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恒定磁场的旋安培环路定律

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磁场3(安培环路定理、洛仑兹力)

磁场3(安培环路定理、洛仑兹力)
8-4 稳恒磁场的安培环路定理
一、安培环路定理 静电场的环路定理 磁场的环路定理 1.推导
LE dl 0 B dl ?
L
以无限长直导线为例

推广
1). 圆形环路
B dl LB dl cos 0 B Ldl
L
I
l
r
B
0 I 2 r 0 I B 2 r 2 r
cd
0 NI
B (2r )
0 NI
匝数
0 NI B 2 r
I
I
场点距中心 的距离
3. 均匀通电直长圆柱体的磁场 已知: 无限长载流圆柱体,半径 R 电流强度为 I,电流均匀分布 空间任一点 P ,如图 求:该点的磁感应强度? -------磁场分布
I
R
μ0μ
解: 1. 内部磁场 • 对称性分析 • 做对称性环路
3. B 是全空间电流的贡献,
但只有I内 对环流
B d l 有贡献。
L
4.说明磁场为非保守场称为涡旋场
三、环路定律的应用（重点） B dl 0 I i内
一般步骤: 1.对称性分析 2.做对称性环路
L i
3.用环路定理解题
B dl 0 Ii内
B
二. 应用-------霍耳效应 1879年霍耳（A.H.Hall） 1.定义: 在匀强磁场 B 中，金属导体板通有电流 I B，在与 I 和 B 都垂直上下表面出现横向电势差的现象 实验指出：
பைடு நூலகம்
B
b
IB UH b IB U H RH b
a
++++++++

磁场的安培环路定理

磁场的安培环路定理

电荷均匀分布

E
2 0r
E0

E
2 0r
E

r 2 0 R2
E 2 0r
电流均匀分布
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B

0 Ir 2R 2
B 0I 2r
(16)磁场的安培环路定理 （2）面对称
无限大载流导体薄板
I
已知：导线中电流强度 I
单位长度
位置移动
I1 I2
I4
I3
l
不变
? B dl 0 Ii 0 ( I2 I3 )
? 改变
?
不变
(16)磁场的安培环路定理
注意3
安培环路定理

n
B dl 0 Ii
i 1
当电流呈体分布时 B dl 0 S j dS
闭合路径包围的电流为电流
导线匝数n
解：分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba
.........
cd
(16)磁场的安培环路定理
计B算 d环l 流abBdl cos 0

c
b
Bdl
cos

2
cd Bdl cos 0

da
Bdl
cos

2
B ab B cd
2B ab
l

B B1 B2 B3
Bdl
l

0 (I 2
I3)
【总结】以上结果对任意 形状的闭合电流（伸向无 限远的电流）均成立.
安培环路定理

11-5真空中磁场的安培环路定理

11-5真空中磁场的安培环路定理
L
0 I d d L 2 L 0 I 2
1 2

L1
L2

I
o I B 2 r
A
0

B
L2 L1
规定：与L绕向成右旋关系 Ii > 0 与L绕向成左旋关系 Ii < 0 例如：
I2
I1
I3
L
I4
I
L
I I I 1 2 3 i
0 I
2πr
r
B
B 外 方向与I指向满足右旋关系
B内 0
B外
O
R
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B 的分布。
(1) r R2 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
R2
R1
I
r I
( 3) r R1 , B 0

0 j B
2
0 j x arctg 2π z z 2
0 zj 1
o
x

0 j
2
解二、用安培环路定理
j
z
l
在对称性分析的基础上

x
选如图安培环路 得：B
由：

L
B dl 2lB 0 jl
0 j
2
思考：如果载Байду номын сангаас平面不是无限宽， 思考 能否用叠加原理求解？ 能否用安培环路定理求解？
例4. 求无限长载流圆柱形导体的磁场分布. 对称性分析：
L
dI
r
dI dI o r dI
dB
dB
I

