1.2子集、全集、补集(学教案)

1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B AA ≠B A B.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A .4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．评点 评点根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m .若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -2. 要点二 补集、全集[重点] 1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U .(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U .3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个评点子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A .该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A .用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0 的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A . 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.1212评 点根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 (2)(1)(2)因为A B，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1 M，∴M P.解法二：对任意的x0∈M，有x0=a2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N*，∴a0+3∈N)，∴M P，又b=3时，y=1，∴1∈P.而1<1+ a2+1=(a0∈N*)，∴1 M，从而M P.10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B.求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C用Venn图来表示所给集合，将A及C U A填入即可得U解：借助Veen图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.∵C U B={1，4，6，8，9}∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.E 教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么A=B.这是因为由A B可知，集合A的元素都是集合B的元素，又由B A知，集合B的元素也都是集合A的元素，这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A 中，即A B与B A同时成立.综上所述，A B与B A同时成立的等价条件是A=B.例判断下列两个集合的关系：(1)A={x |(x-1)(x+1)= 0}，B={x | x2=1}；(2)C={x |x=2n，n∈Z }，D={x | x=2(n-1)，n∈Z }.解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.评点(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集.一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n -1)个(去掉集合本身)，非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4} 写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含评点有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.例2 设全集U={1，4，a 2+4a -2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有例4 已知集合A={x |- 2 ≤ x ≤ 5}，B={x | m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5，解的2 ≤ m ≤ 3. (2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.axx x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B.综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2.根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.评点 评点解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ， 综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a<x <a + 4 }，若AB ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15 . 当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.方法二 分类讨论思想评点解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 {}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A . 3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34 .(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。

1.1.2子集、全集、补集教学目标：1.了解集合之间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念3.了解全集的意义,理解补集的概念.教学重点：子集,真子集,全集的概念教学难点:补集的概念教学过程：一、问题情境观察下列各组集合,A 与B 之间具有怎样的关系?如何用语言来表述这种关系?（1）{1,1}A =-,{1,0,1,2}A =-;（2）,A N B R ==;（3）{}A x x =是北京人,{}A x x =是中国人（4）本班所有姓王的同学组成的集合A 与本班所有同学组成的集合B 间的关系.三、建构数学1.上述每组中的集合A,B 具有的关系可以用子集的概念来表述.如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素（若a A ∈,则a B ∈），那么称集合A 为集合B 的子集（subset ），记作B A ⊆或A B ⊇,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”.B A ⊆还可以用Venn 图表示.2.由定义易知A A ⊆,即:任何一个集合是它本身的子集.不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅对于∅,我们规定:A ∅⊆.即空集是任何集合的子集.3.如果B A ⊆与B A ⊆同时成立,那么,A B 中的元素是一样的,即A B =.4.如果B A ⊆且A B ≠,这时集合A 称为集合B 的真子集（proper subset ）.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.规定:空集是任何非空集合的真子集.四、数学应用1.例题例题1写出集合{,}a b 的所有子集.例题2下列合组的三个集合中,哪两个集合之间具有包含关系?（1）{2,1,1,2}S =--,{1,1}A =-,{2,2}B =-;（2）,{|0,}S R A x x x R ==≤∈,{|0,}B x x x R =>∈;（3）{|}S x x =为地球人,{|}A x x =中国人,{|}A x x =外国人;问题思考:例题2中每一组的三个集合,它们之间还有一种什么关系?设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集（complementary set ）, 记作：S A ð（读作A 在S 中的补集）,即{,}.S A x x S x A =∈∉且ð 补集的Venn 图表示:如果集合S全集通常记作U.例题3不等式组210360x x ->⎧⎨-≤⎩的解集为A,U=R,试求A 及U A ð,并把它们分别表示在数轴上. 2.练习第9页1—2--3--4五、回顾小结这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集. 六、课外作业第10页2.3.4.提高作业：（1）已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.（2）设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，}{正方形=D ，试用Venn 图表示它们之间的关系.七、教学反思注意学生的自主探索,多让学生犯错误,不要怕学生犯错.。

中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

1.2子集、全集、补集教学目标：（一） 知识目标：1、 了解集合的包含关系的意义；2、 理解子集、真子集的概念和意义，初步掌握子集的有关性质；3、 了解全集、补集的概念和意义。

（二） 能力目标：1、 会判断两个集合的关系，会区分“属于”与“包含于”的区别；2、 会完全地写出给定集合的子集，会求给定集合的补集。

教学重点：子集、补集的概念是本节的重点；教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别，求补集、写子集是难点。

教学过程：一、问题情境1、 情境：复习上节课内容：A={1，2，3}，B={1，2，3，4}，a=1，则a__A,a__B2、 问题：上述两个集合之间有何关系？二、学生活动1、完成填空；2、分析给定的两个集合之间的关系。

三、构建数学1、引导学生完成对子集的定义：2、真子集的概念：3、 子集的有关性质：四、数学应用：例1、写出集合{},a b 的所有子集。

例2、用适当的符号填空：（1）N ___ Z,N ___Q,Q ___R,R ____N（2）{直角三角形} ___ {三角形}（3）{1，2} ___{1，3，5}（4）2 ___ {x|x>-1}例3、指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系。

