圆周角练习题

九年级下册数学练习题——圆周角（1）（1）在⊙O中，如果弦AB所对的圆周角为70°，那么劣弧AB所对的圆心角是（）A．140° B．70° C．35° D．145°（2）如图,已知AB和CD是⊙O中两条相交的直径,联结AD、CB，那么α和β的关系是（）（3）如图，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD等于（）A.16° B．32° C．48° D．64°（4）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD=110°，则∠BCD等于( )A．110° B.90° C.70° D.20°（5）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对（6）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠=︒A50，则∠DCE等于（）A. 40︒B. 50︒C. 70︒D. 130︒(7)．已知：如图，∠APC=∠CPB= 60.△ABC 是 三角形.(8). 已知:如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝80°，求∠BAD和∠BCD 的度数.(9)．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，∠BOC=120°．求：∠ABO 的度数.（10）．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，已知AB=6cm ，BD=2cm ，BE=2.4cm ．求DE 的长．（2）1、如图1，AB为⊙O的直径，点C、D、E均在⊙O上，则∠1+∠2=2、如图2，A、B、C为⊙O上的三点，∠ABO=65°，∠BCA=3、如图3，∠ADB=90°，∠C=30°，则∠ABD=4、如图4，A、B、C、D四点共圆，则图中相等的圆周角共有对5、如图5，∠ACB=60°，则∠AEB= ,∠AOB=6、如图6，AB为⊙O直径，∠BAC=20°，则∠D= °7、如图7，四边形ABCD为⊙O内接四边形，∠BOD=140°，则∠BCD=8、圆内接平行四边形一定是9、弦AB分圆周为1:5两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为10、如图8，AB为⊙O直径，∠D=130°，则∠BAC=11、RT⊿ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm,则它的外接圆的圆心与顶点C的距离为12、点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是13、点A（a,1）和点B（5，b）关于原点对称，则a+b=14、一个点到圆上的点的最大距离是13，最小距离是7，则圆的直径是14、圆O中，弦AB=6，O到AB距离是4，则圆O半径是15、圆O直径为10，弦AB=8，P为AB上一动点，则OP的取值范围是16、如图9，圆O中，弦AB=10，OE⊥弦AP于E，OF⊥弦BP于F，则EF=17、如图10，⊙O中，∠AOB=100°，则∠C=18、如图11，AB为⊙O直径，∠CAB=25°，则∠D=19、如图12，⊿ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4，则⊙O直径为二、⊙O半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E。

圆周角练习题（一）选择1．圆周角是24°，则它所对的弧是[ ]A．12°；B．24°；C．36°；D．48°．2．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是[ ]A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．3．如图7－45，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有[ ]A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．4．如图7－46，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=[ ]A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．（二）计算角形外接圆半径长及各锐角的正切值．6．如图7－47，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠ABC．求AC 的长．7．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°（见图7－48）．求BD的长．8．如图7－49，半圆的直径AB=13cm，C是半圆上一点，CD⊥AB于D，并且CD=6cm．求AD的长．9．如图7－50，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．10．已知：如图7－51，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=a．求DE的长．11．如图7－52，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小．12．如图7－53，⊙O的内接正方形ABCD边长为1，P为圆周上与A，B，C，D不重合的任意点．求PA2＋PB2＋PC2＋PD2的值．13．如图7－54，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB 为半径作⊙A交AD，BC于E，F两14．如图7－55，⊙O的半径为R，弦AB=a，弦BC∥OA，求AC的长．15．如图7－56，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA的平，p°，求△ABC的三个内角．16．如图7－57，在⊙O中，BC，DF为直径，A，E为⊙O17．如图7－58，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC，以数．18．如图7－59，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．19．如图7－60，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．20．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1（见图7－61）．求CE的长．21．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图7－62，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图7－63，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．为60°，∠B=105°，⊙O的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图7－65，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD ⊥AB于E．求CD的长．26．如图7－66，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB 的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图7－67，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，28．如图7－68，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（图7－69），求EF的长．30．如图7－70，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．弦AB交CD于F．若AF=20cm，BF=40cm，求O点到弦CD的弦心距．32．如图7－72，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长．（三）证明33．如图7－73，已知△ABC内接于半径为R的⊙O，A为锐34．已知：如图7－74，在△ABC中，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．点，AD交BC边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．36．已知：如图7－76，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC的中点．37．已知：如图7-77，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC 交⊙O于E．求证：AE平分∠OAD．38．已知：如图7-78，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．39．已知：如图7-79，圆内接四边形ABCD中，BC=CD．求证：AB·AD+BC2=AC2．40．已知：如图7-80，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是41．如图7-81，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB 交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EOA．42．已知：如图7-82，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M43．已知：如图7-83，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AED．44．如图7-84，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图7-85，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．46．已知：如图7-86，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图7-87，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图7-88，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．49．如图7-89，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD是⊙O 的直径，且D点在AB上．。

