不可约多项式本源多项式

不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

有限域本原多项式
有限域是一个由有限个元素组成的数域。

它的特点是有限多个元素，每个元素都有阶（或称位数）。

在有限域中，存在一个称为本原元的元素，它的幂可以覆盖有限域内的所有非零元素。

换句话说，本原元的阶等于有限域的阶减1。

由于本原元的存在，有限域中的元素可以表示为本原
元的幂的形式。

在构建有限域时，需要选择一个本原多项式。

本原多项式是一个多项式，满足它的根可以生成一个有限域。

具体地，如果一个多项式P(x)满足以下条件之一，那么它就是一个本原多项式：
1. P(x)是一个不可约多项式；
2. P(x)是一个首一多项式，且它的根全部属于一个有限域。

选择合适的本原多项式是构建有限域的关键步骤之一。

根据有限域的阶来选择本原多项式，可以使用数学算法（如Berlekamp算法）来寻找合适的本原多项式。

有限域及其本原多项式在信息编码、密码学等领域有广泛的应用。

不可约多项式的判别一个多项式是否可约取决于它的系数所在的域。

下面给出了一些判别不可约多项式的方法。

1. 整数域中的多项式：在整数域中，两个常用的判别方法是Eisenstein 判别法和 Modulus 判别法。

- Eisenstein 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。

如果存在一个素数 p，满足以下条件：- p 不能整除 aₙ；- p 能整除 a₀, a₁, ..., aₙ₋₁；- p²不能整除 a₀；那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。

- Modulus 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。

如果存在一个素数 p，使得 P(x) 在有限域 Zₙ 上可约（即 P(x) 在模 p 的意义下有一个非常数的因子），那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。

2. 实数域、复数域和有理数域中的多项式：在这些域中，不可约多项式的判别较为简单，只需要使用带余除法进行因子分解判别即可。

带余除法即根据多项式除法的原理，如果存在一个多项式 Q(x)和 R(x)，使得 P(x) = Q(x)B(x) + R(x) 并且 R(x) 为零次或者次数小于 B(x) 的多项式。

如果 R(x) 为零次多项式，则 P(x) 是可约的；如果 R(x) 的次数大于等于 1，则 P(x) 是不可约的。

需要注意的是，对于高次多项式，进行带余除法可能会非常复杂，需要借助计算机进行多项式除法运算。

综上所述，对于一个多项式的可约性的判别需要根据具体的域和具体的算法进行分析。

以上只是给出了一些常用的判别方法，实际的判别可能需要更加复杂的计算。

判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法王鑫;王新梅;韦宝典【摘要】提出了一个判定有限域上任一多项式是否为不可约多项式、本原多项式的高效的确定性算法.分析了多项式次数与其不可约因式之间的内在联系,给出了有限域上任意n次多项式是否为不可约多项式、本原多项式的一个充要条件.通过利用欧几里得算法,该判定仅需做O((log2n)n3)次域上乘法,属于多项式时间,易于硬件实现.为扩频通信与序列密码寻找和利用不可约多项式构造线性反馈移位寄存器提供了一种有效算法.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(048)001【总页数】4页(P6-9)【关键词】有限域;不可约;本原;多项式时间算法;扩频通信;序列密码【作者】王鑫;王新梅;韦宝典【作者单位】西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;中山大学电子与通信工程系,广东,广州,510275【正文语种】中文【中图分类】TP309有限域上的不可约多项式与本原多项式在密码，编码理论及随机数的产生等方面有着广泛的应用。

这是由于在扩频通信与序列密码中被广泛应用的伪随机序列，可在连续波雷达中用作测距信号，在遥控系统中用作遥控信号，在多址通信中用作地址信号，在数字通信中用作群同步信号，还可用作噪声源在保密通信中起加密作用。

