常见分布的期望与方差的计算
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常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
常见分布的期望与方差的计算
常见分布的期望与方差的计算期望和方差是描述概率分布特征的重要统计量。
在统计学中，期望是对一个随机变量的全体取值的加权平均，而方差则是每个随机变量观察值与期望之间差异的平方的平均。
在本文中，我们将讨论几个常见分布的期望和方差的计算方法。
1.二项分布：二项分布用于描述多次独立的二元试验中成功次数的概率分布。
假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布：期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.正态分布：正态分布是最为常见的连续型概率分布，许多自然现象都可以近似地用正态分布来描述。
假设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ为均值，σ^2为方差。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^24.均匀分布：均匀分布用于描述在一个区间内取值概率相等的随机变量。
假设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其中a为最小值，b为最大值。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/125.几何分布：几何分布用于描述独立重复进行的同一事件中首次成功所需的次数的概率分布，例如投掷硬币直到出现正面的次数。
假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其中p为每次试验成功的概率。
那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=1/p方差：Var(X) = (1-p)/(p^2)以上是几个常见分布的期望和方差的计算方法。
通过了解和计算概率分布的期望和方差，我们可以更好地理解和描述随机变量的特点，从而进行更准确的统计分析和推断。
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
4_2方差及常见分布的期望方差
例1．设随机变量 X～（0-1）分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D（X） 解：因 E（X）= p， 而 E（X 2）= 12· p + 02 · q = p， 于是 D（X）= E（X 2）- [E（X）]2 = p - p2 = p q
《概率统计》 返回 下页 结束
X P 8 0.3 9 0.2 10 0.5
Y P
8 0.2
9 0.4
10 0.4
偏离期望 的平方的 期望
解：
E ( X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 =9.2(环) E (Y ) 8 0.2 9 0.4 10 0.4=9.2(环)
因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的， 但两人射击水平的稳定性是有差别的,怎么体现这个差别呢?
b
1 E ( X ) xf ( x) dx x dx a b a ba 2 2 2 b 1 a ab b E ( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 dx a ba 3 1 2 ab 2 2 2 2 ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b ) ( 3 2
§4.2 方 差
0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变 量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.
引例1 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距 目标的位置如图：
中心
中心
甲炮射击结果
《概率统计》
返回
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X P 8 0.3 9 0.2 10 0.5
Y P
8 0.2
9 0.4
10 0.4
偏离期望 的平方的 期望
解：
E ( X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 =9.2(环) E (Y ) 8 0.2 9 0.4 10 0.4=9.2(环)
因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的， 但两人射击水平的稳定性是有差别的,怎么体现这个差别呢?
b
1 E ( X ) xf ( x) dx x dx a b a ba 2 2 2 b 1 a ab b E ( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 dx a ba 3 1 2 ab 2 2 2 2 ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b ) ( 3 2
§4.2 方 差
0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变 量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.
引例1 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距 目标的位置如图：
中心
中心
甲炮射击结果
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常见分布的期望与方差的计算知识分享
= np(1 − p)
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
常见分布期望和方差推导
) ( ) (1) (1) 2 (1) 1 0.6826
P{| X | 3 } P{ 3 X 3 }
2 (3) 1 0.9974 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 内几乎是肯定的。
( n 1)! np p k 1q n 1( k 1) ( k 1)! ( n 1 ( k 1))! 返回主目录 k 1
n
第十三章 随机变量的数字特征
EX np
k 1
n k 0
n
k 1 k 1 n 1 ( k 1) Cn q np 1 p
i 0
n 1
§3
几种期望与方差
i i n 1 i Cn p q 1
np ( p q) n 1 np
EX
2
k
n
n
2
C p q
k n k
nk
n! p k p k 1 q n k ( k 1)! ( n k )! k 1
n! k pk qnk k!( n k )! k 0
t2 tde 2
e
dt 2
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
P{| X | } P{ X }
(
§3
几种期望与方差
P{| X | 2 } P{ 2 X 2 }
2 ( 2) 1 0.9544
n
n ( n 1) p 2 ( p q) n 2 np n 2 p 2 np 2 np
DX EX 2 ( EX ) 2 n 2 p 2 n p 2 np n 2 p 2 np (1 p ) npq
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
超几何分布和二项分布的期望和方差公式
