圆周角练习题.doc

圆周角定理专题练习1.在圆周角定理中，已知∠CBO=45°，∠CAO=15°，求∠AOB的度数。

答案：B.60°。

2.在平面直角坐标系中，已知⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，），C（，6），求⊙A的半径。

答案：C.5.3.在圆周角定理中，已知点A,B,C在⊙O上，且∠A=50°，求∠BOC的度数。

答案：A.130°。

4.已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，求∠BCD的度数。

答案：A.116°。

5.已知圆心角∠BOC=78°，求圆周角∠BAC的度数。

答案：A.156°。

6.在圆周角定理中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，求∠XXX的度数。

答案：D.20°。

7.在圆周角定理中，已知AB是半圆的直径，点D是AC 的中点，∠ABC=50°，求∠DAB的度数。

答案：XXX°。

8.在圆周角定理中，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，求∠XXX的度数。

答案：D.40°。

9.已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，求⊙O的半径。

答案：B.5.10.在圆周角定理中，已知DC是⊙O直径，XXX⊥CD于F，连接BC，DB，判断下列结论错误的是：答案：B.AF=XXX。

11.在圆周角定理中，已知点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，求AE的长。

答案：B.5.12.在圆周角定理中，已知点A、B、C在⊙O上，且∠C=30°，求∠AOB的度数。

答案：XXX°。

13.在圆周角定理中，已知⊙O中∠BAC=∠CDA=20°，求∠ABO的度数。

答案：B.70°。

圆周角定理练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是它所对弧的中心角的度数的多少？A. 1/2B. 1/3C. 2倍D. 3倍2. 在圆中，如果一个圆周角的度数是30°，那么它所对的弧的中心角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°3. 已知圆的半径为5，圆周角为40°，求该圆周角所对的弦长。

A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题4. 若圆周角α的度数为60°，则它所对的弧的中心角的度数为______。

5. 在圆中，如果圆周角的度数是中心角度数的一半，那么该圆周角所对的弧长是半径的______倍。

6. 已知圆的半径为r，圆周角为θ，根据圆周角定理，该圆周角所对的弦长为______。

三、判断题7. 圆周角定理只适用于圆的内部角。

（对/错）8. 如果一个圆周角的度数是90°，那么它所对的弧的中心角的度数是180°。

（对/错）9. 圆周角定理同样适用于圆的外部角。

（对/错）四、简答题10. 解释圆周角定理的含义，并给出一个实际应用的例子。

11. 如何利用圆周角定理计算圆内接四边形的对角线长度？五、计算题12. 在半径为10的圆中，有一个圆周角为60°，求该圆周角所对的弧长。

13. 已知圆的半径为8，圆周角为120°，求该圆周角所对的弦长。

14. 一个圆周角的度数是45°，求它所对的弧的中心角的度数，并计算该圆周角所对的弦长，如果圆的半径为15。

六、证明题15. 证明：如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角的度数也相等。

16. 证明：在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧长也相等。

七、应用题17. 在一个半径为7的圆中，有一个圆周角为80°，求该圆周角所对的弦长，并计算该弦所对的圆心角的度数。

18. 如果在一个圆中，有一个圆周角的度数是圆心角度数的1/3，求这个圆周角的度数，如果圆心角的度数是120°。

圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。

初中数学试卷桑水出品24.1.4 圆周角5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C( )2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有A.5对B.6对C.7对D.8对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2=∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.答案：D3.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半思路解析：本题考查圆周角的定义.答案：D4.(2010东北师大附中月考)如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=度.图24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.答案：90°10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.(山东济南模拟)如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A.30°B.60°C.15°D.20°图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答.答案：C2.(2010南京建邺一模)如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A.75°B.60°C.45°D.30°思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3.(重庆模拟)如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.思路解析：连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.答案：50°4.(经典回放)在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.思路解析：如图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD，连结BD，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.(1) (2)答案：15°或75°5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论.图24-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当∠BAP=∠CAQ时，△ABC是等腰三角形.证明：如图，作出△ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连结DB、CE，由∠BAP=∠CAQ，得弧BD=弧CE.从而弧BDE=弧CED，所以BD=CE，∠CBD=∠BCE.又BP=CQ，则△BPD≌△CQE，这时∠D=∠E，由此弧AB=弧AC，故AB=AC,即△ABC是等腰三角形.快乐时光某足球队队员添了一个小孩,所有队友被邀请参加洗礼,来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落,守门员果断地扑出,在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼,守门员习惯地拍了两下,接着熟练地大脚开出.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.图24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt △ACB 中，BC=22AC AB -=22610-=8.∵CD 平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt △ADB 中，AD=BD=22AB=52(cm). 2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图24-1-4-9思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B 符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A 和C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案:B3.(辽宁大连模拟)如图24-1-4-9，A 、C 、B 是⊙O 上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC 的度数是( )A.10°B.20°C.40°D.80°思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B4.如图24-1-4-10(1)，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E.(1)求证：△DOE 是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2)，若∠A=60°，AB ≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图24-1-4-10思路分析：△ABC 是等边三角形，所以∠B 、∠C 均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB 、△EOC 均为等边三角形.第二种情形类似.（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD 和△OEC 都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE 为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB ≠AC 时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE 为等边三角形.5.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图24-1-4-11，求BD 的长.图24-1-4-11思路分析：由AB=AC=AD=a 可以得到点B 、C 、D 在以A 为圆心，以a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.解：∵AB=AC=AD=a ，∴点B 、C 、D 到A 点距离相等.故以A 为圆心，以a 为半径作⊙A ，并延长BA 交⊙A 于E ，连结DE.∵AB ∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE 为⊙A 的直径，∴∠EDB=90°.在Rt △EDB 中，BD=22DE BE -=224b a -，∴BD 的长为224b a -.6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？图24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图24-1-4-13思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于F，连结FB.∵∠AFB=∠θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.∵∠E=θ，∠ABD＞∠E，∴∠ADB＞θ.由（1）（2）知，在航标灯A 、B 所在直线北侧，在圆弧弧APB 外任一点对A 、B 的视角都小于θ;在圆弧弧APB 上任一点对A 、B 的视角都等于θ;在圆弧弧APB 内任一点对A 、B 的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.8.(湖北恩施自治州课改区模拟)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14(1)所示：图24-1-4-14∵∠AOC 是△ABO 的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,即∠ABC=21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果∠ABC 的两边都不经过圆心,结论∠ABC=21∠AOC 仍然成立. (1)对图(2)的情况,连结BO 并延长交圆O 于点D, 由题图(1)知:∠ABD=21∠AOD, ∠CBD=21∠COD. ∴∠ABD+∠CBD=21∠AOD+21∠COD, 即∠ABC=21∠AOC. (2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.9.(经典回放)如图24-1-4-15所示，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC ⊥OD ；(2)求OD 的长；(3)若∠A=30°，求⊙O 的直径.图24-1-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.（1）证明:∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°.∵OD ∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC ⊥OD.（2）解:∵OD ∥BC ，又∵O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD=21BC=21×4=2（cm ）. （3）解:∵∠A=30°，在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=21AB. ∴AB=2BC=8（cm ）,即⊙O 的直径是8 cm.10.(经典回放)如图24-1-4-16所示，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2=__________. 思路解析：∠1所对的弧是弧AE ，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE ＋弧BE=弧AB 是半圆，因此连结AD ，∠ADB 的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA 和∠EOB,而∠EOA ＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°，这是圆周角定理的直接应用.答案：90°图24-1-4-16 图24-1-4-1711.(经典回放)如图24-1-4-17所示，AB 为⊙O 的直径，P 、Q 、R 、S 为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A.∠APB 为锐角B.∠AQB 为直角C.∠ARB 为钝角D.∠ASB ＜∠ARB思路解析：AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB 、∠AQB 、∠ARB 、∠ASB 都是直角.由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.答案：B。

