332y x x =⋅--= 综上 y 与x 之间函数关系的图象分为三段 当01x <≤时 是开口向上的一段抛物线 当312x <≤时 是开口向下的一段抛物线 当332x <≤时 是开口向上的一段抛物线 只有选项A 符合题意 故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象 二次函数的图形的性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的面积公式 利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 O 为原点 35OA OB == 点C 为平面内一动点 32BC =连接AC 点M 是线段AC 上的一点 且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是（ ）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．365,555C ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．6125,555 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E 先证OAM DAC ∽ 得23OM OA CD AD == 从而当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时 CD 取得最大值 然后分别证BDO CDF ∽ AEM AFC ∽ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①点C 为平面内一动点 32BC = ①点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E①35OA OB ==①AD OD OA =+=95①23OA AD = ①:1:2CM MA = ①23OA CMAD AC==①OAM DAC ∠∠= ①OAM DAC ∽ ①23OM OA CD AD == ①当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时CD 取得最大值①35OA OB == OD =35①BD =()222235153522OB OD ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭①9CD BC BD =+= ①23OM CD = ①6OM =①y 轴x ⊥轴 CF OA ⊥ ①90DOB DFC ∠∠==︒ ①BDO CDF ∠∠= ①BDO CDF ∽①OB BDCF CD=153529=解得185CF =同理可得 AEM AFC ∽①23ME AM CF AC ==23185= 解得125ME =①22221256565OE OM ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭①当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是65125⎝⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 相似三角形的判定及性质 圆的一般概念以及坐标与图形 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止 速度为2单位/s 其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A 155B 427C ．17D ．53【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时 点P 与点A 重合 得到15AB = 进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间 进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间 求出BC 的长 再利用勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：由图象可知：0=t 时 点P 与点A 重合 ①15AB =①点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷= ①点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s -= ①248BC =⨯=在Rt ABC △中：2217AC AB BC += 故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象 勾股定理．从函数图象中有效的获取信息 求出,AB BC 的长 是解题的关键．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = 动点M N 同时从A 点出发 点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动 点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动 当其中一点运动至终点时 另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒 AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 根据已知条件得出ABD △是等边三角形 进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒ 当04t <<时 M 在AB 上 当48t ≤<时 M 在BC 上 根据三角形的面积公式得到函数关系式【详解】解：如图所示 连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 当04t <<时 M 在AB 上菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = ①AB AD =，则ABD △是等边三角形 ①122AE ED AD === 33BE AE =①2,AM x AN x ==①2AM ABAN AE== 又A A ∠=∠ ①AMN ABE ∽ ①90ANM AEB ∠=∠=︒ ①223MN AM AN x - ①21332y x x x =当48t ≤<时 M 在BC 上①1123322y AN BE x x =⨯=⨯ 综上所述 04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分 当48t ≤<时 函数图象是直线的一部分 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 二次函数图象的性质 一次函数图象的性质 菱形的性质 勾股定理 等边三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADMDCNBMNABCD S S S SS=---正方形 求出S 与x 之间函数关系式 再判断即可得出结论．