条件概率绝对经典

率失真理论及经典的码率控制算法一、视频编码的率失真思想率失真理论研究的是限失真编码问题：能使限失真条件下比特数最小的编码为最佳编码。

设信源为},...,,{21m m a a a A =，经过编码后，信宿为},...,,{21n n b b b B =，定义信源、信宿概率空间分别为)}(),...,(),({Q )}(),...,(),({2121n m b Q b Q b Q a P a P a P P 、。

定义平均失真函数)(Q D 如下： ∑∑∑∑======m j j k j nk k j m j k j n k k j a b Q a P b a d b a P b a d Q D 1111)|()(),(),(),()(其中，),(k j b a d 为失真度，度量准则可是均方误差MSE 、绝对差分和SAD 或差分平方和SSD 等。

若信源概率分布)(j a P 已知，则平均失真仅仅取决于条件概率)|(j k a b Q ，从而必然存在这样一个条件概率)|(j k a b Q 使得D Q D ≤)(，即：))((D Q D Q Q D ≤=即D Q 为保证平均失真)(Q D 在允许范围D 内的条件概率集合。

进一步，定义),(Y X I 为接收端获取的平均信息量：)()|(log)|()(),(1k j k m j j k j b Q a b Q a b Q a P Y X I ∑==同样，在给定的)(j a P 前提下，),(Y X I 的大小也只取决于。

现在率失真函数)(D R 定义为在D Q 范围内寻找最起码的信息量，即：),()(min Y X I D R DQ Q ∈=该公式的含义：在允许的失真度为D 的条件下，信源编码给出的平均信息量的下界，也就是数据压缩的极限数码率。

当数码率R 小于率失真函数)(D R 时，无论采用什么编码方式，其平均失真必大于D 。

视频压缩是典型的限失真编码，率失真理论同样适应于视频编码。

一．选择题（共11小题）1．从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（）A．B．C．D．2．已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.2，则P（）＝（）A．B．C．D．3．从某班包含甲、乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．4．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P（B|A），P（A|B）分别等于（）A．，B．，C．，D．，5．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0，下列说法错误的是（）A．若事件A，B独立，则P（A）＝P（A|B）B．若事件A，B互斥，则P（B|A）＝P（A|B）C．若事件A，B独立，则P（C|AB）＝P（C|A）P（C|B）D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则P（C|（A+B））＝P（C|A）．6．6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（）A．B．C．D．7．盒子里有1个红球与n个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则n＝（）A．3B．4C．6D．88．甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是红球”，则P（D）＝（）A．B．C．D．9．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，A表示事件“至少抽到1本数学书”，B表示事件“抽到语文书和数学书”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．10．设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.3，则P（A|B）＝（）A．0.24B．0.375C．0.4D．0.511．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7二．填空题（共4小题）12．从﹣2，﹣1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件B．则P（B|A）＝．13．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为．14．已知随机事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A|B）＝，则＝．15．已知，，则P（B）＝．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（）A．B．C．D．解答：解：设女生甲被选中为事件A，事件A表示女生甲被选中后再从剩下的6人中选2人，故，设男生至少一人被选中为事件B，事件AB表示女生甲被选中后再选2男生或1男生和1女生（从剩余4女生中选），故，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是．故选：C．2．已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.2，则P（）＝（）A．B．C．D．解答：解：P（B）＝P（A）P（B|A）+，∵P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.2，∴0.3＝P（A）×0.9+[（1﹣P（A）]×0.2，解得P（A）＝，∴．故选：A．3．从某班包含甲、乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．解答：解：令事件A为甲被选中的情况，事件B为乙被选中的情况，故P（A）＝，P（AB）＝，故P（B|A）＝．故选：A．4．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P（B|A），P（A|B）分别等于（）A．，B．，C．，D．，解答：解：由题意知：事件AB＝“三个点数都不同且至少出现一个6点”，∵，，，∴，．故选：B．5．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0，下列说法错误的是（）A．若事件A，B独立，则P（A）＝P（A|B）B．若事件A，B互斥，则P（B|A）＝P（A|B）C．若事件A，B独立，则P（C|AB）＝P（C|A）P（C|B）D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则P（C|（A+B））＝P（C|A）．解答：解：A，若事件A，B独立，则P（A|B）＝＝＝P（A），故A正确，B，若事件A，B互斥，则P（AB）＝0，则P（B|A）＝＝0，P（A|B）＝＝0，∴P（B|A）＝P（A|B），∴B正确，C，若事件A，B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），∴P（C|（AB））＝＝＝+≠P（C|A）P（C|B），故C错误，D，∵事件A，B互斥，∴P（A+B）＝P（A）+P（B），∵事件A，C独立，事件B，C独立，∴P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），∴P（C|（A+B））＝＝＝＝＝P（C）＝＝P（C|A），故D正确．故选：C．6．6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意，6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，不放回地抽取两次，设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，则，P（AB）＝，则P（B|A）＝．故选：B．7．盒子里有1个红球与n个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则n＝（）A．3B．4C．6D．8解答：解：设事件A为至少有一次取到红球，事件B为两次都取到红球，由每次取后放回知，两次都取到白球的概率为，故，，故n＝4．故选：B．8．甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是红球”，则P（D）＝（）A．B．C．D．解答：解：由题意可得，P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，故P（D）＝P（AD）+P（BD）+P（CD）＝．故选：C．9．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，A表示事件“至少抽到1本数学书”，B表示事件“抽到语文书和数学书”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．解答：解：根据题意可得，，由条件概率的公式得．故选：D．10．设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.3，则P（A|B）＝（）A．0.24B．0.375C．0.4D．0.5解答：解：设A，B为两个事件，由已知P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.3，得P（AB）＝P （B|A）⋅P（A）＝0.15，所以，故选：B．11．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7解答：解：袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连取两个．设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到白球”，P（A）＝，P（AB）＝＝，∴第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为：P（B|A）＝＝＝0.5．故选：B．二．填空题（共4小题）12．从﹣2，﹣1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件B．则P（B|A）＝．解答：解：从﹣2，﹣1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数有种取法，其中满足两数之积为正数的有种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，所以，，所以．故答案为：13．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为．解答：解：若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为，而，，故．故答案为：．14．已知随机事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A|B）＝，则＝．解答：解：依题意得，所以，故，所以．故答案为：．15．已知，，则P（B）＝．解答：解：由题意得，而，得，而，解得，故答案为：．。