圆周角习题精选阶段测试一、选择题1．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．[ ] A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．2．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．[ ]A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．3．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥C D．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．[ ]A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．二、计算题4．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠AB C．求AC的长．5．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，∠BCD=75°（如图）．求∠ABD、∠DBC的度数．6．如图，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．7．如图，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC，以AB为直径的圆交AC、BD与点E、D，连接DE，1、求角EDC的度数2、证明：BD=BC8．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．9．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．10．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，的度数为60°，∠B=105°，⊙O的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD的长．26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数．28．如图，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长．30．如图，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．31．如图，⊙O 的半径为40cm ，CD 是弦，A 为的中点，弦AB 交CD 于F ．若AF =20cm ，BF =40cm ，求O 点到弦CD 的弦心距．32．如图，四边形ABCD 内接于以AD 为直径的圆O ，且AD =4cm ，AB =CB =1cm ，求CD 的长．三、证明题33．如图，已知△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，A 为锐角． 求证：ABCsin =2R34．已知：如图，在△ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE =DE ．35．如图，已知D为等边三角形ABC外接圆上的上的一点，AD交BC边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．36．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC 的中点．37．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OA D．38．已知：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E 两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．39．已知：如图，圆内接四边形ABCD中，BC=C D．求证：AB·AD+BC2=AC2．40．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．41．如图，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EO A．42．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．43．已知：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AE D．44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．46．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O 于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．径AC与⊙O2交于点（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．49．如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD是⊙O的直径，且D 点在AB上．参考答案一、选择题1．D 2．D 3．D 4．D二、计算题DE⊥直线OB于E，∠DOE=30°，应用勾股定理求出BD的长．8．9 cm或4 cm．提示：连接AC，B C．由AB为直径可知∠ACB=90°．又CD⊥AB 于D，所以CD2=AD·BD，即CD2=AD·（AB－AD）．又AB=13，CD=6，所以36=AD （13－AD），AD2－13AD+36=0，解出AD=9（cm）或AD=4（cm）．11．50°．提示：延长DF，DG分别交⊙O于C'，E'，因为∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB，所以∠CFA=∠C'FA，∠EGB=∠E'G B．因为AB为⊙O的直径，所以根据轴对称图形的性质可知为100°，就有∠FDG=50°．又因为∠DAB=∠ABC=90°．所以AC和BD为⊙O的直径．所以△APC与△BPD为直角三角形．所以PA2+ PC2= AC2，PB2+PD2=BD2，就有PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4．知BC//A D．所以AC=B D．又AD为直径，所以∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2R，AB=a，所以15．提示：根据圆周角度量定理有：（∠A+∠B）的度数=m°，（∠B+∠C）的度数=n°，（∠C+∠A）的度数=p°．由前面三个等式得：16．75°．提示：由BC，DF分别为⊙O的直径，可得∠A=∠DEF=90°．又AB=AC，所以∠ABC=45°．在Rt△DEF中，由EF=是240°，∠DBE=120°．所以∠ABD+∠CBE=120°－45°=75°．17．50°，50°，80°．提示：连接AD，则AD平分∠A．于D，则AD=CD，∠AOD=DO C．由∠B=60°可得∠OAD=30°．所解法二过A作直径AD，连接CD，则∠ACD=90°，∠ADC=∠ABC=60°；又知AC=3，这就容易求出A D．=90°，所以BE2=AB2－AE2=82－22=60．又因为BF∶FC=5∶1，故设BF=5x，FC=x，则BC=6x．因为EF⊥BC，所以BE2=BF·BC，解法二连接BE，则BE⊥AC，所以BE2=82－22=60．在直角三角形BCE中ABC外接圆于E，连接CE，则AD⊥BC，BD=CD=5．由垂径定理知：AE为△ABC外接圆的直径，所以∠ACE=90°．在Rt△ADC中，AD=23．0.8 cm．提示：只需证明△ABE∽△BDE．CE．26．60°．提示：连接OC，B C．只需证明△OCB为等边三角形，则∠ABC=60°，而∠ACB=90°，所以∠CAB=30°，即可求出∠ACE=60°．27．76°．提示：延长BC交⊙C于E，连接DE，只需证明∠28．2.4 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙O4.8．所以⊙O的半径为2.4（cm）．30．7∶1．提示：连接H D．只需证明△CKO∽△CDH．所以31．25 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙OCD，OM就是CD的弦心距．只需证明△AMF∽△ABE，由此得32．3.5cm．提示：解法一连接OB交弦AC于G．连接B D．只需证明△ABG∽△DA B．由此求出AG，进而求出OG，而CD=2OG．解法二设AB的延长线与DC的延长线相交于点E，在△BCE和△OAB中，∠BCE=∠OAB，∠EBC=∠D=2∠ADB=∠BO A．所以△BCE∽△OAB，从而BC∶CE=OA∶A B．所以CE=三、证明题33．提示：作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，且∠A=∠D．在34．提示：只需证明∠BDE=∠DBE．证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论．35．提示：连接B D．只需证明△ABE∽△AD B．36．提示：连接A D．37．提示：证法一延长AO交⊙O于M，延长AD交⊙O于N．连证法二过A作直径AM，连接MB，则∠AMB=∠ACB，又∠ABM=∠ADC=直角，所以∠BAM=∠DAC，从而AE平分∠OA D．·GF=BF·AF．再根据射影定理得DF2=AF·FB，所以DF2=HF·GF．39．提示：连接BD交AC于E．只需证明△BEC∽△ABC∽△AC·AE=AC（AC－EC）=AC2－AC·E C．40．提示：连接A D．由AB为直径得∠ADB=90°．再由DE⊥∠ADE，∴AF=DF．这就容易证出AF=FG．41．提示：∠AEO=（∠BEO）=∠FEP，∠OAE=（∠AOC－∠AEO=∠APB－∠FEP）=∠F．42．提示：连接M B．因为AB是⊙O的直径，所以∠AMB=∠从而∠AMD=∠FM C．43．提示：连接B C．因为AB为⊙O直径，所以∠ACB=90°．因为CD⊥AB于D，所以AC2=AD·A B．又因为AE=AC，所以△ADE，就有∠AED=∠ABE=∠ACF．44．提示：连接AD，AE，应用三角形外角定理，先证明∠AFG=AF·AG=DF·GE，就有AF2=AG2=DF·GE．45．提示：先证明△ABC≌△AED，连接BF，则∠G=∠ADF－∠GAB=∠ACB－∠GFB=∠AFG，所以AF=AG．46．提示：设⊙O的半径长为1．连接M D．显然△CAE∽△OF．47．（1）提示：在△ADE中，∠ADE=60°，∠DEA=∠DCA=60°．所以△ADE是一个等边三角形．48．（1）提示：连接BD，B C．因为⊙O1与⊙O2是等圆，又因为E为DC中点，所以BE⊥A C．所以AD=6，DC=4，所以DE=2，AE=8．因为AC为⊙O1直径，所以∠ABC=90°，又因为BE⊥AC，所以AB2=AE·AC=80，得出AB=49．（1）提示：连接E D．因为AD为直径，所以∠AED=90°．又ACB=90°，CD⊥AB，所以AC2=AD·AB，BC2=AB·BD，由此（2）2∶1．提示：AE∶CE=AD2∶CD2=2∶1．。

