1-2矢量场的散度

定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。

给定一个三维空间中的向量场以及一个简单有向曲面，则向量场通过曲面的通量就是曲面每一点上的场向量在曲面法向方向上的分量的积分:其中是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。

如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

通量描述了一定区域中向量场的方向趋势，散度则是这个性质的一种局部描述[1]:7-8。

某一点的散度是指包含这一点的某一个封闭曲面的通量除以封闭曲面围起来的微小体元的体积得到的比值在趋向于0时的极限：[2]:4如果用Nabla算子表示的话，向量场的散度记作：[2]:5从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度[1]:7-8。

物理上，散度的意义是场的有源性。

某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。

这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）[1]:8。

举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。

散度等于零的区域称为无源场或管形场。

流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量。

在不同的坐标系下，向量场的散度有不同的表达方式。

直角坐标系在三维直角坐标系Oxyz中，设向量场的表示为[2]:8：，其中的分别是x轴、y轴、z轴方向上的单位向量，场的分量P、Q、R 具有一阶连续偏导数，那么向量场A的散度就是：圆柱坐标系圆柱坐标系中，假设物体的位置为，定义其径向单位矢量、横向单位矢量和纵向单位矢量为，那么向量场可以表示成：向量场A的散度就是[4][5]:73：球坐标系球坐标系中，假设物体的位置用球坐标表示为，定义它的基矢：，则向量场A可以表示成：向量场A的散度就是[6][5]:73：以下的性质都可以从常见的求导法则推出。

散度定理表达式
散度定理是高斯定理在物理中的实际应用，它经常应用于矢量分析中。

矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。

(附:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个变换关系在电磁场理论中非常有用)
表达式(为下图所示)
散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。

散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

散度定理经常应用于矢量分析中。

矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。

然而，它可以推广到任意维数。

在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。

1.4.3 散度 矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内的每一点的通量特性。为了研究矢量场在一个点附近的通量特性，需要引入矢量场的散度。 1. 散度的概念 在矢量场F中的任意点M处做一个包围改点的任一闭合曲面S，当S所限定的体积V

以任意方式趋近于0时，则比值 VdSFS的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作 div F, 即

VdSFdivFSV

lim0 （1.4.7）

由散度的定义可知，div F表示在点M出的单位体积内散发出来的矢量F的通量, 所以div F描绘了通量源的密度。若div F>0,则该点有发出矢量线的正通量源; 若div F<0，则该点有汇聚矢量线的负通量源,;若div F=0，则该点无通量源,如图1.4.1所示。

2..散度的计算式 根据散度的定义，div F与体积源V的形状无关，只有在取极限的过程中，所有尺寸都趋于0即可。在直角坐标系中，以点M(x,y,z)为顶点做 一个很小

的直角六面体，个边的长度分别为x、y、 z,各面分别与坐标面平行，如图1.4.5所示。

适量场F穿出该六面 体的表面S的通量

dSFdSFS][

下上右左后前

在计算前.后两个面上的积分时yF,zF对 积分没有贡献，并且由于六个面均很小，所以 图1.4.5 在直角坐标系中计算▽•F

O y x

z Δx Δy

Δz

(c) divF >0 (b) divF <0 (a) divF =0 图1.4.4 散度的意义 zyzyxxFdSFx),,(前

zyzyxFdSFx),,(后

根据泰勒定理

xxzyxFzyxFxxzyxFxxzyxFzyxFzyxxFxxxxxx),,(),,()(),,(21),,(),,(),,(222 所以 zyxxzyxFzyzyxFdSFxx),,(),,(前

矢量场散度的推导过程矢量场的散度是一个表示矢量场在给定点的发散程度的物理量。

它在流体力学、电磁学等领域具有重要的应用。

本文将详细介绍矢量场散度的推导过程，以帮助读者更好地理解。

首先，让我们从二维矢量场开始推导。

假设有一个二维平面，上面存在一个矢量场。

我们可以将该矢量场表示为一个二维向量函数V(x, y) = Vx(x, y) i + Vy(x, y) j，其中Vx和Vy是矢量场在x和y方向上的分量。

现在，我们想知道矢量场在给定点的发散程度。

我们可以通过比较给定点附近的两个小矩形区域的质量流量来推导散度。

假设我们选取一个小矩形区域，其边界长度为∆x和∆y，面积为∆A = ∆x∆y。

矢量场穿过该矩形区域的质量流量可以表示为Φ = Vx∆y - Vy∆x。

接下来，我们将对矢量场的散度进行定义。

假设我们选择该点附近的另一个小矩形区域，其边界长度为(∆x + ∆x')和(∆y + ∆y')，面积为∆A' = (∆x + ∆x')(∆y + ∆y')。

同样地，该矩形区域内的质量流量为Φ' = Vx(∆y + ∆y') - Vy(∆x + ∆x')。

现在，我们可以计算质量流量的变化量ΔΦ = Φ' - Φ。

展开上述表达式，我们可以得到ΔΦ = Vx∆y' - Vy∆x'。

通过将ΔΦ除以∆A'，我们可以得到单位面积上的质量流量变化量：ΔΦ/∆A' = (Vx∆y' - Vy∆x')/∆A'接下来，我们利用泰勒展开的思想，将∆y'和∆x'展开到一阶项，即∆y' ≈ ∂yVx∆x'，∆x' ≈ ∂xVy∆y'。

代入上述表达式，我们得到：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)∆x'∆y'/∆A'由于∆A' = (∆x + ∆x')(∆y + ∆y') ≈ ∆x∆y + ∂yVx∆x∆y +∂xVy∆x∆y，我们可以将上述表达式进一步简化为：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)∆A/∆A' ≈ (Vx∂yVx -Vy∂xVy)∆A/(∆x∆y + ∂yVx∆x∆y + ∂xVy∆x∆y)在极限∆x和∆y趋近于零的情况下，我们可以将上述表达式进一步简化为：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)/∂x(∂yVx - ∂xVy)继续化简上述表达式，我们可以得到：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)/(∂xVy - ∂yVx)最后，让我们将∆Φ/∆A'取极限。