这些伪随机序列大部分是利用有限域上的不可约多项式和本原多项式通过反馈移位寄存器和其它非线性逻辑产生的。

另一方面，多项式理论尤其是不可约多项式和本原多项式又是分析伪随机性能和密码体制的一种有效工具，因此研究有限域上的不可约多项式与本原多项式具有重要意义[1-4]。

设GF(q)为一个含q个元素的有限域，其中q=pk，p为一素数，k为正整数，那么对于任一正整数n，一定存在GF(q)上的n次不可约多项式[5]。

目前，判定有限域上一个n次多项式是否不可约的方法一般有确定性(构造性)和概率性两种算法[6]。

gf(2^16)的本原多项式1. 概述在计算机科学和信息技术领域，有一个重要概念叫做有限域（finite field），简称GF。

有限域是一种具有有限元素数量的数学结构，其中的加法和乘法运算满足特定的性质。

在有限域中，有一个重要的概念叫做本原多项式（primitive polynomial），它在有限域的构建和运算中起着关键作用。

本文将介绍gf(2^16)的本原多项式及其相关概念。

2. 有限域GF(2^16)有限域GF(2^16)是一个由2的16次方个元素构成的有限域。

在这个有限域中，加法和乘法操作可以用非常高效的方式进行计算，因此在很多密码学和编码领域有着重要的应用。

GF(2^16)的本原多项式是构建这个有限域的基础之一。

3. 本原多项式的定义在有限域中，本原多项式是一种特殊的不可约多项式。

所谓不可约多项式，是指它不能被分解成两个次数更低的多项式相乘的形式。

本原多项式具有特定的性质，能够生成该有限域中的所有非零元素。

在构建有限域GF(2^16)时，选择一个适合的本原多项式非常重要。

4. gf(2^16)的本原多项式在gf(2^16)场中，关于本原多项式的选择存在多种不同的标准。

其中一种常用的本原多项式是x^16 + x^5 + x^3 + x^2 + 1。

这个多项式是一个16次多项式，也是一个不可约多项式。

使用这个本原多项式可以构建出一个包含2^16个元素的有限域，满足有限域的加法和乘法运算规则。

5. 本原多项式的作用在实际的应用中，gf(2^16)的本原多项式在很多编码和加密算法中都扮演着重要的角色。

通过选择不同的本原多项式，可以构建出不同的有限域结构，从而适用于不同的场景和要求。

本原多项式的选择对于实际系统性能和安全性都有着重要的影响，因此需要根据具体的情况和需求来进行合适的选择。

6. 结论gf(2^16)的本原多项式是有限域GF(2^16)中的一个重要概念，它在有限域的构建和运算中起着关键作用。

不可约多项式和极小多项式多项式是数学中重要的概念，它是由各种系数和指数构成的函数，可以用来描述很多数学模型和问题。

不可约多项式和极小多项式是多项式的两个重要概念，对于理解多项式的性质和应用具有重要意义。

一、不可约多项式的概念及性质不可约多项式是指一个多项式不能够分解为两个多项式的乘积，其中两个多项式的次数均小于原来的多项式。

由此可以知道，不可约多项式是多项式分解的最小单位，因为所有的多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积。

例如，多项式x^2+1就是一个不可约多项式，因为它不能够被分解成两个次数小于2的多项式的乘积。

不可约多项式具有以下的性质：1.不可约多项式的次数必须大于等于2，因为1次多项式和常数函数都可以被分解为两个次数小于2的多项式的乘积。

2.每个不可约多项式都是唯一的，这是由于它的分解方式是唯一的。

3.每个多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积，这是多项式分解定理的基础。

二、极小多项式的概念及性质极小多项式是指一个线性变换在某个向量空间上的约化矩阵的最小不可约多项式，它描述了向量空间中的每个向量在这个线性变换下的特征，因此对于矩阵和向量空间的研究非常重要。

给定一个向量空间V和它上面的线性变换A，如果存在一个非零向量v属于V，使得对于任意的k≥0，都有A^kv=0，那么v被称为A 的一个特征向量，A^k的零空间被称为A的第k个特征空间。

