等可能条件下的概率(一)(1)

《等可能事件的概率》典型例题在实际生产、生活中经常会遇到一些与概率相关的问题，如何运用概率知识解释在实际生产、生活中的问题，以及解决概率问题，下面通过具体例子进行说明。

一．随机事件的判断例1在下列试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？（1）投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”;(2）一个盘子中有三个大小完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球，“取出的是红球”，“取出的是黄球”，“取出的是黑球”；(3）一个盒子中有四个大小完全相同的球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一球，“取出的是红球",“取出的是黄球",“取出的是黑球”;分析:随机事件是否等可能，要看这一事件在此试验中的所有可能结果中地位是否平等。

解：（1）中给出的随机事件“出现正面”与“出现反面"是等可能的.（2)中给出的三个随机事件：“取出的是红球",“取出的是黄球”,“取出的是黑球"，由于球的大小、个数相同,因此这三个事件是等可能的。

（3）中给出的随机事件:“取出的是红球"，“取出的是黄球”，“取出的是黑球”,由于三种球的数量不同，因此这三个事件不是等可能的。

点评:本题是关于随机试验结果出现的等可能性的探讨,在试验过程中，由于某种对称性条件，使得若干个随机事件中每个事件发生的可能性在客观上是完全相同的，则称它们是等可能事件. 在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的机会是否均等.二．随机试验中条件和结果的判断例2 做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中,不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x,y）,x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.（1）求这个试验结果的个数；（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.分析:首先弄清试验的结果是由两次取出小球的标号构成有序实数对构成，利用枚举列出即可.解:（1）当x=1时有，（1，2),(1，3),（1,4）；当x=2时有,（2，1),（2，3)，（2，4），当x=3时有（3,1），（3，2）,(3，4)当x=4时有（4,1），（4，2），（4，3），所以共有12个不同的有序实数对。

课时练4.2等可能条件下的概率（一）一、选择题1、一个不透明的布袋里装有只有颜色不同的7个球，其中3个白球，4个红球，从中任意摸出1个球是红球的概率为（）A ．21B ．71C ．73D ．742、一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A ．43B ．31C ．51D ．833、电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为（）A ．12B ．1120C ．199D ．331604、某商场举办有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券中，设特等奖1个、一等奖50个、二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是（）A ．15110000B ．10010000C ．5010000D ．1100005、小芳挪一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面向上，当她挪第11次时，正面向上的概率为（）A ．12B ．710C ．711D ．不能确定6、在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是31，则黑球的个数为（）A ．3B ．12C ．18D ．277、在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取1个恰好是白球的概率为31，则放入的黄球总数为（）A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个8、如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的数的概率是（）A ．21B ．32C ．31D ．619、一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（）A ．摸出黑球的可能性最小B ．不可能摸出白球C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大10、在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为()A．14B．12C．34D．1二、填空题11、在一个不透明的袋子中，有3个白球和1个红球，它们只是颜色上有区别，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为．12、某校为了解学生的近视情况，对学生进行普查，统计结果绘制如下表，若随机抽取一名学生，则抽中近视的学生的概率为______．年级七年级八年级九年级总学生数325269206近视的学生数1951568913、事件A发生的概率为15，大量重复做这种试验事件A平均每100次发生的次数是___．14、我国新交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候．某丁字路口从A往B方向是直行，从A往C方向是左转，在A处看到红绿灯的设置时间依次为：红灯40秒、直行绿灯30秒、黄灯3秒、左转绿灯15秒、黄灯3秒；然后又从“红灯40秒…”开始循环，李叔叔随机地开车到达该路口，按照交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走，他恰好直接通过的概率是_______．15、某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为__________．16、如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有数字7的区域内；②指针落在标有偶数数字的区域内；③指针落在标有3的倍数数字的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为______．17、将一个表面涂满红色的正方体的每条棱五等份，此正方体分割成若干个小正方体，从中任取一个小正方体，各面均无色的概率为_____．18、在△ABC中，给出以下4个条件：（1）∠C＝90°；（2）∠A+∠B＝∠C；（3）a：b：c＝3：4：5；（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；从中任取一个条件，可以判定出△ABC是直角三角形的概率是．三、解答题19、求下列事件发生的概率．（1）任意两个有理数相加，其和仍为有理数；（2）从1，2，3，4，5中任选一个数，这个数是完全平方数；（3）不透明袋子中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是白球；（4）笼子里有2只黑兔，3只白兔，共5只兔，从中随意抓一只为灰兔．20、某商场为了吸引顾客，设立了一个翻奖牌（表1中的奖牌对应的奖品一种排法如表2，其中钱数为购物券），并规定：顾客购买不少于200元的商品，就能获得一次翻牌的机会．甲顾客购物220元．（1）甲顾客得到100元购物券的概率是多少？她获得购物券的概率是多少？（2）请你根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率为1 3．21、5只不透明的袋子中各装有10个球，每个球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，分别从每只袋子中摸一个球，摸到白球的概率一样大吗？为什么？（2）将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列．（1）（2）（3）（4）（5）22、在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同．(1)从中任意摸出1个球，摸到________球的可能性大；(2)如果另拿5个球放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和黄球的可能性大小相等，那么应放入几个红球，几个黄球？23、如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．（1）小明如果踩在图1中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；（2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2个地雷．①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是；②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明．参考答案一、选择题1、D．2、A．3、D．4、A.5、A．6、C．7、C．8、B．9、D．10、B．二、填空题11、12、11 2013、20．14、15 91．15、12．16、①③②．17、27 125．18、．三、解答题19、（1）∵任意两个有理数相加，其和仍为有理数是必然事件，∴该事件的概率1P=；（2）∵从1，2，3，4，5中任选一个数，共有5种等可能的结果，其中所选的数是完全平方数有2种可能，即选1，4，∴该事件的概率25 P=；（3）∵共有235+=（个）球，其中有3个白球，∴任取1个球是白球的概率35P=；（4）∵笼子里有2只黑兔，3只白兔，共5只兔，∴从中随意抓一只为灰兔，是不可能事件，∴该事件的概率0P =．20、解：（1）甲顾客购物220元，获得一次翻牌的机会，所以，P （甲顾客得到100元购物券）19=，P （甲顾客得到购物券）89=；（2）答案不唯一，如：甲顾客一次翻牌得到购物券钱数不少于50元．21、解：（1）摸到白球的概率不一样大．理由：因为每个袋子中白球与黑球个数所占比例都不同，因此摸到白球的概率不一样大；（2）根据概率公式可得出每个袋子中摸出白球的概率分别为：1234551219100,,,1,0102105101010P P P P P =========∴将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列为：（5），（2），（1），（3），（4）．22、解：（1）在9个球中，从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为3193=，摸到黄球的概率为6293=，所以摸到黄球的可能性大，故答案为：黄球；（2）∵使摸到红球和黄球的可能性大小相等，∴只需红球和黄球个数相等，∴应放放4个红球、1个黄球．23、解：（1）∵在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．∴小明如果踩在图1中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是1081；故答案为：10 81；（2）①由题意，可得若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是2 8＝14；故答案为：14；②约定对于小亮有利．理由如下：由题意，可得P（小明获胜）＝68＝34，P（小亮获胜）＝728819--＝6472＝89，因为34＜89，P（小明获胜）＜P（小亮获胜），所以约定对于小亮有利．。