圆心角圆周角练习题圆心角和圆周角是圆内角的一种特殊形式，它们在几何学中具有重要的地位。

本文将介绍关于圆心角和圆周角的一些练习题，帮助读者加深对这一概念的理解。

一、选择题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是：A. 圆心角大于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角小于对应的圆周角2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为56°，则对应的圆周角的度数为：A. 56°B. 112°C. 224°3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为72°，则弧AB所对应的圆周角的度数为：A. 72°B. 144°C. 288°5. 在同一个圆中，圆心角和对应的弧所对应的圆周角之间的关系是：A. 圆心角小于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角大于对应的圆周角二、填空题1. 在同一圆中，一条弧的度数等于其所对应的圆周角的度数，则这条弧所对应的圆心角的度数为________。

2. 在圆O中，已知∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为________。

3. 在同一个圆中，圆心角的度数等于所对应的弧所对应的圆周角的度数，则该弧所对应的圆周角的度数为________。

三、解答题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是什么？为什么？2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为60°，则对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。

3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。

4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为90°，则弧AB所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。

总结：本文通过选择题、填空题和解答题的形式，对圆心角和圆周角的概念进行了练习和探讨。

24.1.4 圆周角学习目标1. 理解圆周角的概念.2. 掌握圆周角定理及其推论.3. 理解圆内接四边形的性质，探究四点共圆时的性质.课堂学习检测一、填空题1. 在圆上，并且角的两边都的角叫做圆周角.2. 一条弧所对的圆周角等于圆心角的 .3. 所对的圆周角 .4. 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 .5. 圆内接四边形的对角 .̂的中点，则图中与∠BAC相等的角有6. 如图, 在⊙O中, 若点 C 是BD.二、选择题7. 如图, OA是⊙O的半径, 弦BC⊥OA, D 是⊙O上一点, 且点 D 在优弧BC 上. 若∠ADB =28°, 则∠AOC的度数为 ( ).(A) 14° (B) 28° (C) 56° (D) 84°综合·运用·诊断一、填空题8. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦. 若∠ACD =65°, 则∠BAD的度数为9. 如图, 点 B, C, D 在⊙O 上. 若∠BCD =130°, 则∠BOD 的度数为 .10. 如图, A, B, C是⊙O上的三点, 且四边形OABC是菱形. 若点 D 是圆上异于A, B, C 的另一点, 则∠ADC的度数是 .二、选择题11. 如图, 点A, B, C, D, E均在⊙O上, 且AC为⊙O的直径, 则∠A+∠B+∠C的度数为( ).(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°̂分成相等的三段弧，点P 在AĈ上. 若点Q在12. 如图, AB是⊙O的直径, 点C, D将ABAB̂上且∠APQ=115°,则点 Q所在的弧是 ( ).̂(B)PĈ(C)CD̂(D)DB̂(A)AP三、解答题.13. 如图, A, B, C, D四个点都在⊙O上, AD是⊙O的直径且AD=6cm,∠ABC=∠CAD.(1) 求弦AC的长;(2) 求∠CAD的度数.14. 如图, ⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点 D.求证：∠ACD=∠BCE.拓展·探究·思考15. 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求AD的长.16. 如图, AB是⊙O的直径, 弦(CD⊥AB,E是⌢AC上一点, AE, DC的延长线交于点 F.求证：∠AED=∠CEF.。

