圆周角定理与圆内接图形圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．6. 圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦． 7. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 8. 圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角模块一 圆周角定理【例1】 若O e 的一条弧所对的圆周60︒，则这条弧所对的圆心角是（ ）A ．30︒B ．60︒ Ｃ．120︒Ｄ．以上答案都不对【答案】Ｃ【例2】 如图，BC 是圆O 的弦，圆周角50ABC ∠=︒,则OCA ∠的度数是_______BCAO【答案】40︒【例3】 如图，O e 正方形ABCD 的外接圆，点P 在O e 上，则APB ∠等于（ ）自检自查必考点中考必做题OP DCBAA ．30︒B ．45︒C ．55︒D ．60︒ 【答案】45︒【例4】 如图，点C 在O e 上，将圆心角AOB ∠绕点O 按逆时针方向旋转到''A OB ∠,旋转角为α，（0α︒<<180︒）．若30AOB ∠=︒,'40BCA ∠=︒,则α∠=_______OA'BA【答案】110︒【例5】 如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦。
第2章对称图形——圆2.4 第2课时特殊的圆周角知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( ) A．80° B．60° C．50° D．40°图2－4－15图2－4－162．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )A．50° B．40° C．45° D．60°3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.图2－4－17图2－4－184．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．图2－4－19知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )A.10 cm B．5 cm C．6 cm D图2－4－20图2－4－217．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．图2－4－229．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.图2－4－23图2－4－2410．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．图2－4－25图2－4－2612．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②CB 平分∠ABD；③∠AOC ＝∠AEC；④AF＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．13．如图2－4－27，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD∥BC，OD 与AC 交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图2－4－2714．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－4－2815．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.(1)∠E的度数为________；(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．图2－4－291．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C .2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ABD ＝∠ACD＝40°，∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠AC B ＝90°. 4．805．解：如图，连接BC ，则∠ADC＝∠B.∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝40°.∵∠CEB ＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．138．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°， ∴△APE 是等腰直角三角形．(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.在△APC 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAP ＝∠BAE，AP ＝AE ，∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°，∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠C，BD ＝DC ， 即BC ＝2DC.∵∠DAE ＝∠DBE，∠ADE ＝∠ABE，∴∠DEC ＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C， ∴DE ＝DC ，∴BC ＝2DE. 10．C [解析] 连接BD. ∵D 是AC ︵的中点，即CD ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB ＝90°－25°＝65°. 11.5 2212．①②④⑥13．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝20°. 又∵OD∥BC，∴∠AOD ＝∠B＝70°. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO＝12(180°－∠AOD)＝55°，∴∠CAD ＝∠DAO－∠CAB＝35°. (2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝7. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠A CB ＝90°， 即OE⊥AC，∴AE ＝EC. 又∵OA＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72.∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. 14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即AC⊥BC.又∵CD＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D. (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∴BC ＝1＋7.∵∠B ＝∠E，∠B ＝∠D， ∴∠D ＝∠E， ∴CD ＝CE. ∵CD ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋7.15． (1)如图①，连接OD ，OC ，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DBC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°.(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.(3)如图③，连接OD，OC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝∠BED＝60°.第2章对称图形——圆图2－Y －11．[2017·徐州] 如图2－Y －1，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB＝( ) A ．28° B ．54° C ．18° D ．36°2．[2017·宿迁] 若将半径为12 cm 的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm3．[2016·南京] 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )A ．1B . 3C ．2D ．2 3图2－Y －24．[2017·苏州] 如图2－Y －2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵，连接OE ，过点E 作EF⊥OE，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( )A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°5．[2017·南京] 过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( )A ．(4，176)B ．(4，3)C ．(5，176) D ．(5，3)6．[2017·连云港] 如图2－Y －3所示，一动点从半径为2的⊙O 上的点A 0出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从点A 2出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处……按此规律运动到点A 2017处，则点A 2017与点A 0之间的距离是( )A ．4B ．2 3C ．2D ．0图2－Y －3图2－Y －47．[2017·扬州] 如图2－Y －4，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO.若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.8．