（1）{}{}{}2,1,1,2,1,1,2,2S A B =--=-=-（2）{}{},|0,,|0,S R A x x x R B x x x R ==≤∈=>∈（3）{}{}{}|||S x x A x x B x x ===是地球人，是中国人，是外国人 补集：全集：例4、求下列集合的补集。

1）{}{}123456U A =U ，，，，，，A=1，2，3，4，求ð。

2）{}|1,U U R A x x A ==>，求u ð。

课堂练习（1）S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A ；（2）U={三角形}，A={直角三角形}，求C U A ；（3）设全集U=Z ，求C U N ；（4）设全集U=R ，求C U R ；C U ∅；（5）设全集U=R ，求C U （C U Q ）；C U （C U N ）；C U （C U Z ）；（6）已知A={菱形}，B={正方形}，C={平行四边形}，求A 、B 、C 之间的关系：（7）求符合条件{a}⊆P ⊆{a ，b ，c}的集合P 的个数；（8）设A={x|x>1},B={x|x>a}，且B A ⊆，则a 的取值范围是（9）集合P={x|x 2+x-6=0},Q={x|mx-1=0}，且P Q ⊂，求实数m 的取值集合；（10）{}{}|04|13,U U x x A x x A =≤≤=≤<，求u ð五、归纳小结：本节课学习的主要内容：1、子、补、全集的概念；2、子集、补集的性质；3、求子集、补集的基本方法。