《圆周角定理》练习题一．选择题（共16 小题）1．如图， A、 B、 C三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°2．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30° B ．35°C．40°D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B．2C．3D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠ BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，已知在⊙ O中，点 A，B，C 均在圆上，∠AOB=80°，则∠ ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B ．40°C．30°D．20°7．如图，CD是⊙ O的直径，A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC的度数为） A ．40°B．50° C ．60°D．70°8．如图， AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B ．60° C ．65° D ．70°第7题图第8题图第9题图9．如图， AB是⊙ O的直径， C， D 为圆上两点，∠ AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°10．如图，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2D．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 211．如图，AB是半圆 O的直径，∠BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A ．30°B．45°C．60°D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中， OA⊥ BC，∠ AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°13．在⊙ O中，点 A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦A B所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°14．以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ ACB的角均分线CD交⊙ O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°15．已知如图，AB是⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°第 10题图第11题图第12题图16．如图， AB是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共8 小题）17．如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，则∠EOD等于．第 17题图第18题图第19题图18．如图，点A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点C 是劣弧 AB上不与 A、 B 重合的任意一点，则∠ C=°．19．在⊙ O中，弦 AB=2cm，∠ ACB=30°，则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙ O中弦 AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．第 20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ ABC的底边 BC的长为 4cm，以腰 AB为直径的⊙ O交 BC于点 D，交 AC于点E，则 DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题（共16 小题）25． 28．如图， AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上的点， AC=6cm，BC=8cm，∠ ACB的均分线交⊙O 于点 D，求 AB和 BD的长．26．如图，已知 CD是⊙ O的直径，弦 AB⊥ CD，垂足为点 M，点 P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ ABC的形状，并说明你的原由．27、如图，△ ABC的高 AD、 BE订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．28．已知：如图， AB为⊙ O的直径， AB=AC，BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．29．如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙ O的半径．30．如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB于点 D，点 C是弧 AF 的中点，连接AF 交 CD于点 E，连接 BC交 AF 于点G．（1）求证： AE=CE；．31．如图，△ ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分线交外接圆于D， DE⊥ AB于 E， DM⊥ AC于 M．（1）求证： BE=CM．（2）求证： AB﹣ AC=2BE．32．如图， OA是⊙ 0 的半径，以OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB 订交于点D．求证： AD=BD．33．如图，已知： AB是⊙ O的弦， D为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C， DM均分∠ CDO．求证：M 是弧 AB的中点．34．如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足， CE是直径，求证：∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．36．已知 AB为⊙ O的直径，弦BE=DE，AD， BE 的延长线交于点C，求证： AC=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．41．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点 E， G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图， AB是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥ AB垂足为 E， AC分别与 DE、 DB订交于点 F、 G，则 AF 与 FG可否相等？为什么？43．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB 交于点 D，求证： D 是 AB的中点．44．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°， D 是 AB 的中点，以 DC为直径的⊙ O交△ ABC的边于G，F，E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．45．如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥ AC垂足为 P，DH⊥ BH垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．