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第21卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张 卫，史滋福(湖南师范大学 数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘 要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如 命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张 卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明 因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明 设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明 设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期 张 卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明 不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈 侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。
多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。
多项式是整式的一种。
不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。
多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6，6就是常数项。
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数为正无穷大。
单项式和多项式统称为整式。
多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
关于多项式不可约性的定理
多项式不可约性定理（Irreducibility Theorem）是数论中
一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根。
多项式不可约性定理的形式很简单：任何一个非负整数的多项式，只要它的系数不全为
0，就是不可约的。
这个定理的证明是由古典数论中的结论——“欧拉定理”推导而来的。
欧拉定理宣称：任何一个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。
通过把多项式的系数转换为质数的乘积，可以把多项式分解为该质数的乘积，从而证明多项式不可约性定理。
多项式不可约性定理有着重要的应用价值。
它可以用来确定一个多项式是否可以被约分，以及求解多项式的根。
例如，如果一个多项式的系数都是质数，那么它就是不可约的，而且可以求出它的根；如果一个多项式的系数不全是质数，那么它就是可约的，可以用约分的方法求解。
多项式不可约性定理的另一个重要的应用是，它可以用来证明另外一个重要的定理，即“欧拉定理”。
例如，如果一个正整数大于
1，它可以表示为质数的乘积，那么它就是不可约的，而
且可以用多项式不可约性定理来证明。
总之，多项式不可约性定理是数论中一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根，也可以用来证明欧拉定理。
因此，它对数论的研究有着重要的意义。
有理系数不可约多项式的判别
对于一个多项式 f(x)，如果它的次数小于等于 3，那么它一定
是可约的，因为任何次数小于等于 3 的多项式都可以通过因式分解为
线性因式乘积。
对于次数大于 3 的多项式 f(x)，要判断它是否为不可约多项式，可以使用以下方法之一：
1. 尝试寻找 f(x) 的有理根。
如果 f(x) 的有理根存在，则
f(x) 是可约的，因为有理根可以转化为一次因式。
2. 使用 Eisenstein 判别法：如果存在一个素数 p，使得 p
能够整除多项式 f(x) 的所有非首项系数，但不能整除首项系数，并
且 p^2 不能整除多项式的常数项系数，那么 f(x) 是不可约的。
3. 使用约化多项式的方法。
假设 f(x) 是不可约的，那么根据
整系数多项式的性质，可以将 f(x) 看作是有理数系数多项式。
为了
判断 f(x) 是否可约，可以考虑将 f(x) 通过符号替换，转化为一个
整系数多项式 g(x) = f(ax+b)，其中 a 和 b 是整数。
如果 g(x) 是
可约的，则 f(x) 也是可约的。
这些方法可以帮助我们判断一个多项式是否是不可约多项式，但
需要注意的是，并不是所有的不可约多项式都可以通过这些方法判断
出来。
对于高次多项式，判别它是否为不可约多项式可能会更加困难。
三个多项式(不)可约性的证明1(浙大1993(16分)).证明f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1在Q上不可约,其中a1,a2,···,a n是互异的整数.证明:(证法1)若不然，假设f(x)=φ1(x)φ2(x),由于f(x)是整系数多项式，所以可设φ1(x)和φ2(x)均为整系数多项式，且∂[φ1(x)]<∂[f(x)],∂[φ2(x)]<∂[f(x)].f(a i)=φ1(a i)φ2(a i)=−1,考虑到它们均为整系数多项式，所以有φ1(a i)=±1,φ2(a i)=∓1.令g(x)=φ1(x)+φ2(x),则g(a i)=0,i=1,2,...,n.而∂[g(x)]≤∂φ1(x)<n,∂[g(x)]≤∂φ2(x)<n,得g(x)=0,φ1(x)=−φ2(x),所以f(x)=−φ2(x).1于是对任意的实数c,f(c)=−(φ1(c))2≤0.但再由条件：f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1,取c=max{a1,a2,...,a n}+3,则f(c)≥3n−1>0,矛盾.于是假设错误，所以f(x)在Q上不可约.(证法2)由于φ1(a i)=−φ2(a i),i=1,2,...,n且∂[φk(x)]<∂[f(x)]≤n,k=1,2.,所以f(x)=−[φ1(x)]2.由于φ1(x)和φ2(x)都是整系数多项式,所以−φ21(x)的首系数为负数,而f(x)的首系数为+1,矛盾.例2.