第二章---有理数及其运算-讲义-答案版本

有理数及其运算（二）【课标要求】1．经历探索有理数法则和运算率的过程，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）。

2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。

3. 能运用有理数的运算解决简单的实际问题。

【重难点知识归纳及讲解】本章的重点是有理数的运算。

加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。

减法与除法，则是着重介绍如何由加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。

乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。

（1）有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．而互为相反数的两个数相加得零；③任何数同零相加，仍得这个数．（2）有理数加法的运算顺序：第一步，确定和的符号；第二步，求和的绝对值．其中最关键的一步是搞清符号问题，符号一经确定，问题就比较简单了．（3）有理数加法的运算律：①加法交换律，即a＋b＝b＋a；②加法结合律，即a＋b＋c＝a＋(b＋c).巧妙地运用加法的运算律，可以简化有理数的加法运算．（4）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

即a-b=a+(-b)。

对大家而言，做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。

（5）利用减法比较大小：a，b是两个有理数，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b．即大的－小的＞0，小的－大的＜0．（6）加减混合运算的两个关键点是：在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．尽量使用运算率简便计算。

（7）在有理数加减运算中，正确理解运算符号．运算符号与性质符号既有区别，又有联系，有时可以相互转化（8）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得零。

第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。

第二章有理数及其运算■通关口诀：学好有理并不难；基本概念要通关。

整分统称有理数；小数有理也无理。

数轴加上反绝倒。

还有负数非负数。

六个概念先学好；五种运算无漏洞。

科学记数表大数；寻找规律有方法。

■正奇数学学堂第一讲：有理数与数轴【知识点一】正数、负数和0。

1．相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。

2．具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。

3．正负数：正数：大于0的数；负数：小于0的数。

其中正数的正号可省略不写。

负数的负号必须写出。

4．0：不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。

同时也是具有相反意义的量的基准量。

既不是正数又不是负数。

5．正数与负数的分界：数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号。

6．重新认识两个符号——⑴“+”：运算符号表示加；性质符号表正数。

⑵“-”：运算符号表示减；性质符号表负数。

★正奇点睛：1．其实上述两个符号还有“自己”和“相反”的意思。

学了相反数自会明白。

2．注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系。

〖母题示例〗1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________________；负数有____________________．4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是（）A．向东行进50m C．向北行进50mB．向南行进50m D．向西行进50m5．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果规定向东为正，那么从起点先走+40米，再走－60米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？8．10筐橘子，以每筐15㎏为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。

