有限域上本原多项式与不可约多项式判定

有限域上多项式及其简单应用作者：李一帆来源：《科教导刊·电子版》2017年第19期摘要本文介绍了近世代数中的域及有限域的基本概念与性质，并探究了有限域中的几种重要的多项式及其在密码学领域的简单应用。

关键词域有限域多项式简单应用中图分类号：O157.4 文献标识码：A0引言域是许多数学分支（如代数、代数数论、代数几何等）研究的基础，而其中有限域对于探究代数结构及其运用是非常重要的。

有限域上多项式在、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等许多领域有广泛应用。

1域和有限域的基本概念1.1相关定义定义1 设R是一个环，如果，又有单位元且每个非零元素都有逆元，则称R是一个除环。

可换除环称为域。

定义2域中元素的个数为有限时，则称域为有限域或galois域，记为GF。

并把元素个数称为有限域的阶，记为GF（n）。

1.2域的基本性质（1）数域都是域；（2）域没有零因子；（3）域的特征只能是素数或无限；（4）有限除环必为域。

2有限域上的几种常用多项式2.1有限域上的一元多项式设n是一非负整数，表达式？（1）其中a0，a1，…，an属于有限域GF，称（1）为系数在有限域GF中的一元多项式。

2.2有限域上的不可约多项式设，非常数。

若有，使得，则或为常数（0次多项式），则称为多项式环中的不可约多项式或中的素元。

2.3有限域上的本原多项式设是上的n次不可约多项式。

若满足的最小正整数为，则称为上的本原多项式。

3有限域上多项式在密码学中的简单应用3.1与的乘法比较设是域上的一个n次不可约多项式，则例设为3次不可约多项式，则。

解若为的一个本原元，则。

记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x+1=011=3，x2=100=4，x2+1=101=5，x2+x=110=6，x2+x+1=111=7；则乘法表如表1，乘法表如表2，由上述表格得出，在中，所有非零元素都有乘法逆元；在中，非零元素2，4和6无乘法逆元。