大学物理安培环路定理

大学物理安培环路定理

10-4 安培环路定理静电场的一个重要特征是电场强度E 沿任意闭合路径的积分等于零，即0d =⋅⎰l E l，那么，磁场中的磁感强度B 沿任意闭合路径的积分⎰⋅ld lB 等于多少呢？可以证明：在真空的稳恒磁场中，磁感强度B 沿任一闭合路径的积分（即B 的环流）的值，等于0μ乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和，即∑⎰==⋅ni lI10 d il B μ （10-8）安培环路定理与静电场环路定理的比较 讨论：安培环路定理的证明如图(a)所示，有一通有电流I 的长直载流导线垂直于屏幕平面，且电流流向垂直屏幕平面向内. 在屏幕平面上取两个闭合路径1C 和2C ，其中闭合路径1C 内包围的电流为I ，而在闭合路径2C 内没有电流. 从图（b ）可以看出，由于磁感强度B 的方向总是沿着环绕直导线的圆形回路的切线方向，所以对闭合路径1C 或2C 上任意一线元l d ，磁感强度B 与l d 的点积为ϕαd cos d d Br l B ==⋅l B式中r 为载流导线至线元l d 的距离. 由第10-2节二中例1的式（2），上式可写成ϕμϕμd π2d π2d 00Ir rI==⋅l B （1）对于图（a ）的闭合回路1C ，ϕ将由0增至π2. 于是，磁感强度B 沿闭合路径1C 的环流为这就是真空中磁场的环路定理，也称安培环路定理。

它是电流与磁场之间的基本规律之一。

在式（10-8）中，若电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值；反之则取负值。

⎰⎰===⋅1000π2π2d π2d CIIIμμϕμl B （2）可见，真空中磁感强度B 沿闭合路径的环流等于闭合路径所包围的电流乘以0μ，而与闭合路径的形状无关.然而，对于图（a ）中的闭合路径2C ，将得到不同的结果，当我们从闭合路径2C 上某一点出发，绕行一周后，角ϕ的净增量为零，即⎰=0d ϕ于是，由式（1）可得⎰=⋅20d c l B （3）比较式（2）和式（3）可以看出，它们是有差别的. 这是由于闭合路径1C 包围了电流，而闭合路径2C 却未包围电流. 于是我们可以得到普遍的安培环路定理：沿任意闭合路径的磁感强度B 的环流为⎰∑=⋅20d c I μl B式中∑I 是该闭合路径所包围电流的代数和 人物简介：安培简介安培(Andre Marie Ampere,1775-1855)，法国物理学家，对数学和化学也有贡献，他在电磁理论的建立和发展方面建树颇丰。

10恒定磁场 - 安培环路定律

10恒定磁场 - 安培环路定律
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
（ ） 0 I1 I 2
问
1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L 是否回路 L 内无电流穿过？
4.4 磁偶极子
1 定义： 磁偶极子是指所围成的
面积趋近于0时的载流回路， 用矢量磁偶极矩表示。
0 M A dV 4π V R 4π
J M M
0
M en S R dS
磁化电流模型
两种磁化电流密度与磁化强度的关系为 ：
K M M en
4.5 磁媒质
总结以上分析可得：
① 媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看做是由磁化电流
产生的磁场（见公式4-5-10和4-5-11）。 分布的磁化电流所产生的磁场等效地描述； ② 与自由电流一样，磁化电流也遵从毕奥--沙伐定律产 生恒定磁场；
图 磁偶极子受磁场力而转动
4.5 磁媒质
1 磁化的概念：
无外磁场作用时，介质对外不 显磁性， n mi 0
i 1
图3.2.14 介质的磁化
在外磁场作用下，磁偶极子 发生旋转， n
mi 0
i 1
4.5 磁媒质
2 磁化强度：
磁媒质中单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为
磁化强度。
M lim
m
i 1
n
i
V 0
V
（A/m）
矢量磁位：
0 m eR A 2 dV 4 V R
磁偶极子模型
4.5 磁媒质
3 等效磁化电流密度：
磁化后，媒质中形成新的电流，称为磁化电流。形成磁化 电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以又称为束缚电