【详解】解：ADMDCNBMNABCD S S SSS=---正方形1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---21282x x =-+ 21(2)62x =-+ 故S 与x 之间函数关系为二次函数 图像开口向上 2x =时 函数有最小值6 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质 二次函数的图像与性质 本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式 再判断S 与x 之间函数类型．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点 再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x PBy PC= 图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．6B ．3C ．43D ．23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时 PB PC = 23AO = 易知30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为3 可知23AO OB == 过点O 作OD AB ⊥ 解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒= 进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时1PB PC= ①PB PC = 3AO =又①ABC 为等边三角形①60BAC ∠=︒ AB AC =①()SSS APB APC △≌△①BAO CAO ∠=∠①30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为43①3OB = 即23AO OB ==①30BAO ABO ∠=∠=︒过点O 作OD AB ⊥①AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=①6AB AD BD =+=即：等边三角形ABC 的边长为6故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二 解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC 中 ①C =90° 点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s的速度匀速运动 到达点B 停止运动 在点M 的运动过程中 过点M 作直线MN 交AC 于点N 且保持①NMC =45° 再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F 连接MF 将①MNF 关于直线NF 对称后得到①ENF 已知AC =8cm BC =4cm 设点M 运动时间为t （s ） ①ENF 与①ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中 能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能 求出相应的t 值 如果不能 说明理由（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围（3）当y 取最大值时 求sin ①NEF 的值．【答案】（1）85（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y （3310 【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t FN ①BC 得出AN =8﹣t 由平行线证出①ANF ①①ACB 得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得出①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t 由正方形的性质得出OE =ON =FN 得出方程 解方程即可（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 由三角形面积得出2124y t t =-+ ①当2＜t ≤4时 作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH 得出GH =23NF =13（8﹣t ） 由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4） （3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM ，则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM 得出方程 解方程求出CN =CM =2 AN =6 得出BM =2 NF =12AN =3 因此EM =2BM =4 作FD ①NE 于D由勾股定理求出EB 22EM BM +=25 求出EF =12EB 5 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF 的长 在Rt①DEF 中 由三角函数定义即可求出sin①NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形 理由如下：连接ME 交NF 于O 如图1所示：①①C =90° ①NMC =45° NF ①AC ①CN =CM =t FN ①BC ①AN =8﹣t ①ANF ①①ACB ①84AN AC NF BC == =2 ①NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得：①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t ①四边形MNEF 是正方形 ①OE =ON =FN ①t =12×12（8﹣t ） 解得：t =85即在点M 的运动过程中 能使得四边形MNEF 为正方形 t 的值为85（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+ 即2124y t t =-+（0＜t ≤2） ①当2＜t ≤4时 如图2所示：作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH ①GH =23NF =13（8﹣t ） ①y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t - 即21(8)12y t =-（2＜t ≤4） 综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y ．