matlab有限域上的运算1 有限域基础知识有限域（Galois域）的构造令p为一个素数. 则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为p n的有限域GF(p n).注：任意一个有限域，其元素的个数一定为p n，其中p为一个素数（有限域的特征），n为一个正整数.例1（有限域GF(p)）令p为一个素数，集合GF(p)=Z p={0,1,2,…,p?1}.在GF(p)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF(p)，a⊕b=(a+b)mod p, a⊙b=(a?b)mod p则为一个有p个元素的有限域，其中零元素为0，单位元为1.令a为GF(p)中的一个非零元素. 由于gcd(a,p)=1，因此，存在整数b,c，使得ab+pc=1. 由此得到a的逆元为a?1=b mod p.域GF(p)称为一个素域(prime field).例注1：给定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p)中任意非零元素的逆元.例2（有限域GF(p n)）从GF(p)出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为p n的有限域GF(p n)如下：令g(x)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式，集合GF(p n)=GF(p)[x]/?g(x)?={a0+a1x+a2x2+?+a n?1x n?1| a i∈GF(p),0≤i≤n?1}在GF(p n)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即任意的a(x),b(x)∈GF(p n)，a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x), a(x)⊙b(x)=(a(x)?b(x))mod g(x)则为一个有p n个元素，特征为p的有限域，其中零元素为GF(p)中的0，单位元为GF(p)中的1.令a(x)为GF(p n)中的一个非零元素. 由于gcd(a(x),g(x))=1，因此，存在GF(p)上的多项式b(x),c(x)，使得a(x)b(x)+g(x)c(x)=1. 由此得到a(x)的逆元为a?1(x)=b(x)mod g(x).域GF(p n)称为GF(p)的（n次）扩域(extension field)，而GF(p)称为GF(p n)的子域(subfield).例注：给定GF(p)上的多项式a(x)和g(x)，例2中的等式a(x)b(x)+g(x)c(x)=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p n)中任意非零元素的逆元.例注：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域. 对任意正整数n, GF(q)上的n次不可约多项式一定存在. 更进一步，GF(q)上首项系数为1的n 次不可约多项式的个数为N q(n)=1n∑d|nμ(nd)q d=1n∑d|nμ(d)q n/d其中μ为Moebius函数，定义为μ(m)=1(?1)k0如果m=1如果m=p1p2?p k,其中p1,p2,…,p k为互不相同的素数其它有限域的性质令GF(q)是一个含有q个元素的有限域，F?q=GF(q)?{0}为有限域GF(q)中所有非零元素构成的集合. 则在乘法之下F?q是一个有限循环群. 循环群F?q的一个生成元称为有限域GF(q)的一个本原元.若α∈GF(q)为一个本原元，则GF(q)={0,1,α,α2,…,αq?2}并且αq?1=1，即αq=α.定义：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域（p不一定为素数），α∈GF(q). 则GF(p)上以α为根，首项系数为1，并且次数最低的多项式称为α在GF(p)上的极小多项式(minimal polynomial of α over GF(p)).特别地，若α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元，则α在GF(p)上的极小多项式称为GF(p)上的一个本原多项式(primitive polynomial for GF(q) over GF(p)).定义注1：对任意的α∈GF(q)，α在GF(p)上的极小多项式存在并且唯一，并且α在GF(p)上的极小多项式为GF(p)上的一个不可约多项式.定义注2：设α∈GF(q)，则α和αp在GF(p)上具有相同的极小多项式. 更进一步，集合B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αp i,…}中的元素具有相同的极小多项式. 设q=p n，则αp n=α. 因此，集合B(α)中互不相同的元素的个数（记为r）不超过n. 可以证明，α为GF(q)的一个本原元当且仅当r=n.定理：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域. 设α∈GF(q)，r为满足αp r=α的最小正整数. 则α在GF(p)上的极小多项式g(x)是一个r次不可约多项式，并且B(α)={α,αp,αp2,…,αp r?1}中的元素为g(x)在GF(q)上的所有不同的根，即g(x)=(x?α)(x?αp)(x?αp2)?(x?αp r?1).注：r的计算方法如下：设α在F?q中的阶为k. 集合Z?k={m| 0≤m≤k?1,gcd(m,k)=1}在模k乘法运算下是一个含有φ(k)个元素的有限群（其中φ为欧拉(Euler)函数）. 则r等于p mod k在Z?k中的阶.推论：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域. 设|GF(q)|=p n，即q=p n. 设α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元，则α在GF(p)上的极小多项式g(x)的次数为n，并且g(x)=(x?α)(x?αp)(x?αp2)?(x?αp n?1).更进一步，α,αp,αp2,…,αp n?1均为GF(q)的本原元.注：设GF(p)是一个含有p个元素的有限域，n是任意一个正整数，则GF(p)上的n次本原多项式一定存在. 更进一步，GF(p)上的首项系数为1的n 次本原多项式的个数为φ(p n?1)n，其中φ为欧拉函数.例3考虑二元域GF(2)上的不可约多项式p(α)=α3+α+1，构造有限域GF(23)=GF(2)[α]/?p(α)?={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6都是GF(23)的本原元. GF(2)上的首项系数为1的3次本原多项式有两个，分别为(i) α,α2,α4在GF(2)上的极小多项式g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1(ii) α3,α5,α6在GF(2)上的极小多项式g(x)=x3+x2+1有限域GF(p)上的本原多项式一定是GF(p)上的不可约多项式；但是，GF(p)上的不可约多项式不一定是GF(p)上的本原多项式.定理：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域，g(x)是GF(p)上的一个不可约多项式. 则g(x)为GF(p)上的本原多项式当且仅当g(x)在GF(q)上的根都是GF(q)的本原元.下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.例4考虑二元域GF(2)上的不可约多项式p(x)=x4+x3+x2+x+1，构造有限域GF(24)=GF(2)[x]/?p(x)?={a+bx+cx2+dx3| a,b,c,d∈GF(2)}.显然，x∈GF(24). 由于x5=1，即x的阶为5，因此，x不是GF(24)的本原元. 于是，p(x)不是GF(2)上的本原多项式. 另外，可以验证x+1是GF(24)的本原元.2 Matlab 中的有限域计算函数Matlab 中自带的有限域的计算是在GF(2m)上进行的，即在二元域GF(2)的扩域中进行计算，其中1≤m≤16.由“ 有限域的构造” 的“例2” 可知，我们只需先找到一个GF(2)上的m次不可约多项式g(x)，得到集合GF(2)[x]/?g(x)?，然后定义其上的加法和乘法分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即得到有限域GF(2m).然而，这样得到的有限域GF(2m)中，元素x未必是本原元，这将给后面的（乘法）运算带来很多麻烦. 因此，在不可约多项式g(x)的挑选上，我们最好选择一个本原多项式. 这其实就是 Matlab 中的做法.Matlab 中GF(2m)的元素：在 Matlab 中GF(2m):=GF(2)[D]/?p(D)?，其中p(D)为一个GF(2)上的m次本原多项式.GF(2m)={a m?1D m?1+a m?2D m?2+?+a1D+a0, | a i∈GF(2),0≤i≤m?1}因此，每个GF(2m)中的元素本质上是一个次数小于m的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系. 例如，取m=3和本原多项式p(D)=D3+D+1，则我们得到有限域GF(23)，其中的元素和多项式之间的对应关系如下：GF(23)GF(2)[D]/?p(D)?二进制00000110012D0103D+10114D21005D2+11016D2+D1107D2+D+1111GF(2)上的多项式由系数组成的二进制所对应的（十进制）数字来表示. 例如，多项式p(D)=D3+D+1的系数组成的二进制为1011，因此，多项式p(D)表示为数字11.定义有限域数组在Matlab 中，函数gf用来定义一个有限域数组，函数申明如下：X_GF = GF(X,M,PRIM_POLY)函数创建有限域GF(2M)上的一个数组，使用的GF(2)上的M次本原多项式为PRIM_POLY；M是一个1至16之间的整数；数组X中的元素为0至2M?1之间的数.例如，生成有限域GF(23)中的所有元素，并令本原多项式为p(D)=D3+D2+1.>> GF8 = gf(0:7,3,13)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal) Array elements =0 1 2 3 4 5 6 7如果不指定本原多项式，则 Matlab 将使用默认本原多项式. 例如>> gf(0:7,3)ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal) Array elements =0 1 2 3 4 5 6 7在这里例子中，Matlab 使用了3次本原多项式D3+D+1.如果不指定次数M和本原多项式PRIM_POLY，则生成二元域GF(2)中的元素.>> gf(0:1)ans = GF(2) array.Array elements =0 1生成的有限域中的数组可以参与运算（+、、.、.^、\等). 注意：参与运算的操作数必须来自同一个有限域，用于生成有限域的本原多项式也必须相同！一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下：>> GF8 = gf(0:7,3)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal) Array elements =0 1 2 3 4 5 6 7>> GF8'*GF8ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal) Array elements =0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 3 1 7 50 3 6 5 7 4 1 20 4 3 7 6 2 5 10 5 1 4 2 7 3 60 7 5 2 1 6 4 3>> GF8 = gf(0:7,3,13)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal) Array elements =0 1 2 3 4 5 6 7>> GF8'*GF8Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and primitive polynomial 13. Arithmetic still workscorrectly but multiplication, exponentiation, andinversion of elements is faster with lookup tables.Use gftable to create and save the lookup tables.> In at 35In at 20ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal) Array elements =0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 5 7 1 30 3 6 5 1 2 7 40 4 5 1 7 3 2 60 5 7 2 3 6 4 10 7 3 4 6 1 5 2在这里我们用两个不同的本原多项式构造有限域GF(23)，得到两张不同的乘法表.注1：当我们计算GF(2)[D]/?D3+D2+1?的乘法表时，Matlab 给产生一个警告“Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and primitive polynomial 13.” 从警告中我们可以看出，Matlab 中有限域的乘法是通过查表来完成的，这样可以显著地提高计算的速度. 我们可以通过命令gftable来创建并保存查找表格.注2：用本原多项式D3+D+1和D3+D2+1生成两个不同的元素个数为8的有限域，然而这两个有限域是同构的. 一般地，我们有如下有限域同构定理：定理：任意两个元素个数相同的有限域一定同构.与本原元多项式相关的函数primpoly函数primpoly用于计算GF(2)上的本原多项式，函数申明如下：PR = PRIMPOLY(M, OPT, 'nodisplay')其中M为本原多项式的次数，其取值为2至16之间的整数；选项OPT的定义如下：OPT = 'min' 给出一个权值最小的本原多项式OPT = 'max' 给出一个权值最大的本原多项式OPT = 'all' 给出所有的本原多项式OPT = L 给出所有权值为L的本原多项式字符串‘nodisplay’用于关闭默认的本原多项式显示方式.例如，输出GF(2)上所有次数为3的本原多项式.>> primpoly(3,'all')Primitive polynomial(s) =D^3+D^1+1D^3+D^2+1ans =1113>> primpoly(3,'all','nodisplay')ans =1113isprimitive函数isprimitive用来检查GF(2)上的多项式是否为本原多项式，函数申明如下：CK = ISPRIMITIVE(A)其中A为一个表示多项式的数字，并且表示的多项式的次数不能超过16. 如果A为本原多项式，则返回1；否则返回0.例如，检查多项式D3+D2+1和D3+D2+D+1是否为本原多项式如下：>> isprimitive(13)ans =1>> isprimitive(15)ans =。