《圆周角定理》练习题一．选择题（共16 小题）1．如图， A、 B、 C三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°2．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30° B ．35°C．40°D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B．2C．3D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠ BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，已知在⊙ O中，点 A，B，C 均在圆上，∠AOB=80°，则∠ ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B ．40°C．30°D．20°7．如图，CD是⊙ O的直径，A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC的度数为） A ．40°B．50° C ．60°D．70°8．如图， AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B ．60° C ．65° D ．70°第7题图第8题图第9题图9．如图， AB是⊙ O的直径， C， D 为圆上两点，∠ AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°10．如图，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2D．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 211．如图，AB是半圆 O的直径，∠BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A ．30°B．45°C．60°D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中， OA⊥ BC，∠ AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°13．在⊙ O中，点 A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦A B所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°14．以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ ACB的角均分线CD交⊙ O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°15．已知如图，AB是⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°第 10题图第11题图第12题图16．如图， AB是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共8 小题）17．如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，则∠EOD等于．第 17题图第18题图第19题图18．如图，点A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点C 是劣弧 AB上不与 A、 B 重合的任意一点，则∠ C=°．19．在⊙ O中，弦 AB=2cm，∠ ACB=30°，则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙ O中弦 AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．第 20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ ABC的底边 BC的长为 4cm，以腰 AB为直径的⊙ O交 BC于点 D，交 AC于点E，则 DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题（共16 小题）25． 28．如图， AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上的点， AC=6cm，BC=8cm，∠ ACB的均分线交⊙O 于点 D，求 AB和 BD的长．26．如图，已知 CD是⊙ O的直径，弦 AB⊥ CD，垂足为点 M，点 P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ ABC的形状，并说明你的原由．27、如图，△ ABC的高 AD、 BE订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．28．已知：如图， AB为⊙ O的直径， AB=AC，BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．29．如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙ O的半径．30．如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB于点 D，点 C是弧 AF 的中点，连接AF 交 CD于点 E，连接 BC交 AF 于点G．（1）求证： AE=CE；．31．如图，△ ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分线交外接圆于D， DE⊥ AB于 E， DM⊥ AC于 M．（1）求证： BE=CM．（2）求证： AB﹣ AC=2BE．32．如图， OA是⊙ 0 的半径，以OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB 订交于点D．求证： AD=BD．33．如图，已知： AB是⊙ O的弦， D为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C， DM均分∠ CDO．求证：M 是弧 AB的中点．34．如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足， CE是直径，求证：∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．36．已知 AB为⊙ O的直径，弦BE=DE，AD， BE 的延长线交于点C，求证： AC=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．41．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点 E， G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图， AB是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥ AB垂足为 E， AC分别与 DE、 DB订交于点 F、 G，则 AF 与 FG可否相等？为什么？43．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB 交于点 D，求证： D 是 AB的中点．44．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°， D 是 AB 的中点，以 DC为直径的⊙ O交△ ABC的边于G，F，E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．45．如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥ AC垂足为 P，DH⊥ BH垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．《圆周角定理》 22参照答案与试题解析一．选择题（共16 小题）1．（ 2012? 呼伦贝尔）如图，A、B、C 三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠ BAC的度数是（）A．152°B．76° C ．38° D ．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠ BAC，又∵∠ BOC=76°，∴∠ A=76°×=38°．应选 C．2．（ 2015? 眉山）如图，⊙O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠ B 的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵ OA=OC，∠ ACO=45°，∴∠ OAC=45°，∴∠ AOC=180°﹣ 45°﹣ 45°=90°，∴∠ B=∠ AOC=45°．应选 D．3．（ 2010 秋 ? 海淀区校级期末）如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B． 2C．3D．4【解答】解：∠ 1 和∠ 3 吻合圆周角的定义，∠2极点不在圆周上，∠4的一边不和圆订交，故图中圆周角有∠ 1 和∠ 3 两个．应选 B．4．（ 2015? 珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【解答】解：∵在⊙ O中，直径CD垂直于弦AB，∴= ，∴∠ DOB=2∠C=50°．应选： D．5．（ 1997? 陕西）如图，已知在⊙O中，点 A， B， C均在圆上，∠ AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°【解答】解：设点 E 是优弧∵∠ AOB=80°C．145°D．150°AB上的一点，连接EA， EB∴∠ E=∠AOB=40°∴∠ ACB=180°﹣∠ E=140°．应选： B．6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【解答】解：连接OP，可得∠ MAP= ∠ MOP，∠ NBP= ∠ NOP，∵MN为直径，∴∠ MOP+∠NBP=180°，∴∠ MAP+∠NBP=90°，∵∠ PBN=50°，∴∠ MAP=90°﹣∠ PBN=40°．应选 B．7．（ 2007? 