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第二章有理数及其运算1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义(这里a表示有理数).3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主).4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算.5.能运用有理数的运算解决简单的问题.1.在求一个数的相反数和绝对值的过程中,让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧.3.能用科学记数法表示数,以及用四舍五入法取近似数,掌握其表示的方法.1.在认识数的过程中,体验知识之间的必然联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张,了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.就学生的学习而言,负数的概念、意义有一定的抽象性,为什么要引进负数正是学生理解的困难所在.从数学的发展进程来看,数的出现的主要原因更多的是由于对实际现象(事物)“表示”的需要.所以教材遵循历史发展的过程,采用这样的线索展开:产生的实际背景——有理数的意义——数的表示.对于有理数运算法则的获得,教材没有采用直接给出的方式而是设置了丰富的现实背景,如足球比赛中的净胜球数、气温变化等,以直观形象地解释、归纳、探索的方式,寻求有理数运算法则和运算律.如有理数的加法法则,仅仅借助数轴理解,学生会有一定的困难,所以教材先从知识竞赛中的答对题数与答错题数入手,使学生首先理解(+1)+(- 1)=0和(- 1)+(+1)=0,然后利用“正负抵消”的思想,讨论整数加法的几种情形,最后再由特例归纳出有理数的加法法则,并借助数轴加深理解.基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解,所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的重点,有理数的运算以整数运算的学习为出发点,然后过渡到含有小数、分数的运算.【重点】理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较大的数.【难点】利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习的机会,只有通过一定量的计算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.3.对绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程,与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值概念,目的是为有理数的运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教材中用字母表示求一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用.1有理数1课时2数轴1课时3绝对值1课时4有理数的加法2课时5有理数的减法1课时6有理数的加减混合运算3课时7有理数的乘法2课时8有理数的除法1课时9有理数的乘方2课时10科学记数法1课时11有理数的混合运算1课时12用计算器进行运算1课时本章概括整合1课时1有理数1.通过实例理解引入负数的必要性和负数应用的广泛性,理解有理数的含义,体会有理数应用的广泛性.2.能用正数和负数表示具有相反意义的量.3.培养逻辑思维能力,以及按一定规律对事物进行分类整理的能力.会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,能把有理数合理分类和把具体数正确归类.1.通过实例,使学生深刻体会到有理数和负数的实用性,加深对数的理解.2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要.3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际生活中各种问题的必要性,增强学习数学知识的兴趣.【重点】负数的意义、特点及实际应用,有理数的概念,能够对学过的数进行分类.【难点】正确用正、负数表示生活中具有相反意义的量,正确理解有理数的概念,会合理进行有理数的分类和把具体数归类到相应的数集.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P23~24.导入一:师:同学们小学都学过哪些数?生:整数、小数、分数、奇数、偶数……师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?[设计意图]通过介绍数的产生与发展,向学生渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点,使同学们感到数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要,也为讲述有理数概念及其分类做好铺垫.导入二:观察课本P22的图片.珠穆朗玛峰高出海平面8844 m,记作:+8844 m;吐鲁番盆地低于海平面155 m,记作: - 155 m.教师出示图片,并提出问题:1.生活中我们会遇到用负数表示的量,你能说出一些例子吗?2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识?3.有了负数,数的运算与过去相比有什么区别和联系?有了负数,能解决哪些实际问题?本章将在小学学习的基础上,进一步学习负数,研究有理数的有关概念及其运算,并利用有理数的知识解决实际问题.[设计意图]通过提供学生熟悉的情境引导学生回顾小学有关负数的知识,三个问题不仅为本节课成功引入,也为本章的学习做了铺垫.学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用,激发了学生学习本章内容的兴趣.(出示课件1)(例题讲解)请同学们完成以下问题,并与同伴交流.某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:答题情况第一队第二队如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗?思路一试完成下表:答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队+6第二队- 2思路二提出思考问题:(1)第一队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?(2)第二队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?(3)如何理解+6和- 2?(出示课件2)(教材议一议)生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.想一想:根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗?[处理方式]学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评.师生总结:“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,用知识竞赛得分的情境启发学生用正、负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正、负数表示的量,从而体会学习负数的必要性.从学生熟悉的情境讨论问题,学生积极参与,在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要.探究活动2用正、负数表示生活中具有相反意义的量(出示课件3)(教材例题)(1)某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?(2)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02 g 记作+0.02 g,那么- 0.03 g 表示什么?(3)某大米包装袋上标注着“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g”表示什么?[处理方式]学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的量.思路一如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是,所以沿顺时针方向转了12圈可表示为;一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么和超出标准质量具有相反意义的量是,所以- 0.03 g可以表示为;综上所述,“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g”表示.思路二(1)想一想:什么是具有相反意义的量?(2)品一品:如何表示具有相反意义的量?(3)考一考:和逆时针方向具有相反意义的量是,和超出标准质量具有相反意义的量是.【师生活动】学生讨论,教师巡视发现问题,并及时解决.解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作- 12圈.(2) - 0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g.(3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米可能有150 g的误差,即每袋大米的净含量最多是10 kg+150 g,最少是10 kg - 150 g.反馈练习(出示课件4) (1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么? (2)东、西为两个相反方向,如果 - 4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么?(3)某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?议一议:你能选定一个高度为标准,用正、负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗?你是怎样表示的?与同伴交流.通过例题和练习题的分析,让学生知道用正、负数表示相反意义的量时要明确“基准”.教材例题中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球的标准质量”“10 kg ”. “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”.学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不是所有的基准都必须为0.探究活动3 有理数的概念及分类1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下)有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数 2.有理数的分类.问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法呢?待学生思考后,请学生回答、评议、补充.教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.[设计意图] 使学生在原有认知结构的基础上,将数扩充到了有理数的范围.通过练习使学生加深理解有理数的意义.[知识拓展] 对正数和负数的理解要注意以下几点:(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.(2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深刻的认识.(3)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的“+”可以省略.即时巩固将下列各数填入到相应的数集中: - 2015, - 13,14,12, - 513, - 7.3,3,369,0.1,92, - 374.正数集合{ …}; 负数集合{ …}; 正整数集合{ …}; 负整数集合{ …}; 分数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 负有理数集合{ …}; 有理数集合{ …}.〔解析〕 小数 - 7.3,0.1都属于分数,369=4不属于分数.(学生口述解答过程,师总结、板演)1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.2.正数前面添上“ - ”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界限.3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么记为 - 3千米表示的是 ( )A.向西行驶3千米B.向南行驶3千米C.向北行驶3千米D.向东南方向行驶3千米解析:先根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,而 - 3千米表示的应是向西行驶3千米.故选A .2.在0,2, - 7, - 513,3.14, - 317, - 3,+0.75中,负数共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:在正数的前面加上“ - ”号的数即是负数,本题中的 - 7, - 513, - 317, - 3是负数.故选D .3.飞机上升了 - 80米,实际上是 ( ) A.上升80米 B.下降 - 80米C.先上升80米,再下降80米D.下降80米解析:解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.故选D .4.举一个能用正数、负数表示生活中的量的实例,并解释其中相关数量的含义.