不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

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(保密的学位论文在解密后适用本承诺书)作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论有限域是计算机科学与数字通讯领域最基本的数学工具之一,也是现代代数学的重要分支之一。

在初等数论里面，我们已经知道，对于每个素数p ，都存在p 元有限域。

更进一步，利用简单的域的扩张理论，我们能确定出全部有限域，并且得出，对于任意奇素数的方幂q 和任意正整数n ，都存在着n q 个元素的有限域。

近五十年来，由于它在组合，编码，密码，通信等学科的广泛应用，而逐步形成富有特色的代数学核心课程。

有限域的理论最早可追溯到费尔马（FERMAT 1601-1665）和欧拉（EULER 1707-1783），他们为一些特别的有限域结构，如素数域，作出了重要的贡献。

有限域的一般理论主要从高斯（GAUSS 1777-1855）和伽罗瓦（GALOIS 1811-1832）的工作开始，但最近几十年，随着离散数学的发展，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用。

例如，有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算有重要的影响。

我们用()GF q 表示含有q 个元素的有限域，q 为素数p 的方幂。

我们知道，不可约多项式在多项式中的地位相当于素数在整数中的地位。

类似整数的分解唯一性，()[]GF q x 中多项式()f x 在()GF q 上的分解也是唯一确定的。

除了多项式的次数，刻画有限域上的多项式的另一个重要参数是多项式的周期。

有限域第一次大作业一、实验内容（1）构造有限域202F .（2）找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式；（3）找到2F 上的一个本原多项式。

二、算法设计（1）我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式：()i {}q q F ααα==，α为 ()q h x x x =-的根；()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式； ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元；在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ，并进行相应的运算。

由于只要找到一个2F 上的不可约多项式，我们采用的算法：()a 随机生成一个20次2F 上的多项式，()b 判断多项式为不可约的，pari 代码见附录1；通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ，则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域，在这有限域上可以直接进行相应的代数运算，pari 代码见附录2；（2）找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路第一步：通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数；第二步：通过α的共轭元生成极小多项式()f x ；第三步：进一步判断该元素α是否为本原元，若是，则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。

pari 代码见附录3；（3）由于上述方法（2）生成的极小多项式不一定是本原多项式，因此，我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法，该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式，我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -，由于()()11n p f x x --，所以只要11n k p p p -=L 时，若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭L ，则()f x 就是本原多项式，所用的算法思路如下第一步：随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ；第二步：利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的；第三步：进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。

判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法王鑫;王新梅;韦宝典【摘要】提出了一个判定有限域上任一多项式是否为不可约多项式、本原多项式的高效的确定性算法.分析了多项式次数与其不可约因式之间的内在联系,给出了有限域上任意n次多项式是否为不可约多项式、本原多项式的一个充要条件.通过利用欧几里得算法,该判定仅需做O((log2n)n3)次域上乘法,属于多项式时间,易于硬件实现.为扩频通信与序列密码寻找和利用不可约多项式构造线性反馈移位寄存器提供了一种有效算法.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(048)001【总页数】4页(P6-9)【关键词】有限域;不可约;本原;多项式时间算法;扩频通信;序列密码【作者】王鑫;王新梅;韦宝典【作者单位】西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;中山大学电子与通信工程系,广东,广州,510275【正文语种】中文【中图分类】TP309有限域上的不可约多项式与本原多项式在密码，编码理论及随机数的产生等方面有着广泛的应用。

这是由于在扩频通信与序列密码中被广泛应用的伪随机序列，可在连续波雷达中用作测距信号，在遥控系统中用作遥控信号，在多址通信中用作地址信号，在数字通信中用作群同步信号，还可用作噪声源在保密通信中起加密作用。

这些伪随机序列大部分是利用有限域上的不可约多项式和本原多项式通过反馈移位寄存器和其它非线性逻辑产生的。

另一方面，多项式理论尤其是不可约多项式和本原多项式又是分析伪随机性能和密码体制的一种有效工具，因此研究有限域上的不可约多项式与本原多项式具有重要意义[1-4]。

设GF(q)为一个含q个元素的有限域，其中q=pk，p为一素数，k为正整数，那么对于任一正整数n，一定存在GF(q)上的n次不可约多项式[5]。

目前，判定有限域上一个n次多项式是否不可约的方法一般有确定性(构造性)和概率性两种算法[6]。

判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法
有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法
有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法是一种在数学中应用广泛的算法，它可以有效地解决有限域上不可约多项式及本原多项式的求解问题。