[2016·南京] 如图2－Y －5，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB 上一点，则∠ACB ＝________°.图2－Y －5图2－Y －69．[2017·镇江] 如图2－Y －6，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.10．[2016·泰州] 如图2－Y －7，⊙O 的半径为2，点A ，C 在⊙O 上，线段BD 经过圆心O ，∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．图2－Y －7图2－Y －811．[2017·盐城] 如图2－Y －8，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AMB ︵上，点D 在AB ︵上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.12. [2016·南通] 已知：如图2－Y －9，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，过⊙O 上一点B 作BD⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB.(1)求∠AOB 的度数；(2)若⊙O的半径为2 cm，求线段CD的长．图2－Y－913．[2017·淮安] 如图2－Y－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O 为圆心，OA长为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF＝BF，EF与AC交于点C.(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．图2－Y－1014．[2016·宿迁] 如图2－Y－11①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．图2－Y－1115．[2017·盐城] 如图2－Y－12，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y 轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A，D的坐标分别为(0，－1)，(2，0)，求⊙F的半径；(3)试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．图2－Y－12详解详析1．D [解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.故选D.2．D 3.B4．C [解析] 连接OD .∵∠ACB ＝90°，∠A ＝56°，∴∠B ＝34°.在⊙O 中，∵CE ︵＝CD ︵， ∴∠COE ＝∠COD ＝2∠B ＝68°.又∵OE ⊥EF ，∠OCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠F ＝112°.故选C.5．A [解析] 根据题意，可知线段AB 的垂直平分线为直线x ＝4，所以圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知r 2＝22＋(5－2－r )2，解得r ＝136，因此圆心的纵坐标为5－136＝176，因此圆心的坐标为(4，176)．6．A [解析] 如图所示，当动点运动到点A 6处时，与点A 0重合，2017÷6＝336……1，即点A 2017与点A 1重合，点A 2017与点A 0之间的距离即A 0A 1的长度，为⊙O 的直径，故点A 2017与点A 0之间的距离是4，因此选A.7．50 [解析] 根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC ，便有∠AOC ＝2∠B ＝80°，再由OA ＝OC ，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC ＝50°.8．1199．120 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AO ，即∠CAO ＝90°.∵∠CAD ＝30°，∴∠DAO ＝60°，∴∠BOD ＝2∠DAO ＝120°.故答案为120.10.5π3 [解析] 如图，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝2.∵∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD＝3，∴OD ＝1，BO ＝3，∴S △ABO ＝S △ODC ，∠AOB ＝30°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ＝180°－60°＋30°＝150°，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝150π×22360＝5π3.故答案为5π3.11．110 [解析] 如图，设点D ′是点D 折叠前的位置，连接AD ′，BD ′，则∠ADB ＝∠D ′.在圆内接四边形ACBD ′中，∠ACB ＋∠D ′＝180°，所以∠D ′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB ＝110°.12．解：(1) ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠COB .∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AM . 又BD ⊥AM ，∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB . 又∵OC ＝OB, ∴∠OCB ＝∠B ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠COB ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.(2)过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由(1)得△OBC 为等边三角形． ∵⊙O 的半径为2 cm ，∴BC ＝2 cm ，∴CE ＝12BC ＝1 cm.由已知易得四边形AOED 为矩形， ∴ED ＝OA ＝2 cm ， 则CD ＝ED －CE ＝1 cm.13．解：(1)直线EF 与⊙O 相切． 理由：如图所示，连接OE . ∵EF ＝BF ，∴∠B ＝∠BEF . ∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠AEO ＋∠BEF ＝90°， ∴∠OEG ＝90°，∴OE ⊥EF ， ∴直线EF 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接ED .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°. ∵∠A ＝30°，∴∠ADE ＝60°.又∵OE ＝OD ，∴△ODE 是等边三角形． ∴∠DOE ＝60°.由(1)知∠OEG ＝90°， ∴∠OGE ＝30°.在Rt △OEG 中，OG ＝2OE ＝2OA ＝4，∴EG ＝OG 2－OE 2＝2 3，∴S △OEG ＝12OE ·EG ＝12×2×2 3＝2 3，S 扇形OED ＝60360×π×22＝23π，∴S阴影＝S△OEG－S扇形OED＝2 3－23π.14．解：(1)证明：如图，连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，∴∠ABC＝∠CAD.∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°－∠AED.∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD，∴∠EAD＝90°－∠CAD，即∠EAD＋∠CAD＝90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABC＋∠ADB＝90°.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴4∠ABC＝90°，∴∠ABC＝22.5°，由(1)知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.15．解：(1)证明：如图，连接EF.∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠EAC.∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，∴∠EAC＝∠FEA，∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠C.∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，即EF⊥BC.又∵EF是⊙F的半径，∴BC是⊙F的切线．(2)如图，连接DF.∵A (0，－1)，D (2，0)， ∴OA ＝1，OD ＝2.设⊙F 的半径是r ，则FD ＝r ，OF ＝r －1. ∵OD ⊥OF ，∴OF 2＋OD 2＝FD 2，即(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝2.5， ∴⊙F 的半径是2.5. (3)2CD ＋AD ＝AG .证明：如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H . ∵F 是圆心，FH ⊥AC ， ∴AH ＝DH ＝12AD ，∠FHD ＝90°.∵∠BEF ＝∠C ＝90°，∴∠CEF ＝90°， ∴四边形CEFH 是矩形，∴CH ＝EF . ∵AG 是⊙F 的直径，∴EF ＝12AG ，∴CH ＝12AG .∵AD ＋CD ＝AC ＝AH ＋CH ， ∴AD ＋CD ＝12AD ＋12AG ，∴2CD ＋AD ＝AG .。