太原）如图，CD是⊙ O的直径， A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC 的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ ABD=20°∴∠ C=∠ABD=20°∵CD是⊙ O的直径∴∠ CAD=90°∴∠ ADC=90°﹣ 20°=70°．应选 D．8．（ 2013? 苏州）如图，AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．应选 C．9．（2009? 枣庄）如图，AB是⊙ O的直径， C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°【解答】解：∵∠ AOC=130°，∴∠ BOC=50°，∴∠ D=∠BOC=25°．应选A．10．（ 2013 秋 ? 沙洋县校级月考）如图，∠1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2 D ．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠ 1=∠ 3=∠ 5=∠ 6，依照三角形的外角的性质得：∠ 5＞∠ 4，∠ 2＞∠ 6，∴∠ 4＜∠ 1=∠3＜∠ 2，应选 B．11．（ 2012 秋 ? 天津期末）如图，AB 是半圆 O的直径，∠ BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：连接BC，∵AB 是半圆的直径∴∠ ACB=90°∵∠ BAC=60°，∴∠ ABC=90°﹣∠ BAC=30°，∴∠ D=∠ABC=30°．应选 A．12．（ 2009? 塘沽区二模）如图，在⊙ O中，OA⊥ BC，∠AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．50°【解答】解：∵ OA⊥BC，∠ AOC=50°，∴，∴∠ ADB= ∠AOC=25°．应选 C．13．（ 2012 秋 ? 宜兴市校级期中）在⊙对的圆周角是（）A．42° B ．84° C．42°或 138°O中，点D．84°或A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦 96°AB所【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，∴∠ ACB=∠ AOB=×84°=42°，∴∠ ADB=180°﹣∠ ACB=138°．∴弦 AB所对的圆周角是： 42°或138°．应选 C．14．（ 2011? 南岸区一模）以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ACB的角均分线CD交⊙O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙ O中， AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∵CD是∠ ACB的角均分线，∴= ，∴AD=BD，∴△ ABD是等腰直角三角形，∴∠ ABD=45°．应选 C．15．（ 2015 秋 ? 合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠ CBA的度数为（）A．60° B．50° C． 40° D．30°【解答】解：连接AC，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∵∠ A=∠CDB=40°，∴∠ CBA=90°﹣∠ A=50°．应选 B．16．（ 2013? 万州区校级模拟）如图，AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ BAD=30°，∴=60°，∵AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∴= =60°，∴=180°﹣ 60°=120°，∴∠ AEC==×120°=60°．应选 C．二．填空题（共8 小题）17．（ 2016? 大冶市模拟）如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF的中点 G，∠ DCF=20°，则∠ EOD 等于 40° ．【解答】解：∵⊙ O的直径 CD过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，∴弧 DF=弧 DE，且弧的度数是40°，∴∠ DOE=40°，答案为 40°．18．（ 2015? 历城区二模）如图， AB是半圆的直径，点 D是弧 AC的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB的度数是 65° ．【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．故答案为65°．19．（ 2013 秋 ? 滨湖区校级期末）如图，点 A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点 C 是劣弧 AB 上不与 A、B 重合的任意一点，则∠ C= 130 °．【解答】解：在优弧AB上取点 D，连接 AD、 BD，如图，∴∠ D=∠ AOB=×100°=50°，∵∠ D+∠C=180°，∴∠ C=180°﹣ 50°=130°．故答案为130．20．（ 2008 秋? 苏州校级期中）球员甲带球冲到 A 点时，伙伴乙已经助攻冲到 B 点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解：连接OC．依照圆周角定理，得∠PCQ=∠B，PCQ＞∠ A，依照三角形的外角的性质，得∠则∠ B＞∠ A．故答案为第二种．21．（ 2015? 黄岛区校级模拟）在⊙ O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙ O的直径为4cm．【解答】解：连接OA， OB，∵∠ ACB=30°，∴∠ AOB=60°，∴△ AOB是等边三角形，∴O A=OB=AB=2cm，∴⊙ O的直径=4cm．故答案为：4．22．（ 2014 春? 海盐县校级期末）如图，⊙O中弦 AB 等于半径 R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．【解答】解：连接OA、 OB，∠ APB和∠ AP′B为弦 AB所对的圆周角，如图，∵弦 AB等于半径R，∴△ OAB为等边三角形，∴∠ AOB=60°，∴∠ APB= ∠AOB=30°，∴∠ AP′B=180°﹣∠ APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．故答案为60°；是 30°或 150°．23．（ 2012? 义乌市模拟）如图，等腰△BC于点 D，交 AC于点 E，则 DE的长为ABC的底边2 cm．BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交【解答】解：连接AD，∵∠ DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠ DEC=∠B，又等腰△ ABC， BC为底边，∴A B=AC，∴∠ B=∠ C，∴∠ DEC=∠C，∴D E=DC，∵AB 为圆 O的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∴BD=CD= BC，又 BC=4cm，∴D E=2cm．故答案为： 224．（ 2012 秋? 哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设 AP与圆的交点是C，连接 CQ；则∠ PCQ＞∠ A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠ B；因此∠ B＞∠ A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：第二．三．解答题（共16 小题）25．（ 2009? 沈阳模拟）如图，△ ABC的高 AD、BE 订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．【解答】证明：∵∠ C=∠ G，△ ABC的高 AD、 BE，∴∠ C+∠DAC=90°，∠ AHE+∠DAC=90°，∴∠ C=∠ AHE，∵∠ AHE=∠BHG=∠ C，∴∠ G=∠ BHG，∴BH=BG，又∵ AD⊥ BC，∴HD=DG．26．（ 2013 秋 ? 虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙ O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的原由．【解答】解：△ ABC为等边三角形．原由以下：∵AB⊥ CD，CD为⊙ O的直径，∴弧 AC=弧 BC，∴AC=BC，又∵∠ BPC=∠A=60°，∴△ ABC为等边三角形．27．（ 2013 秋 ? 耒阳市校级期末）已知：如图，AB为⊙ O的直径， AB=AC， BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．【解答】（ 1）解：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠C，∵∠ BAC=40°，∴∠ C=（180°﹣40°）=70°，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ EBC=90°﹣∠ C=20°；证明：连接AD，如图，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∴AD⊥ BC，而AB=AC，∴BD=DC．28．（ 2014 秋 ? 高密市期中）如图， AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上的点， AC=6cm， BC=8cm，∠ACB的均分线交⊙ O于点 D，求 AB和 BD的长．【解答】解：如图，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∠ ADB=90°．∴AB===10（ cm）．∵A C=6cm，BC=8cm，∵C D是∠ ACB的均分线，∴∠ ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴B D= AB=5 cm．综上所述， AB和 BD的长分别是10cm， 5cm．29．（ 2013 秋? 宜兴市校级期中）如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连接 BD，如图，∵CD为直径，∴∠ CBD=90°，∵∠ D=∠A=30°，∴C D=2BC=2× 3=6，∴⊙ O的半径为 3cm．