该算法的核心思想是利用有限域上的算术运算，将多项式的求解问题转化为一系列的算术运算，从而达到求解有限域上不可约多项式及本原多项式的目的。

该算法的实现过程主要包括以下几个步骤：首先，根据有限域上的算术运算，将多项式的求解问题转化为一系列的算术运算；其次，根据有限域上的算术运算，将多项式的求解问题转化为一系列的算术运算；最后，根据有限域上的算术运算，将多项式的求解问题转化为一系列的算术运算，从而达到求解有限域上不可约多项式及本原多项式的目的。

该算法的优势在于，它可以有效地解决有限域上不可约多项式及本原多项式的求解问题，并且具有较高的计算效率，可以在较短的时间内完成多项式的求解。

此外，该算法还具有较强的稳定性，可以保证多项式的求解结果的准确性。

因此，有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法在数学中具有重要的应用价值，可以有效地解决有限域上不可约多项式及本原多项式的求解问题，为数学研究和应用提供了有效的支持。

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用Judgment and Application of Irreducible PolynomialsAbstractThe theory of polynomial is an important portion of advanced algebra. Irreducible polynomial is an important class of polynomials. We induce, in this paper, the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field, and give some judgment methods of irreducible polynomials such as Eisenstein method, Kronecker method, Perron method and Browm method. The equivalence and inclusion relations between judgment methods are also investigated. In addition, we give some applications of irreducible polynomials.Key wordsIrreducible polynomial; Judgment method; Application1.引言众所周知，多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念。

有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields摘要域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。

多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。

当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。

本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。

正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。

本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。

从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。

同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。

关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码AbstractWith the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems.Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code.The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code.In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters.Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1有限域的发展 (1)1.2 有限域的基础理论 (2)第2章有限域上的多项式 (5)2.1 一元多项式 (5)2.2 多项式的整除和带余除法 (9)2.4 最大公因式 (14)2.5 因式分解定理 (18)2.6 重因式 (21)2.7 多元多项式 (23)第3章有限域上的多项式的应用 (28)第4章结论 (34)参考文献 (35)致谢.................................................................................................. 错误！未定义书签。