OCCUPATION412011 7“等可能事件”的概率的求法文/徐仲玲“等可能事件”是指一次试验中发生的可能性相等的事件，它是随机试验中最简单的一种，等可能事件的概率是一种最基本的概率模型，它是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，使我们可以解决一类随机事件（等可能性事件）的概率，同时避免了大量的重复试验。

学好等可能性事件的概率可以为其他概率的学习奠定基础，帮助学生进一步理解概率的意义，并能够对生活中的一些现象作出解释，使学生体会到数学的有用性。

等可能事件的概率公式：一般地，如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是1n，如果某个事件包含的结果有m个，那么事件Ａ的概率： 。

等可能事件的概率应用比较广泛，习题中涉及到的内容很多，题型千变万化，解法十分灵活多样，等可能事件的概率求法，归纳起来有以下几种。

一、直观分析法例1：有10个型号相同的杯子，其中一等品6个，二等品3个，三等品1个。

从中任取1个，取到各个杯子的可能性是相等的，问取到一等品、二等品、三等品的概率。

解：由于是从10个杯子中任取1个，共有10种等可能的结果。

又由于其中有6个一等品，从这10个杯子中取到一等品的结果有6种。

因此，可以认为取到一等品的概率是610。

同理，可以认为取到二等品的概率是310，取到三等品的概率是110。

直观分析法是可以从题目中直接找出基本事件的总数和事件Ａ包含的基本事件的个数。

二、列举法例2：假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、B、C、D、E。

她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，计算女孩B得到一个职位的概率。

解：5人中仅有3人被录用共有10种不同的结果：(A,B,C )、(A,B,D )、(A,B,E )、(A,C,D )、(A,C,E )、(A,D,E )、(B,C,D )、(B,C,E )、(B,D,E )、(C,D,E )。

概率（1）随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．0()1P A ≤≤（2）等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()mP A n =（3）互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生， P(A+B)=P （A ）+ P(B)一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生这时P(A •B)=０,P(A+B)=P （A ）+ P(B)＝１一般地,()()A P A p -=1（4）相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅。

事件12,,,n A A A 相互独立，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（5）独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(表示事件A在n 次独立重复试验中恰好发生了k 次的概率一、等可能事件的概率例1甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．例2一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率． ；例3一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。