大学物理-磁场 安培环路定律

大学物理-磁场 安培环路定律

Φ BS cos BS
s
一般情况 Φ s BdS
dS2
B
S 2
dS1
1
B1
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
B2
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（故磁场是无源的）.
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
n
安培环路定理
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
B
dl
0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
应用 安培环路定理的应用举例
例1
求载流螺绕环内的磁场
解 （1）对称性分析：环内B 线为同心
B dl B 2r 0 I
B 0 I 1 2r r
I
r LR
r L
分布曲线
B
0 I 2R B r
B 1 r
o
R
r
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
解 如图，作安培环路
abcda，应用安培环路 定理
b
l B d l 2a B dl

安培环路定律—恒定磁场的旋度方程

安培环路定律—恒定磁场的旋度方程

磁场是有旋场(涡旋场)，与磁场的散度方程一致
磁感线与电流垂直并相互交链
恒定磁场有旋性的直接证明
B A ( A) 2 A
A 0 Jc (r)dV
4 V
R
0
4
V
J
c
(r
)
1 dV R
0 Jc (r) dV
4 V
R
0 Jc (r) dS 0
4 S R
4 V
R
0
4
V
Jc (r)2
1 R
dV
0 V Jc (r) (r r)dV
R r r
2 1 4 (r r)
r r
冲激函数
0Jc (r )
B 0Jc (r )
Bdl l
S ( B) dS 0
S JC dS 0
Ii
4.3 安培环路定律— 恒定磁场的旋度方程
电工基础教研室 由佳欣
真空中的安培环路定律
Bdl l
0
S JC dS 0Ii来自在真空稳恒磁场中，B 沿任一闭合路径的积分，等于0 乘以
该闭合路径所包围的各电流的代数和
B 对任意闭合曲线L 的环流不恒等于零，磁场是非保守立场，
没有磁势的概念
B 0JC
R r r
1 1 RR
(F) F F (F) F F
恒定电流场是无源场
Jc 0
由于所有电流分布被包含在积分区域内，因此没有电流通过 界面S，面积分为零，则有 A 0
恒定磁场有旋性的直接证明
B A ( A) 2 A
2 A 0 2 Jc (r) dV

11-6 安培环路定理

11-6 安培环路定理

d
B1
I
r1
B2 dl 2 dl1
0 I 0 I B1 dl1 r1d d 2 r1 2π
r2
0 I 0 I B2 dl2 r2 d d 2 r2 2π
l
B1 dl1 B2 dl2 0 B d l 0
L4
第十一章 恒定磁场
11 – 6 安培环路定理
B dl 0
L
④ 穿过 L 的电流： 对 B 和 LB dl 均有贡献 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献 对 LB dl 无贡献 B : 与空间所有电流有关 B 的环流： 只与穿过环路的电流代数和有关
(1) 回路 L 内的 I (2) 回路 L 内的 I (3) 回路 L 内的 I (4) 回路 L 内的 I
第十一章 恒定磁场
不变， L 上各点的B 不变. 不变， L 上各点的B 改变. 改变， L 上各点的B 不变. 改变， L 上各点的B 改变.
11 – 6 安培环路定理
l
R R
L
r
2π r 2 πr 0 r R B d l 0 I 2 l πR 2 0 Ir 0 r B 2π rB 2 I 2 2π R R
第十一章 恒定磁场
B
0 I
B
dB
I
.
dI
B
11 – 6 安培环路定理
B
的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
例 如图，流出纸面的电流为 2 I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中哪一个是正确的? （） (1)
(2) (3) (4)

12.4 安培环路定律

12.4 安培环路定律

§12.4 安培环路定律
1. 安培环路定理 简单探讨：
大学物理教程
讨论
I
（1）若回路L绕向与I成反右螺旋
B dl B cosdl
L L
B
O
dl
R
0 I cosdl 0 I L 2R
L
结论：L与I成右螺时，I取正，反之为负。
§12.4 安培环路定律
x

o
§12.4 安培环路定律
y
第十二章 恒定磁场
大学物理教程
解：① 利用磁感强度叠加原理分析电场对称性； 与平面等距离 各点磁感强度
大小：相等 方向：±y
dBP
x
z
P

