有理数及其运算复习讲义精品资料

《有理数及其运算》全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．0C要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒π--a 1b2(3)9-=3(3)27-=-数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【典型例题】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．举一反三：【变式】(1)的倒数是；的相反数是；的绝对值是．-（-8）的相反数是；的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min．(4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ ．2．已知|x|=|﹣3|，则x 的值为．3．在下列两数之间填上适当的不等号：________．举一反三：【变式】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）10na⨯10a<n5210⨯321-321-321-21-=++)(323bacd2005200620062007A ．a+b＜0 B ． a ﹣b ＜0 C ． a•b＞0 D ． ＞0类型二、有理数的运算4．计算：．举一反三：【变式】计算：（1） （2）类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值． （3）转化思想：计算：举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【巩固练习】一、选择题 1．的相反数是（ ） A ．2016B ．﹣2016C ．D ．2.如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ． 点NC ． 点PD ． 点Q3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人 5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2<a16．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )12-1314-1516-A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或6 7．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba>0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ） A ．a b - B ．||||a b + C ．||||a b - D ．||a b - 二、 填空题9.计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米． 12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ． 15．()221---＝ ．16．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32016的个位数字是 ．三、 解答题 17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭（2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯-- （3）21-49.5+10.2-2-3.5+19（4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值．。

初中数学讲义有理数及其四则运算和科学记数法
龚天勇
一、知识目标：
1、正数与负数，
2、数轴、相反数、绝对值；
3、有理数
4、加减法、交换律、结合律
5、有理数的乘法与除法、倒数；交换律、结合律
6、有理数的正整数幂
7、有理数四则运算法则
8、科学记数法、近似数、有效数
二、教学过程
（一）、正数与负数
（二）、有理数
（三）、数轴
（四）、相反数
（五）、绝对值
怎样比较两个数的大小？
（六）有理数加减法
（七）、有理数加减法混合运算
（用计算器进行有理数加减法运算）
三、课堂总结
正数、负数、有理数；有理数的加减法混合运算。

计算器进行加减法运算
四，有理数的乘法运算、倒数
如果两个数的乘积为1，则称这两个数互为倒数；
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘。

五、有理数的乘方
九、科学记数法
十、近似数与有效数。

1第一章 有理数及其运算总复习一、【知识点归纳】（1）负数的应用，有理数的分类1、负数的意义：引入负数是我们实际的需要，我们通常用正、负来表示一对相反意义的量。

(1),上升1m 表示为＋1m ，则下降2m 表示为 。

生活中有很多这样的相反的量：前进－后退，向东－向西，等等。

(2),“某种机器零件规定其直径误差不得超过±0.8mm ”这是什么意思？ (3)、 和 统称为有理数。

注意：有限小数和无限循环小数都属于有理数。

例1.将下列各数填到相应的括号内： －7.2，34，－9，1.4，0，3.14，π，1245，－2.5，20％, 111 整数集合：正分数集合：非负数集合： 分数集合：例2. a 一定是正数，－a 一定是负数吗？回答并举例：（2）数轴 1、数轴的三要素： 、 、 。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

最小的正整数是 ，最大的负整数是 。

2、△相反数 特别的：0的相反数是 。

x ＋y 的相反数是（ ），a －b 的相反数是（ ）。

牢记：正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，相反数等于它本身的数是 。

3、相反数的代数意义：a>0时，－a 0； a<0时，－a 0； a ＝0时，－a 0.（a 可以代表任意有理数）相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到原点的 相等。

4、会进行符号的化简： 例：－（－2）＝ ；＋[－（＋2）]＝ ；－（x ＋y ）＝ ；特别提醒：相反数的学习对绝对值的化简至关重要。

一定要把握住相反数的本质。

△※（3）绝对值1、概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的 叫做该数的绝对值。

记作： △任何数的绝对值一定 0，即：|a| 例：|x|=3,则x ＝ 2、利用绝对值比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。

例：－45 －56， －58 －57△※5、绝对值化简：即去绝对值号。

把握一个原则：先判断绝对值号内的数的符号，再根据绝对值的代数意义来化简去绝对值号。

有理数一、有理数：整数和分数统称为有理数。

正整数（非负整数）正整数整数0正有理数负整数（非正整数）正分数有理数正分数有理数 0 负整数分数负有理数负分数负分数注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。

0既不是正数也不是负数。

二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。

1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。

2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。

4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。

正数 > 0 > 负数三、绝对值1、相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。

0的相反数是0.表示方法：a的相反数可表示为-a。

（根据相反数的意义，只改变原来的符号即可得到原来的相反数，在一个数前面加负号，即求它的相反数。

）-(-2)=2,-(+2)=-22、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作∣a∣。

a (a>0) 正数的绝对值是它本身∣a∣= 0 (a=0) 0的绝对值是0-a (a<0) 负数的绝对值是的相反数（注意：∣a∣≥ 0）3、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

四、有理数的加法同号相加，取相同符号，∣∣+∣∣。

a+0=a.绝对值不等——取∣∣大的加数的符号，∣大∣-∣小∣异号相加绝对值相等——互为相反数的两个数相加得04、加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)5、简便原则：①互为相反数的两数先相加②同号数先相加③能凑成整数(整十、整百)的数先相加④同分母的分数线相加五、有理数的减法（注意符号的改变）减法是加法的逆运算。