如果存在一个特征向量v，使得它所在的特征空间不等于任何一个前面的特征空间，那么这个特征向量所在的特征空间就是A的不变子空间，它可以分解为一个约化矩阵。

极小多项式具有以下的性质：1.A的约化矩阵的极小多项式是唯一的，因为如果两个多项式都是它的极小多项式，那么它们的度数必须相等，因此它们必须是相等的。

2.如果一个多项式是A的约化矩阵的极小多项式，那么它就是A 的不变子空间的刻画，因为它的次数是最小的不可约多项式。

3.极小多项式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，因为它的零点就是A的特征值，并且每个特征值对应的特征向量都在A的不变子空间中。

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

不可约多项式的判别方法
一个多项式f(x) 是不可约的，当且仅当以下任一条件成立：
1. f(x) 为常数多项式。

2. f(x) 为一次多项式，即f(x)=ax+b，其中a\neq 0。

3. f(x) 为二次多项式，但其判别式\Delta=b^2-4ac 为负数，其中
f(x)=ax^2+bx+c，a\neq 0。

4. f(x) 的次数大于等于3，且它没有根的有理数解。

这时我们可以利用如下Tschirnhaus 变换，将f(x) 转化为一个新的多项式g(x)，使得g(x) 在有理数域上有一个根r=\frac{p}{q} （p 和q 互质）：
g(x)=f(x-rq)
其中r 为有理数解，rq 表示其denominator。

如果g(x) 还是不可约多项式，则f(x) 也是不可约多项式。

对于f(x) 的判别，我们可以通过暴力枚举f(x) 的因子进行验证。

具体地，我们从2 到\sqrt{\deg f(x)} 枚举每一个整数d，判断f(x) 是否能够被x^d-1
整除，如果能被整除，则说明存在一个次数为d 的不可约多项式，它是f(x) 的因子。

如果f(x) 不能被任何次数小于\sqrt{\deg f(x)} 的不可约多项式整除，则f(x) 是不可约多项式。

有限域和本原多项式1. 介绍有限域（Finite Field）是数学中的一个重要概念，也被称为伽罗瓦域（Galois Field），在密码学、编码理论、代数几何等领域有广泛的应用。

本原多项式是有限域的构造要素之一，它在有限域的定义和运算中起着重要的作用。

本文将介绍有限域的基本概念和性质，并详细讨论本原多项式的定义、构造和应用。

2. 有限域的定义有限域是一个包含有限个元素的域。

在有限域中，加法和乘法运算满足域的公理，即封闭性、结合律、交换律、存在零元和单位元、存在加法逆元和乘法逆元等。

有限域的元素个数记为q，其中q为一个素数的幂次，即q=p^n，其中p为素数，n 为正整数。

有限域的特殊情况是特征为2或特征为素数的有限域。

3. 本原多项式的定义在有限域GF(q)中，本原多项式是一个次数为n的不可约多项式，它的根生成了GF(q)中的所有非零元素。

本原多项式的定义如下：设有限域GF(q)的特征为p，q=p^n，其中p为素数，n为正整数。

如果一个次数为n的多项式f(x)满足以下条件：1.f(x)是不可约多项式；2.f(x)的根生成了GF(q)中的所有非零元素；则称f(x)为有限域GF(q)的本原多项式。

4. 本原多项式的构造本原多项式的构造是一个重要的问题，它涉及到有限域的生成和表示。

有多种方法可以用来构造本原多项式，其中最常用的方法是使用本原元。

本原元是有限域GF(q)中的一个元素，它的阶为q-1。

通过从GF(q)中选择一个本原元，可以构造出本原多项式。

具体的构造步骤如下：1.选择一个有限域GF(q)的本原元α；2.构造本原多项式f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0，其中a_i为GF(q)中的元素；3.使用本原元α的幂次来表示本原多项式中的系数，即a_i = α^i；4.检验构造的多项式f(x)是否满足本原多项式的定义。

5. 本原多项式的性质本原多项式具有一些重要的性质，这些性质在有限域的应用中起着重要的作用。