不可约多项式和可约多项式
不可约多项式和可约多项式是多项式分解中的两个重要概念。

可约多项式是指可以分解为若干个一次因式乘积的多项式。

例如，$x^2 + 2x + 1$ 可以分解为$(x + 1)^2$，这是一个可约多项式。

不可约多项式是指不能分解为若干个一次因式乘积的多项式。

例如，$x^2 + 1$ 不能分解为任何一次因式的乘积，所以它是一个不可约多项式。

在数学中，不可约多项式具有一些重要的性质。

例如，一个多项式是可约的当且仅当它没有公因式。

此外，任何多项式都可以表示为一些不可约多项式的乘积。

以上就是不可约多项式和可约多项式的定义和性质。

不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

有限域上的方程与不可约多项式田力;孙宗明【摘要】In this paper ,the authors study equations and irreducible polynomials over a finite field, illustrate roots of some equations, give the method to find irreducible polynomials and also discuss irreducibility of some polynomials.%本文研究有限域上的方程与不可约多项式，讨论了若干方程的根，给出了不可约多项式的求法，讨论了若干多项式的不可约性．【期刊名称】《泰山学院学报》【年(卷),期】2011(000)006【总页数】9页(P1-9)【关键词】有限域;方程;不可约多项式【作者】田力;孙宗明【作者单位】泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安271021;泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安271021【正文语种】中文【中图分类】O153.4本文研究有限域上的若干方程与若干不可约多项式，根据具体情况，将用不同的记号表示有限域.本文中，0表示域的零元，e表示域的单位元.本文所使用的符号是标准的，有限域和有限群的基本知识被认为是熟知的，见文献［1－2］.1 若干方程本款讨论有限域上的若干方程以及相关的若干问题.1.1 方程xq+1=λ与xq+x=μ本段在p2k元域上研究问题，记q=pk，则p2k=q2，并且，把p2k元域记为Fq2，把pk元域记为Fq，本段参见文献［3－4］.先研究Fq2的一个自同构，它扮演着重要的角色.设则σ是Fq2的自同构，并且，σ的阶为2，事实上，首先，σ不是恒等映射，因为，若记Fq2的非零元素乘群为F*q2=〈c〉，则有σ(c)≠c;其次，σ2必为恒等映射，因为，对于任意的a∈Fq2，均有另外，对于a∈Fq2，有因此，Fq2的自同构σ的固定子域是Fq.现在研究Fq2上的方程xq+1=λ，而λ≠0，此时，可以在群F*q2中考虑.设则τ是F*q的同态映射.记π的象为G，核为N.由群同态基本定理得F*q2/N与G 同构，且o(F*q2)= o(N)o(G).显然，N是方程xq+1=e所有解的集合，所以，o(N)≤q+1.因为，所以，o(G)≥q－1.但是，G是F*q的子群，从而，o(G)=q－1，τ是满射.因此，对于λ∈F*q2，一定有y0∈，使得τ(y0)=λ，即y0q+1=λ，方程xq+1=λ有解x=y0.由o()=q－1得o(N)=q+1，从而，方程xq+1=e恰有q+1个解.因为方程xq+1=λ的解y0乘以方程xq+1=e的任一个解均得到方程xq+1=λ的解.群中一方程的解就是域中该方程的根，这样，就有下面的定理1.1.1 有限域Fq2上的方程xq+1=λ(λ≠0)在Fq2中恰有q+1个根.现在研究Fq2上的方程xq+x=μ.设则ρ是加群Fq2到加群Fq的同态映射.类似于上面的讨论可得，ρ是满射.同样类似于上面的讨论可得，方程xq+x=0起着与方程xq+1=e一样的作用，此处详细的推导从略.这样，就有下面的定理1.1.2 有限域Fq2上的方程xq+x=μ在Fq2中恰有q个根.1.2 方程xps－x－c=0本段在pk元域上研究问题，将pk元域记为F.视F为加群，当s=1时，作则σ是加群F到F的同态映射.σ的同态核是Fp，而Fp是F的p元子域.有下面的定理1.2.1 设xp－x－c=0(c∈F)是F上的方程，则1)xp－x－c=0(c∈F)在F中有根当且仅当有a∈F使c=ap－a;2)F中恰有pk－1个c，使xp－x－c=0(c∈F)在F中有根;3)若xp－x－c=0(c∈F)在F中有根，则其在F中恰有p个根;当s＞1且s|k时，pk元域F有ps元子域Fps.上面的σ变为σ是加群F到F的同态映射，σ的同态核是Fps.可以得到下面的定理1.2.2 设xps－x－c=0(c∈F)是F上的方程，s＞1且s|k，则1)xps－x－c=0(c∈F)在F中有根当且仅当有a∈F使c=aps－a;2)F中恰有pk－s个c，使xps－x－c=0(c∈F)在F中有根;3)若xps－x－c=0(c∈F)在F中有根，则其在F中恰有ps个根.当s＞1但s不整除k时，记w=(s，k)，s=μw，此时，研究F的子域Fpw，有结论:对于∀a∈Fpw，成立aps=apw.仍然研究σ是加群F到F的同态映射，σ的同态核包含Fpw，从而就得到下面的定理1.2.3 设xps－x－c=0(c∈F)是F上的方程，s＞1但s不整除k，记w=(s，k)，则1)xps－x－c=0(c∈F)在F中有根当且仅当有a∈F使c=aps－a;2)F中至多有pk－w个c，使xps－x－c=0(c∈F)在F中有根;3)若xps－x－c=0(c∈F)在F中有根，则该方程在F中至少有pw个根.本段中定理的详细证明参见［5］，此处从略.1.3 降次定理一般而言，方程的次数越低，讨论问题越相对容易.本段从这一角度研究有限域上的方程，本段参见［6］.本段在pk元域上研究问题，将pk元域记为F.因为，Fpl=F(l为正整数)，所以，得到下面的定理1.3.1 设是F［x］中的多项式，ni，mi，ni=plmi(i=0，1，…，k－1，k)均为正整数，则1)若α∈F是方程f(x)=0的一个根，则αpl是方程g(x)=0的一个根;2)若β∈F是方程g(x)=0的一个根，则有γ∈F是方程f(x)=0的一个根.求F上的方程的根，可以转化为求F上的次数＜pk的某一方程的根，即有下面的定理1.3.2 设h(x)，r(x)∈F［x］，并且r(x)=0或deg(r(x))＜pk，则1)当r(x)=0时，F的元素均为方程f(x)=0的根;2)当r(x)≠0时，方程f(x)=0与r(x)=0在F中的根的集合相同.