第三节 泰勒级数一、 泰勒级数前面我们研究了幂级数的敛散性，知道它在其收敛域上可表示为它的和函数，但在理论研究以及近似计算中，我们往往考虑相反的问题——能否把函数()f x 表示成幂级数.例如计算21x e dx -⎰，在前面第*章曾介绍过该积分是“求不出”的，但在本节中我们将会知道2x e -能表示成幂级数24611!2!3!x x x -+-+，利用这一结果可以得出2246110(1)1!2!3!x x x x edx dx -=-+-+⎰⎰，从而能计算出该积分的近似值.假设函数()f x 在某一点0x 附近可以表示为幂级数：0100()()()n n f x a a x x a x x =+-++-+, (1)那么如何确定它的各项系数.首先在（1）式中令0x x =，可得()00a f x =；假设函数()f x 在0x 附近存在任意阶导数，反复利用幂级数可逐项求导的性质，得11200()2()()n n f x a a x x na x x -'=+-++-+，22300()232()(1)()n n f x a a x x n n a x x -''=+⋅-++--+，…在上述等式中令0x x =，可得()011f x a '=，()022!f x a ''=，…，()()0!n n f x a n =，….我们称级数()000()()!n n n f x x x n ∞=-∑为()f x 在0x 点（或关于0x 的，或在点0x 附近的）的泰勒级数.特别的00x =时的泰勒级数比较常用，被称为()f x 在0x 点的麦克劳林级数即()0(0)!n nn f x n ∞=∑. 二、 函数的泰勒级数展开由上述可知如果函数()f x 关于0x 点的幂级数表示存在，则()f x 等于它的泰勒级数的和，即()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑.但什么情况下函数()f x 关于0x 点的幂级数存在呢？我们有定理如下：定理1：设函数()f x 点0x 的某邻域内有任意阶导数，则在此邻域内()f x 的泰勒级数收敛于()f x 的充要条件是当n →∞时()f x 的泰勒级数的余项()n R x 极限为0，其中()000()()()()!i ni n i f x R x f x x x i ==--∑. 下面具体介绍函数()f x 展开成幂级数的步骤. 直接展开法：步骤：1）写出()f x 的泰勒级数；2）求出收敛半径；3）考察在收敛域内lim ()0n n R x →∞=是否有.我们利用直接展开法把下面几种基本初等函数展开成麦克劳林级数，其中第3步考察在收敛域内lim ()0n n R x →∞=是否有，均可以利用泰勒级数的拉格朗日型余项证得是有的，我们将这一过程略去.关于()f x 的泰勒级数的拉格朗日型余项：对函数()10000()()()()()()!i ni n n i f x R x f x x x g x x x i +==--=-∑和连续使用1n +次柯西中值定理可以得到()()()110()(),1!n n n f R x x x n ξ++=-+其中 ξ介于0x x 与之间，该余项被称为拉格朗日型余项.例1 求函数()x f x e =在0x =处的幂级数展开式.解 由()()n x f x e =，得()(0)1(0,1,2,)n f n ==，于是函数()x f x e =在0x =处的泰勒级数为2312!3!!n x x x x n ++++++，容易求得该级数收敛半径r =+∞,于是231,(,)2!3!!n xx x x e x x n =++++++∈-∞+∞.1y x =+212!x y x =++2312!3!x x y x =+++23412!3!4!x x x y x =++++从以上图像中我们可以观察到函数2312!3!!nx x x x n +++++随着n →∞无限逼近指数函数x y e =.例2 将函数()sin f x x =展开成x 的幂级数. 解 ()s i n ,()c o s ,()s i n ,()f x x fx x f x x f x x''''''===-=-，… 可见()f x 的各阶导数按此依次循环，则()(0)n f 依次取值为0，1，0，-1，…(0,1,2,)n =,于是函数()f x 的麦克劳林级数为()3521(1)3!5!21!n nx x x x n +-+++-++，容易求得该级数收敛半径r =+∞,于是()3521sin (1),(,)3!5!21!n nx x x x x x n +=-+++-+∈-∞+∞+.例3 将函数()()1,f x x R αα=+∈展开成麦克劳林级数.