第二章 有理数及其运算（A 卷+B 卷）（满分150分，时间120分钟）A 卷（共100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（2020•呼和浩特）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ） A ．38个B ．36个C ．34个D ．30个2．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a +b 、a 的形式，又可表示为0、ba、b 的形式，则a 2017+b 2017的值为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．23．（2019•滦州市期末）已知a 在数轴上的位置如图所示，则|a +2|﹣|a ﹣3|的值为（ ）A ．﹣5B ．5C ．2a ﹣1D ．1﹣2a4．（2020•靖江市期中）a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ） A ．a 2与b 2 B ．a 3与b 5C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数）D ．a 2n +1与b 2n +1（n 为正整数）5．（2020•呼伦贝尔）﹣2020的绝对值是（ ）A ．﹣2020B ．2020C ．−12020D ．16．（2019•江都区期中）若|x﹣2|+|y+6|＝0，则x+y的值是（）A．4B．﹣4C．﹣8D．87．（2020•高安市期中）有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的差的倒数，若第一次输入3，并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是（）A．3B．−12C．23D．﹣38．（2020•德城区校级月考）若a+b＜0，a＜0，b＞0，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（）A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a 9．（2020•郑州月考）下列说法中，正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数B．|a|一定是正数C．两个数的差一定小于被减数D．如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数10．（2019•南岸区期末）体育课上的口令：立正，向右转，向后转，向左转之间可以相加．连结执行两个口令就把这两个口令加起来．例如：向右转+向左转＝立正；向左转+向后转＝向右转．如果分别用0，1，2，3分别代表立正，向右转，向后转，向左转，就可以用如图所示的加法表来表示，在表中填了部分的数值和代表数值的字母．下列对于字母a，b，c，d的值，说法错误的是（）A．a＝0B．b＝1C．c＝2D．d＝3二．填空题（每小题3分，共15分）11．（2019•芮城县期末）每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是kg．12．（2019•门头沟区期末）学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在8，﹣0.5，+1 3，0，﹣3.7这五个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有8和+13这两个．”你认为小明的回答是否正确：（填“正确”或“不正确”），理由是：．13．（2020•港南区一模）若a+3＝0，则a＝．14．（2020•浙江自主招生）若对于某一范围内的x的任意值，|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣10x|的值为定值，则这个定值为．15．（2019•栖霞区期末）点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和5，则线段AB的长度为．三．解答题（共55分）16．（每小题4分，共16分）计算：（1）12﹣（﹣8）+（﹣7）﹣15；（2）﹣12﹣（﹣2）3÷45+3×|1﹣（﹣2）2|．（3）（−23+58−16）×（﹣24）；（4）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．17．（每小题5分，共10分）（1）（2019•桥东区期末）已知a与﹣3互为相反数，b与−12互为倒数．①a＝；b＝．②已知|m﹣a|+（b+n）2＝0，求n m．（2）（2019•息县期末）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：第1批第2批第3批第4批第5批5km2km﹣4km﹣3km10km（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？18．（每小题6分，共12分）（1）（2019•临洮县期中）把下列各数填在相应的括号内：﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，35，0，−14，0.563，π正数集合{…}；负数集合{…}；负分数集合{…}；非正整数集合{…}．（2）（2019•锦州期末）如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是﹣2和﹣11．①线段AB＝．②若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为．③若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若AB′=15B′C，求点C在数轴上对应的数是多少？19．（7分）（2020•拱墅区校级模拟）计算：已知|x|=23，|y|=12，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．20．（10分）（2019•平舆县期末）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（1）小虫最后是否回到出发点A？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？B卷（共50分）一．填空题（每小题4分，满分24分）21．绝对值大于1，小于4的所有整数的积是；绝对值不大于5的所有负整数的积是．22．在数A的右端再加上一个数字6，则该数比原数增加2004，那么A＝．23．（2020•平顶山校级期中）若|x﹣1|+|y+2|+|z﹣3|＝0，则（x+1）（y﹣2）（z+3）＝．24．（2020•鄂州校级期中）已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c﹣b|﹣|b ﹣a|﹣|a﹣c|＝．25．对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算|a bc d|=ad﹣bc，则|(−1)201512015(−1)20142|的相反数是，倒数的绝对值是．二．填空题（共30分）26．（6分）（2019•天等县期中）个体儿童服装店老板以32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以47元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表：售出数量/件763545售价/元+3+2+10﹣1﹣2请问：（1）该服装店售完这30件连衣裙的总销售额是多少？（2）该服装店售完这30件连衣裙赚了多少钱？27．已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．（1）求a、b；（2）求a2016+a2017；（3）求ab(b+2)+a(b+2)(b+4)+⋯+a(b+2016)(b+2018)．28．（8分）（2019•福清市期末）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是；（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．29．（10分）（2019•简阳市期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a+|b|b+|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a+|b|b+|c|c=a a+b b+c c=1+1+1=3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a+|b|b+|c|c=a a+−b b+−c c=1+(−1)+(−1)=−1．综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a+|b|b+|c|c的值；（2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且a|a|+b |b|+c |c|=−1，求abc|abc|的值．第二章 有理数及其运算（A 卷+B 卷）答案与解析（满分150分，时间120分钟）A 卷（共100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（2020•呼和浩特）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ） A ．38个B ．36个C ．34个D ．30个【解析】解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，∴这5天他共背诵汉语成语38个，故选：A ．2．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a +b 、a 的形式，又可表示为0、ba 、b 的形式，则a 2017+b 2017的值为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．2【解析】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为1、a +b 、a 的形式，又可表示为0、ba、b 的形式，∴这两个三数组分别对应相等．∴a +b 、a 中有一个是0，由于ba有意义，所以a ≠0，则a +b ＝0，所以a 、b 互为相反数．∴ba=−1，b ＝1，a ＝﹣1．∴a 2017+b 2017＝（﹣1）2017+12017＝0．故选：A ．3．（2019•滦州市期末）已知a 在数轴上的位置如图所示，则|a +2|﹣|a ﹣3|的值为（ ）A ．﹣5B ．5C ．2a ﹣1D ．1﹣2a【解析】解：由a 在数轴上的位置可知，﹣3＜a ＜﹣2，∴a +2＜0，a ﹣3＜0，∴|a +2|﹣|a ﹣3|＝﹣a ﹣2﹣3+a ＝﹣5，故选：A ．4．（2020•靖江市期中）a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ）A．a2与b2B．a3与b5C．a2n与b2n（n为正整数）D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）【解析】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；B、a，b互为相反数，则a3＝﹣b3，故a3与b5不是互为相反数，故B错误；C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；D、a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；故选：D．5．（2020•呼伦贝尔）﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．−12020D．12020【解析】解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．6．（2019•江都区期中）若|x﹣2|+|y+6|＝0，则x+y的值是（）A．4B．﹣4C．﹣8D．8【解析】解：∵|x﹣2|+|y+6|＝0，∴x﹣2＝0，y+6＝0，解得x＝2，y＝﹣6，则x+y＝2﹣6＝﹣4．故选：B．7．（2020•高安市期中）有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的差的倒数，若第一次输入3，并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是（）A．3B．−12C．23D．﹣3【解析】解：由题意可得：1﹣3＝﹣2，则输出−12，故第二次输入−12，得到：1﹣（−12）=32，输出23．故选：C．8．（2020•德城区校级月考）若a+b＜0，a＜0，b＞0，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（）A．a＜﹣b＜b＜﹣a B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a【解析】解：按题意，可设a＝﹣2，b＝1，则﹣a＝2，﹣b＝﹣1．由于﹣2＜﹣1＜1＜2，所以a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：A．9．（2020•郑州月考）下列说法中，正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数B．|a|一定是正数C．两个数的差一定小于被减数D．如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数【解析】解：A、一个有理数是正数、0或负数两个数的和不一定大于每一个加数（﹣1+（﹣2）＝﹣3，﹣3小于任何一个数），故本选项错误；B、|a|一定是非负数，故本选项错误；C、两个数的差不一定小于被减数（3﹣（﹣1）＝4，4大于任何一个数），故本选项错误；D、如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数是正确的．故选：D．10．（2019•南岸区期末）体育课上的口令：立正，向右转，向后转，向左转之间可以相加．连结执行两个口令就把这两个口令加起来．例如：向右转+向左转＝立正；向左转+向后转＝向右转．如果分别用0，1，2，3分别代表立正，向右转，向后转，向左转，就可以用如图所示的加法表来表示，在表中填了部分的数值和代表数值的字母．下列对于字母a，b，c，d的值，说法错误的是（）A．a＝0B．b＝1C．c＝2D．d＝3【解析】解：根据题意，将表格中的数据填写完整如图所示：因此，a＝0，b＝1，c＝1，d＝3，故选：C．二．填空题（每小题3分，共15分）11．（2019•芮城县期末）每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是49.3kg．【解析】解：50+（﹣0.7）＝49.3kg，故答案为：49.3kg．12．（2019•门头沟区期末）学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在8，﹣0.5，+1 3，0，﹣3.7这五个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有8和+13这两个．”你认为小明的回答是否正确：（填“正确”或“不正确”），理由是非负数包括0和正数：．【解析】解：“非负数”就是“不是负数”，也就是0和正数，因此小明的回答是不正确的，因为非负数包括0和正数．故答案为：非负数包括0和正数．13．（2020•港南区一模）若a+3＝0，则a＝﹣3．【解析】解：∵a+3＝0，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（2020•浙江自主招生）若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 3 ．【解析】解：∵P 为定值，∴P 的表达式化简后x 的系数和为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x 的取值范围是：1﹣7x ≥0且1﹣8x ≤0即18⩽x ⩽17，所以P ＝（1﹣2x ）+（1﹣3x ）+…+（1﹣7x ）﹣（1﹣8x ）﹣（1﹣9x ）﹣（1﹣10x ）＝6﹣3＝3．故答案为：315．（2019•栖霞区期末）点A 、B 在数轴上对应的数分别为﹣2和5，则线段AB 的长度为 7 ． 【解析】解：AB ＝|﹣2﹣5|＝7，故答案为：7．三．解答题（共55分）16．（每小题4分，共16分）计算： （1）12﹣（﹣8）+（﹣7）﹣15；（2）﹣12﹣（﹣2）3÷45+3×|1﹣（﹣2）2|． （3）（−23+58−16）×（﹣24）； （4）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．【解析】解：（1）12﹣（﹣8）+（﹣7）﹣15＝12+8﹣7﹣15＝（12+8）+（﹣7﹣15）＝20﹣22＝﹣2（2）﹣12﹣（﹣2）3÷45+3×|1﹣（﹣2）2|＝﹣12﹣（﹣8）×54+3×|1﹣4|＝﹣12+10+3×|﹣3|＝﹣12+10+9＝7（3）（−23+58−16）×（﹣24）=−23×（﹣24）+58×（﹣24）−16×（﹣24）＝16﹣15+4＝5； （4）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|＝﹣1+16÷（﹣8）×4＝﹣1﹣8＝﹣9． 17．（每小题5分，共10分）（1）（2019•桥东区期末）已知a 与﹣3互为相反数，b 与−12互为倒数．（1）a＝3；b＝﹣2．（2）已知|m﹣a|+（b+n）2＝0，求n m．【解析】解：（1）∵﹣3与3互为相反数，∴3是﹣3的相反数，∵−12×（﹣2）＝1，∴﹣2与−12互为倒数．故答案为：3，﹣2；（2）由题意得，|m﹣3|+（﹣2+n）2＝0，∴m＝3，n＝2，∴n m＝23＝8，（2）（2019•息县期末）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：第1批第2批第3批第4批第5批5km2km﹣4km﹣3km10km（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？【解析】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处．（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝24×0.2＝4.8（升）答：在这个过程中共耗油4.8升．（3）[10+（5﹣3）×1.8]+10+[10+（4﹣3）×1.8]+10+[10+（10﹣3）×1.8]＝68（元）答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．18．（每小题6分，共12分）（1）（2019•临洮县期中）把下列各数填在相应的括号内：﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，35，0，−14，0.563，π正数集合{ 2.3，35，0.563，π …}；负数集合{ ﹣19，﹣12，﹣0.92，−14…}；负分数集合{ ﹣0.92，−14 …}；非正整数集合{ ﹣19，﹣12，0 …}． 【解析】解：正数集合{2.3，35，0.563，π…}；负数集合{﹣19，﹣12，﹣0.92，−14 …}； 负分数集合{﹣0.92，−14…}； 非正整数集合{﹣19，﹣12，0 …}．故答案为：{ 2.3，35，0.563，π…}； {﹣19，﹣12，﹣0.92，−14 …}；{﹣0.92，−14 …}； {﹣19，﹣12，0 …}．（2）（2019•锦州期末）如图①，在数轴上有一条线段AB ，点A ，B 表示的数分别是﹣2和﹣11． （1）线段AB ＝ 9 ．（2）若M 是线段AB 的中点，则点M 在数轴上对应的数为 ﹣6.5 ．（3）若C 为线段AB 上一点，如图②，以点C 为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B 落在点A 的右边点B ′处，若AB ′=15B ′C ，求点C 在数轴上对应的数是多少？【解析】解：（1）线段AB ＝﹣2﹣（﹣11）＝9．（2）∵M 是线段AB 的中点，∴点M 在数轴上对应的数为（﹣2﹣11）÷2＝﹣6.5．（3）设 AB ′＝x ，因为AB ′=15B ′C ，则B ′C ＝5x ．所以由题意BC ＝B ′C ＝5x ，所以AC＝B′C﹣AB′＝4x，所以AB＝AC+BC＝AC+B′C＝9x，即9x＝9，所以x＝1，所以由题意AC＝4，又因为点A表示的数为﹣2，﹣2﹣4＝﹣6，所以点C在数轴上对应的数为﹣6．故答案为：9；﹣6.5．19．（7分）（2020•拱墅区校级模拟）计算：已知|x|=23，|y|=12，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．【解析】解：∵|x|=23，|y|=12，且x＜y＜0，∴x=−23，y=−12，∴6÷（x﹣y）＝6÷（−23+12）＝﹣36．20．（10分）（2019•平舆县期末）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（1）小虫最后是否回到出发点A？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【解析】解：（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝27﹣27＝0，所以小虫最后回到出发点A；（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5﹣3＝2（cm），第三次爬行距离原点是2+10＝12（cm），第四次爬行距离原点是12﹣8＝4（cm），第五次爬行距离原点是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距离原点是﹣2+12＝10（cm），第七次爬行距离原点是10﹣10＝0（cm），从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；（3）小虫爬行的总路程为：|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54（cm）．54×1＝54（粒）所以小虫一共得到54粒芝麻．B卷（共50分）一．填空题（每小题4分，满分24分）21．绝对值大于1，小于4的所有整数的积是 36 ；绝对值不大于5的所有负整数的积是 ﹣120 ． 【解析】解：绝对值大于1，小于4的所有整数有：±2，±3，∴它们的积为：2×（﹣2）×3×（﹣3）＝36，绝对值不大于5的所有负整数，：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，∴（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣120．故答案为36，﹣120．22．在数A 的右端再加上一个数字6，则该数比原数增加2004，那么A ＝ 222 ．【解析】解：在数A 的右端再加上一个数字6，则该数比原数增加2004，可知这个数至少是一个三位数， 设这个数为100x +10y +z ，在数A 的右端再加上一个数字6之后，就变成了1000x +100y +10z +6，依题意列方程，得1000x +100y +10z +6﹣（100x +10y +z ）＝2004，整理得1：00x +10y +z ＝222．23．（2020•平顶山校级期中）若|x ﹣1|+|y +2|+|z ﹣3|＝0，则（x +1）（y ﹣2）（z +3）＝ ﹣48 ． 【解析】解：∵|x ﹣1|+|y +2|+|z ﹣3|＝0，∴x ﹣1＝0，y +2＝0，z ﹣3＝0，∴x ＝1，y ＝﹣2，z ＝3，∴（x +1）（y ﹣2）（z +3）＝2×（﹣4）×6＝﹣48．故答案为：﹣48．4．（2020•鄂州校级期中）已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c ﹣b |﹣|b ﹣a |﹣|a ﹣c |＝ 0 ．【解析】解：根据图示知：b ＞1＞a ＞0＞c ＞﹣1，∴|c ﹣b |﹣|b ﹣a |﹣|a ﹣c |＝﹣c +b ﹣b +a ﹣a +c ＝0故答案是0．5．对任意的四个有理数a ，b ，c ，d ，定义运算|a bc d |=ad ﹣bc ，则|(−1)201512015(−1)20142|的相反数是 3 ，倒数的绝对值是13．【解析】解：∵|(−1)201512015(−1)20142|=（﹣1）2015×2﹣12015×（﹣1）2014＝﹣1×2﹣1×1＝﹣3，∴它的相反数为3，其倒数的绝对值为|−13|=13，故答案为：3，13．二．填空题（共26分）6．（2019•天等县期中）个体儿童服装店老板以32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以47元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表：售出数量/件763545售价/元+3+2+10﹣1﹣2请问：（1）该服装店售完这30件连衣裙的总销售额是多少？（2）该服装店售完这30件连衣裙赚了多少钱？【解析】解：（1）以47元为标准价，30件连衣裙的总增减量为7×（+3）+6×（+2）+3×（+1）+5×0+4×（﹣1）+5×（﹣2）＝21+12+3+0﹣4﹣10＝36﹣14＝22（元）．所以总售价为47×30+22＝1432（元）．答：该服装店老板售完这30件连衣裙的总销售额是1432元；（2）1432﹣32×30＝1432﹣960＝472（元）．答：该服装店老板售完这30件连衣裙赚了472元．27．（2020•江北区校级期中）已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．（1）求a、b；（2）求a2016+a2017；（3）求ab(b+2)+a(b+2)(b+4)+⋯+a(b+2016)(b+2018)．【解析】解：（1）∵a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身1，∴a＝﹣1、b＝1．（2）将a＝﹣1代入得：原式＝（﹣1）2016+（﹣1）2017＝1﹣1＝0；（3）将a、b的值代入得：原式＝﹣1×（11×3+13×5+⋯+12017×2019）＝﹣1×12×（1−13+13−15+⋯+12017−12019）＝﹣1×12×20182019=−10092019．28．（2019•福清市期末）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是C1或C3；（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．【解析】解：（1）∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C1表示的数为﹣1，∴AC1＝1，BC1＝2，∴C1是点A、B的“关联点”；∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C2表示的数为2，∴AC2＝4，BC1＝1，∴C2不是点A、B的“关联点”；∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C3表示的数为4，∴AC3＝6，BC3＝3，∴C3是点A、B的“关联点”；∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C4表示的数为6，∴AC4＝8，BC4＝5，∴C4不是点A、B的“关联点”；故答案为：C 1，C 3；（2）①若点P 在点B 的左侧，且点P 是点A ，B 的“关联点”，设点 P 表示的数为 x （Ⅰ）当点P 在A 的左侧时，则有：2P A ＝PB ，即，2（﹣10﹣x ）＝15﹣x ，解得，x ＝﹣35；（Ⅱ）当点P 在A 、B 之间时，有2P A ＝PB 或P A ＝2PB ，即有，2（x +10）＝15﹣x 或x +10＝2（15﹣x ），解得，x =−53或x =203； 因此点P 表示的数为﹣35或−53或203；②若点P 在点B 的右侧，（Ⅰ）若点P 是点A 、B 的“关联点”，则有，2PB ＝P A ，即2（x ﹣15）＝x +10，解得，x ＝40； （Ⅱ）若点B 是点A 、P 的“关联点”，则有，2AB ＝PB 或AB ＝2PB ，即2（15+10）＝x ﹣15或15+10＝2（x ﹣15），得，x ＝65或x =552；（Ⅲ）若点A 是点B 、P 的“关联点”，则有，2AB ＝P A ，即2（15+10）＝x +10，解得，x ＝40；因此点P 表示的数为40或65或552；29．（2019•简阳市 期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a+|b|b+|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a+|b|b+|c|c=a a+b b+c c=1+1+1=3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a+|b|b+|c|c=a a+−b b+−c c=1+(−1)+(−1)=−1．综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a+|b|b+|c|c的值；（2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且a|a|+b |b|+c |c|=−1，求abc|abc|的值．【解析】解：（1）∵abc ＜0，∴a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a ，b ，c 都是负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则：|a|a+|b|b+|c|c=−a a+−b b+−c c=−1﹣1﹣1＝﹣3；②a ，b ，c 有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a|a+|b|b+|c|c=−a a+b b+c c=−1+1+1＝1．（2）∵a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且a|a|+b |b|+c |c|=−1，∴a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个， ∴abc ＞0，∴abc |abc|=abc abc=1．。