1.2 子集、全集、补集互动课堂疏导引导1.对于两个集合A、B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集.记为A ⊆B或B ⊇A.疑难疏引对于两个集合A、B，如果A ⊆B且A≠B,则称集合A是集合B的真子集.记为A⊆B或B ⊇A;如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，则称集合A和集合B相等，记作A=B.2.（1）A＝B ⇔A⊆ B且B ⊆A.（2）A⊆B，B ⊆C ⇔A ⊆C, A B，B ⊆C ⇒A C, A ⊆B，B C ⇒A C.（3）若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1,非空真子集的个数为2n-2.●案例1【探究】设集合A={0，1}，B={x｜x⊆A}，则集合A、B之间的关系如何？要确定A、B的关系，就必须弄清集合B的元素是什么，集合B的元素x⊆A，所以集合B={∅，{0}，{1}，{0，1}}.虽然“∈”表示元素与集合的关系，但是集合A作为B的一个元素出现，故A 与B之间用的是符号“∈”.【溯源】要认真分析所研究的对象是元素与集合之间的关系还是集合之间的关系.如果是元素和集合，那么只能用“∈”和“∉”，如果是两集合之间的关系，那么应该在“⊆”、“⊇”和“＝”中选择合适的符号表示.●案例2写出集合｛a,b,c}的所有子集.【探究】本题考查子集的概念，注意不要遗漏，可按元素个数的多少这一顺序书写，养成好的习惯.｛a,b,c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.【溯源】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.●案例3写出满足｛1，3｝⊆M ⊆｛1，3，5，7｝的所有集合M.【探究】根据题目条件可以知道集合M中至少含有元素1和3，最多只能有4个元素1、3、5、,7，所以相当在求集合｛5，7｝的所有子集，然后在这些子集中都加上元素1和3即可.所以所求集合M为｛1，3｝、｛1，3，5｝，｛1，3，7｝，｛1，3，5，7｝.【溯源】 1.若条件改为｛1，3｝M ⊆｛1，3，5，7｝，则符合条件的M应将上述四个集合中的｛1，3｝去掉.2.若仅需求M的个数则只需用公式24－2＝4即可.3.解题时应注意空集的独特性.可采用分类讨论、数形结合、等价转化思想解决集合与二次方程的综合应用题.●案例4已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B，写出满足上述条件的集合M.【探究】集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.疑难疏引利用分类讨论的思想，考虑到集合B的所有可能的情况.这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外，此题也可以利用韦达定理结合根的判别式求解.此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件，又多加上B=∅的情形，从而造成画蛇添足!●案例5已知集合A={x|x2－2x－3=0}，集合B={x|ax－1=0}.若B是A的真子集，则a【探究】 本题可先从化简集合A 入手.因为 B A ,所以可写出B 的所有结果,再分别代入求值.∵A ={-1,3}, B A,∴B =∅,{1},{3}.若B =∅,则a =0;若B ={-1},则a =-1;若B ={3},则a =31. 综上,a 的值为-1,0,31. ●案例6已知A ={－3,4},B ={x |x 2－2px +q =0},B ≠∅,且B ⊆A ,求实数p 、,q 的值.【探究】 本题可以先求出集合B 的三种情况，再由方程的根来求出字母的值.由B ⊆A 知，B ={-3}或{4}或{-3，4}.当B ={-3}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根-3∴⎩⎨⎧=-=∆=++.044,0692q p q p 解得⎩⎨⎧=-=;9,3q p ; 当B ={4}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根4∴⎩⎨⎧=-=∆=+-.044,08162q p q p 解得⎩⎨⎧==;16,4q p p =4,q =16; 当B ={-3，4}时，方程x 2－2px +q =0的根是-3，4,∴⎩⎨⎧=+-=++.0816,069q p qp 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.12,21qp【溯源】 本题应从集合B 的三种情况考虑，而不应该盲目地把-3，4带入方程. 活学巧用 1.（1）{1，2，3}______{3，2，1}（2）∅________{0};(3){3}_________{x |2<x <4};(4){x |x =2n +1,n ∈Z }_________{x |x =4n +1,n ∈Z}.【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用情况.【答案】=2.设集合M ={x |x ≤0}( )A.0 ⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .∅∈M【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用.【答案】 C3.集合A ={x |x =2n +1,n ∈Z },B ={y |y =4k ±1,k ∈Z },则A 与B 的关系为( )A.A BB.A BC.A =BD.A ≠B【思路解析】 易知集合A 就是奇数集，集合B 通过给k 赋值，也可以取到所有的奇数.【答案】 C4.已知A ={x |x <5},B ={x |x <a },若A ⊆B ，求实数a 的取值范围.【思路解析】 A ⊆B 说明A 的范围比B 的范围小.【解】 a ≥5.5.写出集合｛1，2，3｝的所有子集并求所有子集中元素之和.【思路解析】 按子集元素个数的多少分别写出它的子集，才能避免不重不漏，同时还应注.（1）由本题知，由3个元素组成的集合子集有8个.那么由2个元素组成的集合子集有几个？由4个元素呢？由5个元素呢？推而广之n 个元素组成的集合子集有多少个？（2n（2）A 中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后，再观察得出的结果，能否不写出A 的子集也得出同样结论？完全可行.注意到A 中的元素1，出现在A 的子集（｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝），如果从这些集合中去掉元素12｝，｛3｝，｛2，3｝，即为集合｛2，3｝的全部子集.一般而言，A 中n 个元素，而每一元素出现于集合中的次数为2n －1.故所有子集元素之和S ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2n －1.【解】∅，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝.注意到A 中每个元素均出现了4次.故所有子集元素的和为（1＋2＋3）×4＝24.6.己知｛1，2｝⊆A ⊆｛1，2，3，4｝，求满足条件的集合A .【思路解析】 首先弄清应有怎样的元素组成集合A .【解】 ∵｛1，2｝⊆A ，∴A 中要有元素1和2.然后将A（1）A 中仅有元素1和2时，A ＝｛1，2｝.（2）A 在1、2的基础上增加1个，于是有A ＝｛1，2，3｝或A ＝｛1，2，4｝.（3）A 在1、2的基础上增加2个，于是有A ＝｛1，2，3，4｝.这样符合条件的集合A 共有4｛1，2｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，3，4｝.7.设集合A ={2,3,a 2+2a -3}，B ={2，5，b }，并且A =B ，求实数a 、b 的值.【思路解析】 本题考查集合相等的含义，易知{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3}，解方程组即可.【解】 由已知，{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3},∴⎩⎨⎧=-+=.532,32a a b b =3,a 2+2a -3=5. 解得⎩⎨⎧-==4,3a b 或⎩⎨⎧==.2,3a b【思路解析】构成集合的元素可以是世界万物，当然可以是集合，集合B中的元素就是集合.【解】B={∅},{0},{1},{0,1}，C={1},所以A∈B,C∈B,C⊆A.。