解 1()(1),f x x αα-'=+ 2()(1)(1),f x x ααα-''=-+()()(1)(1)(1),nnf x n xαααα-=--++()(0)n f 依次取值为()()()1,,1,,11,(0,1,2,)n n αααααα---+=,于是函数()f x 的麦克劳林级数为()()()211112!!n n x x x n αααααα---++++++，容易求得该级数收敛半径1r =,于是()()()()211111,(1,1)2!!n n x x x x x n ααααααα---++=+++++∈- (4)在端点1x =±处，上式是否成立，要看α的数值而定.公式（4）称为牛顿二项展开式，特别的，当α取正整数时，级数成为x 的α次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.另外，当α=-1时，即可得到下面熟悉的等比级数的求和公式211(1),(1,1)1n n x x x x x=-+++-+∈-+. (5)间接展开法：对于一般的函数来说直接展开法计算量大，而且对余项考察也比较困难，因此我们更多利用由已知函数的幂级数通过幂级数的性质以及变量代换等方法来求其幂级数展开式，这种方法称为间接展开法.例4 将函数2()x f x e -=展开成麦克劳林级数. 解 令2t x =-，则()t f x e =，由例1可知231,(,)2!3!!n tt t t e t t n =++++++∈-∞+∞，所以 246221(1),(,)2!3!!nx nx x x ex x n -=-+-++-+∈-∞+∞.例5 将函数1()12f x x=+展开成x 的幂级数. 解 令2t x =，则1()1f x t=+，由(5)式可知211(1),(1,1)1n n t t t t t=-+++-+∈-+，所以 22111124(1)2,(,)122n n nx x x x x =-+++-+∈-+.例6 将函数()cos f x x =展开成的x 的幂级数.解 c o ss i n x x '=， 由例2可知()3521sin (1),(,)3!5!21!n nx x x x x x n +=-+++-+∈-∞+∞+，对上面的展开式逐项求导得()242cos 1(1),(,)2!4!2!nnx x x x x n =-+++-+∈-∞+∞.例7 将函数()ln(1)f x x =+展开成的x 的幂级数.解 0l n (1)1xdxx x +=+⎰，由（5）式 211(1),(1,1)1n n x x x x x=-+++-+∈-+所以2023ln(1)(1(1)) ,(1,1]2!3!!xn n n x x x x dxx x x x x n +=-+++-+=-++++∈-⎰注意上式右端在点1x =处是收敛的.例8 将函数2sin x 展开成x 的幂级数.例9 函数()ln f x x =展开成(2)x -的幂级数………….!n ++()21!n ++()22!nx n +!n ++)()11!x n αα--+三、泰勒级数的应用举例：（一）、近似计算例1例2 计算10sin xdx x⎰，精确到410-.（二）、求微分方程的幂级数解求解微分方程是非常复杂的，我们能解的只是一些孤立、零碎、极特殊的类型，很多时候我们就利用幂级数解微分方程和进行近似计算，这是很实用的方法，有很好的实用意义和价值.例3 求微分方程0y xy ''+=的通解.解 设0nn n y a x ∞==∑，则1212,(1)n n n n n n y na x y n n a x ∞∞--=='''==-∑∑，代入原方程得2223401223041(213243)()2(32)(43)0y xy a a x a x a x a x a a a x a a x ''+=⋅+⋅+⋅++++=+⋅++⋅++= ，于是各项系数均为0，得001234560,,,0,32436532a a aa a a a a =====⋅⋅⋅⋅⋅.令0112,a C a C ==，得通解为3461211232436532C C C y C C x x x x =+++++⋅⋅⋅⋅⋅.（三）、求隐函数的表达式例4 方程0x y xy e e -+=在（0，0）附近确定一隐函数()y y x =，求它在原点附近的表达式.解 设0(0)()!n nn y y x x n ∞==∑，对原方程两端求一阶导数得0x y y xy e e y ''+-+=，令0,0x y ==可得：(0)1y '=，对上式继续求导：20x y y y y xy e e y e y ''''''''++-++=，将(0)0,(0)1y y '==代人上式得1(0)2y ''=-，以此类推可得5(0)4y '''=-等等所以2311()46y x x x x =--+.三、求不定式的极限（建议删去）例 0sin lim x x xx →-四、证明不等式（建议删去）例21(0)28x x x =+->第四节 傅立叶级数一、傅立叶级数正如我们看到的那样，泰勒级数是在某一点领域内以多项式来逼近某一函数，但这种逼近是逐点逼近，往往是局部的.而现实中有诸多现象常常需要用到周期函数，如心脏跳动、弹簧震动、交流电压、光波、声波等等，这就要求能找到一种整体意义上的逼近.