《圆周角定理》 22参照答案与试题解析一．选择题（共16 小题）1．（ 2012? 呼伦贝尔）如图，A、B、C 三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠ BAC的度数是（）A．152°B．76° C ．38° D ．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠ BAC，又∵∠ BOC=76°，∴∠ A=76°×=38°．应选 C．2．（ 2015? 眉山）如图，⊙O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠ B 的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵ OA=OC，∠ ACO=45°，∴∠ OAC=45°，∴∠ AOC=180°﹣ 45°﹣ 45°=90°，∴∠ B=∠ AOC=45°．应选 D．3．（ 2010 秋 ? 海淀区校级期末）如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B． 2C．3D．4【解答】解：∠ 1 和∠ 3 吻合圆周角的定义，∠2极点不在圆周上，∠4的一边不和圆订交，故图中圆周角有∠ 1 和∠ 3 两个．应选 B．4．（ 2015? 珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【解答】解：∵在⊙ O中，直径CD垂直于弦AB，∴= ，∴∠ DOB=2∠C=50°．应选： D．5．（ 1997? 陕西）如图，已知在⊙O中，点 A， B， C均在圆上，∠ AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°【解答】解：设点 E 是优弧∵∠ AOB=80°C．145°D．150°AB上的一点，连接EA， EB∴∠ E=∠AOB=40°∴∠ ACB=180°﹣∠ E=140°．应选： B．6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【解答】解：连接OP，可得∠ MAP= ∠ MOP，∠ NBP= ∠ NOP，∵MN为直径，∴∠ MOP+∠NBP=180°，∴∠ MAP+∠NBP=90°，∵∠ PBN=50°，∴∠ MAP=90°﹣∠ PBN=40°．应选 B．7．（ 2007? 太原）如图，CD是⊙ O的直径， A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC 的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ ABD=20°∴∠ C=∠ABD=20°∵CD是⊙ O的直径∴∠ CAD=90°∴∠ ADC=90°﹣ 20°=70°．应选 D．8．（ 2013? 苏州）如图，AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．应选 C．9．（2009? 枣庄）如图，AB是⊙ O的直径， C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°【解答】解：∵∠ AOC=130°，∴∠ BOC=50°，∴∠ D=∠BOC=25°．应选A．10．（ 2013 秋 ? 沙洋县校级月考）如图，∠1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2 D ．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠ 1=∠ 3=∠ 5=∠ 6，依照三角形的外角的性质得：∠ 5＞∠ 4，∠ 2＞∠ 6，∴∠ 4＜∠ 1=∠3＜∠ 2，应选 B．11．（ 2012 秋 ? 天津期末）如图，AB 是半圆 O的直径，∠ BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：连接BC，∵AB 是半圆的直径∴∠ ACB=90°∵∠ BAC=60°，∴∠ ABC=90°﹣∠ BAC=30°，∴∠ D=∠ABC=30°．应选 A．12．（ 2009? 塘沽区二模）如图，在⊙ O中，OA⊥ BC，∠AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．50°【解答】解：∵ OA⊥BC，∠ AOC=50°，∴，∴∠ ADB= ∠AOC=25°．应选 C．13．（ 2012 秋 ? 宜兴市校级期中）在⊙对的圆周角是（）A．42° B ．84° C．42°或 138°O中，点D．84°或A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦 96°AB所【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，∴∠ ACB=∠ AOB=×84°=42°，∴∠ ADB=180°﹣∠ ACB=138°．∴弦 AB所对的圆周角是： 42°或138°．应选 C．14．（ 2011? 南岸区一模）以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ACB的角均分线CD交⊙O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙ O中， AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∵CD是∠ ACB的角均分线，∴= ，∴AD=BD，∴△ ABD是等腰直角三角形，∴∠ ABD=45°．应选 C．15．（ 2015 秋 ? 合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠ CBA的度数为（）A．60° B．50° C． 40° D．30°【解答】解：连接AC，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∵∠ A=∠CDB=40°，∴∠ CBA=90°﹣∠ A=50°．应选 B．16．（ 2013? 万州区校级模拟）如图，AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ BAD=30°，∴=60°，∵AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∴= =60°，∴=180°﹣ 60°=120°，∴∠ AEC==×120°=60°．应选 C．二．填空题（共8 小题）17．（ 2016? 大冶市模拟）如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF的中点 G，∠ DCF=20°，则∠ EOD 等于 40° ．【解答】解：∵⊙ O的直径 CD过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，∴弧 DF=弧 DE，且弧的度数是40°，∴∠ DOE=40°，答案为 40°．18．（ 2015? 历城区二模）如图， AB是半圆的直径，点 D是弧 AC的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB的度数是 65° ．【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．故答案为65°．19．（ 2013 秋 ? 滨湖区校级期末）如图，点 A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点 C 是劣弧 AB 上不与 A、B 重合的任意一点，则∠ C= 130 °．【解答】解：在优弧AB上取点 D，连接 AD、 BD，如图，∴∠ D=∠ AOB=×100°=50°，∵∠ D+∠C=180°，∴∠ C=180°﹣ 50°=130°．故答案为130．20．（ 2008 秋? 