菁华学校2019级高一数学导学活动单1.2子集、全集、补集主备人：李敏、陈广军 审核人：倪校长【学习目标】1．了解集合之间包含关系的意义；2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；3．子集、真子集的性质；4．了解全集的意义，理解补集的概念．【明标自学】一、阅读教材8至9页填空1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合 A 为集合B 的子集（subset ）,记为______或 ___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可表示为___________________2．子集的性质：① A ⊆ A ② A ∅⊆ ③ ,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆思考:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A ≠B ，这时集合 A 称为集合B 的真子集（proper set ）,记为_________或_________ 读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集 符号表示为_____________________________②真子集具备传递性 符号表示为______________________________________5．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合， 这时U 可以看做一个全集（universal set ）全集通常记作 __________.6．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（complementary set ）, 记为_________读作“__________________________________”即：U C A =_______________________U C A 可用下图阴影部分来表示：7．补集的性质：①二、自学检测1．集合{}2,1的子集个数为___________． 2.下列命题中，正确的有____________个.（1）空集没有子集；（2）任何集合都至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若A ≠⊂∅，则∅≠A ；（5）{0}=∅ 3.用适当的符号填空：（1）},,______{},,,_____{},{c b a a c b a b a ；（2）R R x x x _______},,03|____{2∅∈=+∅；（3）N Q N ______},1,0_____{；（4）}0|{__________}0{2=-x x x .4.已知集合}3,4{},4,3,2{==A S ，则=A C S _________________.5.已知集合==∈≥=A C R U R x x x A U 则,},,3|{___________________.【典型例题】例1．1.写出集合{},a b 的所有子集及其真子集；2.写出集合{},,a b c 的所有子集及其真子集.归纳: 写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n 个元素，那么它有_____个子集；②一个集合里有n 个元素，那么它有_______个真子集；③一个集合里有n 个元素，那么它有_______个非空真子集．例2.以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{}a _________ 0 与 ∅ _________（2）∅与320,5⎧⎫∅⎨⎬⎩⎭ __________________（3）{}{}{}2,1,1,2,1,1,2,2S A B =--=-=-_________________________________________（4）{}{},0,0S R A x x B x x ==≤=>______________________________________例3.已知集合{}21A x x =-<≤，{}231B x a x a =-<<+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.变式训练：1.已知集合{}21A x x =-<≤，{}123B x x a x a =<+>-或，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.2.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤- ，若B A ⊆．求实数m 的取值范围．扩展训练： 设集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．跟踪训练： 设集合{}{}2560,10A x x x B x mx =-+==+=，若B A ⊆，求实数m 的取值范围．例4.（1）方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U R =，试求A 及u C A ． （2）设全集{}{}1,0A x x B x x a =>=+<，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．【达标查学】1．集合{}1,2,3的非空真子集的个数是______．2．已知U R =，{}13A x x =-≤<，则u C A ＝ ．3. 若{}1-<=x x A ，{}m x x B <=，且B A ⊆，则实数m 的取值范围为___________． 4．设全集是数集{}22,3,23U a a =+-，已知{}2,A b =，U C A ={}5，求实数,a b 的值．5.已知集合{}{}2210,20A x x B x x ax b =-==-+=， B A ⊆，求实数,a b 的值．【学后反思】。