2019备战中考数学基础必练（北师大版）-第二章有理数及其运算（含解析）一、单选题1.如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）A. －18% B. －8% C. ＋2% D. ＋8%2.若两个有理数之和大于0，则这两个数一定不是（）A. 两个负数B. 两个正数 C. 一个正数，一个负数 D. 一个正数，一个零3.一种面粉的质量标识为“26±0.25千克”，则下列面粉中合格的是：（）A. 26.30千克B. 25.70千克 C. 26.51千克 D. 25.80千克4.在数轴上，一个点从﹣3开始向左移动1个单位长度，再向右移动5个单位长度后表示的数是（）A. +3B. +1C. ﹣9D. ﹣25.在下列选项中，具有相反意义的量是（）A. 胜二局与负三局B. 盈利3万元与支出3万元C. 气温升高3℃与气温为﹣3℃ D. 向东行20米和向南行20米6.下列各数中，绝对值最大的数是（）A. 1B. 0C. -3D. -27.的相反数是（）A.B.C. 5D.8.下列计算正确的是( )A. × ＝－8＋6＋1＝－1B. ×＝12＋8＋24＝44C. × ＝9 D. －5×2× ＝－209.式子|x-1|+2取最小值时，x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 310.为响应国家的新能源政策，深圳市某公司计划在海边建设风能发电站，电站年均发电量约为 216000000 度，将数据 216000000 用科学记数法表示为（）A. 216×10 6B. 21.6×107 C. 2.16×108 D. 2.16×10 9二、填空题11.在数-5、1、-3、5、-2中任取三个数相乘，其中最大的积是________，最小的积是________．12.将算式（﹣5）﹣（﹣10）+（﹣9）﹣（+2）改写成省略加号的和的形式，应该是________ ．13.一个数的倒数是﹣1 ，这个数是________．14.近似数 5.20 有 ________ 个有效数字15.数轴上表示3的点和表示﹣6的点的距离是________16.一个两位的质数，如果将它的十位数字与个位数字交换后，仍是一个两位的质数，这样的质数可称为“特殊质数”。