经典概率问题：山羊问题（又称蒙提·霍尔问题）山羊问题（又称蒙提·霍尔问题，The Monty Hall problem）是一道著名的概率问题，它源于1963年美国开播的电视游戏节目《让我们做个交易》，现在你作为参赛选手经过重重考验在节目的最后环节脱颖而出，却面临这样一个难题：在你眼前有3扇巨大的关闭的门，编号分别是A、B、C。

站在旁边的主持人蒙提·霍尔告诉你，其中一扇门的后面摆着极为诱人的大奖（比如说一辆小轿车），而另外两扇门的后面各站着一头羊，你需要在这3扇门中选择一扇门，并获得那扇门后面的奖品。

你经过深思熟虑，选择了编号为A的门，在你紧张兮兮正准备打开时，主持人说慢着，然后他打开了编号为C的门，后面正好是一头山羊，然后他问你：现在再给你一次选择的机会，你是坚持选择现在的门A，还是更换成门B？于是你的小脑袋开始转动了，下面观众也开始帮你出谋划策，总结有四种典型的分析：分析1：第一次选择A、B、C门正确的概率为1/3；主持人排除一扇门并不会改变A, B, C 的概率，所以，不管是否更换门获得奖品的概率都是1/3。

分析2：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门以后，剩下两扇门的概率都相应地变成了1/2。

所以，不管是否改变概率都是1/2。

分析3：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A 门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升为1/2。

分析4：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A 门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升到2/3。

仔细思考其实四种分析都有道理，然而你深入思考以后毅然选择了门B，因为选中的概率是2/3，而坚持原来的选择的概率是1/3，理由如下：第一种是从经验主义角度出发的。

你参加这个节目前就在家里面和你的小女儿玩了100次这个游戏，你的小女儿每次都在打开一扇有羊的门后改变最初的选择；然后你又找了你儿子玩了100次，他全都坚持一开始的选择。

一、条件概率生活中很多概率都是在某些特殊条件下的概率。

比如你想知道你在家感染新冠的概率，这是取决于很多方面的，比如，政策有没有放开、是否位于高风险区等等。

只有在这些条件的限制下，我们才能较为准确的求出你想知道的概率。

基本概念：设A，B是随机试验E的两个随机试验，且P(B)>0，称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。