BP

y
BA

A
o
o
§12.4 安培环路定律
I 0 大小： B 2π R 磁场 方向：与I成右螺旋
大学物理教程
I
B
取线元 dl ，则环流为：
0 I cos0dl B dl B cosdl
L L
O
dl
R
L
L
2R

d l 0 I 2π R
l
0 I
闭合路径所 包围的电流
第十二章 恒定磁场
（ r R）
B
0 I
2πr
§12.4 安培环路定律
第十二章
恒定磁场
L
（方法二：安培环路积分法） 适用性：磁场具有对称性 步骤为：
① 利用磁感强度叠加原理分析磁场对称性； ② 根据对称性选择合适的路径，计算路径
包围的电流代数和；

电磁学讲义11-安培环路定理

电磁学讲义11-安培环路定理

• 如图示电流I均匀分布在半径R的无限长圆柱体
内，取柱坐标系
– 根据对称性分析有（a）以ｚ轴为轴的圆柱面上磁场大小 相等（b）磁场方向应该是垂直r，沿 ϕˆ 方向，和ｚ轴成 右手螺旋关系（把圆柱电流划分成无数电流线，考虑对 称电流线的磁场的叠加的结果）。
– 如图，取圆形环路在垂直ｚ轴的面内，且圆心在ｚ轴
I
z 上，环路方向和ｚ轴成右手螺旋关系。
R
根据安K培环K路定理： K K
K ∫ B • d l = μ 0 ∫∫ j • d S
B
S
KK
又： ∫ B ⋅ dl = 2πrB
LK
r
L O
K B
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
μ0 I ϕˆ 2πr μ0 Ir ϕˆ
⎩ 2πR 2
r≥R r≤R
B
O
R
r
例：均匀无限大直向面电流的磁场
∇•B =0
• 据在矢矢量量分场析AK ，，此满K 式足成：立的K 充要条件是存
B =∇×A
– 矢量A称为磁矢势 – 矢 的梯量A度并：不∇ 唯× (一AK ，+ 可∇ ϕ以)加= 任∇ 意× A一K 个标量场φ
– 为了唯一确定磁矢K势，常规定： ∇⋅A= 0
# 三种坐标系中的弧微分矢量
•
直角坐标系
对安培环路定理的一个误解
• 恒定磁场安培环路定理中的电流是闭合稳恒电 流(无限长电流可看作在无限远处闭合)，而不
适用于非稳衡电流或电流元。
如图：取围绕电流元的圆形闭合环路
∫
KK B ⋅ dl
=
μ0I 4π
∫
⎜⎛ ⎝
ΔxK × rˆ r2
⎟⎞
⋅
K dl

6-2磁场的高斯定理和安培环路定理

6-2磁场的高斯定理和安培环路定理

例6-3 如图所示,载流长直导线上的电流强度为 I , 它与边长分别为 a 和 b 矩形共面，边与长直导线平 行,两者之间的距离 d .求载流长直导线的磁场穿过 该平面的磁通量. 0 I 解 B 2π x B C B I
dΦ BdS
0
I
b
A dx D
2π x
bdx
o
x
d
a
0 Ib d a dx Φ 2 π d x 0 Ib d a ln 2π d
I2 I 3
l
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
L
I1
B d l 0 (I1 I1 I1 I 2 )
L
0 I1 I2） （
第六章 恒定磁场
11
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
0 乘以该闭合路径
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
第六章 恒定磁场
9
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
注意
(1)环路定理中的磁感强度 B
为闭合路径 L 上的 磁感强度,它是由空间所有电流产生的。 (2)磁感强度沿闭合路径的环流,仅与闭合路径所包
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁 感 线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I I I
第六章 恒定磁场
1
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
I S S N I
N