（3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM 如图3所示：则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM ①BM =4﹣t ①2t =2（4﹣t ） 解得：t =2 ①CN =CM =2 AN =6 ①BM =4﹣2=2 NF =12AN =3 ①EM =2BM =4 作FD ①NE 于D ，则EB 22EM BM +2242+=5 ①DNF 是等腰直角三角形①EF =12EB 5 DF =22 NF 32 在Rt①DEF 中 sin①NEF =DF EF 3225310【点睛】本题是四边形综合题目 考查了正方形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角函数 三角形面积的计算 等腰直角三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 有一定难度． 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4cm AB = 点O 是对角线AC 的中点 动点P Q 分别从点A B 同时出发 点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M 连接QO 并延长交折线DA AB -于点N 连接PQ QM MN NP 得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<） 四边形PQMN 的面积为y （2cm ）(1)BP 的长为__________cm CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式 并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时 直接写出x 的值．【答案】(1)()4x - x(2)()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x = 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON == 可得四边形PQMN 是平行四边形 证明ANP CQM ≌即可（2）分02x <≤ 24x <≤两种情况分别画出图形 根据正方形的面积 以及平行四边形的性质即可求解 （3）根据（2）的图形 分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意 1AP x x =⨯=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-①四边形ABCD 是正方形①,90AD BC DAB DCB ∠=∠=︒∥①点O 是正方形对角线AC 的中点①,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形①MQ PN = MQ NP ∥①PNQ MQN ∠=∠又AD BC ∥①ANQ CQN ∠=∠①ANP MQC ∠=∠在,ANP CQM 中ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ANP CQM ≌①()cm MC AP x ==故答案为：()4x - x ．（2）解：当02x <≤时 点Q 在BC 上由（1）可得ANP CQM ≌同理可得PBQ MDN ≌①4,2,PB x QB x MC x =-== 42QC x =-则222MCQ BPQ y AB S S =--()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+当24x <≤时 如图所示则AP x = 224AN CQ x CB x ==-=-()244PN AP AN x x x =-=--=-+①()44416y x x =-+⨯=-+综上所述 ()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（3）依题意 ①如图，当四边形PQMN 是矩形时 此时90PQM ∠=︒①90PQB CQM ∠+∠=︒①90BPQ PQB ∠+∠=︒①BPQ CQM ∠=∠又B BCD ∠=∠①~BPQ CQM ①BP BQ CQ CM= 即4242x x x x-=- 解得：43x =当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =①()()()22224242x x x x -+=+-解得：0x =（舍去）①如图所示 当PB CQ =时 四边形PQMN 是轴对称图形424x x -=- 解得83x = 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ == 即44x -+= 解得：0x =（舍去）综上所述 当四边形PQMN 是轴对称图形时 43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质 动点问题 全等三角形的性质与判定 矩形的性质 平行四边形的性质与判定 菱形的性质 轴对称图形 熟练掌握以上知识是解题的关键．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：由点（____________）的运动产生的几何问题称为动点问题．问题2：动点问题的解决方法：①研究_____________，_______；②分析___________，分段；③表达_______，建等式．问题3：利用运动状态分析图分析运动过程时，会描述出动点运动的起点、终点、状态转折点、_______、__________．