某些常用分布的数学期望与方差

初中数学教案概率分布的期望与方差初中数学教案概率分布的期望与方差概念介绍：在概率论中，期望和方差是描述随机变量分布情况的重要指标。

期望是对随机变量取值的加权平均，方差则是表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。

一、期望的计算方法：期望是对随机变量的所有取值进行加权平均的结果，其计算方法如下：设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则随机变量X的期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn二、方差的计算方法：方差是描述随机变量取值与其期望值之间偏离程度的统计量，其计算方法如下：设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，随机变量X的期望为μ，则随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = (x1-μ)^2 * p1 + (x2-μ)^2 * p2 + ... + (xn-μ)^2 * pn三、示例教案：本节以一个示例教案来说明概率分布的期望与方差的计算方法。

教案主题：掷硬币实验教学目标：1. 了解随机变量的概念及其在概率分布中的应用；2. 掌握期望和方差的计算方法；3. 运用所学知识解决实际问题。

教学准备：纸币、硬币。

教学过程：1. 引入：向学生提问："如果我有一个均匀的硬币，在进行掷硬币实验时，正面和反面出现的概率是否相等？"2. 实验介绍：说明掷硬币实验的操作步骤，要求学生进行实际操作，并记录每次掷硬币的结果。

3. 数据整理：学生将实验结果整理成表格形式，记录正面出现的次数和反面出现的次数。

4. 概率分布的计算：根据实验结果，学生可以得到正面和反面出现的概率分布，并计算对应的期望和方差。

5. 期望和方差的解释：解释期望是对随机变量取值的加权平均结果，而方差则表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。

离散型随机变量的分布列、数学期望、方差一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。

二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量ξ可能的取值为12,,,,i x x x ，ξ取每一个值()1,2,i x i =的概率为i p ，列表如下：叫做随机变量ξ的概率分布，简称分布列。

有如下性质： （1）()011,2,i p i ≤≤=（2）121i p p p ++++=2．数学期望：1122i i E x p x p x p ξ=++++叫做离散型随机变量ξ的数学期望，简称期望。

反映离散型随机变量ξ取值的平均水平。

若a b ηξ=+，则E aE b ηξ=+。

3．方差：()()()2221122i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+叫做离散型随机变量ξ的方叫做离散型随机变量ξ的标准差，记作σξ 若a b ηξ=+，则2D a D ηξ=。

方差反映随机变量ξ的取值与平均值的离散情况。

即稳定性。

三．几个典型的分布1．二项分布：n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数(),B n p ξ，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。

则()()()();,0,1,,k k n kn n P k b k n p P k C p q k n ξ-=====2、几何分布：独立重复试验中事件A 第一次发生时的试验次数ξ服从几何分布，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。

()()11,2,k P k q p k ξ-===期望1E p ξ=，方差2q D pξ=。

3．两点分布：一次实验中，事件A 发生记为1，不发生记为0，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。

则期望E p ξ=，方差D pq ξ=。

练习1．已知随机变量(),B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则()1;,b n p = .2．若随机变量ξ的分布列是：()()1,3P m P n a ξξ====.且2E ξ=,则D ξ的最小值是 .3．若随机变量ξ满足()(),P k g k p ξ==，2D ξ=，21ηξ=-，则E η= ，D η= 。

随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)), (-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。