第二章 有理数及其运算2．1 有理数1．在具体情境中，进一步认识负数，学会用正负数表示具有相反意义的量，体会负数是实际生活的需要． 2．会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类．(重点)阅读教材P23～24，完成预习内容． (一)知识探究1．正整数、0和负整数统称为整数．正分数和负分数统称为分数． 2．整数和分数统称为有理数． (二)自学反馈1．(1)某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ (2)在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克，记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？ (3)某大米包装袋上标注着“净重量：10 kg ±150 g ”，这里的“10 kg ±150 g ”表示什么？ 解：(1)沿顺时针方向转了12圈记作－12圈．(2)－0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克． (3)每袋大米的标准质量应为10 kg ，但实际每袋大米可能有150 g 的误差，即每袋大米的净含量最多是10 kg ＋150 g ，最少是10 kg －150 g.2．把下列各数写在相应的集合里．－5，10，－4.5，0，＋235，－2.15，0.01，＋66，－35，15%，227，2 009，－16.正整数集合：{10，＋66，2 009，…}负整数集合：{－5，－16，…}负分数集合：{－4.5，－2.15，－35，…}正分数集合：{＋235，0.01，15%，227，…}整数集合：{－5，10，0，＋66，2 009，－16，…} 负数集合：{－5，－4.5，－2.15，－35，－16，…}正数集合：{10，＋235，0.01，＋66，15%，227，2 009，…}有理数集合：{－5，10，－4.5，0，＋235，－2.15，0.01，＋66，－35，15%，227，2 009，－16，…}3．有理数的分类(分两类)．有理数的分类标准要统一．活动1 小组讨论例1 在知识竞赛中，如果用“＋10”表示加10分，那么扣20分记作什么？ 解：记作－20分．例2 在数－5，23，0，－0.24，7，4 076，－59，－2中，正数有23，7，4 076，负数有－5，－0.24，－59，－2，整数有－5，0，7，4 076，－2，分数有23，－0.24，－59，有理数有－5，23，0，－0.24，7，4__076，－59，－2．例3 下列说法不正确的是(A)A ．正整数和负整数统称为整数B ．正有理数和负有理数和零统称有理数C ．整数和分数统称有理数D ．正分数和负分数统称为分数 活动2 跟踪训练1．下列说法正确的是(D)A ．一个有理数不是正数就是负数B ．正有理数和负有理数组成有理数C ．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数D ．负整数和负分数统称为负有理数2．有理数：－7，3.5，－12，112，0，π，1317中正分数有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列各数：－8，－113，2.03，0.5，67，－44，－0.99，其中整数是－8，－44，负分数有－113，－0.99．4．有理数中，是整数而不是负数的是非负整数，是负有理数而不是分数的是负整数．活动3 课堂小结通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.2.2 数轴1．了解数轴的概念，学会画数轴，知道如何在数轴上表示有理数．(重点)2．能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应．(重点) 3．体会数形结合的思想方法．阅读教材P27～28，完成预习内容． (一)知识探究1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2．数轴是一条直线，它可以向两端无限延伸． 3．数轴上原点左侧是负数，正数在原点的右侧． (二)自学反馈1．数轴的三要素是原点、正方向、单位长度．2．如图，数轴上点A 、B 表示的数分别是－2.5、2．3．指出图中所画数轴的错误：解：略．活动1 小组讨论例 (1)画一条数轴，并表示出如下各点：±0.5，±0.1，±0.75； (2)画一条数轴，并表示出如下各点：1 000，5 000，－2 000； (3)画一条数轴，在数轴上标出到原点的距离小于3的整数； (4)画一条数轴，在数轴上标出－5和＋5之间的所有整数． 解：略．数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置．活动2 跟踪训练1．在数轴上点A 表示－4，如果把原点向负方向移动1.5个单位，那么在新数轴上点A 表示的数是(C) A ．－512B ．－4C ．－212D ．2122．在数轴上表示－1.2的点在(B)A ．－1与0之间B ．－2与－1之间C ．1与2之间D ．－1与1之间 3．数轴上表示－8的点在原点的左侧，距离原点8个单位长度；数轴上点P 距原点5个单位长度，且在原点的左侧，则点P 表示的数是－5．4．在数轴上，表示数－3，2.6，－35，0，413，－223，－1的点中，在原点左边的点有4个．5．写出数轴上点A ，B ，C ，D ，E 所表示的数：解：0，－2，1，2.5，－3.6．画一条数轴表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．1 3，2，－4.5，0，52，－0.5，－14.解：略．7．一个点在数轴上表示的数是－5，这个点先向左边移动3个单位长度，然后再向右边移动6个单位长度，这时它表示的数是多少呢？如果按上面的移动规律，最后得到的点是2，则开始时它表示什么数？解：－2，－1.利用数轴数形结合解题．活动3 课堂小结1．数轴的出现对数学的发展起了重要作用，以它作基础师生共同研究，什么是数轴？如何画数轴？如何在数轴上表示有理数？2．利用数轴很多数学问题都可以借助图直观地表示.2.3 绝对值1．借助数轴，理解绝对值和相反数的概念，知道|a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系． 2．能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小．(重点) 3．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．(难点)阅读教材P30～31，完成预习内容． (一)知识探究1．一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值．2．一个正数的绝对值是它本身，即：若a>0，则|a|＝a ；一个负数的绝对值是它的相反数，即：若a<0，则|a|＝－a ；0的绝对值是0(双重性)． (二)自学反馈1．数轴上有一点到原点的距离为6.03，那么这个点表示的数是±6.03．所以|6.03|＝6.03，|－6.03|＝6.03． 2．(1)|＋13|＝13； (2)|－8|＝8； (3)|＋315|＝315；(4)|－8.22|＝8.22．3．－213的绝对值是213，绝对值等于213的数是±213，它们是一对相反数．非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．活动1 小组讨论例1 －2的相反数是(A)A ．2B ．－2C ．0.5D ．－0.5 例2 下列四组数中不相等的是(C)A ．－(＋3)和＋(－3)B ．＋(－5)和－5C ．＋(－7)和－(－7)D ．－(－1)和|－1| 例3 下列说法正确的是(B)A ．一个数的绝对值的相反数一定不是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值一定是正数D ．一个数的绝对值一定是非正数例4 若|x －3|＋|y －2|＝0，则x ＝3，y ＝2． 例5 比较下列每组数的大小： (1)－1和－5； (2)－56和－2.7.解：(1)－1>－5.(2)－56>－2.7.活动2 跟踪训练1．在|－7|，5，－(＋3)，－|0|中，负数共有(A)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是(D) A ．1 B ．＋1，－1，0 C ．1或－1 D ．非负数3．在数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是±2，也就是说绝对值等于2的数是±2． 4．在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值：－32，6，－3，－8.6. 解：32；6；3；8.6.图略．5．已知|a|＝3，|b|＝5，a 与b 异号，求a 、b 两数在数轴上所表示的点之间的距离． 解：8.6．比较下列各组数的大小： (1)－110，－27；(2)－0.5，－23；(3)0，|－23|；(4)|－7|，|7|. 解：(1)－110>－27.(2)－0.5>－23.(3)0<|－23|.(4)|－7|＝|7|.7．下面的说法是否正确？请将错误的改正过来． (1)有理数的绝对值一定比0大； (2)有理数的相反数一定比0小；(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； (4)互为相反数的两个数的绝对值相等． 解：(1)错误，可能等于0. (2)错误，可能比0大． (3)错误，可能互为相反数． (4)正确．活动3 课堂小结1．求一个有理数的相反数．2．绝对值的定义：有理数到原点的距离3．化简绝对值． |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0）0（a ＝0）－a （a<0）4．两个负数比较大小，绝对值大的反而小.2.4 有理数的加法第1课时 有理数的加法法则1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性． 2．能运用有理数加法法则正确进行有理数加法运算．(重点)阅读教材P34～36，完成预习内容． (一)知识探究结合课本对两个有理数相加的7个计算式，类似地再列举出相应的计算式并结合数轴解释，得出结果(如(＋3)＋(＋4)、(－3)＋(－4)、(－3)＋(＋4)、(＋3)＋(－4)、(＋3)＋(－3)、(－3)＋0、(＋3)＋0)，根据以上7个算式，思考：你能总结出有理数相加的符号如何确定？和的绝对值如何确定？互为相反数相加，一个有理数和0相加，和分别为多少？结合以上内容，总结得出有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加．2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0.3．一个数同0相加，仍得这个数． (二)自学反馈计算：(1)16＋(－8)＝8； (2)(－12)＋(－13)＝－56；(3)(＋312)＋(－72)＝0；(4)(＋8)＋(－3)＝5； (5)(－0.125)＋(18)＝0；(6)0＋(－9.7)＝－9.7．在进行有理数加法运算时，一要辨别加数是同号还是异号；二要确定和的符号；三要计算和的绝对值．即“一辨、二定、三算”．活动1 小组讨论 例1 计算：(1)(－3)＋(－9)； (2)(－4.7)＋3.9.解：(1)－12. (2)－0.8.例2 足球循环比赛中，红队胜黄队4∶1，黄队胜蓝队1∶0，蓝队胜红队1∶0，计算各队的净胜球数． 解：黄队净胜球：－2，红队净胜球：2，蓝队净胜球：0. 活动2 跟踪训练1．两个数的和为负数，则下列说法中正确的是(D) A ．两个均是负数 B ．两个数一正一负 C ．至少有一个正数 D ．至少有一个负数 2．一个正数与一个负数的和是(D)A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定符号 3．计算：(1)(＋3)＋(＋8)； (2)(＋14)＋(－12)；(3)(－312)＋(－3.5)；(4)(－314)＋(＋213)；(5)(－19)＋8.3；(6)－3.4＋4.解：11，－14，－7，－1112，－10.7，0.6.注意计算的符号，特别是负号．4．某县某天夜晚平均气温是－10 ℃，白天比夜晚高12 ℃，那么白天的平均温度是多少？ 解：2 ℃.活动3 课堂小结 有理数的加法法则：1．同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加．2．异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 3．任意有理数和零相加，仍得这个数．第2课时 有理数的加法运算律1．掌握有理数加法的运算律，理解小学中加法运算律在有理数中仍然成立．2．能用有理数的运算律对有理数加法进行简便运算，会根据算式的特点选择适当的简便运算方法．(重难点)阅读教材P37～38，完成预习内容． (一)知识探究加法的交换律的文字表达：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 加法的交换律的字母表达：a ＋b ＝b ＋a ． 