问题4：①△ABC≌△CDE；②△ABC与△CDE全等．①和②之间的区别是什么？综合复习——动点问题（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点P从点A出发，沿AB边向终点B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒，连接PQ，DQ．若△DCQ≌△QBP，则t的值为( )A.1B.2C. D.3答案：D解题思路：①研究背景图形，动点的运动状态背景图形是一个长方形，且AB=6，BC=9，由动点运动状态可知：．②分析状态转折点，分段此题中不涉及状态转折，所以跳过此步．③画出符合题意的图形，表达线段长，建等式由题意得：AP=t，BQ=2t，∴BP=6-t，CQ=9-2t，要使△DCQ≌△QBP，则BP=CQ，BQ=CD，即6-t=9-2t，2t=6，t=3（符合题意），∴当t=3时，△DCQ≌△QBP．故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AD方向向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CB方向向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )时，△PDQ≌△CQD.A.12B.8C.6D.4答案：D解题思路：①研究背景图形，动点的运动状态背景图形是一个直角梯形，且AD=12，BC=24，由动点运动状态可知：．②分析状态转折点，分段此题中不涉及状态转折，所以跳过此步．③画出符合题意的图形，表达线段长，建等式由题意得AP=t，CQ=2t∵AD=12∴DP=12-t要使△PDQ≌△CQD，则需DP=QC即12-t=2t，t=4（符合题意）∴当t=4时，△PDQ≌△CQD．故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在长方形ABCD中，AB=6m，BC=8m，AC=10m，动点P以2m/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动，当其中一点到达终点时，则P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：由题意可得，AP=2t，CQ=t，且，又∵△PQC是以PQ为底的等腰三角形，则CP和CQ为腰，∴CP=CQ，∵AC=10CP=10-2t，CQ=t，即10-2t=t∴（符合题意）故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题4.如图，在长方形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，动点P以3cm/s的速度从B点出发，沿BA 方向向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度，从C点出发沿CD方向向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当t为( )时，线段PQ 恰好平分长方形ABCD的面积.A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：由题意可得，BP=3t，CQ=t，且∵线段PQ恰好平分长方形ABCD的面积，∴∴即∴t=5（符合题意）故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒．当t的值为( )时，△ABP和△DEC全等.A.1B.1或3C.1或7D.3或7答案：C解题思路：（1）研究背景图形，动点的运动状态背景图形是一个长方形，且AB=4，AD=6，∠A=∠B=90°，由动点运动状态可知：．（2）分析状态转折点，分段动点P在C，D处发生了转折，所以分成三段进行分析：①；②；③.（3）画出符合题意的图形，表达线段长，建等式①当点P在BC上运动时，△ABP和△DEC全等，未用全等符号连接，可知应该分类讨论．在△ABP与△DEC中，∠B=∠DCE，AB=DC．∴B和C一定是对应顶点，A和D一定是对应顶点，经过分析可知，一定是△ABP≌△DCE．如图，由△ABP≌△DCE可得BP=CE=2∵BP=2t∴t=1（符合题意）②当点P在CD上运动时，△ABP一定不是直角三角形，所以和△DEC不可能全等．③当点P在DA上运动时，△ABP和△DEC全等，未用全等符号连接，可知应该分类讨论．在△ABP与△DEC中，∠A=∠DCE，AB=DC．∴B和D一定是对应顶点，A和C一定是对应顶点，经过分析可知，一定是△BAP≌△DCE．如图，由△BAP≌△DCE可得AP=CE=2又∵AP=16-2t∴t=7（符合题意）综上，t=1或t=7故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P 的运动时间为t秒，当t的值为( )时，△BPD与△CQP全等.A. B.3C.或2D.或3答案：C解题思路：分析动点运动状态可知P点的时间范围为，由题意知△BPD与△CQP全等，并未用全等符号连接，则应该分类讨论，在△BPD与△CQP中，∠B=∠C，∴B和C一定是对应顶点，可分成两种情况．①当△BDP≌△CQP时，如图，由题意得BP=2t∵BC=8∴PC=8-2t∵AB=10，D为AB的中点∴∵△BDP≌△CQP∴CP=BP，CQ=BD即8-2t=2t，CQ=5∴t=2②当△BPD≌△CQP时，如图，可得BD=CP，BP=CQ即8-2t=5，∴综上所述，当或t=2时，△BPD与△CQP全等．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度是( )A.cm/sB.2cm/sC.2cm/s或4cm/sD.cm/s或2cm/s答案：D解题思路：（1）研究背景图形，动点的运动状态背景图形是一个长方形，且AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，分析点P的运动时间可得．（2）分析状态转折点，分段此题中不涉及状态转折，所以跳过此步．（3）画出符合题意的图形，表达线段长，建等式由题意知△BPE与△CQP全等，并未用全等符号连接，可知应该分类讨论，在△BPE与△CQP 中，∠B=∠C=90°，∴B和C一定是对应顶点，可分成两种情况．①当△BPE≌△CQP时，如图，由题意得BP=2t∵BC=6∴PC=6-2t∵△BPE≌△CQP∴BE=CP，BP=CQ即2=6-2t∴t=2而CQ=BP=vt即：4＝2v∴v=2②当△BPE≌△CPQ时，如图，可知BP=CP，BE=CQ即2t=6-2t，而CQ=BE=vt即：∴综上所述，当点Q的速度是cm/s或2cm/s时，△BPE与△CQP全等．