韦恩图：上面A、B分别有两个椭圆，代表了他们的事件范围。

我们想要求在B的条件下A发生的概率，那么直观上分母应该是P(B)，因为条件是事件B就相当于要以事件B作为基础；而由于事件B的限制，事件A中不属于B的部分应该被舍去，它们不在B的控制之下。

所以也很容易理解，分子是A和B的和事件（交集）的概率。

性质条件概率也属于概率，所以它也满足概率的基本性质，只不过会有所改变。

（1）对于每一事件A，0≤P(A|B)≤1（2） P(\Omega|B)=1（3）若A_1,A_2,……,A_n 互不相容，则P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i|B)=\sum_{i=1}^mP(A_i|B) （4） P(A|B)+P(\overlineA|B)=1（5）容斥原理： P(A\bigcup B|B)=P(A|B)+P(B|B)-P(AB|B)二、乘法公式在上文我们知道条件概率的公式为： P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 。

那如果我们此时知道P(B)和P(A|B)，相求P(AB)，可以通过移项转化成下列公式： P(A|B)P(B)=P(AB)同理，我们也可以得到： P(B|A)P(A)=P(AB) 这两个公式我们称其为乘法公式。

上面两个式子在实际计算中要根据问题灵活选择。

我们也可以将其拓展到n个事件中：P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_n…A_2A_1) 我们可以这样理解：$P(A_1)$是假设A1正确，$P(A_2|A_1)$是假设A1正确的情况下A2正确，以此类推三、全概率公式有限划分基本概念：设 \Omega 为随机试验E的样本空间，B1，B2 ，…，Bn为E的一组事件，若(1) Bi∩Bj =f ,i ≠ j(2) B_1∪B_2 ∪…∪B_n=\Omega则称B1，B2，…，Bn 为 \emptyset 的一个有限划分，或称完备事件组。

第1讲 概率、随机变量及其分布列概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法，统计的研究对象是数据，核心是数据分析。

概率为统计的发展提供理论基础，高考中概率与统计考题常常具有鲜明的时代和文化背景，试题难度逐渐加大，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。

基础知识回顾1.古典概型概率公式: ()试验的样本点总数包含的样本点数事件A A P =。

2.条件概率公式:对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫作条件概率，用符号()A B P 来表示，其公式为()()()()()0>=A P A P AB P A B P 3.全概率公式:设n A A A ,...,21n A A A ,...,21是一组两两互斥的事件,Q A A A n = ...21,且()n i A P i ,...,2,1,0=>,则对任意的事件Q B ⊆,有()()()i ni i A B P A P B P ∑==1。

4.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()m k C C C k X P n N k n M N k M ,...,2,1,0,===--，其中{}n M m ,m in =, 且()NM n X E N N M n N M N n •=∈≤≤*,,,,,。

5.二项分布 :一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0<p<1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()()()()()p np X D np X E nk p p C k X P k n k k n -===-==-1,,...,2,1,0,1 6.正态分布: 如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足()()dx x b X a P b au σϕ,⎰=≤<(即x=a ，x=b ，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，那么称随机变量X 服从正态分布记作()2,~σu N X 。

《概率论沉思录》阅读笔记目录一、内容概要 (2)1.1 作者简介 (2)1.2 背景介绍 (3)1.3 研究目的与意义 (4)二、概率论基本概念 (6)2.1 概率的基本定义 (7)2.2 概率的性质 (8)2.3 概率论的基本原理 (9)三、概率论的应用领域 (10)3.1 统计推断 (12)3.2 决策理论 (14)3.3 经济学 (15)3.4 生物学 (16)3.5 其他领域的应用 (18)四、常见概率分布 (19)4.1 正态分布 (21)4.2 泊松分布 (22)4.3 指数分布 (23)4.4 均匀分布 (24)4.5 其他常见分布 (25)五、概率论中的重要方法 (27)5.1 随机实验与样本空间 (28)5.2 条件概率与全概率公式 (28)5.3 贝叶斯定理 (30)5.4 联合概率与边缘概率 (31)5.5 极限定理 (32)六、概率论与统计学的关系 (34)6.1 概率论在统计学中的应用 (35)6.2 统计学中的概率论方法 (37)6.3 概率论与统计学的交叉领域 (38)七、概率论的发展历程与前沿动态 (39)7.1 国际概率论的发展历程 (40)7.2 国内概率论的发展历程 (42)7.3 概率论的前沿动态与挑战 (43)八、结论与展望 (44)8.1 本书的主要观点总结 (45)8.2 对未来研究的展望 (46)一、内容概要《概率论沉思录》一书主要探讨了概率论的基本原理、应用以及与其他数学分支的交叉领域。