30．（ 2010 秋 ? 瑞安市校级月考）如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接 AF交 CD于点 E，连接 BC交 AF于点 G．（1）求： AE=CE；（2）已知 AG=10， ED： AD=3：4，求 AC的．【解答】（ 1）明：∵点 C 是弧 AF 的中点，∴∠ B=∠ CAE，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，即∠ ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥ AB，∴∠ B+∠BCD=90°，∴∠ B=∠ CAE=∠ ACE，∴A E=CE⋯（ 6 分）（2）解：∵∠ ACB=90°，∴∠ CAE+∠CGA=90°，又∵∠ ACE+∠BCD=90°，∴∠ CGA=∠BCD，∵A G=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3： 4，∴A D=4， DE=3，∴AC=⋯（ 10 分）．31．（ 2015 秋 ? 中市期中）如，△ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分交外接于D， DE ⊥AB 于 E，DM⊥ AC于 M．（1）求： BE=CM．（2）求： AB AC=2BE．【解答】证明：（ 1）连接 BD，DC，∵AD均分∠ BAC，∴∠ BAD=∠CAD，∴弧 BD=弧 CD，∴BD=CD，∵∠ BAD=∠CAD， DE⊥ AB， DM⊥ AC，∵∠ M=∠DEB=90°， DE=DM，在 Rt △ DEB和 Rt △ DMC中，，∴R t △ DEB≌ Rt △ DMC（ HL），∴B E=CM．（2）∵ DE⊥ AB， DM⊥AC，∵∠ M=∠DEA=90°，在 Rt △ DEA和 Rt △ DMA中∴R t △ DEA≌ Rt △ DMA（ HL），∴A E=AM，∴A B﹣ AC，=AE+BE﹣ AC，=AM+BE﹣ AC，=AC+CM+BE﹣ AC，=BE+CM，=2BE．32．（ 2013? 宁夏模拟）如图， OA是⊙ 0 的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB订交于点D．求证： AD=BD．【解答】证明：连接OD，如图，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ADO=90°，∴OD⊥ AB，∴AD=BD．33．（ 2011 秋 ? 宁波期中）如图，已知：AB是⊙ O的弦， D 为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C，DM 均分∠ CDO．求证： M是弧 AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM，∴∠ ODM=∠OMD，∵DM均分∠ ODC，∴∠ ODM=∠CDM，∴∠ CDM=∠OMD，∴CD∥ OM，∵CD⊥ AB，∴OM⊥ AB，∴弧 AM=弧 BM，即点 M为劣弧 AB 的中点．34．（2009 秋 ? 哈尔滨校级期中）如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足，CE是直径，求证：∠ ACD=∠ BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠ EAC=90°，∴∠ ACE=90°﹣∠ AEC，∵CD是高， D 是垂足，∴∠ BCD=90°﹣∠ B，∵∠ B=∠ AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ ACE=∠BCD，∴∠ ACE+∠ECD=∠ BCD+∠ ECD，∴∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．【解答】证明：∵ AE是⊙ O的直径，∴∠ ABE=90°，∴∠ E+∠BAE=90°，∵A F⊥ BC于 D，∴∠ FAC+∠ACB=90°，∵∠ E=∠ ACB，∴∠ BAE=∠FAC，∴弧 BE=弧 CF，∴B E=CF．36．（ 2015 秋 ? 哈尔滨校级期中）已知 AB为⊙ O的直径，弦 BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证： AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ AEB=∠AEC=90°，∵弦 BE=DE，∴= ，∴∠ DAE=∠BAE，∵∠ C=90°﹣∠ DAE，∠ B=90°﹣∠ BAE，∴∠ B=∠ C，∴A C=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？【解答】解： AD和 BF相等．原由：如图，连接 AC、 BC，∵OC⊥ AB，∴∠ BOC=90°∴∠ BDC=∠BAC=45°∵EC⊥ CD，∴∠ DCE=∠ACB=90°，∴△ DCF和△ ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC， AC=BC，∵∠ DCA+∠ACF=∠ BCF+∠ACF=90°，∴∠ DCA=∠FCB在△ ACD和△ BCF中，{ ，∴△ ACD≌△ BCF∴D A=BF．38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．【解答】证明：连接AD， AE，∵AB 是直径． AB⊥ DE，∴AB 均分 DE，弧 ACE=弧 AD，∴∠ ACD=∠ADE，∵A、 C、 E、 D四点共圆，∴∠ FCE=∠ADE，∴∠ FCE=∠ACD，∴∠ FCE+∠DCE=∠ DAC+∠ ECD，∴∠ FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．【解答】解：延长 CE交⊙ O于 M，∵AD是⊙ O的直径，作CE⊥ AD，∴弧 AC=弧 AM，∴∠ ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．【解答】解：△ DBC为等腰三角形．原由以下：∵AD为△ ABC的外角均分线，∴∠ EAD=∠DAC，∵∠ EAD=∠DCB，∠ DBC=∠ DAC，∴∠ DBC=∠DCB，∴△ DBC为等腰三角形．一．解答题（共 6 小题）1．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠ FGC与∠ AGD相等．原由以下：连接 AD，如图，∵CD⊥ AB，∴= ，∴∠ AGD=∠ADC，∵∠ FGC=∠ADC，∴∠ FGC=∠AGD2．如图， AB 是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥AB垂足为 E，AC分别与DE、 DB订交于点 F、G，则 AF与 FG可否相等？为什么？【解答】解： AF=FG，原由是：连接AD，∵AB 是直径， DE⊥ AB，∴∠ ADB=∠DEB=90°，∴∠ ADE=∠ABD，∵D 为弧 AC中点，∴∠ DAC=∠ABD，∴∠ ADE=∠DAC，∴A F=DF，∠ FAE=∠ DAC，∴D F=FG，∴A F=FG．3．如图， AB为⊙ O的直径，以 OA为直径作⊙ C， AD为⊙ O的弦，交⊙ C 于 E，试问，当 D 点在⊙ O上运动时（不与 A 重合）， AE与 ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解： AE=ED．原由：连接OE，∵AO是⊙ C的直径，∴∠ OEA=90°，∴OE⊥ AD，∵OE过圆 O的圆心 O，∴A E=ED．4．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB交于点 D，求证： D 是 AB的中点．【解答】证明：连接OD，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ODA=90°，即OD⊥ AB，∴D 是 AB的中点．5．（ 2007? 鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB的中点，以DC为直径的⊙ O 交△ ABC的边于 G， F， E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．【解答】证明一：（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D 是AB的中点，∴BD=DC= AB，（ 2 分）∵DC是⊙ O的直径，∴D F⊥ BC，（ 4 分）∴B F=FC，即 F 是 BC的中点；（5 分）（2）∵D，F 分别是AB，BC的中点，∴DF∥ AC，（ 6 分）∴∠ A=∠ BDF，（ 7 分）∵∠ BDF=∠GEF（圆周角定理），（ 8 分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）证明二：（1）连接 DF， DE，∵DC是⊙ O直径，∴∠ DEC=∠DFC=90°．（ 1分）∵∠ ECF=90°，∴四边形 DECF是矩形．∴E F=CD， DF=EC．（2 分）∵D 是 AB的中点，∠ ACB=90°，∴E F=CD=BD= AB．（ 3 分）∴△ DBF≌△ EFC．（4 分）∴BF=FC，即 F 是 BC的中点．（5 分）（2）∵△ DBF≌△ EFC，∴∠ BDF=∠FEC，∠ B=∠ EFC．（ 6 分）∵∠ ACB=90°（也可证AB∥ EF，得∠ A=∠ FEC），∴∠ A=∠ FEC．（ 7 分）∵∠ FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）（此题证法很多，大纲卷参照答案中，又给出了两种不同样的证法，可供参照．）6．（ 2000? 兰州）如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥AC垂足为 P，DH⊥BH 垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．【解答】证明：（ 1）在△ DHC与△ DPC中，∵∠ DCH=∠DCA， DP⊥ AC， DH⊥ BH， DC为公共边，∴△ DHC≌△ DPC，∴CH=CP．（2）连接 DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠ DBH，∵△ DHC≌△ DPC，∴DH=DP，∵DP⊥ AC，DH⊥ BH，∴∠ DHB=∠DPC=90°，∴△ DAP≌△ DBH，∴A P=BH．。