故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题8.已知：如图，等边△ABC的边长为6，动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒2个单位长度的速度运动，再次回到点A时停止运动．连接BP，CP，设点P的运动时间为t秒．若△BCP的面积是△ABC面积的，则t的值为( )A.2或7B.4或14C.2或14D.4或7答案：A解题思路：（1）研究背景图形，动点的运动状态背景图形是一个等边三角形，边长为6，分析点P的运动状态，可得（2）分析状态转折点，分段由题可知点P在点B，C处发生了状态改变，所以可分成三种情况，即点P在AB上，点P 在BC上，点P在CA上运动，所以分成三种情况进行分析：①；②；③.（3）画出符合题意的图形，表达线段长，建等式①当点P在AB上运动时，即如图，∵△BCP的面积是△ABC面积的，可知，∵AB=6∴BP=2∴AP=4又∵AP=2t∴t=2（符合题意）②当点P在BC上运动时，此时，不能构成△BCP，故不存在t满足题意．③当点P在CA上运动时，如图，∵△BCP的面积是△ABC面积的，可知∴CP=2又∵CP=2t-12∴t=7（符合题意）综上t=2或t=7故选A试题难度：三颗星知识点：动点问题。

中考动点问题专项训练（含详细解析）中考动点问题专项训练（含详细解析）⼀、解答题1. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是；同时，点从点出发沿⽅向，在射线上匀速运动，速度是，过点作交于点，连接，，交于点．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，四边形是平⾏四边形；（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使得的⾯积为矩形⾯积的；（4）是否存在某⼀时刻，使得点在线段的垂直平分线上．2. 已知：如图，在中，，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点，同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当⼀个点停⽌运动时，另⼀个点也停⽌运动，连接．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，四边形为平⾏四边形?（2）设四边形的⾯积为，试确定与的函数关系式；若存在，请说明理由，若存在，求出的（3）在运动过程中，是否存在某⼀时刻，使四边形值，并求出此时的距离．3. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，，在同⼀条直线上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿⽅向匀速运动，速度为；与交于点．同时，点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为．过作，垂⾜为，交于，连接，，当点停⽌运动时，也停⽌运动．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，?（2）设五边形的⾯积为，求与之间的函数关系式；若存在，求出的值；若不存在，请（3）在运动过程中，是否存在某⼀时刻，使五边形矩形说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某⼀时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．4. 如图，在中，，，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动．与此同时，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动．过点作，交于点，连接，．当点到达中点时，点与同时停⽌运动．设运动时间为秒（）．（1）当为何值时，．（2）设的⾯积为，求出与之间的函数关系式．（3）是否存在某⼀时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．5. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿⽅向，在射线上匀速运动，速度是，连接，，与交于点，设运动时间为．（1）当为何值时，四边形是平⾏四边形；（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使得的⾯积为矩形⾯积的；（4）是否存在某⼀时刻，使得点在线段的垂直平分线上．6. 已知：如图①，在中，，，，点由出发沿⽅向向点匀速运动，速度为；点由出发沿⽅向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，?（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使线段恰好把的周长和⾯积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某⼀时刻，使四边形为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．7. 已知：如图，是边长为的等边三⾓形，动点，同时从，两点出发，分别沿，⽅向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，，两点停⽌运动，设点的运动时间（），解答下列各问题：（1）经过秒时，求的⾯积．（2）当为何值时，是直⾓三⾓形?（3）是否存在某⼀时刻，使四边形的⾯积是⾯积的三分之⼆?如果存在，求出的值；不存在请说明理由．8. 已知：如图，在平⾏四边形中，，，，点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为；点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂⾜是，设运动时间为．（1）当为何值时，四边形是平⾏四边形?（2）证明：在，运动的过程中，总有；（3）是否存在某⼀时刻，使四边形的⾯积是平⾏四边形⾯积的⼀半?若存在，求出相应的值；若不存在，说明理由．9. 如图，在梯形中，，，，，．点从点出发沿折线⽅向向点匀速运动，速度为；点从点出发，沿⽅向向点匀速运动，速度为，，同时出发，且其中任意⼀点到达终点，另⼀点也随之停⽌运动，设点，运动的时间是．