安培环路定理在恒定电流的磁场中磁感强度沿任何闭合路径的线积分

安培环路定理在恒定电流的磁场中磁感强度沿任何闭合路径的线积分

安培环路定理在恒定电流的磁场中，磁感强度沿任何闭合路径的线积分等于此路径所环绕的电流的代数和的μ0倍。

安培 载流导线在磁场中所受的作用力。

毕奥-萨伐尔定律实验指出，一个电流元Idl 产生的磁场为场强叠加原理 电场中某点的电场强度等于各个电荷单独在该点产生的电场强度的叠加(矢量和)。

磁场叠加原理 空间某一点的磁场(以磁感强度示)是各个磁场源(电流或运动电荷)各自在该点产生的磁场的叠加(矢量和)。

磁场能量密度单位磁场体积的能量。

磁场强度是讨论有磁介质时的磁场问题引入的辅助物理量，其定义是磁场强度的环路定理 沿磁场中任一闭合路径的磁场强度的环量(线积分)等于此闭合路径所环绕的传导电流的代数和。

磁畴 铁磁质中存在的自发磁化的小区域。

一个磁畴中的所有原子的磁矩(铁磁质中起主要作用的是电子的自旋磁矩)可以不靠外磁场而通过一种量子力学效应(交换耦合作用)取得一致方向。

磁化 在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象。

返回页首磁化电流(束缚电流) 磁介质磁化后，在磁介质体内和表面上出现的电流，它们分别称作体磁化电流和面磁化电流。

磁化强度 单位体积内分子磁矩的矢量和。

磁链 穿过一个线圈的各匝线圈的磁通量之和称作穿过整个线圈的磁链，又称"全磁通"。

磁屏蔽 闭合的铁磁质壳体可有效地减弱外界磁场对壳内空间的影响的作用称作磁屏蔽。

磁通连续原理(磁场的高斯定理)在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量总为零。

磁通量 通过某一面积的磁通量的概念由下式定义磁滞伸缩 铁磁质中磁化方向的改变会引起介质晶格间距的改变，从而使得铁磁质的长度和体积发生改变的现象。

磁滞损耗 铁磁质在交变磁场作用下反复磁化时的发热损耗。

它是磁畴反复变向时，由磁畴壁的摩擦引起的。

磁滞现象铁磁质工作在反复磁化时，B 的变化落后于H 的变化的现象。

D 的高斯定理通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。

其表示式是带电体在外电场中的电势能即该带电体和产生外电场的电荷间的相互作用能。

7.5 磁场中的安培环路定理(7)

7.5 磁场中的安培环路定理(7)

4.该定理可由毕－萨定律导出；
例：讨论如图所示问题；

LB dl ？
I1
I2 I3
I1
L
I1
例：讨论如图所示问题；

Bdl L
0 (I1 I1 I1 I2 )


（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1

问: 1. B是否与回路 L 外电流有关？


2.若 B d l 0，是否回路 L上各处 B 0？ L
解心圆:1.，对环称外性分B 为析零:环；内 B 线为同
2.选 回路 为同心圆环得:
l B d l 2π RB 0NI
B
0 NI
2πR
e
d
R
令L 2πR
B （0 NI
L）e
当 2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
关于安培环路定理

n
B dl 0 Ii
是否回路L 内无电流穿过？
7.5.2 安培环路定理的应用 1.无限长均匀密绕直螺线管内的磁场
解: 1.对称性分析螺旋管内为沿轴向均匀场 , 外部磁
感强度趋于零 ，即 B 0 。
选回路 L如图所示：

回路方向与电流成右螺旋； 电流取正，由定理得：

M
N
++ P
+
++
+
+L+
7.5 磁场中的安培环路定理
7.5.1 安培环路定理

定理:真空中的恒定磁场，其磁感应强度 B沿任一闭
合路径的积分，等于 0乘以该闭合路径所包围的电

§7.3 磁场的安培环路定理

§7.3 磁场的安培环路定理


解 B分布为柱对称，作同轴圆形安培回路。
r

R
:

B
dr


B

dr
cos 00 B dl
L
L
L
I
r
B dl B 2 r
B

dr

L
0
I
L
B

0I 2 r
可等效成 ……
B
rR
L· 11 ·
Chapter 7. 恒定磁场
§7. 3 磁场的安培环路定理
三、安培环路定理的应用
对于某些对称性磁场，可选取适当的回路 L，使得 回路 L 上各点 B大小相等，方向与 dr相同，则：