圆周角定理练习题一、选择题1. 在圆中，若弦AB的长是8cm，弦CD的长是6cm，且AB与CD 平行，则圆周角ACB的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在半径为5cm的圆中，若一个圆周角所对的弧长是10π cm，则这个圆周角的度数是（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°3. 下列关于圆周角的说法，错误的是（）A. 圆周角等于其所对弧的一半B. 同弧或等弧所对的圆周角相等C. 圆周角定理是圆内接四边形的性质D. 圆周角等于圆心角的一半二、填空题1. 在圆中，若一个圆周角是40°，则它所对的弧是______。

2. 在圆中，若一个圆心角是80°，则它所对的圆周角是______。

3. 在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的______相等。

三、解答题1. 在圆中，已知弦AB的长是10cm，弦CD的长是8cm，且AB与CD平行。

求圆周角ACB和CDB的度数。

2. 在半径为6cm的圆中，已知一个圆周角是120°，求它所对的弧长。

3. 在圆中，已知一个圆周角是60°，求它所对的圆心角的度数。

4. 证明：在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等。

5. 画出圆，并在圆中作出一个圆周角和一个圆心角，使它们相等。

标出角的大小。

四、判断题1. 在同一个圆中，所有的圆周角都相等。

（）2. 如果一个圆周角是直角，那么它所对的弧一定是半圆。

（）3. 圆周角定理表明，圆周角的度数是圆心角度数的一半。

（）4. 任何圆的直径所对的圆周角都是直角。

（）5. 如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角一定相等。

（）五、作图题1. 在圆中，作一个圆周角，使其度数为45°，并标出它所对的弧。

2. 在圆中，作一个圆心角，使其度数为135°，并标出它所对的圆周角。

AD 9题C B A 《圆周角》练习题一 1.已知⊙O 的半径OA=4，弦AB=4 2 ，则∠AOB 的度数为 ，∠OAB 的度数为 。

2.已知⊙O 的半径OA=6，弦AB 、AC 的长分别为6、6 3 ，则∠CAB 的度数为 。

3.半径为13cm 的⊙O 中，弦AB=24cm, 弦CD=10cm,A B ∥CD,则AB 、CD 间距离为 。

4.如图,已知点E 为⊙O 的点,B 、C 分别为劣弧 的三等分点,∠BOC=46°,则∠AED 的度数为 .5.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，A O ∥BC ，∠OAC=20°，则∠AOB 的度数为 。