作者通过对概率论的历史发展、基本概念、概率模型、随机过程等方面的深入剖析，向读者展示了一个充满智慧与趣味的数学世界。

书中不仅详细介绍了概率论的核心概念，如独立事件、条件概率、随机变量等，还通过大量的例子和评注，帮助读者理解这些概念在实际问题中的应用。

作者也探讨了概率论在统计学、组合数学、优化理论等领域中的重要地位，展示了概率论在解决实际问题中的巨大潜力。

本书还涉及了一些与概率论相关的哲学思考，如因果关系、决策制定等，引导读者从概率的角度重新审视这些复杂的问题。

考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.第五章大数定律及中心极限定理(了解)第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论)第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）第四区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学概率统计的重点难点必考点及重要例题和习题不用做的例题和习题第一章概率论的基本概念P３最后４行的小写字体不用看P５例３不用做（一）频率不用看P6-7 例 1 与例 2 均不用做，P7 概率重点看P9 等可能概率一般都不单独考，考大题经常会用到，P13 例 6 不用做，P14 例 8 不用做 P14 条件概率重点看，P15 例 2 不用做，P16 例 3 不用做，P17 例 4 重点做P17（三）全概率公式和贝叶斯公式为难点P19例5不用做，P20独立性为考研数学的绝对重点，P22例2与例3均不用做P23例4重点做P24-29 不用做的习题是 1、5、6、10、12、15、16、18、19、20、21、23、25、26、29、32、34、35、38、39、40第二章随机变量及其分布P30 例 1 不用看P37 泊松定理只需要记住结论，证明可以不用看P38 随机变量的分布函数为考研必考概念P42 连续性随机变量概率密度为考研必考点P50 随机变量的函数的分布是考大题的重要命题点P53 例 5 不用做P55-59 不用做的习题 1、5、6、7、9、10、11、13、15、16、19、22、27、28、30、31、38、39第三章多位随机变量及其分布P63 性质 4 的解释不用看P65 例 1 不用做，P66 例 3 重点做一下（提升计算能力）P68 例 1 不用做，P72 相互独立的随机变量为重点章节P76 两个随机变量的函数的分布为考大题的重要备考章节P78 例 3 不用做，P81 例 5 不用做P84-89 不用做的习题是 3、6、7、10、11、12、13、28、31第四章随机变量的数字特征P91 例 1 不用做，P92 例 3 与例 4 不用做，P93 例 5 不用做P95 中间的证明不用看，P96 例 8 与例 10 不用做P97 例 11 不用做，P100 例 13 不用做，P105 不用做P107 XY的两条重要性质的推导及含义不用看考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@P108 只需要看前四行即只需要记住定理 4 证明可以不用看P109 例 2 重点做（提升计算能力）P110 矩为一般考点，协方差矩阵不用看P113-118 不用做的习题是 1.4.5.12.13.15.16.18.19.22.23.24.35.36.37.38第五章大数定律及中心极限定理（难点非重点）P124 例 1 不用做P126-127 不用做的习题是 2、4、5、10、11、13第六章样本及抽样分布（一般考点考小题）P130 第四行简单随机样本为重要概念P130 第二节直方图和箱线图不用看P135 第三节抽样分布（考小题），P136 统计量定义及几个常见统计量要重点看而且要牢记其表达式P137 经验分布函数只有数三同学稍微了解P138-141 数理统计所有的三大分布的典型模式要牢记但三种分布的概率密度表达式可以不用记P145-147 定理 2 的证明与推广均不用看P147-148 不用做的习题是 1、5、6、10、11第七章参数估计（数一数三的绝对的重点和难点）P149 点估计数一数三的绝对重点矩估计重点非难点，最大似然估计重点且难点P163-155 例 4 例 5 例 6 重点做P156-158 第二节基于截尾样本的最大似然估计不用看P158 估计量的评选标准数一重点看，数三大纲上虽然没有但建议数三看一下最好P161-168 区间估计，正态总体均值与方差的区间估计，只有数一看，为一般考点P168 0-1 分布参数的区间估计数一数三均不用看P169 单侧置信区间，只有数一看，为一般考点P193-177 数三不用做的习题为 4（3）、6、7、8、9、10、11-27 均不用做数一不用做的习题为4（3）、6、7、8、9、15、17、20、21、22、23、26、27第八章假设检验（数一特有的考点，难点非重点）数一只需要看前四节P178-193从第五节以后均不需要看P218-223 习题只需要做 1、2、3、4 其余的题目可以不用做考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@。