加法的交换律的例子说明：1＋2＝2＋1．加法的结合律的文字表达：三个数相加，先用前两个数相加，或者先用后两个数相加，和不变． 加法的结合律的字母表达：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)． 加法的结合律的例子说明：(1＋2)＋3＝1＋(2＋3)． (二)自学反馈 计算：(1)(－7.34)＋(－12.74)＋7.34＋12.4； (2)(－35＋15)＋(－45)；(3)(－37)＋(＋15)＋(＋27)＋(－115)； (4)(－20.75)＋314＋(－4.25)＋1934；(5)(－6.8)＋425＋(－3.2)＋635＋(－5.7)＋(＋5.7)．解：(1)－0.34.(2)－65.(3)－117.(4)－2.(5)1.活动1 小组讨论 例1 计算：(1)(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4)； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)314＋(－235)＋534＋(－825)；(4)(－7)＋6＋(－3)＋10＋(－6)； 解：(1)－3.(2)－20.(3)－2.(4)0.例2 有一批食品罐头，标准质量为每听454 g ，现抽取10听样品进行检测，结果如下表：听号 1 2 3 4 5 质量/g 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量/g454449454459464这10听罐头的总质量是多少？ 解：解法一：这10听罐头的总质量为444＋459＋454＋459＋454＋454＋449＋454＋459＋464＝4 550(g)．解法二：把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示，列出10听罐头与标准质量的差值表：听号 1 2 3 4 5 与标准质 量的差/g －10 ＋5 0 ＋5 0 听号 6 7 8 9 10 与标准质 量的差/g－5＋5＋10这10听罐头与标准质量差值的和为 (－10)＋5＋0＋5＋0＋0＋(－5)＋0＋5＋10＝[(－10)＋10]＋[(－5)＋5]＋5＋5＝10(g)． 因此，这10听罐头的总质量为454×10＋10＝4 540＋10＝4 550(g)．注意运算律的运用．活动2 跟踪训练1．用适当的方法计算：(1)23＋(－17)＋6＋(－22)； (2)1＋(－12)＋13＋(－16)；(3)1.125＋(－325)＋(－18)＋(－0.6)；(4)(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33)． 解：(1)－10.(2)23.(3)－3.(4)－10.2．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下(单位：千米)：＋15，＋14，－3，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18(1)他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为a 公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？解：(1)15＋14－3－11＋10－12＋4－15＋16－18＝0，距出发地0千米． (2)118a.活动3 课堂小结有理数加法交换律、结合律： 1．加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)． 2．简便运算： ①运用运算律；②运用相反数的和为零； ③凑整.2.5 有理数的减法1．掌握有理数的减法法则，熟练地进行有理数的减法运算．(重点) 2．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想．阅读教材P40～41，完成预习内容． (一)知识探究通过实际例子，一方面，利用加法与减法互为逆运算可知：计算4－(－3)，就是求一个数x ，使x ＋(－3)＝4，易知x ＝7，所以4－(－3)＝7.① 另一方面，4＋(＋3)＝7，② 由①②有4－(－3)＝4＋(＋3)．再试把减数－3换成正数，任意列出一些算式进行计算，如： 计算：9－8与9＋(－8)；15－7与15＋(－7)． 由上述内容，得出减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．用字母表示为：a －b ＝a ＋(－b)．减法法则渗透了一种重要的数学思想方法——转化，有了相反数，减法就可以转化为加法，加减就可以统一为加法．有理数的减法法则是：减去一个数，等于加这个数的相反数； 用字表示为：a －b ＝a ＋(－b)． (二)自学反馈 计算：(1)(－3)－(－6)； (2)0－8； (3)6.4－(－3.6)；(4)－312－(＋514)．解：(1)3.(2)－8. (3)10.(4)－834.(1)减法转化为加法，减数要变成相反数．(2)法则适用于任何两有理数相减．(3)用字母表示一般形式为：a －b ＝a ＋(－b)活动1 小组讨论 例 计算：(1)(－38)－(－36)； (2)0－(－711)；(3)1.7－(－3.5)； (4)(－234)－(－112)；(5)323－(－234)；(6)(－334)－(＋1.75)．解：(1)－2.(2)711.(3)5.2.(4)－114.(5)6512.(6)－5.5.活动2 跟踪训练1．计算：(1)(－23)－(＋112)－(－14)；(2)(－0.1)－(－813)－1123－(－110)；(3)(－1.5)－(－1.4)－(－3.6)－4.3－(＋5.2)；(4)(5－6)－(7－9)．解：(1)－2312.(2)－313.(3)－6.(4)1.2．根据题意列出式子计算．(1)一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数； (2)－13的绝对值的相反数与23的相反数的差．解：(1)－0.81－1.8＝－2.61. (2)－|－13|－(－23)＝－13＋23＝13.活动3 课堂小结1．有理数的减法法则：a －b ＝a ＋(－b)． 2．转化原则：减号变加号，减数变成相反数.2.6 有理数的加减混合运算 第1课时 有理数的加减混合运算1．会把有理数的加减混合运算统一为加法运算．2．熟悉有理数加减运算的运算律，能把有理数加法运算省略加号和括号，理解有理数的和．(重难点)阅读教材P43，完成预习内容． (一)知识探究把下列算式统一为加法，并写成省略加号的形式：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)＝(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)＝－20＋3＋5－7， (－7)＋(＋5)＋(－4)－(－10)＝(－7)＋(＋5)＋(－4)＋(＋10)＝－7＋5－4＋10． 认识算式：①2－5；②－5＋3；③－2－8；④－4＋2－6的意义．注意有理数的加减混合运算写成省略加号的和的形式的意义．(二)自学反馈把(＋23)＋(－45)－(＋15)－(－13)－(＋1)写成省略加号的和的形式，并计算．解：23－45－15＋13－1＝－1.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(＋27)＋(－49)－(＋59)－(－57)－(＋1)；(2)－7－(－8)－(－712)－(＋9)＋(－10)＋1112；(3)－99＋100－97＋98－95＋96＋ (2)(4)－1－2－3－ (100)解：(1)－1.(2)1.(3)50.(4)－5 050.例2 银行储蓄所办理了8件工作业务，取出950元，存进500元，取出800元，存进1 200元，存进了2 500元，取出1 025元，取出200元，存进400元，这时，银行现款是增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？ 解：增加了，增加了1 625元．例3 把－a ＋(＋b)－(－c)＋(－d)写成省略加号的和的形式为－a ＋b ＋c －d ．总结：有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤：(1)将减法转化成加法运算； (2)省略加号和括号；(3)运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； (4)按有理数加法法则计算． 活动2 跟踪训练1．把下列算式先统一为加法运算再写成省略括号和的形式，并把结果用两种读法读出来． (1)(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3； (2)(－13)－(＋22)＋(－17)－(－18)． 解：(1)9－10－2＋8＋3. (2)－13－22－17＋18. 2．计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)； (2)1－4＋3－0.5；(3)34－72＋(－16)－(－23)－1； (4)－2.4＋3.5－4.6＋3.5.解：(1)－6.(2)－0.5.(3)－314.(4)0.活动3 课堂小结1．有理数的加减混合运算可以利用运算顺序进行计算． 2．熟练进行含有整数、小数、分数的加减混合运算．第2课时 有理数加减混合运算中的简便计算1．运用加法交换律和结合律简化有理数加减混合运算．(重难点) 2．能熟练地进行有理数的加减混合运算．阅读教材P44～45，完成预习内容． (一)知识探究计算：4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)． 解：原式＝4.5＋1.1＋[(－3.2)＋(－1.4)] ＝5.6＋(－4.6) ＝1.运用加法交换律和结合律可以简化运算．(二)自学反馈运用交换律和结合律计算： (1)3－10＋7＝3＋7－10＝0；(2)－6＋12－3－5＝－6－3－5＋12＝－2．活动1 小组讨论 例1 计算：(1)(－9)－(－7)＋(－6)－(＋4)－(－5)； (2)(＋4.3)－(－4)＋(－2.3)－(＋4)．解：(1)原式＝－9＋7－6－4＋5＝(－9－6－4)＋7＋5＝－19＋12＝－7. (2)原式＝4.3＋4－2.3－4＝2.例2 已知上周周五(周末不开盘)收盘时股市指数以2 880点报收，本周内股市涨跌情况如下表，则本周四收盘时的股市指数为(D)星期 一 二 三 四 五 股指变化＋50－21－100＋78－78A.2 880 B ．2 877 正数表示涨，负数表示跌，每天的变化是相对于前一天来比较的，所以周四的股市指数为2 880＋50－21－100＋78＝2 887.总结：有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤：(1)将减法转化成加法运算； (2)省略加号和括号；(3)运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； (4)按有理数加法法则计算． 活动2 跟踪训练 1．计算：(1)(－8)－(－15)＋(－9)－(－12)； (2)(－13)－15＋(－23)；(3)(－18)－(－65)＋(＋8)－(＋710)；(4)－23＋(－16)－(－14)－12.解：(1)10.(2)－16.(3)－9.5.(4)－1312.2．甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.5米，相持一会后，又向乙队方向移动了0.4米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队方向移动了0.9米，若规定标志物向某队方向移动2米该队即可获胜，那么现在谁赢了？用算式说明你的判断．解：甲队获胜，因为－0.2＋(＋0.5)＋(－0.4)＋(＋1.3)＋(＋0.9)＝＋2.1(米)>2(米)，所以甲队获胜．活动3 课堂小结在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．第3课时有理数加减混合运算的应用1．能综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题．(重难点)2．感受到有理数运算的实用性，增强学好数学的信心．阅读教材P47，完成预习内容．知识探究折线统计图可以表示同一种量在不同时间的变化规律，如北京周一到周日的天气变化情况．正确地画出折线统计图是观察变化情况的依据．画法及步骤：①写出统计图名称，如天气、水位等；②画出横、纵两条互相垂直的数轴(有时不画箭头，一般向上为正方向，向右为正方向)，分别表示两个量，标出单位和单位长度；③根据统计数据，分别描出对应点，描点时可借助三角板来完成；④用线段把所描的点顺次连接起来．活动1 小组讨论例下表是一个水文站在雨季对某条河一周内水位变化情况的记录．其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示(水位变化的单位：米)．