苏州校级期中）球员甲带球冲到 A 点时，伙伴乙已经助攻冲到 B 点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解：连接OC．依照圆周角定理，得∠PCQ=∠B，PCQ＞∠ A，依照三角形的外角的性质，得∠则∠ B＞∠ A．故答案为第二种．21．（ 2015? 黄岛区校级模拟）在⊙ O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙ O的直径为4cm．【解答】解：连接OA， OB，∵∠ ACB=30°，∴∠ AOB=60°，∴△ AOB是等边三角形，∴O A=OB=AB=2cm，∴⊙ O的直径=4cm．故答案为：4．22．（ 2014 春? 海盐县校级期末）如图，⊙O中弦 AB 等于半径 R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．【解答】解：连接OA、 OB，∠ APB和∠ AP′B为弦 AB所对的圆周角，如图，∵弦 AB等于半径R，∴△ OAB为等边三角形，∴∠ AOB=60°，∴∠ APB= ∠AOB=30°，∴∠ AP′B=180°﹣∠ APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．故答案为60°；是 30°或 150°．23．（ 2012? 义乌市模拟）如图，等腰△BC于点 D，交 AC于点 E，则 DE的长为ABC的底边2 cm．BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交【解答】解：连接AD，∵∠ DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠ DEC=∠B，又等腰△ ABC， BC为底边，∴A B=AC，∴∠ B=∠ C，∴∠ DEC=∠C，∴D E=DC，∵AB 为圆 O的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∴BD=CD= BC，又 BC=4cm，∴D E=2cm．故答案为： 224．（ 2012 秋? 哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设 AP与圆的交点是C，连接 CQ；则∠ PCQ＞∠ A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠ B；因此∠ B＞∠ A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：第二．三．解答题（共16 小题）25．（ 2009? 沈阳模拟）如图，△ ABC的高 AD、BE 订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．【解答】证明：∵∠ C=∠ G，△ ABC的高 AD、 BE，∴∠ C+∠DAC=90°，∠ AHE+∠DAC=90°，∴∠ C=∠ AHE，∵∠ AHE=∠BHG=∠ C，∴∠ G=∠ BHG，∴BH=BG，又∵ AD⊥ BC，∴HD=DG．26．（ 2013 秋 ? 虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙ O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的原由．【解答】解：△ ABC为等边三角形．原由以下：∵AB⊥ CD，CD为⊙ O的直径，∴弧 AC=弧 BC，∴AC=BC，又∵∠ BPC=∠A=60°，∴△ ABC为等边三角形．27．（ 2013 秋 ? 耒阳市校级期末）已知：如图，AB为⊙ O的直径， AB=AC， BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．【解答】（ 1）解：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠C，∵∠ BAC=40°，∴∠ C=（180°﹣40°）=70°，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ EBC=90°﹣∠ C=20°；证明：连接AD，如图，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∴AD⊥ BC，而AB=AC，∴BD=DC．28．（ 2014 秋 ? 高密市期中）如图， AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上的点， AC=6cm， BC=8cm，∠ACB的均分线交⊙ O于点 D，求 AB和 BD的长．【解答】解：如图，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∠ ADB=90°．∴AB===10（ cm）．∵A C=6cm，BC=8cm，∵C D是∠ ACB的均分线，∴∠ ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴B D= AB=5 cm．综上所述， AB和 BD的长分别是10cm， 5cm．29．（ 2013 秋? 宜兴市校级期中）如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连接 BD，如图，∵CD为直径，∴∠ CBD=90°，∵∠ D=∠A=30°，∴C D=2BC=2× 3=6，∴⊙ O的半径为 3cm．30．（ 2010 秋 ? 瑞安市校级月考）如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接 AF交 CD于点 E，连接 BC交 AF于点 G．（1）求： AE=CE；（2）已知 AG=10， ED： AD=3：4，求 AC的．【解答】（ 1）明：∵点 C 是弧 AF 的中点，∴∠ B=∠ CAE，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，即∠ ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥ AB，∴∠ B+∠BCD=90°，∴∠ B=∠ CAE=∠ ACE，∴A E=CE⋯（ 6 分）（2）解：∵∠ ACB=90°，∴∠ CAE+∠CGA=90°，又∵∠ ACE+∠BCD=90°，∴∠ CGA=∠BCD，∵A G=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3： 4，∴A D=4， DE=3，∴AC=⋯（ 10 分）．31．（ 2015 秋 ? 中市期中）如，△ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分交外接于D， DE ⊥AB 于 E，DM⊥ AC于 M．（1）求： BE=CM．（2）求： AB AC=2BE．【解答】证明：（ 1）连接 BD，DC，∵AD均分∠ BAC，∴∠ BAD=∠CAD，∴弧 BD=弧 CD，∴BD=CD，∵∠ BAD=∠CAD， DE⊥ AB， DM⊥ AC，∵∠ M=∠DEB=90°， DE=DM，在 Rt △ DEB和 Rt △ DMC中，，∴R t △ DEB≌ Rt △ DMC（ HL），∴B E=CM．（2）∵ DE⊥ AB， DM⊥AC，∵∠ M=∠DEA=90°，在 Rt △ DEA和 Rt △ DMA中∴R t △ DEA≌ Rt △ DMA（ HL），∴A E=AM，∴A B﹣ AC，=AE+BE﹣ AC，=AM+BE﹣ AC，=AC+CM+BE﹣ AC，=BE+CM，=2BE．32．（ 2013? 宁夏模拟）如图， OA是⊙ 0 的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB订交于点D．求证： AD=BD．【解答】证明：连接OD，如图，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ADO=90°，∴OD⊥ AB，∴AD=BD．33．（ 2011 秋 ? 