机器学习数学笔记概率论基础常见概型分布期望与⽅差机器学习数学笔记|概率论基础常见概型分布期望与⽅差觉得有⽤的话,欢迎⼀起讨论相互学习~本博客为七⽉在线邹博⽼师机器学习数学课程学习笔记为七⽉在线打call!!概率论对概率的认识,x表⽰⼀个事件,则P(x)表⽰事件发⽣的概率,其中不可能发⽣的事件P(x)=0,⼀定会发⽣的事件P(x)=1.P(x)∈[0,1]但是事件出现的概率是0,并不意味着这个事件不可能发⽣.概率为1也并不意味着事件⼀定发⽣若x为离散/连续变量,则P(x=x0)表⽰X0发⽣的概率/概率分布机器学习中不刻意区别离散/连续变量∑F(x)和∫f(x)意义完全相同公式可以等价看待,前者表⽰离散变量,后者表⽰连续变量累计分布函数:ϕ(x)=P(x<=x0)计算的是x<=x0的概率值的和.因为P(x)∈[0,1],是正数,所以ϕ(x)⼀定是单增函数min(ϕ(x))=0,max(ϕ(x))=1因此可以将值域为[0,1]的单调递增函数y=f(x)看成x事件的累积概率(cumulative distribution function,CDF),若y=f(x)可导,则p(x)= f′(x)为概率密度函数(probabilitydensityfunction,pdf)古典概型如果⼀个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发⽣的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

遇到古典概型的问题,⾸先计算出所有可能的情况,然后计算出满⾜条件的情况,将两者相除后得到的即为事件的概率.N(N−1)(N−2)(N−3)(N−4)...(N−n+1)=P n NP(A)=P n N N n概率公式贝叶斯概率公式以下内容部分或全部摘⾃百度词条定义--摘⾃百度贝叶斯的统计学中有⼀个基本的⼯具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则，尽管它是⼀个数学公式，但其原理⽏需数字也可明了。

小学数学奥数知识点小学数学奥数知识常见的知识点主要有以下方面：加法原理和乘法原理排列组合分数运算勾股定理简单的代数方程逻辑推理几何图形的性质和计算概率问题数列问题质数与合数因数与倍数最大公约数与最小公倍数平均数、中位数和众数简单的立体几何速度、时间和距离问题百分数和小数对称性与反射逆向思维和试错法等式和不等式等等这些内容，就不一一列举了，后面正文里面有详细描述。

一.加法原理和乘法原理：加法原理：指如果一个事件可以分为若干个互不相交的事件，那么这个事件发生的可能性等于这些互不相交事件发生的可能性之和。

乘法原理：指如果一个事件可以分为若干个步骤，每个步骤有若干个不同的选项，那么这个事件发生的可能性等于每个步骤选项数的积。

例题：一个商店出售5种颜色的T恤，6种颜色的裤子，和4种颜色的帽子。

一个顾客想购买一套衣服，包括一件T恤，一条裤子，和一顶帽子。

问有多少种不同的搭配？解答：根据乘法原理，共有5×6×4=120种不同的搭配。

学习方法：通过实际生活中的例子，让学生理解加法原理和乘法原理的应用，多做练习题提高运用能力。

二.排列组合：排列指的是从一组对象中选取若干个对象进行排列，而不同的排列方式被视为不同的情况。

一般来说，如果从n 个对象中选取k 个对象进行排列，那么不同的排列数为n 的k 次方，即A(n,k) = n! / (n-k)!。

组合指的是从一组对象中选取若干个对象进行组合，而不同的组合方式被视为同一种情况。

一般来说，如果从n 个对象中选取k 个对象进行组合，那么不同的组合数为C(n,k) = n!/((n-k)!k!)。

例题：有8个人参加比赛，前三名将获得奖品。

有多少种不同的获奖组合？解答：用排列公式，8×7×6=336种排名。

学习方法：学习排列组合的公式，通过例题演示如何运用公式解决问题，并进行大量实战练习。

三.分数运算：加减运算：对于两个分数进行加减运算，需要将分数的分母化为相同的数，然后将分子相加或相减即可。