B

dr


B
|
d
r
|

cos
0
o
B

|
dr
|
L
L
L

B

dr

0

Ii
B
L
( L内)
·9 ·
Chapter 7. 恒定磁场
§7. 3 磁场的安培环路定理
L
0I 2 r

dr

cos
0o
L


0I 2 r

dl 0I
B
L

L
r
B
dr
·2 ·
Chapter 7. 恒定磁场
§7. 3 磁场的安培环路定理
在磁感线平面内作一闭合回路L：


LB
dr

0I 2

磁场高斯定理 安培环路定理

磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0

3-13恒定磁场的安培环路定理概述

3-13恒定磁场的安培环路定理概述
分析场结构：有轴对称性
以轴上一点为圆心，取垂直于轴 的平面内半径为 r 的圆为安培环路
I
dS ''
dS
'
dB
B dl 2rB o I
L
' dB
'' dB
B 0
o I B 2r
rR
rR
B
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流 都集中在轴上的直线电流的磁场相同 P87-88
pmi
i
为了表征物质的宏观磁性或介质的 磁化程度，定义磁化强度矢量： 单位体积内分子磁矩的矢量和 它带来附加磁场 B '的贡献。
V
单位：安培/米 (A/m)
显然它与介质特性、温度等有关。
M 是描述磁介质的宏观量
1奥斯特(Ost)=103/(4) (A/m)
顺磁质M 与B0 同向， 所以B ' 与 B0 同方向 抗磁质 与 反向， B M 0 所以 B与 ' B0反方向， B' B'
B0
I
I
B
I * 顺磁质 r 1 I 如氧、铝、钨、铂、铬等。 * 抗磁质 r 1 如氮、水、铜、银、金、铋等。 超导体是理想的抗磁体 * 铁磁质 r 1 如铁、钴、镍等
13
4.3 分子电流和分子磁矩 类似电介质的讨论，从物质电结构说明磁性的起源
1819年 奥斯特发现电流
束缚电荷面密度的大小等于 M 电极化强度的法向分量。
4.6 磁化强度的环流（环路线积分） b i' 以充满介质的螺线管为例， a 选如图回路，求环流
M
c
d
ˆ n