【关键字】学习《概率论与数理统计》学习指导·内容提要·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系编目录第三章多维随机变量及其分布内容提要1、二维随机变量及其联合分布函数设，为随机变量，则称它们的有序数组（）为二维随机变量.设（）为二维随机变量，对于任意实数、，称二元函数为（）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质：（1）是变量或的非减函数；（2）且；（3）关于右连续，关于也右连续；（4）对任意点，若，则.上式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布律.表3.1联合分布律具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数，有；（2）；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称，分别为关于和关于的边缘分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布律.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为),2,1,(}{,}{,},{.. ========j i p y Y P p x X P p y Y x X P j j i i ij j i ，则当j 固定，且0}{.>==j j p y Y P 时，称,2,1,}{},{}|{.========i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律.同理，有 ,2,1,}|{.====j p p x X y Y P i ij i j（2）连续型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：)(),(),,(y p x p y x p Y X .则当0)(>y p Y 时，在),(y x p 和)(x p X 的连续点处，),(Y X 在条件y Y =下，X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =.同理，有)(),()|(|x p y x p y x p X X Y =. 6、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij . 设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对任何实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdy y x p z F zy x Z ⎰⎰=≤),(),()(ϕ.（1）Y X Z +=的分布若),(Y X 为离散型随机变量，联合分布律为ij p ，则Z 的概率函数为： ∑-=ii k i k Z x z x p z P ),()(或∑-=jj k j k Z y z y p z P ),()(.若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：dy y y z p dx x z x p z p Z ⎰-=⎰-=+∞∞-+∞∞-),(),()(.（2）YXZ =的分布 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰=+∞∞-dy y yz p y z p Z ),()(.疑 难 分 析1、事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？如同仅当事件B A 、相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ⋅=一样，这里},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤⋅≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、二维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ⋅=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独立，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=.说明当Y X 、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布. 3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独立，是指组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(B P A P AB P ⋅=.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而B A 、也是一个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.例 题 解 析例 1 设某班车起点站上的乘客数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为)10(<<p p ，且中途下车与否相互独立，以Y 表示中途下车的人数，求二维随机变量),(Y X 的分布律．解例2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 试求（1）系数c ；(2)),(Y X 落在圆)0(222R r r y x <<≤+内的概率．解 所以 33Rc π=(2) 设{},:,222r y x y)(x D ≤+=注: 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于),(y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错．例3 考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解 方程02=++C Bx x 有实根的充要条件是判别式042≥-=∆C B 或4/2B C ≤，由条件知，0＋1＋2＋4＋6＋6＝19所以36/19=p ，使方程有重根的充要条件是C B 42=，满足此条件的基本事件个数为0＋1＋0＋1＋0＋0＝2因此 18/136/2==q例4 设随机变量),(Y X 均匀分布于以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--四项点所构成的正方形中，求X 与Y 的边缘密度函数．解1º当01<<x －时，⎰+==⎰=+--∞∞-11121),()(x x X x dy dy y x f x f当10<≤x 时，121),()(11+-=⎰=⎰=+--∞∞-x dy dy y x f x f x x X 所以2º类似1º可得例5 随机变量),(Y X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>++= 其它,00,0,)1/(2),(3y x y x y x p ，求1=X 条件下Y 的条件分布密度.分析：通过),(Y X 的联合密度和边缘密度函数，来求在1=X 条件下Y 条件分布密度.解：当0>x 时，有203)1/(1)1/(2)(x dy y x x p X +=⎰++=∞，故 .例6 在),0(a 线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在),0(a 上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数．解 设抛掷两点的坐标分别为X 和Y ，则X 与Y 相互独立，且都服从）（a ,0上的均匀分布，故),(Y X 的联合概率密度为记两点距离为Z ，则||Y X Z -=的分布函数为 )|(|)(z Y X P z F Z ≤-=当0<z 时，显然0)(=z F Z ； 当a z <≤0时，当a z ≥时，1)(=z F Z 故两点距离Z 的分布函数为例7 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布．解 设)3,2,1(=i X i 为第i 个电子元件无故障工作的时间，则321,,X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为记)(t G 为了T 的分布函数，则 当0<t ，0)(=t G ； 当0≥t 时，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=λ-0,00,1)(3t t e t G t即电路正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布．例8 设随机变量X 与Y 独立同分布，其概率密度为 求随机变量22Y X Z +=的概率密度．解 由于X 与Y 独立同分布，故),(Y X 的联合概率密度为当0≤z 时，显然0)(=z F Z 当0>z 时，故22Y X Z +=的概率密度为例9.已知随机变量1}2/1{,4/34/110~=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y P X ，又n 维向量123,,a a a 线性无关。

多项式分布的期望和方差
有限微积分中，多项式分布是一种常用的概率分布。

它由一个有限数量的有限状态组成，每一状态都有固定的概率。

多项式分布具有许多独特的性质，其中一个最重要的性质就是它的期望和方差。

期望是一种特殊的数学量度，可以衡量特定概率分布的中心值。

而方差则反映了这一概率分布的方差，是衡量分布离散性的关键参数。

多项式分布的期望和方差可以用相应的公式求得。

根据多项式概率分布的定义，期望是概率乘以可能的值的总和，即奇异期望：即E(X)=∑Xi*pi ,其中Xi为可能出现的值，pi为Xi 对应的概率。

方差的公式为VAR(X)=∑[Xi–E(X)(Xi–E(X))]*pi , 其中Xi和E(X)的含义与期望的公式相同。

因此，多项式分布的期望和方差可以用相应的公式求得。

期望体现了概率分布的中心值，方差为算法衡量离散程度提供了有效的指标。

通过熟练掌握多项式分布的期望和方差计算方法，对包含有限状态的各类概率分布进行精确计算更容易。

只有了解多项式分布期望和方差的知识，我们才能正确合理地分析不同分布的性质和表现特征，更好地应用它们。

概率论中的期望与方差概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们用来描述随机变量的特征和分布。

本文将详细介绍概率论中的期望和方差，并探讨其应用。

一、期望期望是概率论中最基本的概念之一，用来描述随机变量的平均值。

对于离散型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X取到值x的概率。

对于连续型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值范围，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。

期望可以理解为随机变量在一次试验中的平均值，它可以用来描述随机变量的集中趋势。

例如，假设有一个骰子，它的六个面分别标有1到6的数字。

每个数字出现的概率相同，为1/6。

那么这个骰子的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

这意味着在大量的投掷中，骰子的平均值趋近于3.5。

二、方差方差是概率论中用来描述随机变量离散程度的指标。

方差的计算公式如下：Var(X) = E((X-E(X))^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望。