星期一二三四五六日变化＋0.4 －0.3 －0.4 －0.3 ＋0.2 ＋0.2 ＋0.1 注：①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量．②上周日12时的水位高度为2米．(1)请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了．(2)用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势．分析：计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了；若是负，说明水位下降了．解：(1)因为(＋0.4)＋(－0.3)＋(－0.4)＋(－0.3)＋(＋0.2)＋(＋0.2)＋(＋0.1)＝0.4－0.3－0.4－0.3＋0.2＋0.2＋0.1＝－0.1(米)，所以本周末水位下降了．(2)折线图如图所示：由折线图可看出，本周水位先上升，再下降，最后上升．①画折线统计图时，要先确定哪一个量或哪一个数值为0，即基准；②要标出横线和竖线的单位；③选择单位长度时要考虑使统计图有明显的上升和下降的幅度，能看出变化情况．活动2 跟踪训练1．光明中学初一(1)班学生的平均身高是160厘米．(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位：厘米)，试完成下表：姓名小明小彬小丽小亮小颖小山身高159 154 165身高与平均－1 ＋2 0 ＋3身高的差值(2)谁最高？谁最矮？(3)最高和最矮的学生身高相差多少？解：(1)依次填入：162 160 163 －6 ＋5.(2)小山最高，小亮最矮．(3)最高和和最矮的学生身高相差11厘米．2．9.11事故后，美国股市出现狂跌，股市指数一度跌到历史最低点，后经政府宏观调控，稍有反弹，下表是某周(周末不开盘)(1)本周内哪天股市指数最高？哪天股市指数最低？(2)本周五的股市指数比上周五的股市指数高还是低？(3)若将上周五的股市指数记为0点，请你画出本周的股市指数折线图．解：(1)本周内星期四股市指数最高，星期二股市指数最低．(2)本周五的股市指数比上周五的股市指数高(3)图略．活动3 课堂小结1．知识归纳：利用正、负数表示相反意义的量，进行有理数的加减混合运算解决实际问题．2．数学思想方法：用已学知识解决新问题的转化思想.2.7 有理数的乘法第1课时 有理数的乘法法则1．了解有理数乘法的实际意义．2．理解有理数的乘法法则，能熟练地进行有理数乘法运算．(重点)阅读教材P49～51，完成预习内容． (一)知识探究有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．通过有理数的乘法，进一步体会有理数运算包含两步思考：先确定积的符号，再计算积的绝对值． 乘积为1的两个数互为倒数．如：－3的倒数是－13，0.5的倒数是2，－212的倒数是－25.看书第50、51页的内容，体会几个不等于零的有理数相乘，积的符号的确定方法：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负．几个数相乘，如果其中有一个因数是0，积等于0． (二)自学反馈1．计算：(－114)×(－45)＝1，(＋3)×(－2)＝－6，0×(－4)＝0，123×(－115)＝－2，(－15)×(－13)＝5，－│－3│×(－2)＝6．2．计算：(－2)×(－3)×(－5)＝－30， (－723)×3×(－123)＝1，(－9.89)×(－6.2)×(－26)×(－30.7)×0＝0．(1)运用乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘；(2)0没有倒数．活动1 小组讨论例1 计算：(＋5)×(＋3)＝15， (＋5)×(－3)＝－15， (－5)×(＋3)＝－15， (－5)×(－3)＝15， (＋6)×0＝0， 6×(－4)＝－24，(－6)×4＝－24， (－6)×(－4)＝24． 例2 计算：(1)(－112)×815×(－23)×(－214)＝－115；(2)14×(－16)×(－45)×(－114)×8×(－0.25)＝8． 活动2 跟踪训练 1．计算：(1)(－5)×0.2＝－1； (2)(－8)×(－0.25)＝2； (3)(－312)×(－27)＝1；(4)0.1×(－0.01)＝－0.001；(5)(－59)×0.01×0＝0；(6)(－2)×(－5)×(＋56)×(－30)＝－250；(7)312×(－47)＋(－25)×(－334)＝－12．2．a ×(－56)＝1则a ＝－65．一个有理数的倒数的绝对值是7，则这个有理数是±17．3．判断对错：(1)两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数．(×) (2)两数相乘，若积为负数，则这两个数异号．(√) (3)两个数的积为0，则两个数都是0.(×) (4)互为相反的数之积一定是负数．(×)(5)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．(√) 活动3 课堂小结1．有理数的乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数同0相乘，都得0.2．倒数：乘积是1的两个数互为倒数．(负倒数：乘积为－1)3．几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．第2课时 有理数的乘法运算律1．进一步应用乘法法则进行有理数的乘法运算．2．能自主探究理解乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中的应用．(重难点)阅读教材P52～53，完成预习内容．(一)知识探究 乘法的交换律文字表达：两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 乘法的交换律字母表达：ab ＝ba ． 乘法的结合律文字表达：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 乘法的结合律字母表达：(ab)c ＝a(bc)．乘法的分配律文字表达：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 乘法的分配律字母表达：a(b ＋c)＝ab ＋ac ．(二)自学反馈1．计算：(－3)×56×(－95)×(－14)×(－8)×(－1)． 解：－9.2．计算：(1)－34×(8－43－1415)；(2)191819×(－15)． 解：(1)－4310.(2)－299419. 运用运算律进行简便运算．活动1 小组讨论例 计算：(1)(－0.5)×(－316)×(－8)×113； 解：－1.(2)－10556×12； 解：－1 270.(3)(－34＋156－78)×(－24)； 解：－5.(4)317×(317－713)×722×2122； 解：－4.(5)(23－49＋527)×27－1117×8＋117×8. 解：3.活动2 跟踪训练1．运用分配律计算(－3)×(－4＋2－3)，下面有四种不同的结果，其中正确的是(D)A ．(－3)×4－3×2－3×3B ．(－3)×(－4)－3×2－3×3C ．(－3)×(－4)＋3×2－3×3D ．(－3)×(－4)－3×2＋3×32．在运用分配律计算3.96×(－99)时，下列变形较合理的是(C)A ．(3＋0.96)×(－99)B ．(4－0.04)×(－99)C ．3.96×(－100＋1)D ．3.96×(－90－9)3．对于算式2 007×(－8)＋(－2 007)×(－18)，逆用分配律写成积的形式是(C)A ．2 007×(－8－18)B ．－2 007×(－8－18)C ．2 007×(－8＋18)D ．－2 007×(－8＋18)4．计算1357×316最简便的方法是(D) A ．(13＋57)×316B ．(14－27)×316C ．(10＋357)×316D ．(16－227)×316 5．计算：(1)(－4)×8×(－2.5)×0.1×(－0.125)×10；(2)(134－78－112)×117； (3)(－5.25)×(－4.73)－4.73×(－19.75)－25×(－5.27)．解：(1)－10.(2)1921.(3)250. 活动3 课堂小结1．有理数乘法交换律．2．有理数乘法结合律．3．有理数乘法分配律.2.8 有理数的除法1．理解除法的意义，掌握有理数的除法法则．2．能熟练进行有理数的除法运算．(重点)3．感受转化、归纳的数学思想．阅读教材P55～56，完成预习内容．(一)知识探究1．有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 2．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何不等于0的数仍得0. (二)自学反馈(1)(－18)÷6＝－3； (2)5÷(－15)＝－25； (3)(－27)÷(－9)＝3；(4)0÷(－2)＝0． 0不能作除数．活动1 小组讨论例1 计算：(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－14)； (3)(－0.75)÷0.25；(4)(－12)÷(－112)÷(－100)． 解：(1)5.(2)－48.(3)－3.(4)－1.44.例2 计算：(1)(－18)÷(－23)； (2)16÷(－43)÷(－98)． 解：(1)27.(2)323. 乘除混合运算要先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．活动2 跟踪训练1．两个不为零的有理数的和等于0，那么它们的商是(B)A ．正数B ．－1C ．0D ．±12．两个不为0的数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么(D)A ．两数相等B ．两数互为相反数C ．两数互为倒数D ．两数相等或互为相反数3．计算：(1)－0.125÷(－38)； (2)(－215)÷1110； (3)(－112)÷34÷1.4. 解：(1)13.(2)－2；(3)－107. 活动3 课堂小结1．法则1：a ÷b ＝a ·1b. 2．法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不为0的数仍得0.3．化简分数.2.9 有理数的乘方1．理解有理数乘方的意义，理解乘方运算、幂、底数等概念的意义．2．正确进行有理数乘方运算．(重点)阅读教材P58～59，完成预习内容．(一)知识探究1．求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，a 叫底数，n 叫指数．乘方a n 有双重含义：(1)表示一种运算，这时读作“a 的n 次方”；(2)表示乘方运算的结果，这时读作“a 的n 次幂”． 2．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数． (二)自学反馈 1．在(－2)6中，底数是－2，指数是6，运算结果是64；在－26中，底数是2，指数是6，运算结果是－64．(特别注意)2．底数是－23，指数是3的幂是－827． 3．(－1)2 017＝－1，02 017＝0，(－0.1)4＝0.000__1．在书写乘方时，若底数为负数、分数时一定要加括号．3．(－12)4表示的意义是4个－12相乘，23×23×23×23可写成(23)4． 4．计算：(－25)3＝－8125；3×23＝24；(3×2)3＝216；(－3)3×(－42)＝432；(－324)2－324＝4516．活动1 小组讨论例 计算：(1)(－2)2×(－2)3； (2)5×(－3)2；(3)(－2)4－(－4)2； (4)(－3×2)2－3×22.解：(1)－32.(2)45.(3)0.(4)24.活动2 跟踪训练1．如果一个数的平方与这个数的差等于零，那么这个数只能是(D)A ．0B ．－1C ．1D ．0或12．下列说法正确的是(D)A ．一个数的偶次幂一定是正数B ．一个正数的平方比原数大C ．一个负数的立方比原数小D ．互为相反数的两个数的立方仍互为相反数3．任何一个有理数的二次幂是(B)A ．正数B ．非负数C ．负数D ．无法确定4．当n 为整数时，(－1)2n －1＋(－1)2n 的值为(B)A ．－2B ．0C ．1D ．25．某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时后，这种细胞1个能分裂成多少个？(1)细胞每30分钟分裂一次，则5个小时共分裂10次；(2)5个小时后，细胞的个数一共有＝1__024个，为了简便可以记作210．6．①边长为a 的正方形的面积为a 2；②棱长为a 的正方体的体积为a 3；③把一张纸对折一次可裁成两张，对折2次可裁成4张，问对折3次可裁成几张？用算式如何表示？23．如果对折10次、100次，用算式如何表示？210，2100．7．计算(－2)3，(－3)3，(－12)3，(－13)3，并找出其中最大的数和最小的数．解：(－2)3＝－8，(－3)3＝－27，(－12)3＝－18，(－13)3＝－127. 其中最大的数为－127，最小的数为－27. 活动3 课堂小结1．乘方2．乘方的计算：3．乘方的性质．。