磁场环路定理

磁场环路定理

于是：
L d 0
3.多根导线穿过安培环路：
d L
L 1 d
L2 d
0
i
4行.与环导路线不的在平一面个平d面和内垂，直这于时导把线d的分平解i面到d平
L d L ( d + d )
L d L d
0 0 0
注意：
① 电流的正负由积分时，在环路上所取的绕 向决定——Ii 可正可负 ，电流方向与环路绕向 满足右手螺旋的电流为正，不满足的为负。不 穿过的对环流没有贡献。
② 对电流的作和——仅对穿过环路 L 的电流 的电流强度作代数和。但如果一载流导体与积
分环路 N 次链套，则对环流有0NI 的贡献。
B dl 0NI
L
I1
I2
L
I3
I4
B dl 0 Ii
L
i
0 (I1 I2 )
图中
电流
I
都是
L 闭合
电流
B dl 0 Ii
L
i
0 (I I ) 20I
真空中稳恒磁场的安培环路定理
从静电场的电场线是非闭合的，静电场的环流
E dl 0
E 是保守场
→电势
磁感应线是闭合的，磁场是非保守场→无磁势
B dl 0 涡旋场 B dl ?
一、真空中稳恒磁场的安培环路定理
1. 定理的表述 ：
在真空中的恒定磁场内，磁感应强度 B 沿任
意闭合环路的线积分 —— B 的环流等于穿过
积分环路的所有传导电流的电流强度的代数和
的 0 倍。
2. 数学表达式： ——磁场为涡旋场
B dl 0
L
i
Ii
(有旋场) ——磁场为非保守场
证明：
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密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
解：
C B dl 0 I
y
左边圆柱
2 r1 B1 0 r12 J
B1
a1
0 r1J
2
右边圆柱
r1
r2
O1 d
O2
x
2 r2 B2 0 r22 J
B2
a2
0 r2J
2
B B1 B2
0 J
2
d
r ay
电磁场理论基础第四章
电磁场理论基础第四章
B A yax A xay
是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
例3：证明矢量磁位A1
ax cos y ay sin x
和 A2
ay
sin x
x sin
y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d 2 a 。除两
例5：半径为
a
的长圆柱面上有密度为
J
的面电流，分别求
S
下述两种情况下的圆柱内、外的磁感应强度。
⑴
电流方向沿
a
方向；
⑵
电流方向沿
az
方向。
解： ⑴
B
az
Bz
r
在圆柱内、外， B 0
B
a
Bz r
0
由此可知，磁场是一个与 ，z 和 r 无关的常量。
⑵
电磁场理论基础第四章
例2：判断矢量函数
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流，
密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
二、矢量磁位的计算 1、直接应用矢量磁位的计算公式。
2、求解矢量磁位的泊松方程或拉普拉斯方程。
三、电流的计算
四、磁通量的计算
五、力的计算
电磁场理论基础第四章
例2：判断矢量函数
B A yax
Axay
是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
解：
由
B
0
，可知此矢量函数可以是某区域的
和
A2
ay
sin x
x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
解：
1
1
J1 0 B1
0
a x cos y a y sin x
J2
1
0
B2
1
0
a x cos y a y sin x
2 A1
2
ax
cos
的磁场。
B
解：
l B d l 0I
B
2B l 0 JSl
B 0 JS
2
在平面上方：B
0J
2
S
ax
在平面下方：
B
0J S
2
ax
dB2 y
dB
P
dB1 d
dl2
o
a
lc
dl1
x
b
真空中恒定磁场的计算：
电磁场理论基础第二章
一、磁感应强度的计算 1、直接应用磁感应强度的计算公式。 2、应用安培环路定理。 3、由矢量磁位的旋度求。
磁感应强度。
ax
ay az
J
1
0
B
1
0
x
y z
Ay Ax 0
2A
0 az
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1
ax
cos
y ay
sin x
和
A2
ay
sin x
x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
y ay
sin x
ax cos y a y sin x 0J1
2 A2
2
ay
sin
x
x sin
y
ay
sin
x
x
sin
y
0J2
这是由于 A1 满足库仑规范，而 A2不满足库仑规范。
电磁场理论基础第四章
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ，d 2 a 。除两
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流，
第四章 恒定磁场
4.1 安培定理与磁感应强度 4.2 恒定磁场的散度和矢量磁位 4.3 恒定磁场的旋度 4.4 物质的磁化 4.5 恒定磁场的基本方程 4.6 标量磁位 4.7 边界条件
B A
A
2
A
A 0
2
A
2
A
0J
0J
B 0J
安培环路定律的微分形式
S B dS S 0J dS
C B dl 0I
安培环路定律的积分形式
B
0 I 2r
a
证明：
C
B dl
0I
1、安培环路与磁力线重合
d
dl
B
rB
C
2、安培环路与磁力线不重合
z
l 2
R
dz z r r
0
l2 I
3、安培环路不交链电流
C B dl 0
M(,, z)
C
4、安培环路与若干根电流交链 C B dl 0 Ik
Px, y, z
r
C
例题：求无限长同轴线 各处的磁感应强度。
r B
0 Ir 2 a2
r a
ra
c ba
z
r
r B
0 I 2 r
r a
arb
r B
0 I 2 r
1
r2 c2
b2 b2
r a
r
B0
cr
brc
Br
0 I 2a
0 I 2b
a bc
例题：计算电流面密度为 JS的
无限大的均匀电流平面
解：
ax
ay az
B1 A1 x
y
z
az
cosy sin x 0
ax
ay
B2 A2 x
y
az
az
cos
x
sin
y
z
0 sin x x sin y 0
显然，两者的磁场相同。
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1
ax
cos
y ay
sin x