6.如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=54°，则∠DCF 的度数为 。

7.如图，点A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠ABO 的度数为 。

8.如图，BD 为⊙O 的直径，∠A=20°，则∠CBD 的度数为 。

9.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，⑴若∠C=30°，AB=4cm ，则⊙O 的半径为 ；⑵若⊙O 的半径为3cm, ∠C=45°, 则AB= ；⑶若sinB= 23，AC=4，则⊙O 的半径为 。

10.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠B=∠OAC ，OA=8cm,则AC 的长度为 。

11.如图，OB 、OC 为⊙O 的半径，A 为⊙O 上一点，若∠B=20°，∠C=30°，则∠BOC 的度数为 。

12.如图，⊙O 在正方形网格中，则∠AED 的正弦值为 。

13.如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则∠ACB 的度数为 .14.如图，已知⊙O 的弦AC 、BD 交于点E ，点A 为 上一动点，当点A 的位置在 时， △ABE ∽△ACB 。

15.如图，AB 为半圆O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，⑴若CD=3，AB=4，则cos ∠BPC= ；⑵若∠A=60°，CD=2，则直径AB= ；⑶若S △PCD ∶S △PAB = 3∶4，则∠A 的度数为 。

1. 2. 《圆周角定理》练习题.选择题（共16小题） 如图，A 、B 、C 三点在O O 上，若/ BOC=76A . 152 °B . 76 如图，O O 是厶ABC A . 30° B . 35° C . 38°D . 14° 的外接圆，/ ACO=45 ° C . 40° D . 45° 。