超几何分布和二项分布的期望和方差公式
超几何分布和二项分布是两种常见的概率分布，分别用于描述随机实验中某种结果出现的次数。
下面是超几何分布和二项分布的期望和方差公式：超几何分布：
期望：E(X) = n * p
方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。
二项分布：
期望：E(X) = n * p
方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。
注意，超几何分布和二项分布的期望和方差公式是相同的。
这是因为它们的概率分布函数都是二项分布函数的一种形式。
不过，超几何分布通常用于描述在一系列独立随机实验中，某种结果出现的次数，而二项分布则常用于描述成功/失败类型的随机实验。
常见分布的期望和方差.pdf
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率计算是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括金融、统计学、物理学等。
在概率计算中，期望与方差是两个基本的概念和工具，用于描述随机变量的特征和分布。
本文将详细介绍期望与方差的计算方法及其应用。
一、期望的计算期望是随机变量的平均值，它可以理解为对随机变量进行大量重复实验后的平均结果。
期望的计算公式如下：E(X) = Σ[x * P(x)]其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量可能取到的值，P(x)表示该值发生的概率。
以掷骰子为例，假设骰子是均匀的，即各个面出现的概率相等。
骰子的期望可以通过以下计算得出：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5这意味着在长期的掷骰子实验中，每次掷出的点数的平均值接近于3.5。
二、方差的计算方差衡量的是随机变量离其期望的平均偏离程度，用于描述随机变量的分散程度。
方差的计算公式如下：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(x)]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量可能取到的值，E(X)表示随机变量X的期望，P(x)表示该值发生的概率。
继续以掷骰子为例，我们计算骰子的方差：Var(X) = [(1-3.5)^2 * 1/6] + [(2-3.5)^2 * 1/6] + [(3-3.5)^2 * 1/6] + [(4-3.5)^2 * 1/6] + [(5-3.5)^2 * 1/6] + [(6-3.5)^2 * 1/6] = 2.92从结果可以看出，骰子的结果相对稳定，方差较小。
三、期望与方差的应用期望和方差作为概率计算的基本工具，应用广泛。
以下是一些常见的应用场景：1. 金融领域：在金融建模中，期望和方差被广泛应用于资产收益的预测和风险评估。
投资者可以通过计算期望和方差来评估投资组合的预期收益和风险。
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常见分布的期望与方差的计算
这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。
1. 0－1分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1− p
则有 E( X ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ q = p, D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = 12 ⋅ p + 02 ⋅ (1 − p) − p2 = pq.
− ( x− μ)2
e 2σ2 d x
−∞ 2πσ
∫ = 1
+∞
−t2
(μ + σt)e 2 dt
2π −∞
∫ ∫ = μ 1
+∞ −t2
e 2 dt +
σ
+∞ −t2
te 2 d t
2π −∞
2π −∞
= μ.
∫ D( X ) =
+∞
(x
−
μ)2
f
(x)d
x
−∞
∫=
+∞
(x
−
μ)2
⋅
1
−
e
(
x− μ)2 2σ2
= np(1 − p)
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
k=0 k!(n − k )!
∑n
=
np(n − 1)!
pk−1(1 − p)(n−1)−(k−1)
k=1 (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
∑n
= np
(n − 1)!
pk−1(1 − p)(n−1)−(k−1)
k=1 (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
0< p<1
λ>0
a<b
θ>0 μ,σ > 0
数学期望 方差
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
λ
λ
(a + b) 2 (b − a)2 12
θ
θ2
μ
σ2
f (x) =
1
e , −
(
x− μ)2 2σ2
σ > 0,
− ∞ < x < +∞ .
2πσ
则有
∫+∞
E( X ) = xf ( x)d x −∞
∫+∞
= x⋅
1
−
e
( x− μ)2 2σ2
d
x.
−∞ 2πσ
令 x − μ = t ⇒ x = μ + σt, σ
∫ 所以
+∞
E(X) = x ⋅
1
−∞
0θ
∫ = θ = − xe− x θ +∞ + +∞ e− x θ d x
0பைடு நூலகம்
0
∫ D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = +∞ x2 ⋅ 1 e−x θ d x − θ2
0
θ
= 2θ 2 − θ 2 = θ 2
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ,σ2 ), 其概率密度为
∫=
bx2
a
b
1 −
a
d
x
−
⎜⎛ ⎝
a
+ 2
b
⎞⎟2 ⎠
=
(b
− a)2 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布 , 其概率密度为
f
(
x)
=
⎪⎧ 1 ⎨θ
e− x
θ
,
x > 0,
其中 θ > 0.
⎪⎩0,
x ≤ 0.
则有
∫ ∫ E( X ) =
+∞
xf ( x)d x =
+∞ x ⋅ 1 e−x θ d x
d
x.
−∞
2πσ
令 x − μ = t,得
σ
∫ D( X ) = σ2
+∞
t
e2
−t2 2
d
t
2π −∞
∫ =
σ2 2π
⎜⎛ ⎜
−
−t2
te 2
+∞
+
+∞ −∞
−t2
e2
d
t
⎟⎞ ⎟
⎝
−∞
⎠
= 0 + σ2 2π = σ2.
2π
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0< p<1 n ≥ 1,
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
k=2 (k − 2)!
所以 D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2= λ2 + λ − λ2 = λ
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,
(法一) 设Xi为第i 次试验中事件 A 发生的次数，i =1,2,",n
则
n
X = ∑ Xi
i =1
显然，Xi 相互独立均服从参数为 p 的0－1分布，
n
所以 E( X ) = ∑ E( X i ) = np. i =1
n
D( X ) = ∑ D( X i ) = np(1 − p). i =1
泊松分布的期望和方差都等于参数 λ .