宁波期中）如图，已知：AB是⊙ O的弦， D 为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C，DM 均分∠ CDO．求证： M是弧 AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM，∴∠ ODM=∠OMD，∵DM均分∠ ODC，∴∠ ODM=∠CDM，∴∠ CDM=∠OMD，∴CD∥ OM，∵CD⊥ AB，∴OM⊥ AB，∴弧 AM=弧 BM，即点 M为劣弧 AB 的中点．34．（2009 秋 ? 哈尔滨校级期中）如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足，CE是直径，求证：∠ ACD=∠ BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠ EAC=90°，∴∠ ACE=90°﹣∠ AEC，∵CD是高， D 是垂足，∴∠ BCD=90°﹣∠ B，∵∠ B=∠ AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ ACE=∠BCD，∴∠ ACE+∠ECD=∠ BCD+∠ ECD，∴∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．【解答】证明：∵ AE是⊙ O的直径，∴∠ ABE=90°，∴∠ E+∠BAE=90°，∵A F⊥ BC于 D，∴∠ FAC+∠ACB=90°，∵∠ E=∠ ACB，∴∠ BAE=∠FAC，∴弧 BE=弧 CF，∴B E=CF．36．（ 2015 秋 ? 哈尔滨校级期中）已知 AB为⊙ O的直径，弦 BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证： AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ AEB=∠AEC=90°，∵弦 BE=DE，∴= ，∴∠ DAE=∠BAE，∵∠ C=90°﹣∠ DAE，∠ B=90°﹣∠ BAE，∴∠ B=∠ C，∴A C=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？【解答】解： AD和 BF相等．原由：如图，连接 AC、 BC，∵OC⊥ AB，∴∠ BOC=90°∴∠ BDC=∠BAC=45°∵EC⊥ CD，∴∠ DCE=∠ACB=90°，∴△ DCF和△ ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC， AC=BC，∵∠ DCA+∠ACF=∠ BCF+∠ACF=90°，∴∠ DCA=∠FCB在△ ACD和△ BCF中，{ ，∴△ ACD≌△ BCF∴D A=BF．38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．【解答】证明：连接AD， AE，∵AB 是直径． AB⊥ DE，∴AB 均分 DE，弧 ACE=弧 AD，∴∠ ACD=∠ADE，∵A、 C、 E、 D四点共圆，∴∠ FCE=∠ADE，∴∠ FCE=∠ACD，∴∠ FCE+∠DCE=∠ DAC+∠ ECD，∴∠ FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．【解答】解：延长 CE交⊙ O于 M，∵AD是⊙ O的直径，作CE⊥ AD，∴弧 AC=弧 AM，∴∠ ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．【解答】解：△ DBC为等腰三角形．原由以下：∵AD为△ ABC的外角均分线，∴∠ EAD=∠DAC，∵∠ EAD=∠DCB，∠ DBC=∠ DAC，∴∠ DBC=∠DCB，∴△ DBC为等腰三角形．一．解答题（共 6 小题）1．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠ FGC与∠ AGD相等．原由以下：连接 AD，如图，∵CD⊥ AB，∴= ，∴∠ AGD=∠ADC，∵∠ FGC=∠ADC，∴∠ FGC=∠AGD2．如图， AB 是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥AB垂足为 E，AC分别与DE、 DB订交于点 F、G，则 AF与 FG可否相等？为什么？【解答】解： AF=FG，原由是：连接AD，∵AB 是直径， DE⊥ AB，∴∠ ADB=∠DEB=90°，∴∠ ADE=∠ABD，∵D 为弧 AC中点，∴∠ DAC=∠ABD，∴∠ ADE=∠DAC，∴A F=DF，∠ FAE=∠ DAC，∴D F=FG，∴A F=FG．3．如图， AB为⊙ O的直径，以 OA为直径作⊙ C， AD为⊙ O的弦，交⊙ C 于 E，试问，当 D 点在⊙ O上运动时（不与 A 重合）， AE与 ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解： AE=ED．原由：连接OE，∵AO是⊙ C的直径，∴∠ OEA=90°，∴OE⊥ AD，∵OE过圆 O的圆心 O，∴A E=ED．4．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB交于点 D，求证： D 是 AB的中点．【解答】证明：连接OD，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ODA=90°，即OD⊥ AB，∴D 是 AB的中点．5．（ 2007? 鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB的中点，以DC为直径的⊙ O 交△ ABC的边于 G， F， E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．【解答】证明一：（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D 是AB的中点，∴BD=DC= AB，（ 2 分）∵DC是⊙ O的直径，∴D F⊥ BC，（ 4 分）∴B F=FC，即 F 是 BC的中点；（5 分）（2）∵D，F 分别是AB，BC的中点，∴DF∥ AC，（ 6 分）∴∠ A=∠ BDF，（ 7 分）∵∠ BDF=∠GEF（圆周角定理），（ 8 分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）证明二：（1）连接 DF， DE，∵DC是⊙ O直径，∴∠ DEC=∠DFC=90°．（ 1分）∵∠ ECF=90°，∴四边形 DECF是矩形．∴E F=CD， DF=EC．（2 分）∵D 是 AB的中点，∠ ACB=90°，∴E F=CD=BD= AB．（ 3 分）∴△ DBF≌△ EFC．（4 分）∴BF=FC，即 F 是 BC的中点．（5 分）（2）∵△ DBF≌△ EFC，∴∠ BDF=∠FEC，∠ B=∠ EFC．（ 6 分）∵∠ ACB=90°（也可证AB∥ EF，得∠ A=∠ FEC），∴∠ A=∠ FEC．（ 7 分）∵∠ FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）（此题证法很多，大纲卷参照答案中，又给出了两种不同样的证法，可供参照．）6．（ 2000? 兰州）如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥AC垂足为 P，DH⊥BH 垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．【解答】证明：（ 1）在△ DHC与△ DPC中，∵∠ DCH=∠DCA， DP⊥ AC， DH⊥ BH， DC为公共边，∴△ DHC≌△ DPC，∴CH=CP．（2）连接 DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠ DBH，∵△ DHC≌△ DPC，∴DH=DP，∵DP⊥ AC，DH⊥ BH，∴∠ DHB=∠DPC=90°，∴△ DAP≌△ DBH，∴A P=BH．。