在上面定理的1)中，方程f(x)=0在F必有重根，于是，就有下面的问题1.3.3 在定理1.3.2的1)的情况下，方程f(x)=0在F中重根的状况.1.4 二项方程的降次与求根本段在pk元域上研究问题，将pk元域记为F，本段参见文献［7－8］.研究二项方程的降次，有下面的定理1.4.1 设其中q，r是整数，则方程xn=b与xr=b在F中有相同的根的集合.实际上，方程的次数可以进一步降低，即有下面的定理1.4.2 设其中r，d均为正整数，s是整数，则xr=b在F中的根是xd=bs的根.定理1.4.3 设d|(pk－1)，m是c在F的非零元素乘群F*中的阶，则xd=c在F中的根是xdm=e的根.定理1.4.4 设则a1，a2，…，ad是xd=e在F中的不同的根.定理1.4.5 设a0是xd=c在F中的一个根，a1，a2，…，ad是xd=e在F中的不同的根，则是xd=c在F中的不同的根.上述的五个定理容易证明，此处从略.根据这五个定理，设计出求根的具体方法，有下面的方法1.4.6 求二项方程的根的方法如下:第一步，由定理1.4.1与1.4.2，将xn=b的次数降低，化为xd=bs=c，并且，d|(pk－1);第二步，记定理1.4.3中的dm=w，解决xw=e，由定理1.4.1与1.4.2，将xw=e转化为xd1=e，并且，d1|(pk－1)，再由定理1.4.4，求出xd1=e的d1个根;第三步，由定理1.4.3，xd=c是xw=e的根，求得xw=e的一切根后，代入验证，得到xd=c的一个根a0;第四步，由定理1.4.4，得到xd=e的d个根a1，a2，…，ad，从而，由定理1.4.5得到xd=c的d个根a0 a1，a0 a2，…，a0 ad;第五步，由定理1.4.2，将xd=c的根代入xn=b，进行验证，以得到xn=b的根.2 不可约多项式本款中，将pk元域记为F.2.1 筛法本段给出确定F上的不可约多项式的方法.F上的次数≥1而≤n的多项式有有限个.一般地，F上的s次多项式有(q－1)qs个，其中，q=pk，并且，可以按一定程序将它们排列出来.于是，就可以将F上的次数≥1而≤n的多项式按一定程序全部排列出来，且次数小的在前，次数大的在后.这样排好之后，就可以仿照求素数的筛法进行.做法是:将排在最前面的多项式圈起来，而后划去它的一切倍式，剩下的没有圈且没有划去的多项式中，排在最前面的是不可约多项式，将它圈起来，再划去它的一切倍式，如此下去，直至最后一个被圈的多项式为止.所有被圈起来的多项式都是F上的不可约多项式，且是次数≥1而≤n的全部不可多项式.所给出的方法称为确定F上的不可约多式的筛法.2.2 Berlekamp法熟知，在有理数域上，有下面的克朗奈格定理.设f(x)是n(n＞0)有理系数多项式，则f(x)可以经有限次有理运算在有理数域上分解为不可约多项式的乘积.克朗奈格定理的证明同时给出了具体做法，但是太麻烦了，麻烦到简直无法实施的地步.有Berlekampd的一个方法，利用该方法，总是可以将F上的任一个多项式f(x)分解为F上的两两两不同的不可约多项式的幂的乘积，从而也就判定了f(x)是否为不可约多项式，进一步，可以求出F上的次数≥1而≤n的全部的不可约多项式. Berlekampd的这个方法，此处从略，参见［9］.将Berlekampd的这个方法称为Berlekampd法.2.3 多项式的可约性为了确定有限域上的不可约多项式，了解并掌握一些多项式的可约性当然是有益的和必要的.本段中为了方便而将域的单位元记为1，本段参见［10］.对于任意的域，成立下面的定理2.3.11)若域F上的多项式f(x)的零次项为零，则f(x)在F上可约⇔f(x)的次数＞1;2)域F上的二次多项式f(x)在F上的可约⇔存在α∈F，使得f(α)=0;3)域F上的三次多项式f(x)在F上的可约⇔存在α∈F，使得f(α)=0;4)若f(x)是域F上的多项式，a，b∈F，a≠0，则f(x)在F上可约⇔f(ax+b)在F上可约;5)若域F上的多项式f(x)满足条件(f(x)，f'(x))≠1，则f(x)在F上可约.上面的定理中的4)是多项式的未定元的替换问题，参见［11］，此处从略.而其他的均容易得出.定理2.3.2 设f(x)是pk元域F上的多项式.若f(x)的每一项的次数均为p的方幂，则f(x)在F上可约.定理2.3.3 设f(x)是2k元域F上的多项式.若f(x)的项的系数均为1，并且有偶数个项，则f(x)在F上可约.作为定理的应用，有下面的例2.3.4 二元域F上的三次不可约多项式.记F={0，1}，F［x］中有8个三次多项式:x3+x2+x +1，x3+x2+x，x3+x2+1，x3+x2，x3+x+1，x3+x，x3+1，x3.根据定理2.3.1的1)，x3+x2+x，x3+x2，x3+x，x3均可约;因为1是x3+x2+x+1，x3+1的根，所以，根据定理2.3.1的3)，它们均不可约;因为0，1均不是x3+x2+1，x3+x+1的根，所以，根据定理2.3.1的3)，它们均不可约.因此，F［x］中的三次不可约多项式是:x3+x2+1，x3+x+1.2.4 任意高次的不可约多项式熟知，有理数域上存在任意高次的不可约多项式，有限域也是如此，本段参见文献［12－14］.设F是pk元域，作F［x］中的多项式xpkm－x在F上的分裂域E=F(α1，α2，…，αpkm)，其中α1，α2，…，αpkm是xpkm－x的全部根，则E恰由xpkm－x的两两互异的pkm个根组成，E是pkm元域.E是F的m次扩域，又E是F的单扩域，E=F(α)，α在F上的极小多项式f(x)是F上的m次不可约多项.这样，就得到下面的定理2.4.1 设F是pk元域，m是任意正整数，则F上存在m次不可约多项式.实际上，该定理前面的叙述，已经给出了该定理的一个证明.为了给出该定理的另一个证明，要用到下面的引理，证明从略.为方便，记pk=q.引理2.4.21)qn－1|qm－1⇔n|m;2)xqn－1－1|xqm－1－1⇔n|m;3)设p(x)是F中的n次不可约多项式且p(0)≠0，则p(x)|xqm－1－1⇔n|m.定理2.4.1的证明:当m=1时，x就是F上的m次不可约多项式.当m＞1时，研究F上的多项式它分解为F［x］中的不可约多项式的乘积，而由引理知，f(x)的不可约因式的次数必整除m，从而其次数≤m.现在计算f(x)的次数＜m的一切不可约因式的次数之和M.因为，xqs－1－1与其导数互素，所以，xqs－1无重因式.当s＜m时，由引理知，f(x)的一切s次不可约因式均为xqs－1的因式，它们两两互素，从而它们的乘积也为xqs－1－1的因式，所以，它们的次数之和≤qs－1.于是，让s=1，2，…，m－1，就得到因此，f(x)必有m次不可约因式g(x)，即F［x］中有m次不可约多项式g(x).