，则/ BAC 的度数是（ 则/ B 的度数为（ 第2题图 如图，在图中标出的 4个角中，圆周角有（ A . 1 B . 2C . 3D . 4 4. 如图，在O O 中，直径 CD 垂直于弦AB ，若/ A . 25°B . 30 °C . 40° 3.)个. C=25 °D . 5. 如图，已知在O O 中，点A , B,C 均在圆上，/ AOB=80 B . 140 ° C .则/ BOD 的度数是（ 50° °则/ ACB 等于（ )A . 130°OS 06.如图，A . 507. 如图， A . 40 第4题图 MN 是O O 的直径, B . 40°CD 是O O 的直径， B . 50° &如图, 是半圆的直径, AB 第5题图/ PBN=50 °,贝 C . 30°第6题图 MAP 等于（ ）D . 20°A 、B 是O O 上的两点，若/ ABD=20 °则/ ADC C . 60°D . 70 点 D 是•「的中点，/ ABC=50C .65°D . 70° ，则/ DAB 等于（ 的度数为）9. 如图，AB 是O O 的直径，C , D 为圆上两点，/ AOC=130 °则/ D 等于( A . 25°B . 30°C . 3510. 如图，/ 1、/ 2、/ 3、/ 4的大小关系是A . / 4</ 1 </ 2</ 3 C ./4</ 1 </3/211 .如图，AB 是半圆O 的直径， A . 30° B . 45°12 . 如图，在O O 中， OA 丄 BC , / AOC=50 ° 贝9/ ADB 的度数为（ ）A . 15°B . 20°C . 25 °D . 50° 13 . 在O O 中, 点A 、 B 在O O 上，且/ AOB=84 ° 则弦 AB 所对的圆周角是（ ）A . 42°B . 84°C . 42°或 138°D . 84 °或 96°14 .如图所示， 在O O 中，AB 是O O 的直径，/ ACB 的角平分线 CD 交O O 于 D ,则/ ABD的度数等于（ )A . 90°B .60°C . 45°D .30°15 . 已知如图， AB 是O O 的直径， CD 是O O 的弦， / CDB=40 °, 则/ CBA 的度数为（4<Z 1 = / 3<Z 2 4<Z 1<Z 3= /2）B . / D . / / BAC=60 ° D 是半圆上任意一点，那么/ D 的度数是（）16.如图,AB A . 30°是圆的直径， B .AB 丄 CD ，/ BAD=30C . 60°贝AEC D . B第12题图的度数等于（ 70°8小题）二.填空题（共 17.如图，O O 的直径CD 经过弦EF 的中点G ，/DCF=20 °,则/ EOD 等于DBo第11题图第12题图DB50°C. 40°D. 30 °A . 60° B.21. 如图，等腰△ ABC 的底边BC 的长为4cm ，以腰AB 为直径的O O 交BC 于点D ,交 AC 于点E ,贝U DE 的长为 _____ cm . 22.如图，在 世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同 样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到C 点•有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二 种是甲将球传给乙，由乙射门•第三种是甲将球传给丙，由丙射门•仅从射门角度考虑， 应选择 ____ 种射门方式. 三•解答题（共16小题）25. 28.如图，AB 是O O 的直径，C 是O O 上的点，AC=6cm , BC=8cm ，/ ACB 的平分 线交O O 于点D ，求AB 和BD 的长.26. 如图，已知 CD 是O O 的直径，弦 AB 丄CD ，垂足为点 M ，点P 是八上一点，且/ BPC=60 °试判断△ ABC 的形状，并说明你的理由.第19题图18. 占 八、第17题图 第18题图如图，点 A 、B 在O O 上，/ AOB=100 °点C 是劣弧 AB 上不与A 、B 重合的任意 则/ C=在O O 中，弦AB=2cm ，/ ACB=30 °则O O 的直径为_ 如图，O O 中弦AB 等于半径R ,则这条弦所对的圆心角是cm .—，圆周角是C第21题图Q3第20题图pB第22题图BB27、如图，△ ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G,连接BG . 求证：HD=GD .28. 已知：如图，AB为O O的直径，AB=AC , BC交O O于点D , AC交O O于点E./BAC=40 °(1) 求/ EBC的度数;(2) 求证：BD=CD .29. 如图，△ ABC是O O的内接三角形，/ A=30 °, BC=3cm .求O O的半径.B 30. 如图，AB是O O的直径，过圆上一点C作CD丄AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.(1)求证：AE=CE ;.31. 如图，△ ABC中，AB > AC,/ BAC的平分线交外接圆于于M .(1)求证：BE=CM .(2)求证：AB - AC=2BE .32. 如图，0A是O 0的半径，以OA为直径的O C与O 0的弦AB相交于点 D .求证：AD=BD .33. 如图，已知： AB 是O O 的弦，D 为O O 上一点, 证：M 是弧AB 的中点.35.已知：如图， AE 是O O 的直径，AF 丄BC 于D ，证明：BE=CF .34.如图，△ ABC 的三个顶点都在O O 上，CD 是高, D 是垂足，CE 是直径，求证：/ ACD=BDC 丄AB 于C , DM 平分/ CDO .求BCD5三ODBE36.已知AB 为O O 的直径，弦 BE=DE , AD , BE 的延长线交于点 C ,求证：AC=ABC37.如图，AB 是圆O 的直径，OC 丄AB ，交O O 于点C , D 是弧AC 上一点，E 是AB 上 一点，EC 丄CD ，交BD 于点F .问：AD 与BF 相等吗？为什么？38. 如图，AB是O O的直径，AC、DE是O O的两条弦，且于点DE丄AB，延长AC、DE相交F，求证：/ FCD= / ACE .39. 如图，已知O O是厶ABC的外接圆，AD是O O的直径，作CE丄AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F.试分析/ ACF与/ ABC是否相等，并说明理由.40. 如图，△ ABC内接于O O, AD ABC的外角平分线，交O O于点D,连接BD , CD , 判断△ DBC的形状，并说明理由.EDB<?41.如图，AB是O O的直径，弦CD丄AB，垂足为点E, G是「'上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F,/ FGC与/ AGD的大小有什么关系？为什么？42.如图，AB是圆0的直径，C是圆0上一点，D是弧AC中点，DE丄AB垂足为E, AC 分别与DE、DB相交于点F、G,则AF与FG是否相等？为什么？43. 如图，0A是O 0的半径，以0A为直径的O C与O 0的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点.44. 如图，在△ ABC中，/ ACB=90 ° D是AB的中点，以边于DC为直径的O O交厶ABC的G , F, E点.求证：(1) F是BC的中点；(2)/ A= / GEF.45. 如图，圆内接四边形ABCD的外角/ DCH= / DCA , DP I AC垂足为P, DH丄BH垂足为H，求证：CH=CP, AP=BH .《圆周角定理》2222222222参考答案与试题解析一•选择题（共16小题）1. （2012?呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在O O上，若/ BOC=76 °则/ BAC的度数是（）A. 152°B. 76°C. 38°D. 14°【解答】解：•••；'所对的圆心角是/ BOC，圆周角是/ BAC ,又•••/ BOC=76 °•••/ A=76 °X—=38 ° 故选C.2. （2015?眉山）如图，O O是厶ABC的外接圆，/ ACO=45 °则/ B的度数为（）CA. 30°B. 35°C. 40 °D. 45°【解答】解：I OA=OC，/ ACO=45 °•••/ OAC=45 °•••/ AOC=180 °- 45 °- 45°90 °•••/ B= - / AOC=45 °故选D .3. （2010秋？海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个.D . 4【解答】解： /1和/3符合圆周角的定义,/ 2顶点不在圆周上,/ 4的一边不和圆相交，故图中圆周角有/ 1和/ 3两个.故选B .4. （ 2015?珠海）如图，在O O 中，直径CD 垂直于弦 AB ，若/ C=25 °则/ BOD 的度数是 （ ）40 ° D . 50°【解答】解：•••在O O 中，直径CD 垂直于弦AB , •••二匸 11,•••/ DOB=2 / C=50 ° 故选：D .5. （ 1997?陕西）如图，已知在O O 中，点 A , B , C 均在圆上，/ AOB=80 °则/ ACB 等•••/ AOB=80 ° •••/ E= 1 / AOB=40 ° 2•••/ ACB=180 °-Z E=140°故选：B .C . 145D . 150 °【解答】解：设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA , EBA . 130°B . 140A . 40°B . 50°C . 60°D . 70【解答】解：vZ ABD=20 °• Z C=Z ABD=20 °v CD 是O O 的直径• Z CAD=90 ° 6.如图，MN 是O O 的直径，/ PBN=50 °则/ MAP 等于（） 可得/ MAP= 1 / MOP ，/ NBP=— / NOP ,2 2 •/ MN 为直径，•••/ MOP + Z NBP=180 °•••/ MAP+Z NBP=90 °vZ PBN=50 °• Z MAP=90 °-Z PBN=40 ° 故选B .7. （2007?太原）如图，CD 是O O 的直径，A 、B 是O O 上的两点, 若Z ABD=20 ° 贝UZ ADCA . 50°B . 40°C . 30°D . 20°【解答】解：连接OP ,•••/ ADC=90 ° - 20 °70 ° 故选D .& （ 2013?苏州）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是AC 的中点，/ ABC=50 °则/ DAB 等于•••点D 是；的中点，即弧 CD=弧AD , •••/ ABD= / CBD , 而/ ABC=50 °•••/ ABD= X 50°25 ° 2•/ AB 是半圆的直径，•••/ ADB=90 °•••/ DAB=90 ° - 25 °65 ° 故选C .【解答】 解：•••/ AOC=130° •••/ BOC=50 ° •••/。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（ ）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°， 故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ， 由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π． 故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°． 故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4， 故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。