提技能·题组训练圆周角定理及其推论1.( 滨州中考 ) 如图 , 在☉ O中, 圆心角∠ BOC=78°, 则圆周角∠ BAC的大小为 ()A.156°B.78 °C.39°【解析】选C.∠BOC是所对的圆心角D.12°, ∠ BAC是所对的圆周角,∴∠ BAC=∠ BOC=39°.2.( 海南中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 弦 BC=1,点 A 是圆上一点 , 且∠ BAC=30°, 则☉ O的半径是 ()A.1B.2C.D.【解析】选A. 方法一 : 连接OB,OC.∵∠ BAC=30°, ∴∠ BOC=2∠ BAC=60° ,∵OB=OC,∴△ OBC是等边三角形 ,∴OB=OC=BC =1.方法二 : 作直径 CD,连接 BD.则∠ CBD=90°, ∵∠ BDC=∠ BAC=30°, ∴CD=2BC=2,∴OC=CD=1.3.( 长春中考 ) 如图 , △ABC内接于☉ O,∠ABC=71° , ∠ CAB=53° , 点 D 在上,则∠ ADB的大小为()A.45°B.53 °C.56 °D.71 °【解析】选 C.在△ ABC中, ∵∠ ABC=71° , ∠ CAB=53°,∴∠ C=180°-71 °-53 °=56° , ∴∠ ADB=∠C=56°.D,则∠ BOD=. 4.( 佛山中考 ) 图中圆心角∠ AOB=30° , 弦 CA∥ OB,延长CO与圆交于点【解析】因为圆心角∠ AOB=30°, 弦 CA∥OB,所以∠ AOB=∠CAO=30°,又 OA=OC,所以∠ CAO=∠ ACO=30° , 所以∠ AOD=∠ CAO+∠ ACO=60° =∠ AOB+∠ BOD,所以∠BOD=30°.答案 : 30°5.( 贵阳中考 ) 如图 ,AD,AC 分别为☉ O的直径和弦 , ∠CAD=30°,B 是 AC上一点 ,BO⊥AD,垂足为【解析】在Rt△AOB中 , ∠A=30° ,BO=5cm,∴AO=5cm,∵AD是直径 ,∴AD=10cm,∠C=90°, 在 Rt△ ADC中,∠A=30°,AD=10cm,∴CD=5cm.答案: 56. 如图 , 正方形ABCD的顶点都在☉O上 ,P是弧DC上的一点 , 则∠ BPC=.【解析】连接 BD,则 BD是直径 ,∴△ BCD是等腰直角三角形 ,∴∠ BDC=45°, ∴∠ BPC=∠ BDC=45°.答案 : 45°【知识归纳】圆周角与直径1.当题目中出现了直径时 , 常作辅助线 , 利用直径所对的圆周角是直角解决问题 .2.当出现 90°的圆周角时 , 常连接该圆周角所对的弦 , 则该弦为直径 .7. 如图 , 在☉ O中, 直径 AB与弦 CD相交于点 P, ∠CAB=40°, ∠APD=65° .(1)求∠B 的大小 .(2)已知 AD=6,求圆心 O到 BD的距离 .【解析】 (1) ∵∠ APD=∠C+∠CAB,∴∠ C=65°-40 °=25° .∴∠ B=∠C=25° .(2) 过点 O作 OE⊥ BD于 E, 则 DE=BE.又∵ AO=BO,∴OE= AD= ×6=3.∴圆心 O到 BD的距离为 3.圆内接四边形1. 如图 , 四边形 ABCD内接于☉ O,如果∠ BOD=130°, 则∠ BCD的度数是 ()A.115°B.130°C.65°D.50°【解析】选 A. ∵∠ BOD=130°, ∴∠ A= ∠BOD=65°, ∵∠2.( 莱芜中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 已知∠ OAB=22.5°, 则∠C 的度数为 ()A. 135 °B.122.5 °C.115.5°D.112.5 °【解析】选 D.如图, 作所对的圆周角 .∵OA=OB,∴∠ OBA=∠ OAB=22.5° . ∴∠ AOB=180 ° - ∠ OAB-∠ OBA =180° -22.5 ° -22.5 °=135° .∴∠ D= ∠ AOB=×135°=67.5 °.∵四边形 ACBD是圆内接四边形 ,∴∠ C+∠D=180° .∴∠ C=112.5 °.【方法技巧】1. 在圆中 , 求角的度数时 , 常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成.2.有时需要自己作出与已知角互补的圆周角 , 才能运用圆内接四边形的性质 .3. 四边形 ABCD内接于☉ O,AD∥BC,∠ B=75° , 则∠ C=.【解析】∵AD∥ BC,∴∠ A+∠B=180° ,∴∠ A=180°-75 °=105°,答案 : 75°【变式训练】已知 , 四边形 ABCD内接于☉ O, 且∠ A∶∠ C=1∶2, 则∠ BOD= ° .【解析】∵四边形 ABCD内接于☉ O,∴∠ A+∠C=180°.又∠ A∶∠ C=1∶ 2, 得∠ A=60° .∴∠ BOD=2∠A=120°.答案 : 1204.如图 , △ ABC内接于☉ O,AD为△ ABC的外角平分线 , 交☉ O 于点 D, 连接 BD,CD,判断△DBC的形状 , 并说明理由 .【解析】△DBC为等腰三角形 . 理由如下 :∵四边形 ABCD为☉ O的内接四边形 ,∴∠ DCB+∠DAB=180°,又∠ EAD+∠DAB=180°,∴∠ EAD=∠DCB.又∠ DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,∴∠ DBC=∠DCB,∴DB=DC,即△ DBC为等腰三角形 .【错在哪？】作业错例课堂实拍A,B 为☉ O上的两点 , ∠ AOB=100° , 若点 C 也在☉ O上, 且点 C不与 A,B 重合 , 求∠ACB的度数 .(1)错因 :____________________________________.(2)纠错 :____________________________________________________________ _________________________________.答案： (1) 点 C也可能在劣弧AB上，需要分情况讨论(2)当 C在优弧AB上时，∠ ACB=1∠AOB=50°，当 C 在劣弧AB上时，∠ ACB=2 180°-50 °=130°。