1.2 子集、全集、补集一、 学习内容、要求及建议知识、方法 要求 建议子集 有限集的子集个数公式 理解 子集中不要遗忘空集，分类讨论思想和数形结合思想在解题中有很重要的运用.全集、补集 文氏图 理解 二、 预习指导1. 预习目标(1)了解集合间的包含关系, 全集和空集的意义；(2)理解子集、真子集和补集的概念及意义；(3)重视分类讨论思想以及数形结合思想的运用，借助数轴、文氏图解决问题.2. 预习提纲(1)通过观察具体的集合，从“数”和“形”两个方面感受并归纳出集合与集合之间的包含关系.(2)先考察元素个数比较少的集合的子集个数，然后猜想归纳n 个元素的集合的子集个数.(3)试用Venn 图探求补集具有的性质.(4)课本例1要求写出一个两元素集合的所有子集，可以按子集中的元素个数0,1,2的顺序分别列出，注意不要重复和遗漏，特别是不要遗漏空集和原集合本身，当然也可以用有限集的子集个数公式进行检验(n 个元素的集合有2n 个子集)；例2是判断集合之间是否具有包含关系，用列举法表示的集合间关系容易判断，而要判断用描述法表示的集合间的关系，有时会用到数轴；例3把求一元一次不等式组的解集、求补集这两个问题融合在一起，并将集合表示在数轴上，数形结合，注意实心点与空心点的区别.3. 典型例题例1 写出集合},,{c b a A =的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．解：子集为：},,{},,{},,{},,{},{},{},{,c b a c b c a b a c b a ∅．真子集：},{},,{},,{},{},{},{,c b c a b a c b a ∅．点评：该题虽然简单，但在解题过程中常常漏掉空集与集合本身，一定要予以相当的关注． 例2 若集合}20|{≤<=x x A .分别求出当全集为下列集合时的U A ð.(1)R U =； (2)}1|{-≥=x x U ；(3)=U }30|{≤≤x x .分析：用不等式表示的实数可以在数轴上表示出来,再根据补集的概念，求补集实质上就是利用“不满足”“相反”去求出其补集．解：集合}20|{≤<=x x A 在数轴上可表示为： (1)当R U =时， U A ð=}20|{>≤x x x 或；(2)当 }1|{-≥=x x U 时，U A ð=}201|{>≤≤-x x x 或；(3)当 =U }30|{≤≤x x 时，U A ð=}320|{≤<==x x x 或.120点评：画数轴，表示不等式是 “<”、“>”或“≤”、“≥”或某一点时，一定要注意区分是空心点还是实心点，同时要注意所求区间端点能否取到．例3 已知集合{}1,4,5M ⊆，且集合M 中至多有一个奇数，求满足条件的集合M .分析：“至多有一个奇数”的含义是：只有一个奇数或不含奇数.解：根据题意，对集合M 分三种情况讨论：①集合M 是空集∅；②集合M 不含奇数，为{}4；③集合M 只含有一个奇数，为{}{}{}{}1,5,1,4,4,5.所以满足条件的集合M 共有6个，分别为{}{}{}{}{},4,1,5,1,4,4,5∅.点评：解答{}1,4,5M ⊆这样一类集合问题时，M =∅常常会被遗漏.例4 写出满足关系{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}的所有集合A 的个数.分析：本题等同于求{3，4，5}的所有子集的个数，因为{3，4，5}的任意一个子集再添加元素1，2后得到的就是满足条件的集合A ．解：{3,4,5}中共有3个元素，故它有32即8个子集，所有这些子集均添加元素1和2，得到的就是满足条件的所有集合A, 所以集合A 的个数为8．推广：求满足条件：},,,,{},,,{32121n m a a a a A a a a ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅,(n m ≤)的集合A 的个数． 例5 (1)已知全集}3,0,2{2a U -=，子集}2,2{2--=a a P ，且{1}U P =-ð，求实数a ； (2)已知全集}23,3,1{23x x x S ++=，|},12|,1{-=x A 如果{0}S A =ð,则这样的实数x 是否存在？若不存在，请说明理由．分析：对于第1小题，要深刻理解补集的定义，注意到()U P ð U ，P U )U ，注意集合U 和P 的相同点与不同点，由全集、补集的定义，列方程组求解．对于第2小题，属于探索性问题，这类问题的解法常常是假设这样的问题存在，从此出发，依据相关的的条件、性质和定理等进行推理论证，推出一个明显的结论，在根据这个结论是否与条件、性质、定理、假设等矛盾，得出最终结果．解：(1)由补集的定义得⎩⎨⎧=---=-021322a a a ，解得2=a ． (2) {0}S A =ð，∴S ∈0且A ∉0．02323=++x x x ，即0)2)(1(=++x x x ， ∴0=x ，或1-=x ，或2-=x ．当0=x 时， 1|12|=-x ，则A 中有重复的元素，故0≠x ；当1-=x 时，3|12|=-x ，}3,1{=A S ，{0}S A =ð；当2-=x 时，5|12|=-x ，{1,5}A S =⊄，故2-≠x ．综上：所求的实数x 存在，此时，1-=x ．4. 自我检测(1)已知集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 则A 与B 之间最恰当的关系是 .①A B ⊆ ②A B ⊇ ③.A ≠⊂B ④ A ≠⊃B(2)设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是 .(3)已知集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭. 若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是 .(4)已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是 .(5)已知集合{},,A a b c =，则集合A 的真子集的个数是 . (6)已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3, 2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a的值.(7)设全集}053|{31},3,5,31{2=-+=∈---=Px x x A U ，而且 B ∈-31},0103|{2=++=q x x x 求U A ð,U B ð. 三、 课后巩固练习A 组1．设M ={正方形}，T ={矩形}，P ={平行四边形}，H ={梯形}，下列包含关系中不正确的是①M T ⊆；②T P ⊆；③P H ⊆；④M P ⊆.2．写出集合{(-2,3),(3,-2)}的所有子集______________________________．3．若S ={x |x =2n +1,n ∈Z }，T ={x |x =4k ±1，k ∈Z },则S ,T 的关系_______．4．