（1）当点在上运动时，如图（1），，是否存在某⼀时刻，使四边形是平⾏四边形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）当点在上运动时，如图（2），设的⾯积为，试求出与的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使的⾯积是梯形的⾯积的?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（4）在（2）的条件下，设的长为，试确定与之间的关系式．10. 已知：如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停⽌移动，回答下列问题：（1）运动开始后多少时间，的⾯积等于 ?（2）设运动开始后第时，五边形的⾯积为，写出与之间的函数表达式，并指出⾃变量的取值范围；（3）为何值时，最⼩?求出的最⼩值．11. 已知：如图①，在平⾏四边形中，，．．沿的⽅向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为，当停⽌平移时，点也停⽌运动．如图②，设运动时间为．解答下列问题：（1）当为何值时， ?（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某⼀时刻，使四边形（4）是否存在某⼀时刻，使 ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．12. 在直⾓梯形中，，是直⾓，，，点从点出发，以每秒的速度沿⽅向运动，点从点出发以每秒的速度沿线段⽅向向点运动，已知动点，同时出发，当点运动到点时，，运动停⽌，设运动时间为．（1）求长；（2）当四边形为平⾏四边形时，求的值；（3）在点，点的运动过程中，是否存在某⼀时刻，使得的⾯积为平⽅厘⽶?若存在，请求出所有满⾜条件的的值；若不存在，请说明理由．答案第⼀部分1. （1）当时，四边形是平⾏四边形，此时，四边形是平⾏四边形，则，即，解得，，即当时，四边形是平⾏四边形．（2），，，，，即，解得，，，则，四边形即与之间的函数关系式为：．（3）存在．矩形⾯积为：，由题意得，，解得，或．当或时，的⾯积为矩形⾯积的．（4）存在这样的使得点在线段的垂直平分线上．当点在线段的垂直平分线上时，，由勾股定理得，，解得，（舍去），，答：时，点在线段的垂直平分线上．2. （1），，，，，当时，四边形是平⾏四边形，，即，解得，，答：当时，四边形为平⾏四边形．（2）过点作，垂⾜为，，，，，即，解得，，，，，，，即，解得，，四边形（3）存在，若四边形，则，，，解得，（舍去），，则为时，四边形，当时，，，作于，则，，，则． 3. （1）若，则．所以，即，解得：．（2）由可得，，⼜，所以，所以，即，所以．，（3）假使存在，使五边形矩形，即，则矩形整理得，解得，（舍去）．．答：存在，使得五边形矩形（4）存在．易证，所以，即，所以，则，．作于点，则四边形为矩形，所以，，故：，若在的垂直平分线上，则，所以，所以，即：，整理得：，解得，（舍去）．综上，存在使点在的垂直平分线上的，此时．4. （1）过点作于点，，，，，，，，，，，解得，当为时，．（2）过点作于点，交于点．如图所⽰，，，，，，，，由，可得，即，，，四边形是矩形，，，（）．（3）存在．由题意：，解得或．秒或秒时，．5. （1），，根据题意得：时，四边形是平⾏四边形，即，解得：；，（2）四边形因为，所以，所以，所以，则，则，，，则四边形即；，（3）矩形由题意得：，解得：或；（4）在中，，在中，，当点在线段的垂直平分线上时，，即，则，解得：或（舍去）．则．6. （1）在中，．由题意知：，．若，则．．．．（2）过点作于．，．．，（3）不存在某⼀时刻，使线段恰好把的周长和⾯积同时平分．若把周长平分，则．．解得：．若把⾯积平分，则．．时⽅程不成⽴，不存在这⼀时刻，使线段把的周长和⾯积同时平分．（4）存在这样的时刻，使得四边形为菱形．过点作于，于．若四边形是菱形，那么．于，．于，．．．．．．，解得．当时，四边形是菱形，此时，．在中，由勾股定理，得菱形边长为．7. （1）过点作，垂⾜为．由题意可知．为等边三⾓形，且边长为，，．（）．（2）①当时，由题意可知，．．，，即．②当时，此时．，，即．当，时，是直⾓三⾓形．（3）不存在．由题意可知，，．．，四边形的⾯积是⾯积的三分之⼆，．即．化简得．．此⽅程⽆解．所以不存在某⼀时刻，使四边形的⾯积是⾯积的三分之⼆．8. （1）如图，连接，，四边形是平⾏四边形，，，解得，当时，四边形是平⾏四边形．（2）四边形是平⾏四边形，，，，，，，，，即在，运动的过程中，总有．（3）如图，过点作于，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，为等腰直⾓三⾓形，，．四边形是平⾏四边形，，，，设四边形的⾯积为，假设存在某⼀时刻，四边形的⾯积是平⾏四边形的⾯积的⼀半，，整理得：，解得：，（舍），当时，四边形的⾯积是平⾏四边形⾯积的⼀半．9. （1）不存在，理由如下：因为，，，所以，所以，设点，运动的时间是，，，使四边形是平⾏四边形，有，所以，解得：，此时点与点重合，不能构成平⾏四边形．（2）如图②，由题意可求：，，过点作，所以，可求，所以．（3）如图3，过点作，由，，可求：，所以梯形的⾯积为：，当时，，此时，的⾯积为：，由题意得：，解得：（舍去）；当时，由（2）知，的⾯积为：，由题意：，解得：或（舍去），所以当时，的⾯积是梯形的⾯积的．（4）如图②，由（2）知：，，过点作，因为，所以，，可求：，，由勾股定理可求：，当时，，解得：，所以．10. （1）运动开始后第时，的⾯积等于．根据题意，得即所以或时，的⾯积等于．（2）运动开始后第时，矩形（3）．所以当时，最⼩，的最⼩值是．11. （1）在中，由勾股定理得：．由平移性质可得．因为，所以．所以，即．解得．（2）如图，作于点，于点．由，可得．则由勾股定理易求．因为，，所以．所以．所以．即．求得：，．因为，所以到的距离．所以，是⾯积．（3）因为，所以．，若四边形则．即：，整理得：．解得．．答：当时，四边形（4）若，则．因为，所以．所以．所以．所以，即：．，所以．故．整理得．解得（舍），．答：当时，．12. （1）如图 1，过点作于点，则四边形是矩形，，，，，．（2）当四边形为平⾏四边形时，点在上，点在上，如图 2，由题意得：，，，解得．（3）①当点在线段上时，即时，如图 3，，解得．②当点在线段时，即时，如图 4，，，，化简得：，，⽅程⽆实数解；③当点在线段上时，若点在点的右侧，即时，则有，，解得（舍去），若点和点重合，则⾯积为，不合题意．若点在的左侧，即时，则有，，解得，综上，满⾜条件的的值存在，分别为或．。

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。