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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
反函数性质:
(1) y＝f (x) 单调递增(减), 其反函数
存在, 且反函数也单调递增(减) .
(2) 函数 y = f (x)与其 反函数
y
y f 1 ( x )
y x
Q ( b, a )
y f ( x)
的图形关于直线
y = x 对称 .
图示法.
（3）用数学式表示函数的方法称为函数 的公式表示法，也称解析法.
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
3.反函数
定义1. 1. 2 设有函数 y = f (x) ，其定义域 为D ，值域为M．如果对于M中的每一个 y 值 (y∈M)，都可以从关系式y =f (x) 确定唯一的 x值(x∈D)与之对应，那么所确定的以y为自变 量的函数 x ( y), 叫做函数y =f (x)的反函数， 它的定义域为M，值域为D． 习惯上,y f ( x ), x D 的反函数记成 y f 1 ( x ) , x M
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第一章
函数的极限与连续
第一节 函数及其性质 第二节 极限 第三节 函数的连续性
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
分析基础
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第一节
函数及其性质
本节主要内容:
一、函数的概念
二、函数的性质
第一章 函数的极限与连续
2
复合而成.
(2)
y
ln sin x 2
x
是由 y
u,
u ln v, v sin x 2 复合而成.
x
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
6.初等函数
定义1. 1. 4 由常数和基本初等函数经过有 限次的四则运算和有限次的函数复合所构成， 且可用一个式子表示的函数，称为初等函数．
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
x 0, 1, 例 4 设 f ( x ) 0, x 0, 1, x 0.
求其定义域、值域及 f (2) 、f (0) 和f (-2) ．
解 定义域 D = R，值域 M={-1，0，1}
f (2) = 1, f (0) = 0, f (-2) = -1.
但 f (x) 与 h( x ) x 2 则是同一个函数.
7
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
例 1 确定函数 f ( x ) 3 2 x x 2 ln( x 2)
的定义域，并求 f (3), f ( t 2 ).
解 该函数的定义域应为满足不等式组
3 2 x x 0, 解之得：2 x 3. x 2 0, 故该函数的定义域为 D (2, 3 ].
xa
xa xb xb xR
4
N ( x0 )
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
2 .邻域
以 x0 为中心的任何开区间称为点的邻域,记作 N ( x0 ). 点 x0 的 邻域 N ( a , )
x
xa
x a x a ( x0 , x0 )
5
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
(二)函数的概念
1 .函数的定义
定义1.1.1 设x , y 是两个变量，D 是 R 的非空
子集，任意 x∈D，变量 y 按照某个对应关系
f ,有唯一确定的实数与之对应(记作 y=f (x) ) ,
则称 f 是定义在 D 上的函数，x 称为自变量, y 称为因变量. D 称为函数 f 的定义域，数集
以上五类函数称为基本初等函数.
基本初等函数的图像及性质请自行复习.
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
5.复合函数 定义1. 1. 3 设函数 y f ( u) 的定义域为 U ，函数 u ( x ) 的定义域为 X ，若
D { x X | ( x) U } ,
2
f (3) 3 2 3 3 ln(3 2) 0 ,
2
f (t ) 3 2t t ln(t 2) ,
2
2
4
2
2 | t | 3 .
8
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
2.函数的表示方法 常用的方法有：表格法、图示法和公式法。 （1）以表格形式表示函数的方法称为函数 的表格表示. （2）以图形表示函数的方法称为函数的
它的定义域， u 称为中间变量．
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
如, y 1 x 是由y u , u 1 x 复合而得的.
2 2
说明： 1.不是所有函数都能构成复合函数. 例如：1.函数 y arcsin u, u x 2.
2
因为u =x2+2的值域为 [2, ), y =arcsinu的 定义域为[-1,1] , 由于 [2, ) [1,1] , 所以 y arcsin u, u x 2 2 不能构成复合函数.
P (a , b)
o
x
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
4.基本初等函数及其图象:
幂函数 指数函数
y x ( R),
y a x ( a 0, a 1),
对数函数 y loga x (a 0, a 1),
三角函数 y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, 反三角函数 y arcsin x, y arccosx, y arctan x , y arccot x
1 f 1 2 2 2. t≤0时， f (1 t ) 无意义; 2 1 1 , 0 t 1, t t >0时，f 1 t 2 , t 1 t
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
二.函数的性质
(一)奇偶性
定义1. 1. 5 设函数y=f (x)的定义域关于
2
所以该函数是奇函数．
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
原点对称，如果对于定义域中的任何x，都有
f ( x ) f ( x ), 则称 y =f (x)为偶函数.
如果对于定义域中的任何x ，都有 f ( x ) f ( x ), 则称 y =f (x)为奇函数．
不是偶函数也不是奇函数的函数，称为
非奇非偶函数.
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第一章 函数的极限与连续
an x n
2
y e sin x 1
x , x 0, y x 1 , x 0.
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
7.分段函数 对定义域的某些不同部分，对应关系用不 同的式子表示的函数，称为分段函数.
sin x , x 0, 例如： f ( x ) x 1, 0. 注意: ☆ 分段函数一般不是初等函数. ☆ 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不 是几个函数,而是一个函数! 只是随着自变量 x 取不同范围的值,函数对应的表达式不同.
a xb a xb
a xb
实数a ,b叫相应区间的端点,数b - a 称为区间的长度.
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
无限区间 [ a , )
x ( a , ) x ( , b ] x ( , b ) x ( , ) x
2 , 1 它的定义域为：
1,
2 .
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
例 3 指出下列函数是由哪些简单函数复合 而成的: (1) y cos x ; (2) y
2
ln sin x 2
2
x
.
解 (1) y cos x 是由 y u , u cos x
第一节 函数及其性质
奇函数与偶函数图象的对称性
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图 象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对 称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是 以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一 个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是 偶函数.
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
例 6 判断函数 f ( x ) ln( x 的奇偶性．
x 1)
2
解 定义域 D = ( , ), 且有
f ( x ) l n( x x 1)
2
ln
1
2
x x 1 f ( x)
l n ( x x 1)
则对任意 x D , 通过 u ( x ) , 变量 y 总有确定 的值 f ( u) 与之对应 , 这样就确定一个以 x 为自变 量 , y 为 因 变 量 的函 数 , 该 函数 称 为 y f ( u) 和
u ( x ) 的复合函数,记作 y f [ ( x ) ] ， D 是
f (D)={ f (x) | x∈D } 称为函数 f 的值域 .
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第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
• 定义域: 是指使表达式及实际问题都有意义的自 变量集合. •确定函数的两要素：(1)对应关系; (2)定义域.
