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推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.
17
性质4 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响 它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变). 证略。
18
例4 已知 (1)n1 un 2 , u2n1 5 , 求 un .
n1
n1
n1
解 由性质3， (1)n1 un 2 (u2n1 u2n ) 2 ,
的收敛性.
解
un
1 (2n 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
,
11
1
Sn
1 3
35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 (n ) , 2 2n 1 2
| |
q q
| |
1时, 1时,
收敛 发散
1
a
q
5
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌 龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定 阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理 论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟 仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然 前于他10米,…,
级数收敛, 且和为1 . 2
9
例3 讨论级数 ln(1 1 ) 的敛散性.
n1
n
解
un
ln(1 1 ) ln(n 1) lnn , n
所以
Sn ln2 ln1 ln3 ln2 ln(n 1) lnn
ln(n 1) n
所以级数发散.
10
性质1 (级数收敛的必要条件)
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？
6
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论 就会不攻自破.
设乌龟的速度为 v,则阿基里斯的速度为 10v,他跑完 1000 米所化
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
7
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛程恰好 等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起点
1 1111 处追上并超过乌龟.
9
8
例2
讨论无穷级数
1 1 3
1 35
1
(2n 1) (2n 1)
n1
n1
所以 (un vn) 发散.
n1
16
性质3 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
证略。
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (11) (11)
15
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un , n1
而已知 un 收敛, 由上述性质得 vn 收敛, 矛盾.
aqn1
a aqn ， 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
Sn
a 1
q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
Sn
发散
4
如果q 1，
当q 1时, Sn na 发散 当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
Sn不
存
在,
发散
综上所述,
n0
aq
n
当 当
n1
n1
n1
解 (u2n1 u2n ) 8 , 记 Sn u1 u2 un ， n1
所以
lim
n
S2n
8
,
由性质2，
lim
n
lim
n
S2 S2
n
n1
S
S
lim
n
S
n
S
(1)n1 un
n1
2
lim
n
un
0
,
所以
lim
n
S2n1
lim(
n
S2n
u2n
)
8
,
于是
un
n1
lim
n
Sn
n1
— (常数项)无穷级数
级数的部分和
n
Sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , , Sn u1 u2 un ,
2
当 n 时,如果级数 un 的部分和数列Sn 有极限 S,
n1
即
lim
n
Sn
234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
再如，cos
2
cos
4
cos
8
cos 2n
lim cos 2n 1 0 ,
级数发散。
12
2、必要条件不充分：
若
lim
n
un
0 ,级数却不一定收敛.
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
若级数
un
收敛,则必有
lim
n
un
0
.
n1
证明 un Sn Sn1,
lim
n
Sn
S
，
lim
n
un
lim(
n
Sn
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0.
11
若级数
un
收敛,则必有
lim
n
un
0
.
n1
说明： 1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；
例如 1 2 3 (1)n1 n
S
,则称无穷级数
un 收敛,
n1
这时极限 S 叫做级数 un 的和，并写成
n1
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
3
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
的收敛性.
(a 0)
解 如 果q 1，
Sn
a aq aq2
n1
n
n
再举一个重要例子：
调和级数 1 1 1 1 1 ,
n1 n
23
n
lim 1 0 ,但级数是否收敛? n n
13
调和级数
1
11
1
1
,
n1 n
23
n
讨论
S2n
Sn
1 n1
1 n2
1 2n
n 2n
1 2
,
假设调和级数收敛, 其和为S .
于是 便有
lnim（S2n Sn） S S 0 , 0 1 (n ) , 矛盾，
8
.
20
例5 判断下列级数的敛散性：
1.
1 5 n0 ( 3n 4n )
解
因为
1 n0 3n ,
1 n0 4n
都收敛， 故原级数收敛，
且和为
1 n0 ( 3n
5 4n )
n0
1 3n
5
n0
1 4n
1
1
1
1
5
1
49 . 6
34
21
例5 判断下列级数的敛散性：
2.
1 2 3
10100
的时间为 1000 100 ,在这段时间里,乌龟又爬了v 100 100 米,
10v v
v
阿基里斯为跑完这段路又花费时间 100 10 ,此时乌龟又在他前面 10v v
10 米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和；
3. 1 1 1 1 2 4 6 2n
1 1
2 n1 n
发散。
22
n1
n1
由性质2， u2n [u2n1 (u2n1 u2n )]
n1
n1
u2n1 (u2n1 u2n ) 5 2 3 ,
n1
n1
所以
(u2n1 u2n ) u2n1 u2n 8 ,
n1
n1
n1
注意：不能去括号 19
例4 已知 (1)n1 un 2 , u2n1 5 , 求 un .
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
1
一般项
un u1 u2 u3 un