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x+a1)(x+a2)···(x+a n)+1在Q上可约的充要条件是f(x)=g2(x),g(x)∈Z[x].证明:充分性显然成立.必要性.若f(x)在Q上可约，因为f(x)∈Z[x],可设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又因为f(a i)=1,所以g(a i)和h(a i)同时为1或−1,即g(a i)=h(a i),i=1,2,...,n.又∂[g(x)]<∂[f(x)]≤n,∂[h(x)]<∂[f(x)]≤n,得g(x)=h(x),所以f(x)=[g(x)]2.例3.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1在Q上不可约.证明:若f(x)在Q上可约，设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又对任意的c∈R(实数)，f(c)=(c−a1)2(c−a2)2···(c−a n)2+1>0,所以f(x)无实根.考虑f(a i)=g(a i)h(a i)=1,g(x)和h(x)均为整系数多项式，所以g(a i)=1且h(a i)=1或g(a i)=−1且h(a i)=−1.不妨假设存在a k使得g(a k)=1,则由于g(x)也无实根，所以必有g(a i)=1,i= 1,2,...,n.再考虑到若g(x)的次数小于n,得g(x)≡1,这是不可能的.所以∂[g(x)]=∂[h(x)]=n.由于g(a i)−h(a i)=0,且g(x)和h(x)都是首系数为1的n次多项式,所以g(x)−h(x)的次数小于n,且有n个互异的根a1,a2,...,a n,因而g(x)≡h(x),得f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1=[g(x)]2.令l(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n),则[l(x)]2+1=[g(x)]2,(g(x)−l(x))(g(x)+l(x))=1.对任意的a∈Z,(g(a)−l(a))(g(a)+l(a))=1(两个整数的乘积为1)，g(a)−l(a)=g(a)+l(a)=1或(−1).得l(a)≡0,矛盾.所以f(x)不可约.。
有限域上的不可约多项式你有没有想过，数学其实也能像解谜一样有趣？我们今天来聊聊一个特别的数学宝贝——有限域上的不可约多项式。
别被这个名字吓到，听起来像是要去攻占数学的城堡，其实它就像是一个好玩的谜题，一点也不难，只要你细细琢磨，绝对能捉摸出其中的奥秘。
让我们搞清楚什么是“有限域”吧。
这个“有限”可不是说它一无所有，恰恰相反，它就是有一堆数不过来的元素，但是这个元素的个数是有限的，像一个小小的、有边界的世界。
举个简单的例子，假如我们在一个有限的世界里，只能用0 和1 来做加减乘除，那我们就有了一个很简单的有限域——二进制。
你是不是开始觉得有点意思了？而在这个小世界里，有限的数就能用来做很多有趣的事情，比如加法、乘法，甚至还可以定义一些神奇的运算。
好啦，那不可约多项式又是啥呢？就像它的名字一样，这种多项式可是“无敌”的存在，它没办法被拆解成更小、更简单的东西。
就好比你面前的一块巧克力，你想分成两半，但发现它硬是没法分裂开来，因为它是“不可约”的！在有限域里，找出不可约多项式就像在寻找那些顽强的小精灵，它们不容易被分解，但却能够带给我们极大的帮助。
不可约多项式就像是一个小小的魔法钥匙，能够帮助我们在有限的数字世界里解锁更复杂的谜题。
想象一下，你拿到一个多项式，可能它看起来很复杂，好像就要崩溃一样。
你开始怀疑自己是不是走错了门，但别急，先试着把它分解一下。
一个普通的多项式，你可能能找到它的因子，把它拆开来，好像拆掉了一个“盔甲”，然后里面的部分就暴露出来了。
但对于不可约多项式，它就像是铁打的“心脏”，你无论怎么捣鼓，它都不屈不挠地坚挺着。
这种特性在很多地方都能派上用场，比如在密码学里，用不可约多项式做出的“加密算法”就能够保护我们的信息安全，简直是数字世界中的超级英雄。
有限域上的不可约多项式并不是随便就能找到的。
想要找出它们，你得有点“眼力”。
这种多项式通常不是一眼就能看出来的，它们隐藏在一堆看似普通的多项式中，好像藏在一堆草丛里的小猫咪。
第27卷V01．27第3期N o．3中州大学学报J O U R N A L O F Z H O N G Z H O U U N I V E R SnY2010年6月JuJ．20l O利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定王骁力1，夏云青2(1．南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061；2．中州大学信息工程学院，郑州450044)摘要：文中讨论了整系数多项式的不可约判定的充分条件Ei s ens t ei n判别法的若干等价形式，并借助同态映射，i正B／t了整系数多项式不可约的若干判定定理，推广了已知结果。
关键词：同态；可约性；有理数域；多项式；艾森斯坦因判别法中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1008-3715(2010)03—0100—03有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题可以归结为整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。
已有整系数多项式的不可约判定的充分条件的Ei s ens t ei n判别法…，一些学者也给了一些结果m51。
本文首先讨论了Ei sens t ei n判别法的若干等价形式，然后借助同态映射证明了判定有理系数多项式可约性的若干结果。
1．E i se ns t e i n判别法的等价形式Ei s em t ei n判别法…设以茗)=乏口．膏‘是一个整系数多项式，如果存在素数P，使得：(1)p不整除a。
；(2)pl a。
，O≤i≤忍一1；(3)p2不整除口0，那么，(菇)在有理数域上是不可约的。
引理1【21设，(菇)=乏q茹‘是数域F上的一个多项式，％≠o，口o≠o，则g(x)=乏嘶石”‘也是数域F上的多项式，且火石)与g(茗)在数域，上同时可约或同时不可约。
引理2设以茗)=置a；膏‘是数域，上的一个多项式，a．≠0，口o≠0，m为一个正整数，则数域F上的多项式h(算)=蓦口‘p戚矿．。
=薹％一i p州”。
茗i与，(鼻)在数域F上同时可约或同时不可约。