傅立叶级数很好地解决了这一问题.物理中最简单的周期现象是简谐波sin y A t ω=.（要解释吗）事实证明许多非正弦周期波都可以用一系列简谐波叠加.由正弦、余弦函数叠加而成的无穷级数叫三角级数.假设一个以2L 为周期的函数()f x ，有如下三角级数展开01()(cos sin )2n n n a n n f x a x b x L Lππ∞==++∑， （1）那么如何确定它的各项系数呢？我们假定()f x 在[,]L L -上可积,于是对（1）式两端同时从L L -到积分有01()(cos sin )2LLL L n n LL L L n a n n f x dx dx a xdx b xdx L L ππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰，（2） 然后我们在（1）式两端同乘以cos (1,2,,,)k x k n Lπ=，再两端同时从L L-到积分得1()cos cos (cos cos sin cos )2LL L L n n LL L L n a k k n k n k f x xdx xdx a x xdx b x xdx L L L L L L ππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰（3）在（2）于是可以求得01()LLa f x dx L -=⎰，1()cos ,(1,2,)L nL a f x nxdx n L L π-==⎰.同理在（1）式两端同乘以sin (1,2,,,)kx k n =，再两端同时从ππ-到积分可求得1()sin (1,2,).L n L b f x nxdx n L Lπ-==⎰称以上所确定的系数).为函数()f x 的傅立叶系数.称系数为()f x的傅立叶系数的三角级数为函数()f x 的傅立叶级数. 特别的当L π=时，()f x 是以2π为周期的函数，它的傅立叶系数为二、函数的傅立叶级数展开现在还剩下一个问题，就是什么情况下()f x 的傅立叶级数收敛于()f x ？ 下面我们给出傅立叶级数收敛的一个充分条件：狄利克雷定理：设函数()f x 以2L 为周期，如果它在一个周期[,]L L -上连续或只有有限个第一类的间断点，并且分段单调，那么()f x 的傅立叶级数在(),-∞+∞上处处收敛，并且它的收敛和为(), ()(0)(0)()()2(0)(0),.2f x x f x f x f x s x x f x f L f L x L ⎧⎪⎪++-⎪=⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩当为的连续点,，当为的间断点,例1 设()f x 是以2π为周期的周期函数，它在区间[,)ππ-上的表达式为0,0,(),0.x f x x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩（1）求()f x 的傅立叶级数，（2）把()f x 展开成傅立叶级数. 解例2 把函数(),[,)f x x x ππ=∈-展开成傅立叶级数.解 这里函数()f x 仅定义在[,)ππ-上，并不是周期函数，但我们可以在(,)-∞+∞上定义一个以2π为周期的函数()F x ，它在[,)ππ-上的表达式为()f x ，这种拓广定义域的方法称为周期延拓. 如下图.（电学上称为锯齿波）()F x 的傅立叶系数为：00112(),a f x dx x dx xdx πππππππππ--====⎰⎰⎰00211()cos cos 22 cos sin 2 [cos sin 2[(1)1],(1,2,),n n a f x nxdx x nxdx x nxdx xd nxn n x nxdxn n n ππππππππππππππ--=====-=--=⎰⎰⎰⎰⎰1()sin (1,2,).n b f x nxdx n πππ-==⎰由()f x 在[,)ππ-上连续性，可得224cos3cos5()(cos ),[,)235x xf x x x x ππππ==-+++∈-.利用这个展开式，可以导出几个特殊数项级数的和，由初值(0)0f =，可以得出222111.835π=+++令2122222322222211111,1,23358111111,1.246234πσσσσ=+++=+++==+++=-+-+ 因为12221,2σσσσσ=+=，所以1224σσσ+=，于是2211324πσσ==（同学们自己试着得出σ与3σ的值）.例3 把函数1,0,()1,0.x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩展开成傅立叶级数.（物理学上称为方波）解 ………….（删去了奇延拓和偶延拓的概念）三、应用实例例 交流电压0()sin E t E t ，经半波整流，削去负压，求它的傅立叶级数。