解:本题答案不唯一,只要满足题意即可,如:河道中第一天的水位是 - 0.2米,第二天的水位是+0.3米,其中 - 0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米.1有理数1.认识生活中的负数.2.用正、负数表示生活中具有相反意义的量.3.有理数的概念及分类.一、教材作业【必做题】教材第26页习题2.1的2,3题.【选做题】教材第26页习题2.1的4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结论中正确的是()A.0既是正数,又是负数B.0是最小的正数C.0是最大的负数D.0既不是正数,也不是负数2.向东运动记作“+”,向西运动记作“- ”,下列说法正确的是()A. - 5米表示向东运动了5米B.向西运动5米表示向东运动了- 5米C.+5米表示向西运动了5米D.向西运动5米也可以记作向西运动- 5米3.武汉市夏季气温比较高,若以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38 ℃与28 ℃分别记作()A.+8 ℃- 2 ℃B.+8 ℃+2 ℃C. - 8 ℃- 2 ℃D. - 8 ℃+2 ℃4.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃,该药品在温度范围内保存才合适.5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数.- 18,+227,3.1416,0.2011, - 35, - 0.1010…, - π, - 2,99%.【能力提升】6.如果海平面的高度为0 m,一潜水艇在海平面以下40 m处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10 m 处游动,试用正、负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.(1)钟表的指针逆时针方向旋转20°记作- 20°,顺时针方向旋转30°记作;(2)运进200箱记作,运出150箱记作- 150箱.【拓展探究】8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100 m记作- 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m是什么意思?这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?距A地多远?【答案与解析】1.D(解析:根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.故选D.)2.B(解析:A. - 5米表示向西运动了5米,故A错误;C.+5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西运动5米记为- 5米,故D错误.故选B.)3.A (解析:因为以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38 ℃与28 ℃分别记作:+8 ℃, - 2 ℃.故选A.)4.18~22 ℃(解析:温度是20 ℃±2 ℃,表示最低温度是20 ℃- 2 ℃=18 ℃,最高温度是20 ℃+2 ℃=22 ℃,即18~22 ℃之间是合适温度.)5.解:正数有:+227,3.1416,0.2011,99%;负数有: - 18, - 35, - 0.1010…, - π, - 2.6.解:因为海平面的高度为0 m,所以低于海平面的高度为负数,由于潜水艇和鲨鱼的高度都在海平面的下方,故分别为- 40 m和- 30 m.7.(1)+30°(2)+200箱8.解:如果把向北跑1100 m 记作 - 1100 m ,那么他向北跑1100 m 时向后转又继续跑了1200 m ,说明小明又向南跑了1200 m ,此时他在A 地的南边,距A 地的距离=1200 - 1100=100(m ).本节课从学生较熟悉的珠穆朗玛峰、气温开始,接下来从具体问题情境出发,使学生感受到现有的数确实不够用了,唤起学生的好奇心和求知欲,然后引出负数、正数和零的概念和实际意义,接着引导学生回顾、总结学过的数,告诉学生有理数的意义,和学生一起探讨有理数的分类,这样学生易于接受,在学习过程中,学生经历了观察、比较、归纳、总结,学会了研究问题、解决问题的方法,加深了对所学知识的理解,完成了从数不够用到数可以表示具有相反意义的量的成长过程。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数(:1,2,3)(:-1,-2,-3)⎧⎪⎨⎪⎩正整数如整数负整数如)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数一、本章知识梳理1、大于0的数叫__________，小于0的数叫___________。
整数与分数统称为_________。
2、有理数大小的比较，在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
3、相反数：如果两个数只有符号______，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0），互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
4、绝对值的定义：在数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
两个负数，绝对值大的反而_______.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 5、倒数：乘积是_____的两个数互为倒数。
6、有理数加法法则：①同号两数相加，取______符号，并把绝对值_______。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取___________的加数的符号，并用较大数的绝对值_________较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
7、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
(1)加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）8、有理数减法法则： 减去一个数，等于____________________。
9、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得_____，异号得_____,并把绝对值_______。
②任何数与0相乘，积仍为0。
10、乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
有理数的加减讲义1.掌握有理数加法运算法则和计算题；2.掌握有理数减法运算法则和计算题；3.掌握有理数加减混合运算的计算技巧.1．（1）加法法则①同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数加减,取___________的符号,并用较大的绝对值________较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.④_______相加结果一定得0。