设集合M ={x |x =412+k ,k ∈Z },P ={x |x =214+k ,k ∈Z }，则 M ,N 的关系_______． 5．若A ={a |a =3n +1,n ∈Z }，B ={b |b =3n -2,n ∈Z }, C ={c |c =6n +1,n ∈Z }，则A ，B ，C 的关系为_____．6．已知a 为给定的实数，那么集合M ={x | x 2 –3x -a 2+2=0,x ∈R }的子集的个数为_______．7．当}0,,4{}1,0,{b a =-时,__________________,==b a ．8．若集合},2,1{-=A 集合},0|{2=++=b ax x x B 且B A =，则=a _____ ,=b _____．9．已知集合}2|{<=x x A ，}|{a x x B <=，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．10．集合U ={三角形}，集合P ={直角三角形}，则P 在U 中的补集为___________．11．已知全集}51|{<<-=x x U ，集合}1|{a x x P <<=，若P =∅/，则a 的取值范围是_________．12．已知全集{}7,5,3=U ，数集{}7,3-=a A ，且{}7U A =ð，则a 的值为_____．13．若},2|{,>∈==x N x A N U 用列举法表示集合U A ð.14．已知},8,7,6,5,4{},5,4,3,2,1{==B A {}6,7,8,9,10U A =ð求UB ð. 15．设全集},4,3,2,1{=U }0|{2=++∈=n mx x U x A ，{}1,3U A =ð,求n m ,的值． B 组16．用适当的符号填空：(1)2{|230}x x x +-= 2{|10}x x x ++=；(2)2{|21,}M y y x x x R ==--∈ {|24}P x x =-≤≤；(3)},12|{2R a a a x x A ∈++== },12|{2R b b b y y B ∈-+==.17．已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是____．18．集合2{4,,}A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为_________．19.(1)满足关系{1}⊆M ⊂≠{1，2，3，4}的集合M 有 个.(2)已知}2,1,0{⊆M ，且}4,2,0{⊆M ，则满足条件的集合M 为_________.20．集合{}{}7,6,5,4,5,4,3==Q P ，定义(){}Q b P a b a Q P ∈∈=,|,*，则Q P *中的元素个数为___________．21．若集合2{440,}A x kx x x R =++=∈中只有一个元素,则实数k 的值为_______. 22．设集合{}{}B A ab a a B b a A ===,,,,,,12，则b a 20092008+的值为_________． 23．已知{15},{4}A x x x B x a x a =<->=≤<+或,若A ⊃≠B ，则实数a 的取值范围是_______________．24．设x ，y ，z 是非零实数，若||||||||xyz xyz z z y y x x a +++=，则所有不同的a 值组成的集合的非空真子集的个数为________________．25.设全集U =Z ，A ={x |x =3k ,k ∈Z },求U A ð．26.设全集U ={x |x =n 21,n ∈N }，A ={x |x =N n n ∈,41},求U A ð． 27．已知全集},2,1{},,2,1{22-=+=x A x x U {}6U A =ð，求实数x 的值.28．已知集合},4,1{a A =,集合},1{2a B =,A B ⊆,求集合A 和集合BＣ组29．(1)P ＝{x |x 2－2x －3＝0}，S ＝{x |ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 的值；(2)A ＝{ x |－2≤x ≤5} ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ,求m .30．设集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的值．31．已知集合{}{}A a a d a dB a aq aq =++=，，，，，22，其中a ，d ，q R ∈，若A =B ，求q 的值．32．设}05|{},5,4,3,2,1{2=+-==a x x x A U ，且A U ⊂⊂∅≠≠，求a 的值及U A ð. 知识点题号 注意点 子 集空集是任何集合的子集，注意不要遗漏空集；会用有限集的子集个数公式. 全集、补集注意运用数形结合思想. 综 合 题注意运用数形结合思想和分类讨论思想.四、 学习心得五、 拓展视野 神奇的希尔伯特旅馆所有的正整数构成的集合与所有的正奇数所构成的集合所含有的元素哪一个多？ 回答这一问题之前，让我们先参观一个神奇的希尔伯特旅馆吧．风景秀丽的某镇每天都吸引着许多前来观光的旅客，镇上唯一的一家旅馆——希尔伯特旅馆，生意格外红火，它因为有无穷多间客房而被誉为世界上最大的旅馆．有一天，店里的无穷多个房间都住满了客人，到傍晚时又来了一位旅客，尽管值班的服务生遗憾地告诉它已经没有房间了，可是这位旅客在镇上别无选择，他再三恳求值班的服务生为他想想办法，这时老板的女儿恰好经过，她问清了情况后对服务生说：让已经住下的旅客都调换一下房间，1号房间的客人住到2号房间去，2号房间的客人住到3号去，依次类推，这么就空出l 号房间，于是这位客人高高兴兴地住了进去．第二天，希尔伯特旅馆来了一个庞大的旅游团要求住宿，他们说共有可数无穷多位，值班的服务生赶快去向老板的女儿请教，看是否还有办法让他们住下，老板的女儿想了一下说：你让1号房间的客人搬到2号去，2号房间的客人搬到4号，3号的搬到6号，依次类推，k 号房间的客人搬到2k 号去住，这样下去，1号、3号、5号、7号……的房间都空出来了，让他们住进去就行了．第三天，已经住下的所有客人都来了可数无穷多个亲戚，他们也都要求住下，老板的女儿再次想出了奇妙的办法，她把每一个客人所需的房间都编上了号，如第一个客人所需的房间为（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）…；第二个客人所需的房间为（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）…；依次类推，第m 个客人所需的房间为（m ，1）（m ，2）（m ，3）（m ，4）…；… 然后把它们整理成一个图：图中按照箭头所指顺序，分别安排在1号、2号、3号……客房，这样所有的客人都如愿以偿，住进了希尔伯特旅馆．无限由有限构成，有限可以看作无限的部分，有限世界的部分规则并不适用于无限空间，对于无限空间而言，局部不一定小于整体，无限空间还有很多奇妙的现象，想进一步领略无限的神奇吗？努力吧！。