(加数=和-另一加数)减去一个数等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b)减法运算时，先把减号变加号，把减数变加数六、有理数的加减混合运算1、运用减法法则将有理数混合运算中的减法变加法。

有理数及其运算复习讲义小书童教育连锁机构 初一升初二时间： 2014年 月 日 姓名有理数及其运算复习讲义一 【知识回顾】（一）、负数，有理数的分类1、负数的意义:上升1m 表示为-———-，则下降2m 表示为——-—--。

2、某品牌纯净水标着505±ml ”，则这瓶纯净水最多 ml ，最少 ml 。

3、0π⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩正整数整数有理数负整数分数（有限小数和循环小数属分数，但是无限不循环小数，不是分数）4、非负数即不是负数，包括0和正数。

5、因为a 可以表示正数、0和负数，所以a 不一定是正数，－a 不一定是负数。

（二）、数轴1、数轴的三要素： ---——--、原点和单位长度。

在数轴上,右边的数总比左边的数大。

最小的正整数是 ，最大的负整数是——-——。

2、相反数：两个数只有符号不同，我们称一个是另一个的相反数。

2和－2,a 和－a ，2x y z --和2x y z -++.3、0的相反数等于它本身的数是0.两个相反数相加等于0.4、x ＋y 的相反数是--——-，a －b 的相反数是—-—5、（1)a 〉0时，－a<0； (2）a<0时，－a>0；（3)a ＝0时，－a=0。

6、表示互为相反数的两个点位于原点的-———,且到原点的 相等.7、符号的化简:－（－2）＝---;－（＋2）＝———；－（x ＋y ）＝———.（三)、绝对值1、在数轴上，一个数a 所对应的点到原点的-———叫做该数的绝对值。

记作:||a 。

任何数的绝对值一定 0，即：||0a ≥。

⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数0负有理数2、(0)||(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数3、绝对值等于它的本身的数是 ；绝对值等于它的相反数的数是—————.4、|x ｜=3,则x ＝ 。

5、两个负数，绝对值大的反而小。

有理数及其运算 复习材料一、知识梳理：⑴正数与负数：负数产生的必要性；具有相反意义的量。

⑵有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。

⑶相反数、倒数、绝对值：只有符号不同的两个数是互为相反数，a 的相反数为－a ；一个数除以1所得的商是这个数的倒数，零没有倒数；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

⑷数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

⑸有理数的大小比较：方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。

方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

⑹代数和：把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为代数和；省略加号的和的形式。

⑺去括号与添括号：去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。

添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。

⑻乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。

⑼有理数的运算法则①：有理数的加法法则：（1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2） 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；（3） 一个数同0相加，仍得这个数。

②有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

减去一个数等于加上这个数的相反数，引入相反数后，加减运算可以统一为加法运算。

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，用字母表示为：)(b a b a -+=-在此过程中有两个转化必须同时进行，即当把减号变为加号时，减数必须变为原来的相反数。

有理数的减法(一) 由34)3(47347)3(4+=--⇒⎭⎬⎫=+=-- 30)3(03303)3(0+=--⇒⎭⎬⎫=+=--)7(157158)7(158715-+=-⇒⎭⎬⎫=-+=-得到有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 )(b a b a -+=-③有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

第一章 有理数及其运算复习一、正数与负数：(三个重要的定义)1.【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。

为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

2.【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。

而负数前面的“－”号不能省略。

3.【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。

★注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。

二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。

整数包括三类：正整数、零、负整数。

分数包括两类：正分数和负分数。

按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。

三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。

2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。

初一数学培优专题讲义一有理数及其运算一、有理数的基本概念： （一）常考点，易错点：1. 字母可以表示任意有理数，不能说 a 一定是正数，-a 也不2. 相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是等于本身的数是例 2.若 ab<0, 求 — + — ^ab 的值.|a| |b| |ab|例 3. （1）如果 x v — 2,那么 |1 — |1+ x||= 相信3.互为相反数的两个数的绝对值相等。

若 —x |=| |，贝y x =2；若 |x|=| — 4|，贝y x= ；若-|x|=-|2| ，那么 x= ；若 T -x|=T 2l 那么x= 4. 互为相反数的两个数的平方相等。

如果. 5. ______ 注意乘方中括号的作用。

（一2）的底数是 是 _______ ； n 为正整数，则（一1） 2n = ______ a 2 =16，那么 a = ___________________ ； : ________ ，结果是—2n+1 ____ , (— 1) =-_ 若 x 2=（ — 2）2，贝H x= —；—32的底数是, 。