AD 9题C B A 《圆周角》练习题一 1.已知⊙O 的半径OA=4，弦AB=4 2 ，则∠AOB 的度数为 ，∠OAB 的度数为 。

2.已知⊙O 的半径OA=6，弦AB 、AC 的长分别为6、6 3 ，则∠CAB 的度数为 。

3.半径为13cm 的⊙O 中，弦AB=24cm, 弦CD=10cm,A B ∥CD,则AB 、CD 间距离为 。

4.如图,已知点E 为⊙O 的点,B 、C 分别为劣弧 的三等分点,∠BOC=46°,则∠AED 的度数为 .5.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，A O ∥BC ，∠OAC=20°，则∠AOB 的度数为 。

6.如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=54°，则∠DCF 的度数为 。

7.如图，点A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠ABO 的度数为 。

8.如图，BD 为⊙O 的直径，∠A=20°，则∠CBD 的度数为 。

9.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，⑴若∠C=30°，AB=4cm ，则⊙O 的半径为 ；⑵若⊙O 的半径为3cm, ∠C=45°, 则AB= ；⑶若sinB= 23，AC=4，则⊙O 的半径为 。

10.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠B=∠OAC ，OA=8cm,则AC 的长度为 。

11.如图，OB 、OC 为⊙O 的半径，A 为⊙O 上一点，若∠B=20°，∠C=30°，则∠BOC 的度数为 。

12.如图，⊙O 在正方形网格中，则∠AED 的正弦值为 。

13.如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则∠ACB 的度数为 .14.如图，已知⊙O 的弦AC 、BD 交于点E ，点A 为 上一动点，当点A 的位置在 时， △ABE ∽△ACB 。

15.如图，AB 为半圆O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，⑴若CD=3，AB=4，则cos ∠BPC= ；⑵若∠A=60°，CD=2，则直径AB= ；⑶若S △PCD ∶S △PAB = 3∶4，则∠A 的度数为 。

圆周角练习题圆周角练习题在数学中，圆周角是一个重要的概念。

它是指以圆心为顶点的角度，通常以度数或弧度来表示。

圆周角的概念在几何学、三角学和物理学等领域中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对圆周角的理解。

练习题一：已知一个圆的半径为5cm，求其圆心角的度数。

解答一：圆心角是以圆心为顶点的角度，它的度数等于所对的弧度的度数。

由于圆的周长是2πr，其中r是半径，所以整个圆的弧度是360°。

因此，圆心角的度数是360°。

练习题二：已知一个圆的直径为12cm，求其圆心角的弧度。

解答二：圆心角的弧度等于所对的弧长除以半径。

由于圆的周长是2πr，其中r 是半径，所以整个圆的弧长是2πr。

根据题意，所对的弧长是12cm，半径是6cm。

因此，圆心角的弧度是12cm/6cm=2弧度。

练习题三：已知一个圆的半径为8cm，一个圆心角的度数是60°，求其所对的弧长。

解答三：所对的弧长等于圆周长乘以圆心角的度数除以360°。

由于圆的周长是2πr，其中r是半径，所以整个圆的周长是2π×8cm=16πcm。

根据题意，圆心角的度数是60°。

因此，所对的弧长是16πcm×60°/360°=8πcm。

练习题四：已知一个圆的半径为10cm，一个圆心角的弧度是π/4，求其所对的弧长。

解答四：所对的弧长等于圆周长乘以圆心角的弧度除以2π。

由于圆的周长是2πr，其中r是半径，所以整个圆的周长是2π×10cm=20πcm。

根据题意，圆心角的弧度是π/4。

因此，所对的弧长是20πcm×(π/4)/(2π)=5cm。

通过以上练习题，我们可以看到圆周角的度数和弧度之间的转换关系，以及如何计算所对的弧长。

这些知识在解决实际问题时非常有用。

除了以上的练习题，还有很多其他类型的圆周角练习题，例如求解未知角度、弧度或弧长等。

通过不断的练习和思考，我们可以提高对圆周角的理解和应用能力。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（ ）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°， 故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ， 由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π． 故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°． 故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4， 故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。