1.2子集、全集、补集学案（含答案）1.2子集.全集.补集学习目标1.理解子集.真子集.全集.补集的概念.2.能用符号和Venn图.数轴表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集知识点一子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素若aA，则aB，那么集合A称为集合B的子集记法AB或BA读法集合A包含于集合B或集合B包含集合A图示性质1任何一个集合是它本身的子集，即AA；2对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC；3若AB且BA，则AB；4规定A知识点二真子集定义如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集记法AB 或BA读法集合A真包含于集合B或集合B真包含集合A图示性质1对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC；2对于集合A，B，若AB 且AB，则AB；3若A，则A知识点三全集.补集1全集如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.2补集定义文字语言设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集符号语言SAx|xS，且xA 图形语言性质1AS，SAS；2SSAA；3SS，SS题型一有限集合子集真子集的确定例11写出集合a，b，c，d的所有子集解，a，b，c，d，a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，b，c，d，a，b，c，d反思感悟当元素个数为n时，有如下结论含有n个元素的集合有2n个子集；含有n个元素的集合有2n1个真子集；含有n个元素的集合有2n1个非空子集；含有n 个元素的集合有2n2个非空真子集跟踪训练11集合Ax|0x3，xN 的真子集的个数是A16B8C7D4答案C解析易知集合A0,1,2，含有3个元素，所以A的真子集的个数为2317.例12满足条件1,2,3M1,2,3,4,5,6的集合M的个数是A8B7C6D5答案C解析集合M中一定含有元素1,2,3，但同时M1,2,3且是1,2,3,4,5,6的真子集，所以集合M为1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,3,6，1,2,3,4,5，1,2,3,4,6，1,2,3,5,6，共6个，故选C.反思感悟对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素n，mN*，且mn若BCA，则C的个数为2nm；若BCA，则C的个数为2nm1；若BCA，则C的个数为2nm1；若BCA，则C的个数为2nm2.跟踪训练12适合条件1A1,2,3,4,5的集合A的个数是________答案15解析这样的集合A有1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,3,4,5共15个题型二集合间关系的判断例2判断下列各组中集合之间的关系1Ax|x是12的约数，Bx|x是36的约数2Ax|x是平行四边形，Bx|x是菱形，Cx|x是四边形；Dx|x 是正方形3M，N.4Ax|1x4，Bx|x5解1因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.2由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.3对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是n，分子部分表示所有的奇数由真子集的概念知，NM.4由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如2A，故有AB.反思感悟判断集合A，B之间是否有包含关系的步骤先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素间的关系当集合A 中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B且B中至少有一个元素不属于集合A时，AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有AB.跟踪训练2设集合A0,1，集合Bx|x2或x3，则A与B的关系为________答案AB或AB解析02，0B.又12，1B，又AB，AB或AB题型三补集的求法例31设Ux|x是小于9的正整数，A1,2,3，B3，4,5,6，求UA，UB.解根据题意可知，U1,2,3,4,5,6,7,8，所以UA4,5,6,7,8，UB1,2,7,82若全集UxR|2x2，AxR|2x0，则UA________.答案x|0x2解析UxR|2x2，AxR|2x0，UAx|0x2反思感悟求集合的补集，需关注两处一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图有限集.数轴数集.坐标系点集来求解跟踪训练31设集合U1,2,3,4,5，集合A1,2，则UA________.答案3,4,52已知集合UR，Ax|x2x20，则UA________.答案x|x2x203已知全集Ux，y|xR，yR，集合Ax，y|xy0，则UA________.答案x，y|xy0题型四由集合间关系求参数值或范围例4已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围解1当B时，如图所示或解这两个不等式组，得2m3.2当B时，由m12m1，得m2.综上可得，m的取值范围是m3.引申探究1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x5”，其他条件不变，求m的取值范围解1当B时，由m12m1，得m2.2当B时，如图所示解得即2m3，综上可得，m的取值范围是m3.2若本例条件“BA”改为“AB”，其他条件不变，求m的取值范围解当AB时，如图所示，此时B.即m不存在即不存在实数m使AB.反思感悟1利用集合的关系求参数问题利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合含参数，另一个为静集合具体的，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题空集是任何集合的子集，因此在解ABB的含参数的问题时，要注意讨论A和A两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面2数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题跟踪训练4已知集合Ax|x4或x5，Bx|a1xa3，aR，若BA，则a的取值范围为________答案a|a8或a3解析利用数轴法表示BA，如图所示，则a35或a14，解得a8或a3.1对子集.真子集有关概念的理解1集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法2不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B 中的所有元素3在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集.真子集个数的规律为含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉3补集是相对于全集而言的，有限集求补集一般借助Venn图，连续的数集求补集常用数轴，求时注意端点取舍4在由集合间关系求参数值或范围时1由于空集是任何集合的子集，又是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B”时，一定要注意讨论A 和A两种情况，A的情况易被忽略，应引起足够重视2在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误正确的做法是把端点值代入原式，看是否符合题目要求.1若A1，下列关系错误的是ABAACADA 考点空集的定义.性质及运算题点空集的性质答案D2已知集合A1,0,1，则含有元素0的A的子集的个数为A2B4C6D8答案B解析根据题意，含有元素0的A的子集为0，0,1，0，1，1,0,1，共4个3设集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM________.答案3,5,64若Ax|xa，Bx|x6，且AB，则实数a的取值范围是________答案a|a65已知集合Ax|1x2，Bx|2a3xa2，且AB，求实数a的取值范围考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解1当2a3a2，即a1时，BA，符合题意2当a1时，要使AB，需满足这样的实数a不存在综上，实数a的取值范围是a|a1.。