定理2.4.3 设pd(x)是F［x］中所有首项系数为1的d次不可约多项式的乘积，当d=1时x除外，则证明 F［x］中首项系数为1的任一个d次不可约多项式都是pd(x)的因式，而pd(x)的任意两个首项系数为1的d次不可约因式都彼此互素，所以，由引理2.4.2，当d|m时另一方面，由引理2.4.2，xqm－1－1的每一个d次不可约因式都是dΠ|m Pd(x)的因式，而xqm－1－1没有重因式，所以因此，根据dΠ|m Pd(x)的首项系数为1，就得到2.5 多项式的根与不可约性本段中，就一类多项式研究其有根与不可约性的关系.所研究的域F仍然是pk元域，1表示域的单位元.定理2.5.1 若xp－x－c=0(c∈F)在域F中没有根，则多项式xp－x－c(c∈F)在F ［x］中不可约.证明用反证法.设f(x)=xp－x－c在F［x］可约，则可取f(x)的m(0＜m＜p)次首项系数为1的因式g(x)∈F［x］.在f(x)的分裂域E中，g(x)有根r，从而，有Fp的m个元素f1，f2，…，fm，使r+f1，r+ f2，…，r+fm为g(x)在E中的m个互异的根.于是，在E［x］中，就有从而又12m，所以，mr∈F.再由于mr=(me)r，me∈F，me≠0，所以r∈F，引出矛盾.容易证明，xp －x－c=0(c∈F)在F中或者有p个根，或者没有根.于是，就有下面的定理2.5.2 F上的多项式xp－x－c(c∈F)在F［x］或者不可约，或者完全分裂.在下面的情况下，仅成立定理2.5.3 设s是正整数且s|k，xps－x－c=0(c∈F)在F中没有根，则多项式xps －x－c(c∈F)在F［x］中没有m次真因式，其中p不整除m.证明反证法.设f(x)=xps－x－c在F［x］中有m次首项系数为1的真因式g(x).在f(x)的分裂域E中，g(x)有根r，从而，有Fps的m个元素f1，f2，…，fm，使r+f1，r+f2，…，r+fm为g(x)在E中的m个互异的根.于是，在E［x］中，就有由于g(x)∈F［x］，所以又所以，mr∈F.再由于mr=(me)r，me∈F，并且，p不整除m，所以me≠0，因此，r∈F，引出矛盾.对于一般的情况，类似的结论如何，作为遗留问题，需要作进一步的研究，参见［5］.3 不可约多项式的根号解本款中，就不可约多项式的根，进一步作一些探讨.为方便，记pk=q，记pk元域为Fq.先研究Fq［x］中不可约多项式的根的一些性质，证明见［15－16］.定理3.1 Fq［x］中的不可约多项式没有重根.定理3.2 设f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可约多项式，α是f(x)的一个根，则恰为f(x)的m个互不相同的根，α在Fq的扩域Fqm中且Fqm=Fq(α)就是f(x)在Fq上的分裂域.多项式的根号解曾经是16至18世纪的250余年期间的热门问题，吸引并困惑了诸如拉格朗日这样的大数学家，19世纪20至30年代，相继被挪威年轻(只活了27岁)数学家阿贝尔和法国更年轻的(只活了20岁)数学家伽罗瓦所解决，并开启了抽象代数学的新纪元.对于有限域而言，不可约多项式的根号解问题却较为简单，［17］讨论了这一问题，将主要结果列出如下，证明从略.引理3.31)Fq恰由Fq［x］中的约多项式xpk－x的所有的根组成.2)设f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可约多项式，则f(x)|xqn－x⇔m|n.3)设Fqm是Fq的m次扩域，则Fqm的保持Fq的元素不变的所有自同构组成的群G 是m阶循环群.引理中的群G称为Fqm对于Fq的伽罗瓦群，并且，有Fq［x］中的m次多项式f(x)，使得Fqm= Fq(α)，而α是f(x)的一个根，就将G称为f(x)的伽罗瓦群.定理3.4 设f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可约多项式，则f(x)的伽罗瓦群G同构于某个置换群〈(12…m)〉.定理3.5 设f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可约多项式，Fq的特征p不整除m，则f(x)可以根号解.在讨论根号解时，要用到单位根和本原单位根的结论，［18］和［19］较多地进行了研究，所得的结果是重要的，不少情况下都要用到，此处均从略.4 其他相关问题4.1 线性矩阵方程组［20］类似于［21］建立了pk元域F上的线性矩阵方程组的理论，给出了下面的结果，证明从略.定理4.1.1 设Aij是F上的mi×nj(i=1，2，…，t:j=1，2，…，w)矩阵，Xj是nj×s(j=1，2，…，w)未×sw AX=B知矩阵，Bi是mi(i=1，2，…，t)矩阵，则线性方程组∑ijji(i=1，2，…，t)在F上有解当且仅当定理4.1.2 设1)Aij，Xj如定理4.1.1所述，0i是F上的mi×s(i=1，2，…，t)零矩阵; 2)记秩(A)=r;3)当r＜n时，η1，η2，…，ηn－r(列向量)是以A为系数矩阵的齐次线性方程组的一个基础解系;4)作并且将Mqu从第一行开始依次按n1，n2，…，nw行的数目分块而得到一组w 个矩阵，仍然以Mqu表示该组的w个矩阵，则1)线性齐次方程组∑j=w1Aij Xj=0i(i=1，2，…，t)的一切解构成线性空间Fn×s的一个子空间;2)当r＜n时，Mqu(q=1，2，…，s:u=1，2，…，n－r)是子空间的一个基，从而是(n－r)s维子空间，它的一切都是，其中aqu取遍F的一切元素，并且将组合得到的矩阵从第一行开始依次按n1，［4］讨论了p2k元域中的一个n元pk+1次齐次方程的解的个数，给出了下面的定理4.1.4 p2k元域中的n元pk+1次齐次方程x2pk+x2pk+1+…+xpnk+1=1在该域中有((pk)n－(－1)n)(pk)n－1个非零解，其中1表示域的单位元.4.2 方程的求根公式方程的求根公式就是用方程的系数表示其根的式子.在比较久远的古代，二次方程的求根公式就已经被埃及和巴比伦的先民们发现并记载.在16世纪的一段时间里，寻找三次方程的求根公式成为意大利数学家们的热门问题，并流传下来一些动人的故事，求根公式终于被找到，从而促使人们向着四次和更高次的方程挺进，促进了代数学的发展，奠定了近代数学产生的直接基础.对于有限域上的方程，同样存在求根公式的问题.对于2k元域F上的二次方程，笔者曾就一种情况得到根的表示公式，写成［22］，于2001年发表;后来，郑州解放军信息学院王念平进行了研究，写成［23］，于2004年发表;笔者认为，这一问题尚待进一步研究，此处从略.至于三次方程的求根公式，当然也可以考虑.4.3 本原多项式与本原元素本段中，p元域记为Fp，对于Fp［x］中的多项式，建立其周期的概念，进而，建立本原多项式的概念.Fp的m次扩域Fpm是Fp的单扩域，若有则称β是Fpm的一个本原元素，其中1表示域的单位元.