§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示
对于空间区域V 内的任意一点r ，若有一个矢量F (r )与之对应，我们就称这个矢量函数F (r )是定义于V 的矢量场。
恒稳矢量场F (r ) ，时变矢量场F (r ,t )。
矢量场图--矢量线0
l F =⨯d 其方程为
矢量线的示意图
F 线
F
d l
矢量线
F (x,y,z )=F x (x,y,z ) e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z
(F y d z -F z d y )e x +(F z d x -F x d z )e y +(F x d y -F y d x )e z =0F y d z -F z d y =0F z d x -F x d z =0
F x d y -F y d x =0
或
得直角坐标式的矢量线方程
z
y x F z F y F x d d d ==矢量场的直角坐标式为
l F =⨯d
矢量F 沿有向曲面S 的面积分
S
F d ⋅⎰=S Ψ2、通量
矢量F 在面元d S 的面积分为d ψ= F n d s =F cos θd S =F ‧d S 矢量场的通量
若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:
⎰⋅
=
s
Ψs
F d
ψ> 0(有正源)
ψ< 0(有负源)ψ= 0(无源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F (x,y,z ) =F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z d s =d y d z e x + d x d z e y + d x d y e z
则通量可写成
⎰
⎰++=⋅=s
z y x s
y
x F z x F z y F Ψd d d d d d d s F
如果包围点P 的闭合面∆S 所围区域∆V 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在,我们就将它定义为P 点处F (r )
的散度（divergence ），记作
V
s V ∆⋅⎰→∆s F lim d 03 散度
V
div s
V ∆⋅=
⎰→∆s F F d lim
z
z z z y
y y y x
x x x z z
x,y,z F x,y,z F z x,y,z y y x,y,z F x,y,z F y,z x,y x x x,y,z F x,y,z F x,y,z x e F e F e F ])
()([)(])
()([)(])
()([)Δ(∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈+求边长分别为∆x 、∆y 、∆z 的小平行六面体的通量，其体积∆V =∆x ∆y ∆z 。
根据泰勒极数可知
a c
b
F x (x+∆x,y,z )
F y (x,y+∆y,z )
F z (x,y,z+∆z )x
y
z
o
∆x
∆y
∆z (x,y,z )F x (x,y,z )
F y (x,y,z )
F z (x,y,z )
直角坐标的微分体积
V z
F y F x F y x F y x z z F F z x F z x y y F F z y F z y x x F F z y x z z
z y y y x x
x ∆∂∂+∂∂+∂∂=∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂+⋅≈⎰
)()]
)[()]
)[()])[(d s
s F z
F y F x F V
div z
y x s
V ∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=
⎰→∆s F F d lim
z
F y F x F z
y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇F 或写成
即得
a c
b
F x (x+∆x,y,z )
F y (x,y+∆y,z )
F z (x,y,z+∆z )x
y
z
o
∆x ∆y
∆z (x,y,z )F x (x,y,z )
F y (x,y,z )
F z (x,y,z )
直角坐标的微分体积
4、散度的物理意义
•
散度代表矢量场的通量源的分布特性∇• F= 0(无源
）
∇• F= -ρ<0(负源
)
∇• F= ρ>0(正源)•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
5、散度运算的几个基本关系式
•相对坐标矢量函数)
(r r F '-F
F ⋅∇'-=⋅∇)
(r r R '-•相对位置矢量
3
=⋅∇R •标量场 f (r ) 和矢量场F (r ) 之积f F
F
F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )(•R 及其模R
03=⋅∇R
R 0
≠R
F
F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )(证明：设
f (r )=f (x ,y ,z )，
F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z
则
)
()()(z z y y x x z y x fF fF fF z y x f e e e e e e F ++⋅∂∂
+∂∂+∂∂=⋅∇)()()(z y x F f z
F f y F f x ∂∂
+∂∂+∂∂=)
()()(z f
F z F f y f F y F f x f F x F f z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)
()(z
f F y f F x f F z F y F x F f z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=F
F ⋅∇+⋅∇=f f
03=⋅∇R
R R
F =3
1R f =
证明：设：
f
f f ∇⋅+⋅∇=⋅∇F F F )(3311R
R ∇⋅+⋅∇=R R R R R ∇'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+=3313R 03343=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=R
R R R R
x y a
z b S 1
o
S 5S 4S 3S 2
例3
已知F (x,y,z ) =yz e x +xz e y +xyz e z ，试求它穿过闭合面的部
分圆柱面S 1的通量。
x = a cos α，y =a sin α
S 1上的F 写成F =az sin αe x + az cos αe y + a 2z sin αcos α
e z
因d s 1=a d αd z e n
则
F ‧d s 1=[a 2z sin α（e x ‧e n ）+a 2z cos α（e y ‧e n ）
+ a 3z sin αcos α（e z ‧e n ）]d αd z =2a 2z sin αcos αd αd z
2
sin 2
d cos sin )]d d 2(cos sin [d 2
2/2
/2
22
22
2b
2
/2
11
b a b
a b
a z z a s =
===⋅⎰
⎰⎰⎰
πππα
αααα
ααs F 所以
解
在S 1面上有圆的参数方程：
d α
d z
αx
y e n d s
z
b
S 1a d αo π/2S 5
S 4
S 3
S 2。