4. 均匀分布
设 X ~ U (a,b), 其概率密度为
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
⎪⎩0,
a < x < b, 其他.
∫ ∫ 则有
E(X) =
∞
xf ( x)d x =
−∞
b1 ab−a
xd x
=
1 (a + b). 2
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2
k=0 k!(n − k )!
∑n
= n(n − 1) p2
(n − 2)!
pk−2 (1 − p)(n−2)−(k−2) + np
k=2 (n − k)!(k − 2)!
= n(n − 1) p2[ p + (1 − p)]n−2 + np = (n2 − n) p2 + np.
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = (n2 − n) p2 + np − (np)2
这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。
1. 0－1分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1− p
则有 E( X ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ q = p, D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = 12 ⋅ p + 02 ⋅ (1 − p) − p2 = pq.
− ( x− μ)2
e 2σ2 d x
−∞ 2πσ
∫ = 1
+∞
−t2
(μ + σt)e 2 dt
2π −∞
∫ ∫ = μ 1
+∞ −t2
e 2 dt +
σ
+∞ −t2
te 2 d t
2π −∞
2π −∞
= μ.
∫ D( X ) =
+∞
(x
−
μ)2
f
(x)d
x
−∞
∫=
+∞
(x
−
μ)2
⋅
1
−
e
(
x− μ)2 2σ2
= np(1 − p)
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
k=0 k!(n − k )!
∑n
=
np(n − 1)!
pk−1(1 − p)(n−1)−(k−1)
k=1 (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
∑n
= np
(n − 1)!
pk−1(1 − p)(n−1)−(k−1)
k=1 (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]!
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
0< p<1
λ>0
a<b
θ>0 μ,σ > 0
数学期望 方差
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
λ
λ
(a + b) 2 (b − a)2 12
θ
θ2
μ
σ2
f (x) =
1
e , −
(
x− μ)2 2σ2
σ > 0,
− ∞ < x < +∞ .
2πσ
则有
∫+∞
E( X ) = xf ( x)d x −∞
∫+∞
= x⋅
1
−
e
( x− μ)2 2σ2
d
x.
−∞ 2πσ
令 x − μ = t ⇒ x = μ + σt, σ
∫ 所以
+∞
E(X) = x ⋅
1
−∞
0θ
∫ = θ = − xe− x θ +∞ + +∞ e− x θ d x
0பைடு நூலகம்
0
∫ D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = +∞ x2 ⋅ 1 e−x θ d x − θ2
0
θ
= 2θ 2 − θ 2 = θ 2
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ,σ2 ), 其概率密度为
∫=
bx2
a
b
1 −
a
d
x
−
⎜⎛ ⎝
a
+ 2
b
⎞⎟2 ⎠
=
(b
− a)2 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布 , 其概率密度为
f
(
x)
=
⎪⎧ 1 ⎨θ
e− x
θ
,
x > 0,
其中 θ > 0.
⎪⎩0,
x ≤ 0.
则有
∫ ∫ E( X ) =
+∞
xf ( x)d x =
+∞ x ⋅ 1 e−x θ d x
d
x.
−∞
2πσ
令 x − μ = t,得
σ
∫ D( X ) = σ2
+∞
t
e2
−t2 2
d
t
2π −∞
∫ =
σ2 2π
⎜⎛ ⎜
−
−t2
te 2
+∞
+
+∞ −∞
−t2
e2
d
t
⎟⎞ ⎟
⎝
−∞
⎠
= 0 + σ2 2π = σ2.
2π
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0< p<1 n ≥ 1,
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
k=2 (k − 2)!
所以 D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2= λ2 + λ − λ2 = λ
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,
(法一) 设Xi为第i 次试验中事件 A 发生的次数，i =1,2,",n
则
n
X = ∑ Xi
i =1
显然，Xi 相互独立均服从参数为 p 的0－1分布，
n
所以 E( X ) = ∑ E( X i ) = np. i =1
n
D( X ) = ∑ D( X i ) = np(1 − p). i =1
泊松分布的期望和方差都等于参数 λ .
4. 均匀分布
设 X ~ U (a,b), 其概率密度为
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
⎪⎩0,
a < x < b, 其他.
∫ ∫ 则有
E(X) =
∞
xf ( x)d x =
−∞
b1 ab−a
xd x
=
1 (a + b). 2
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2
k=0 k!(n − k )!
∑n
= n(n − 1) p2
(n − 2)!
pk−2 (1 − p)(n−2)−(k−2) + np
k=2 (n − k)!(k − 2)!
= n(n − 1) p2[ p + (1 − p)]n−2 + np = (n2 − n) p2 + np.
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = (n2 − n) p2 + np − (np)2