（2）交换律和结合律有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为： 交换律：a+b=b+a结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2.运算要点：(1)同号相加符号不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。
(2)在进行有理数加法运算时，一般采取：1.互为相反数的先加（抵消）；2.同号的先加；3.同分母的先加；4.能凑整数的先加;5.异分母分数相加,先通分,再计算。
3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的________。
其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。
一不变：被减数不变。
可以表示成： a －b ＝a ＋（－b ）。
参考答案：1.（1）绝对值较大,减去,相反数3.相反数1.有理数加法【例1】用“<”号或“>”号填空：(1)若0,0>>n m ,则0________n m +；(2)若0,0<<n m ,则0________n m +；(3)若0,0<>n m ,且n m >,则0________n m +；(4)若0,0><n m ,且n m >,则0________n m +.【解析】考查有理数的加法法则。
【答案】(1) > (2) < (3) > (4)<【例2】(-25)+34+156+(-65)【解析】根据有理数加法法则和加法交换律即可算出结果。
【答案】解：(-25)+34+156+(-65)=（-25）+（-65）+（34+156）=-90+190=100练习1．不改变原式子的值，将6−(+3)−(−7)+(−2)中的减法改成加法并写成省略加号的和应是( )A ．−6−3+7−2B ．6−3−7−2C ．6−3+7−2D ．6+3−7−2【答案】C练习2．38+（－22）+（+62）+（－78）【答案】0练习3．（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）【答案】-13.5练习4.（－8）+47+18+（－27）【答案】302.有理数的减法【例3】 (－20)－(+5)－(－5)－(－12)【解析】根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，即可求出答案。
第二章有理数及其运算■通关口诀：学好有理并不难；基本概念要通关。
整分统称有理数；小数有理也无理。
数轴加上反绝倒。
还有负数非负数。
六个概念先学好；五种运算无漏洞。
科学记数表大数；寻找规律有方法。
■正奇数学学堂第一讲：有理数与数轴【知识点一】正数、负数和0。
1．相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。
2．具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。
3．正负数：正数：大于0的数；负数：小于0的数。
其中正数的正号可省略不写。
负数的负号必须写出。
4．0：不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。
同时也是具有相反意义的量的基准量。
既不是正数又不是负数。
5．正数与负数的分界：数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号。
6．重新认识两个符号——⑴“+”：运算符号表示加；性质符号表正数。
⑵“-”：运算符号表示减；性质符号表负数。
★正奇点睛：1．其实上述两个符号还有“自己”和“相反”的意思。
学了相反数自会明白。
2．注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系。
〖母题示例〗1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________________；负数有____________________．4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是（）A．向东行进50m C．向北行进50mB．向南行进50m D．向西行进50m5．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果规定向东为正，那么从起点先走+40米，再走－60米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？8．10筐橘子，以每筐15㎏为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。
标重的记录情况如下：+1，－0.5，－0.5，－1，+0.5，－0.5，+0.5，+0.5，+0.5，－0.5。
问这10筐橘子各重多少千克？总重多少千克？9．吐鲁番的海拔是－155m ，珠穆朗玛峰的海拔是8848m ，它们之间相差多少米？ 【知识点二】有理数的概念及分类。
1．分数与小数：⑴小数：有限小数；无限小数（循环；不循环） ⑵分数：可化为整数、有限小数或无限循环小数。
⑶无限不循环小数：不能化为分数（不是分数）。
2．有理数：整数和分数统称为有理数。
3．有理数的分类（两分法和三分法）：略。
4．小数与有理数：小数中的有限小数和无限循环小数属于有理数中的分数。
无限不循环小数不是有理数。
5．非负数：零和正数。
即：大于或等于0的数。
6．数集： 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。
所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。
★正奇点睛：特别注意“小数”与分数和有理数的关系。
〖母题示例〗1． 有理数：1322,0,,10.3,,52,8,0.38,102,31,1,6.3245----+-其中：正数：}{ … 正分数：}{ … 负数：}{ … 负分数：}{ … 负整数：}{… 正整数：}{… 2．下列说法正确的是（ ）A ．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B ．有理数不是正数就是负数C ．有理数不是整数就是分数;D ．以上说法都正确3．判断：①所有整数都是正数；（ ） ②所有正数都是整数：（ ）③奇数都是正数；（ ） ④分数是有理数： （ ）4．把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，-45，-15%，-112，227，2613．正数集合{ …}， 负数集合{ …}， 整数集合{ …}， 分数集合{ …}， 非负数集合{ …}5．图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗?正数集合整数集合【知识点三】数轴的概念、辩识和画法。
1．数形结合的思想：数的准确与形的直观结合。
2．定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3．数轴有三要素：原点、正方向和单位长度。