方差可以理解为随机变量与其期望之间的差异程度，它可以用来度量随机变量的波动性。

方差越大，表示随机变量的取值在期望附近波动的程度越大；方差越小，表示随机变量的取值相对稳定。

方差的平方根称为标准差，它是方差的一种常用度量方式。

标准差可以帮助我们判断数据的分散程度，通常来说，数据的标准差越大，表示数据的波动性越大。

三、应用期望和方差在概率论中有广泛的应用。

它们不仅可以用来描述随机变量的特征，还可以用来解决实际问题。

1. 随机变量的期望可以用来计算投资的预期回报。

假设某个投资项目有两个可能的结果，分别为正收益和负收益，每个结果发生的概率已知。

几何分布的数学期望与方差计算几何分布是概率论中常用的一种离散型概率分布，用于描述一系列独立的伯努利试验中成功所需的试验次数的概率分布。

在实际应用中，计算几何分布的数学期望与方差是非常关键的。

本文将介绍几何分布以及如何计算其数学期望和方差。

一、几何分布的定义与特点几何分布描述了在一系列相互独立的伯努利试验中，成功所需的试验次数的概率分布。

设每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。

试验进行到第k次才取得成功的概率可以表示为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，X表示成功所需的试验次数，k为正整数且大于等于1。

几何分布的数学期望和方差计算可以帮助我们了解几何分布的分布特征和性质。

二、几何分布的数学期望计算几何分布的数学期望表示所需的试验次数的平均值，可用以下公式计算：E(X) = ∑(k=1, ∞) k * P(X=k) = ∑(k=1, ∞) k * q^(k-1) * p为了计算该期望，我们可以利用等比数列的求和公式进行转换。

首先，我们观察到∑(k=1, ∞) q^(k-1) * p这个等比数列的公比为q，首项为1。

根据等比数列求和公式，我们可以得到：E(X) = p * ∑(k=1, ∞) k * q^(k-1) = p * [1/(1-q)] = p / q通过这个公式，我们可以简单地计算几何分布的数学期望。

例如，若成功概率p为0.3，则几何分布的数学期望为0.3 / (1-0.3) = 0.3 / 0.7 ≈0.43。

三、几何分布的方差计算几何分布的方差表示所需的试验次数的离散程度，可用以下公式计算：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2为了计算方差，我们需要分别计算X^2的期望和E(X)的平方。

首先，我们计算X^2的期望。

根据定义，对于X的每个取值k，我们有：E(X^2) = ∑(k=1, ∞) k^2 * P(X=k) = ∑(k=1, ∞) k^2 * q^(k-1) * p同样地，我们可以将这个等比数列利用等比数列求和公式进行转换。

泊松分布的数学期望与方差设随机变量，则再计算，故一、Poisson分布的概念Poisson分布更多地专用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某罕见事件发生次数的分布。

如某种细菌在单位容积空气或水中出现的情况，某段时间特定人群中某种恶性肿瘤患者的分布或出生缺陷的发病情况，放射性物质在单位时间内的放射次数，单位空间某种昆虫数的分布等等。

Poisson分布在π很小，样本含量n趋向于无穷大时，二项分布的极限形式。

当试验中成功事件出现的概率很小，如π＜0.05,试验的次数n很大`时，用二项分布计算成功事件出现的次数X（X=0，1，2，…, n）的概率很困难，用Poisson 分布可简化计算。

Poisson分布发展成为描述小概率事件出现规律性的一种重要的离散型分布。

Poisson分布的概率函数X=1,2,3…（7.13）意义：单位时间（单位人群、单位空间内，单位容积）内，某罕见事件发生次数的概率分布式中μ=nπ为Poisson分布的总体均数，总体中某单位中的平均阳性数，X为单位时间或单位空间内某事件的发生数（阳性数），e为自然对数的底，约等于2.71828。

（7.14）二、Poisson分布的性质1．Poisson分布是一种单参数的离散型分布，其参数为μ，它表示单位时间或空间内某事件平均发生的次数，又称强度参数。

2．Poisson分布的方差σ2与均数μ相等，即σ2=μ3．Poisson分布是非对称性的，在μ不大时呈偏态分布，随着μ的增大，迅速接近正态分布。

一般来说，当μ=20时，可以认为近似正态分布，Poisson分布资料可按正态分布处理。

4．Poisson分布的累计概率常用的有左侧累计和右侧累计两种。

单位时间或空间内事件发生的次数最多为k次的概率（X= 0,1,2,…）最少为k次的概率（X= 0,1,2,…）5．Poisson分布的图形已知μ，就可按公式计算得出X= 0，1，2，…时的P（X）值，以X为横坐标，以P（X）为纵坐标作图，即可绘出Poisson分布的图形，如图7.2。