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边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
.精品课件.
3
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
.精品课件.
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则称无穷级数 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
.精品课件.
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
.精品课件.
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第十一章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
.精品课件.
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
un 发散 un 收敛
.精品课件.
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例3. 判别级数
sin
n1
1 n
的敛散性
.
sin
1 n
～
1 n
解: limn sin 1 lim n 1 1
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例4. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim un1 n un
lim
n
(n1)
1 np
p
1
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
.精品课件.
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
.精品课件.
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在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
收敛
发散
.精品课件.
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3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
un un1 0
lim
n
un
0
条件收敛
则交错级数 (1)nun收敛
发散.
.精品课件.
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三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
.精品课件.
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注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
.精品课件.
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ;
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
.精品课件.
也发散 .
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例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
C、 （u2n1 u2n）收敛 D、 （u2n1 u2n）收敛
.精品课件.
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第十一章
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
.精品课件.
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一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2,) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
.精品课件.
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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和.
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
.精品课件.
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例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
.精品课件.
级数发散 ;
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二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
n1
.精品课件.
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例1、（06，一，三）若 an c 则级数（ ）
A、 an c
B、 (1)n an c
C、 anan1 c
D、
an an1 c 2
例2、（05，三）设 un 0, n 1, 2, , 若
un发散， (1)nun收敛，则下列结论正确的是（ ）
A、 u2n1收敛， u2n发散 B、 u2n1发散， u2n收敛
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
.精品课件.
1
第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
.精品课件.
2
一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
(3) 当 l =∞
.精品课件.
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是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
xn
n0
1, 1 x
x 1 即是此种情形.
.精品课件.
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定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn n0 则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
.精品课件.
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由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
说明：上述逆定理不一定成立。即
un 发散
un 发散
.精品课件.
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例9. 证明下列级数绝对收敛 :
(1) n1sinn4n ;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
.精品课件.
2!
3 1
3!
4
1 4!
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! n1!1n01n!n
1 1n 1 10n 收1n敛
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n 发散
2) 1 ; n1 n! 收敛
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(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