4．数轴的画法：水平直线→原点（标0）→确定方向（用箭头表示）→选取单位长度。
5．注意：画数轴时，原点的位置和单位长度的长短要根据题目的实际需要灵活确定。
6．数轴的辨识：三要素+单位长读是否统一。
●知识点四：数轴上的点与有理数的关系。
1．对应关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点并不是都表示有理数。
有理数与数轴上的点不是“一一对应”的关系。
2．数的分布：正有理数用原点右边的点表示；负数用原点左边的点表示；0用原点表示。
3．表示方法：小数最好化成分数后再在数轴上找对应点。
数轴上表示某个数时，在该数所在点的位置标一个实心的小黑圆点，再上面或者下面写上对应的数即可。
〖母题示例〗1.写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:2．下列所画的数轴中正确的是（）ABCD 3．在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1.5个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( )A.215- B.-4 C.212- D.212【知识点五】数轴与有理数的大小。
1．利用数轴可以方便快捷地比较有理数的大小。
2．正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数。
3．数轴上原点右边的点表示的数为正数；原点左边的点表示的数为负数；右边的点表示的数比左边的大。
简记为：右大左小。
4．注意：两个负数比较大小时：“表面越大”的数反而越小。
★正奇点睛：数轴的三个基本功能：仓库；排队；数形结合。
〖母题示例〗1．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小。
－121，2，3，－2.7，131，－3，02．如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A．b>a>0>c B．a<b<0＜c C．b<a<0<c D．a<b<c<0第二讲：相反数与绝对值【知识点一】相反数。
1．定义⑴代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数。
也称这两个数互为相反数。
规定：0的相反数是0。
⑵几何定义：在数轴上，如果表示两个数的点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，我们称其中的一个数是另一个数的相反数。
（互为相反数）(3)相反数的性质和求法。
2．性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0。
3．求法：按照定义直接写；联想数轴上的位置确定一个数的相反数；“计算法”：a 的相反数是－a 。
★正奇点睛：1．“+”号：还可表示“不变”、“自己”。
“-”也可表示“相反数”的意义。
2．巧用相反数“计算法”和上述解释化简“多重括号”。
3．a-b 与b-a 互为相反数； a+b 与–a-b 互为相反数。
〖母题示例〗1．求下列各数的相反数：（1）-5 （2）21 （3）0 （4）3a （5）-2b (6) a-b (7) a+2 2．判断： （1）-2是相反数 （2）-3和+3都是相反数 （3）-3是3的相反数（4）-3与+3互为相反数 （5）+3是-3的相反数（6）一个数的相反数不可能是它本身 3．化简下列各数中的符号： （1）)312(-- （2）-（+5） （3）[])7(--- （4）[]{})3(+-+-4．已知a 、b 在数轴上的位置如图所示。
（1） 在数轴上作出它们的相反数；（2） 用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。
5．如果a-5与a 互为相反数，求a.的值。
【知识点二】绝对值的概念。
1．几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做该数的绝对值。
2．代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
3．互为相反数的两个数的绝对值相等。
一个数的绝对值一定是非负数。
4．符号语言：|a|表示有理数a 的绝对值。
读做a 的绝对值。
5．绝对值的计算公式：0 (a=0)a (a ＞0)- a (a ＜0)即：︱a ︱=★正奇点睛：若|x|=x ，则x ≥0 若IxI=－x ，则x ≤0。
〖母题示例〗1．、求4、-3.5的绝对值。
2．比较-3与-6的绝对值的大小。
3．求-3、-0.4、-2的绝对值，并用“〈”号把这些绝对值连接起来。
4．计算：①2132---②23144.3-+- ③4143-÷+④2352-+-5．填空：（1）求绝对值不大于2的整数＿＿＿＿＿＿ （2）绝对值等于本身的数是＿＿＿，绝对值大于本身的数是＿＿＿＿＿．（3）绝对值不大于２.５的非负整数是＿＿＿ 6．数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数有___________________.7.若x ＜0，则|x|= ；若|x|=x ，则x 8．选择⑴绝对值最小的有理数是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.不存在⑵绝对值小于3的负数的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.无数⑶绝对值等于本身的数有（ ） A.1个 B.2个 C. 4个 D.无数个 【知识点三】两个负数大小的比较（有理数比较大小）。
1．两个正数比较大小：绝对值大的数较大。
两个负数比较大小：绝对值大的数反而小。
2．正数大于负数；负数小于0；正数大0。
3．数形结合比较法：数轴上，数所对应的点在右边的数一定大于左边的数。
4．有理数的两个重要属性：符号决定方向、目标；绝对值决定距离、数量、长度。
确定一个有理数：一定符号，二定值。
5．分类讨论要牢记：人有两性分男女，数有三性正负零。
〖母题示例〗1．比较-32与-23的大小，并说明理由． 2．用“〈”将 4，12，324-，-|-3|连接起来，并说明理由．3．在-37，-0.42，-0.43，-194中，最大的一个数是 。
4．有理数a 、b 在数轴上如图，用 > 、= 或 < 填空（1）a____b , (2) |a|___|b| , (3)–a___-b, (4)|a|___a , (5) |b|____b5．如果|x|=|-2.5|,则x=______ 6．绝对值小于3的整数有____个，其中最小的一个是____7．|-3|的相反数是 ;若|x|=8,则x= .8． 选择题（1）如果|a|=-a ，那么 （ ）A a 〉0B a ＜0C a ≥0D 0≤a（2）若一个数大于它的相反数，则这个数是 （ ）A 正数B 负数C 非负数D 非正数（3）下列判断中：（1）负数没有绝对值；（2）绝对值最小的有理数是0；（3）任何数的绝对值都是非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个第三讲：有理数的加减法【知识点一】有理数加法法则。