计算：，结果(1)-(2): ；(3) ；（4） (5)=6. a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数是 ；-a+b-c 的相反数是变式训练：若a v b ,则I a-b I = ,-I a-b I = （二）绝对值的化简: 7.绝对值即距离，则 a -0 8. 绝对值的代数定义用式子可表示为（a > 0）（a = 0 ） （a v 0 ） ：（体现分类讨论的思想） |a| = 9. 绝对值的非负性：（1）若 |a| = 0,则 a_____ ； (2)若 |a| = a ,贝U a (3)右 |a| = — a , (4) —l,则— |a| (5) a ：： 0 ,则 (6)若 |a|+|b|=0，则a 且b小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符 例 1. 已知:a — 1 | + ( b+1) =0,那么(a+b )号。

《有理数及其运算》全章复习与巩固【知识网络】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ．5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中1≤10a <，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．【典型例题】 类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 ． -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ． (4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ ． 【答案】（1）35-； 213； 213；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）33.7510⨯；（4）3； 2．如果(x -2)2+|y -3|＝0，那么(2x -y )2005的值为( )．A ．1B ．-1C ．22006D ．32005【思路点拨】利用非负数的性质，求出y ,x 的值再代入计算．【答案】A【解析】 因为(x -2)2，|y -3|都是非负数，且(x -2)2+|y -3|＝0， 所以由非负数的性质先求出x=2， y =3的值，代入得： (2x -y )2005=12005=1．【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性．3．在下列两数之间填上适当的不等号：20052006________20062007． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】解法一：作差法由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007< 解法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006=+>+=所以2005200620062007< 举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0.001； (2)23-________-0.68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算4．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =×60﹣×60﹣×60 =10﹣25﹣8=﹣23（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭ 12705633012540=-++-+ 1121403912040=-+=举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯- （2）()20064261031-+--⨯- 【答案】解：（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15 类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x |＝5，|y |＝3．求x -y 的值．（3）转化思想：计算：3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x |＝5，所以x 为-5或5因为|y |＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x -y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x -y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x -y ＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 ．拔高：类型一、有理数相关概念7．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y|+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0．②|a|就是a与-a中较大的数．③|a|就是数轴上a到原点的距离．④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A ．120B ．-15C ．0D ．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4680000，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】64.6810⨯．8． 在下列两数之间填上适当的不等号： 99100-________100101-． 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下，根据“1a b >，1a b =，1a b <分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小． 【答案】 ＞【解析】解法一：作差法：99100--（100101-） =99100991011001001010010110110010100-⨯+⨯-+==>⨯， ∴99100100101->-． 解法二：作商法：由于99100991019999110010110010010000÷=⨯=<，所以99100100101<． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：99100100101->-． 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．1111111-_________111111111-． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）类型二、有理数的运算9．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯ 【答案与解析】 解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=- （3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=- （4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-= （5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-举一反三： 【变式】 （1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- （2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 【答案】 解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- 251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯ 20(3)3=-- 2033=-+ 123=（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯ 5951()()942817224=-⨯++=- 10．先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算： 1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值． 【答案与解析】 解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯= 【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算． 举一反三：【变式】用简单方法计算： 120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯类型三、数学思想在本章中的应用11．（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A．2b+a B．2b-a C．a D．b（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小．（3）转化思想：1 (999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭．【答案与解析】解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时， |a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．类型四、规律探索12．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是()．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A 【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）A ．1132B ．1360C ．1495D ．1660【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．【巩固练习】 一、选择题 1．下列判断正确的个数有( )(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等．(2)若两个有理数互为相反数，则这两个数互为倒数．(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列各数中最大的是( )．A ．23B ．-32C ．(-3)2D ．(-2)33． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a ，2a ,a 1从小到大排列正确的是（ ）A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a16．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么-3克表示_____.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米． 12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x .13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．15．()221---＝ ．16．观察下列算式：23451=+⨯ ，24462=+⨯，25473=+⨯，24846⨯+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：250___________=+⨯.三、 解答题17．计算： （1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ （2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab -c -d )+|ab+3|的值．19．某地的气象观测资料表明，高度每增加1km ，气温大约下降6℃，若该地地面温度为18℃，高空某处气温为-48℃，求此处的高度．20．先观察下列各式： 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A2．【答案】C【解析】只有A 、C 两项的结果为正，只要比较23、(-3)2的大小即可．由23＝8，(-3)2＝9，可知：(-3)2最大．3．【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，)511(-+4．【答案】D5．【答案】C【解析】由-1<a<0可知2a 为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜a 1，所以a ＞a 1，所以a1<a< a 2．6．【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17．【答案】D【解析】由图可知，a 、b 异号，且b 的绝对值较大．8.【答案】D【解析】按正负对a ，b 分类讨论．二、填空题9．【答案】低于标准质量3克10．【答案】水位无变化11．【答案】1.02×1014 12．【答案】7,7±± 13．【答案】1-a【解析】由图可知：a-1＜0，所以 │a-1│=-（a-1）=1- a14．【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；15．【答案】-5【解析】()221415---=--=-16．【答案】 24852450⨯+=【解析】观察可得规律为：2(4)4(2)n n n ⨯++=+ 三、解答题17．【解析】解： (1) 原式14929(6)9=-+⨯+-÷ 4918(6)949185485=-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8(4) 原式＝322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得：2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119．【解析】解：18(48)116km --=则此高空比地面高11km，又地面高度应为0，所以此高空处的高度为11 km．20．【解析】解：原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。