第二章有理数及其运算专题一：有理数1．下列各数中，大于－21小于21的负数是（ B ） A.－32B.－31C.31D.02．大于－5.1的所有负整数为___－1，－2，－3，－4，－5；__.3．珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为__－155米__.专题二：数轴与相反数1．关于相反数的叙述错误的是（ C ）A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数D.零的相反数为零2．若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ B ）A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定3．在数轴上距离原点为2的点所对应的数为__±2___，它们互为__相反数___. 4．数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为__ ABC __. 5．写出大于－4.1小于2.5的所有整数，并把它们在数轴上表示出来..－4，－3，－2，－1，0，1，26．下图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5,3,5,－1,－3,1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数.专题三：绝对值1．若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ B ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数2．下列说法正确的是（ C ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 3．下列结论正确的是（ B ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |4．绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为__－7，－6，－5，－4，－3___.5．甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于本身，请你猜一猜|a-b|= 1专题四：有理数的加减法1．有理数a ,b 在数轴上对应位置如图所示，则a +b 的值为（ B ）A.大于0B.小于0C.等于0D.大于a 2．下列结论不正确的是（ D ）A.若a >0,b >0,则a +b >0B.若a <0,b <0,则a +b <0C.若a >0,b <0,则|a |>|b |,则a +b >0D.若a <0,b >0,且|a |>|b |,则a +b >03．－21与32的相反数的绝对值之和是___61___. 4．已知a 、b 互为相反数，c 是绝对值最小的数，d 是负整数中最大的数，则a +b +c －d =___1__. 5．若|2x －3|+|3y +2|=0，则x －y =___613__. 6．计算： （1）－31+41－65+73 （2）－341－(－265)+352－8441601797．已知a =2，b =－3，c =－1，计算|a －b |+|b －c －a |+|3b －4c |.148．10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2,3,－7.5,－3,5,－8,3.5,4.5,8,－1.5这10名学生的总体重为多少？10名学生的平均体重为多少？解：2+3+(－7.5)+(－3)+5+(－8)+3.5+4.5+8+(－1.5)=2+3－7.5－3+5－8+3.5+4.5+8－1.5=2+5+3.5+4.5+3－3－8+8－7.5－1.5=6，因此，10名学生的总体重为：50×10+6=506(千克)，10名学生的平均体重为：506÷10=50.6(千克)专题五：有理数的乘除法1．若mn >0,则m ,n （ C ）A.都为正B.都为负C.同号D.异号2．如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ C ）A.两个互为相反数的数B.符号不同的两个数C.不为零的两个互为相反数的数D.不是正数的两个数3．如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ B ）A.正数B.负数C.非正D.非负4．下列运算错误的是（ A ）A.31÷(－3)=3×(－3) B.－5÷(－21)=－5×(－2) C.8－(－2)=8+2D.0÷3=05．计算：(1)121×75－(－75)×221+(－21)×75 (2)492524×(－5) 52－24954.（3）［432×(－145)+(－0.4)÷(－254)］×1511专题六：有理数的乘方1．如果a 2=a ,那么a 的值为（ C ）A.1B.0C.1或0D.－1 2．一个数的平方等于16，则这个数是（ C ）A.+4B.－4C.±4D.±8 3．a 为有理数，则下列说法正确的是（ C ）A.a 2>0B.a 2－1>0C.a 2+1>0D.a 3+1>0 4．下列式子中，正确的是（ C ）A.－102=(－10)×(－10)B.32=3×2C.(－21)3=－21×21×21D.23=325．（－2）3的底数是____－2___，结果是___－8____；－32的底数是___3____，结果是___－9____.6．n 为正整数，则（－1）2n =___1____,(－1) 2n +1=___－1____.7．一个数的平方等于这个数本身，则这个数为___0或1____；一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是____±1或0__.专题七：有理数的混合运算1．下列各数中与（－2－3）5相等的是（ B ）A.55B.－55C.（－2）5+（－3）5D.（－2）5－35 2．某数的平方是41，则这个数的立方是（ C ）A.81 B.－81 C.81或－81 D.+8或－83．下列语句中，错误的是（ C ）A.a 的相反数是－aB.a 的绝对值是|a |C.(－1)99=－99D.－(－22)=44．计算：(－3)2÷51×0－45=___－45____. 5．计算题（1）－7×6×(－2) （2）(－20)×(－1)7－0÷(－4)84 20（3）(－2)2×(－1)3－3×［－1－(－2)］ （4）23－32－(－4)×(－9)×0－7 －16．当x =－1,y =－2,z =1时，求(x +y )2－(y +z )2－(z +x )2的值.87．计算：(1)－33×(－5)+16÷(－2)3－｜－4×5｜+(85－0.625)2 113(2)(－1)－(－521)×114+(－8)÷［(－3)+5］ (4)25×43－(－25)×21+25×41 －3 2758（单位：元）23×500+［（+1.5)×1000+(－3)×1000］－［(－2)×500］= =请你计算一下，投资者到底赔了还是赚了，赔或赚了多少元？=8×500+［－1.5×1000］－(－1000)=4000－1500+1000=3500(元) 赚了 ， 赚了3500元.。