本原多项式是不可约多项式.β是Fpm的一个本原元素当且仅当β是m次本原多项式的根.详细的讨论见［24］.4.4 n 方元素［25］给出了n方元素的概念，并进行了讨论;［19］进一步讨论了n方元素，并给出了完全的解决.5 结束语从1983年笔者的［26］到2001年笔者的［27］，其间的十几年笔者与其他代数学同行一起，解决了pk元域F上的二次方程和三次方程的问题，笔者的［28］对此作了总结.笔者的［29］－［35］讨论了pk元域及其单超越扩域上的二项方程、三项方程、因式方程，［36］对此作了总结.应该指出，还有一些问题有待进一步研究，本文所列的文献中就提出了一些问题，另外，组合设计等有的学科也将不断推动这方面的研究.n2，…，nw行的数目分块而得到一组w个矩阵，仍然以Mqu表示该组的w个矩阵，分别作为X1，X2，…，Xw所取的矩阵，称Mqu(q=1，2，…，s:u=1，2，…，n－r)为一个基础解系; 3)解的个数为pks(n－r).定理4.1.3 设Aij，Xj，Bi，0i如定理4.1.1和定理4.1.2所述，N是的一个特解，则是其解的集合，其中N与M均取定理4.1.2中的那种分块形式.［参考文献］［1］熊全淹.近世代数［M］.上海:上海科学技术出版社，1978.［2］张禾瑞.近世代数基础［M］.北京:高等教育出版社，1978.［3］孙宗明.p2m元域上的某些方程的解的状况［J］.吉安师专自然科学学报，1986，(2):34－36.［4］孙宗明，等.pk元域上的方程xq+1=λ与x+xq=μ［J］.山东师范大学学报(自然科学版)，1994，(2):11－13.［5］孙宗明.pk元域上的方程xps－x－c=0［J］.周口师范学院学报，2011，(5):1－3.［6］孙宗明.pk元域上一元方程的几个降次定量［J］.山东教育学院学报，1991，(2):31－33.［7］孙宗明.有限域上二项方程根的求法［J］.山东教育学院学报，1989，(4):36－39.［8］孙宗明，等.关于pk元域上的二项方程［J］.泰安师专学报(自然科学版)，1994，(2):17－21.［9］万哲先.代数与编码［M］.北京:科学出版社，1976.［10］孙宗明.pk元域上不可约多项式［J］.山东教育学院学报，1993，(2):40－42.［11］孙宗明，等.关于一元多项式未定元的替换［J］.聊城师范学院学报，1997，(2):28－30.［12］孙宗明.有限域上的不可约多项式的存在性与求法［J］.开封大学学报，1993，(3):16－19.［13］孙宗明.域Fp与Fq上的m次不可约多项式［J］.殷都学刊(自然科学版)，1993，(4):38－41.［14］孙宗明.pk元域的m次不可约多项式与xpkm－x的因式分解［J］.泰安师专学报(自然科学版)，1995，(2):9－12.［15］孙宗明.p元域上的一类不可约多项式［J］.殷都学刊(自然科学版)，1990，(1):22－23.［16］孙宗明.有限域上的不可约多项式的根的注记［J］.临沂师专学报(自然科学版)，1991，(1):11－13.［17］孙宗明.有限域上的不可约多项式的根号解［J］.内蒙古师大学报(自然科学版)，1995，(2):12－15.［18］孙宗明.有限循环群的若干特征性质［J］.曲阜师院学报(自然科学版)，1982，(3):50－54.［19］孙宗明.pk元域中元素的n次根［J］.周口师范学院学报，2011，(2):16－19.［20］孙宗明.pk元域上线性矩阵方程(组)的理论［J］.周口师范学院学报，2008，(2):19－20，26.［21］孙宗明.线性矩阵方程(组)的理论［J］.益阳师专学报，1993，(6):25－30(美国，Math.Riews，1994年索引).［22］孙宗明.2k元域上的二次方程根的公式［J］.数学的实践与认识，2001，(6):132－133(美国，Math.Riews，2002年索引).［23］王念平.关于“2k元域上的二次方程根的公式”的注记［J］.数学的实践与认识，2004，(11):148－152.［24］孙宗明.F［x］中的本原多项式与GF(pn)中的本原元素［J］.泰安师专学报(自然科学版)，1990，(1):1－5.［25］孙宗明，等.pk元域上的n方元素［J］.广西师范学院学报(自然科学版)，1995，(增刊):6－8.［26］孙宗明.pk(p≥3)元域上的二次方程的根的状况［J］.数学的实践与认识，1983，(4):29－31(美国，Math.Riews，85i:11104).［27］孙宗明.pk元域上的三次方程根的状况［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，2001，(3):28－31.［28］孙宗明.pk元域上的二次方程与三次方程［J］.泰山学院学报，2011，(3):8－16.［29］孙宗明.pk元域上的方程xq=d与ax2q+bxq+c=0［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1990，(1):22－26(美国，Math.Riews，92h:11110).［30］孙宗明.pk元域上的二项方程和三项方程根的状况［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1991，(3):20－24(美国，Math.Riews，96 f:12001).［31］孙宗明.pk元域F的单超越扩域E上的方程yn=D与Ay2n+Byn+C=0［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，2000，(3):9－12.［32］孙宗明.pk元域上的一类方程根的状况［J］.河北师范大学学报(自然科学版)，1996，(2):23－35.［33］孙宗明.2k元域上的方程∑(－1)iai xn－1－i=0［J］.山东科技大学学报(自然科学版)，2001，(1):10－12(美国，Math.Riews，2002b:11172).［34］孙宗明.pk元域上的方程∑ai xn－1－i=0与∑(－a)i xn－1－i=0［J］.商丘师范学院学报，2005，(2):57－59.［35］孙宗明.pk元域F的单超越扩域E上的方程∑Aixn－1－i=0与∑(－A)i xn－1－i=0［J］.集美大学学报(自然科学版)，2007，(2):129－132.［36］孙宗明.pk元域及其单超越扩域上的二项方程三项方程和因式方程［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，2011，(5):21－26.。