北师大版七年级（上）数学第二章有理数及其运算教案：有理数的加减讲义（含答案）1.掌握有理数加法运算法那么和计算题；2.掌握有理数减法运算法那么和计算题；3.掌握有理数加减混合运算的计算技巧.1．〔1〕加法法那么①同号相加,取相反符号,并把相对值相加.②相对值不相等的异号两数加减,取___________的符号,并用较大的相对值________较小的相对值.③一个数同0相加,仍得这个数.④_______相加结果一定得0。

〔2〕交流律和结合律有理数的加法异样拥有交流律和结合律(和整数得交流律和结合律一样)用字母表示为： 交流律：a+b=b+a结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2.运算要点：(1)同号相加符号不变,异号相加变减.欲问符号怎样定,相对值大号选。

(2)在停止有理数加法运算时，普通采取：1.互为相反数的先加〔抵消〕；2.同号的先加；3.同分母的先加；4.能凑整数的先加;5.异分母分数相加,先通分,再计算。

3.有理数减法法那么：减去一个数，等于加上这个数的________。

其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：被减数不变。

可以表示成： a －b ＝a ＋〔－b 〕。

参考答案：1.〔1〕相对值较大,减去,相反数3.相反数1.有理数加法【例1】用〝<〞号或〝>〞号填空：(1)假定0,0>>n m ,那么0________n m +；(2)假定0,0<<n m ,那么0________n m +；(3)假定0,0<>n m ,且n m >,那么0________n m +；(4)假定0,0><n m ,且n m >,那么0________n m +.【解析】考察有理数的加法法那么。

【答案】(1) > (2) < (3) > (4)<【例2】(-25)+34+156+(-65)【解析】依据有理数加法法那么和加法交流律即可算出结果。

有理数及其运算 ○师★入门测：1. 计算3(25)-⨯=（ B ）A.1000 B.－1000 C.30 D.－302. 计算2223(23)-⨯--⨯=( B )A.0B.－54C.－72D.－183. 计算11(5)()555⨯-÷-⨯=A.1B.25C.－5D.354. 下列式子中正确的是（ C ） A.4232(2)(2)-<-<-B. 342(2)2(2)-<-<-C. 4322(2)(2)-<-<-D. 234(2)(3)2-<-<-5. 422(2)-÷-的结果是（ B ）A.4B.－4C.2D.－26. 如果210,(3)0a b -=+=，那么1ba+的值是（A ）A.－2B.－3C.－4D.4★学习目标：1、掌握有理数的分类、数轴、相反数、绝对值等概念。

2、掌握有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方法则，熟练进行有理数的混合运算。

★课前导学1.有理数的运算顺序是先算 乘方 ，再算 乘除 ，最算 加减 ；如果有括号，那么先算 括号 。

2.一个数的101次幂是负数，则这个数是 负数 。

3.7.20.9 5.6 1.7---+= -12 。

4.232(1)---= -3 。

5.67()()51313-+--= -6 。

6.211()1722---+-= 12/7 。

7.737()()848-÷-= -1/7 。

8.21(50)()510-⨯+= -25 。

★课堂导学1、有理数的分类有理数整数 分数 正整数（自然数） 零 负整数 正分数负分数有理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。

1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大3）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）2）0的相反数是0.3）若a、b互为相反数，则a+b=0.4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

有理数讲义1、了解有理数的分类。

2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。

3、掌握有关有理数和数轴的典型题目的解题方法。

有理数1、有理数的概念⑴______、______、______统称为整数（0和正整数统称为______自然数）⑵______和______统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2、有理数的分类总结：①正整数、0统称为______（也叫自然数）②负整数、0统称为______③正有理数、0统称为______④负有理数、0统称为______数轴3、数轴的概念规定了______，______，______的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的______；⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要______；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

4、数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是______关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）5、利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数______；⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数；⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。

6、数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是______，无最大的自然数；⑵最小的正整数是______，无最大的正整数；⑶最大的负整数是______，无最小的负整数7、a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=08、数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。

（2）任何数字同0相乘，都得0。

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做______。

3.乘方 求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。

参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。

【答案】原式=（-27）×（-37） 【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】 （1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。

【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。