1.2 子集、全集、补集整体设计教材分析本节课主要研究集合的基本关系，从同学们熟悉的背景出发逐步建立子集、全集、补集的概念及表述方法和研究手段.对一些结论的产生不是直接得到，而是引导学生去发现.三维目标1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.理解子集、真子集的概念.3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.4.树立数形结合的思想.5.体会类比对发现新结论的作用.重点难点教学重点:集合间的包含与相等关系，子集与其子集，补集与全集的概念.教学难点:属于关系与包含关系的区别，补集与全集的数学语言表示.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(问题导入)问题：实数有相等、大小关系，如5=5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于作出判断,而是继续引导学生一起观察、研讨.设计思路二(复习导入)上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.已知M={-1,1),N={-1,1,3},P={x|x2-1=0},问:(1)哪些集合表示方法是列举法？(M和N)(2)哪些集合表示方法是描述法？(P)(3)将集合M、集合N与集合P用图示法表示？(略)(4)集合M中元素与集合N有何关系?集合M中元素与集合P有何关系?(集合M中任何元素都是集合N的元素,集合M中任何元素都是集合P的元素)在上面见到的集合M与集合N；集合M与集合P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题.推进新课新知探究1.(投影)问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}；(2)设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；(3)设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};(4)E={2,4,6},F={6,4,2}.组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,(若a∈A，则a∈B)我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B(或B包含A).如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解，并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的V enn图.图1 图2(投影)问题2：与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？教师引导学生通过类比，思考得出结论：若A⊆B,且B⊆A，则A=B.(投影)问题3：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn图表示学生主动发言，教师给予评价.2.事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.看下面例子(投影)：A={班上所有参加足球队同学}，B={班上没有参加足球队同学}，S={全班同学}，那么S、A、B三集合关系如何？集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.现在借助右图总结规律如下：(投影) 然后教师引导学生阅读教材第8页中的相关内容，并思考回答下列问题：图3(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么？什么叫空集？(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？(3)0，{0}与∅三者之间有什么关系？(4)包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A意义有什么区别？试结合实例作出解释.(5)空集是任何集合的子集吗？空集是任何集合的真子集吗？(6)能否说任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A？(7)对于A⊆B，且B⊆A，则A＝B.集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么集合A 与C有什么关系？教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题的看法.讨论结果：(1)如果A⊆B、A≠B，这时集合A称为集合B的真子集.不含任何元素的集合叫空集.(2)子集可以是相等的集合，真子集不可以.(3)0是一个元素，{0}是0一个元素组成的集合，∅是不含任何元素的集合，即元素的个数是0.(4){a}⊆A是集合与集合的关系，a∈A是元素与集合的关系.(5)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(6)可以说任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(7)A⊆C.补集一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A⊆S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集)，记作A，即A={x|x∈S，且x∉A}，图3 阴影部分即表示A在S中的补集 A.全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集Q就是全体无理数的集合.记忆技巧:这两个概念都可以从字面上来理解，与我们的语言习惯是相吻合的，符号上可以联系实数中的大小符号来记忆，也就是关联记忆.应用示例思路1例1某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格.若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合，则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.分析：本题作为应用题，体现了数学的实用性，解题时要注意实际问题中的相关概念的包含关系.解：A⊆B;A⊆C.试用Venn图表示这三个集合的关系.如右图:点评：该题较好地体现了集合语言的简洁性，是我们今后在问题的表述上的一个方向，要注意两种语言的转化.例2写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.分析：根据子集与真子集的定义可以写出.解：子集为:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.真子集为:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}.变式训练1.写出{1}的子集.解：∅,{1}.2.∅的子集是什么?解：它的本身,即∅.3.我们可以列一个表格,根据表格你能发现它们的规律吗？根据你的发现,请你猜一猜4个元素集合的子集个数是多少.集合集合元素的个数集合子集的个数∅0 1{1} 1 2{1,2} 2 4{1,2,3} 3 8{1,2,3,4} 4……n个元素解：16个.4.从上面写出的集合子集我们可以看出集合的子集个数与集合元素的个数之间有什么关系？换句话说,你能否猜想n个元素集合的子集共有多少个子集？解：2n个.点评：目前我们所学的知识还不能证明这个结论,要到后面的选修内容中才能给以证明.但我们可以做一个说明:如果集合的元素多一个的子集的写法,只需要Ａ粼吹淖蛹?把多的一个元素放在原来的集合中得到与原来同样多的集合,也就是多一个元素的子集的个数是原来的子集的个数的2倍,这样就可以得出这个结论.这就是合情推理,他注重了对我们所写的子集的过程分析,寻求推理的依据,这也是我们以后学习数学和处理问题的一个非常有效的方法,但要注意他也不是有效的证明,从另一个层面上更加肯定了我们的猜想,所以真子集有2n-1个.例3填空：(1)若S={2,3,4},A={4,3}，则A=__________;(2)若S={三角形}，B={锐角三角形}，则B=__________;(3)若S={1,2,4,8},A=∅，则A=___________;(4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3}，A={5},则a=____________;(5)已知A={0,2,4},A={-1,1}，B=(-1,0,2)，则B=____________.分析：这是一组问题，都是围绕着补集这个概念的基本的应用，所以解题时应该围绕着补集的概念进行展开.解：(1)A={2}；(2)B={直角三角形和钝角三角形}；(3)A=S；(4)a2+2a+1=5⇒a=-1±5；(5)利用韦恩图(如下图)，B={1,4}.点评：本组问题较好地反映了补集的概念的应用,从不同角度来诠释了补集这一概念.例4设全集U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},A={5},求m的值.分析：本题带有参数，这是学生学习的难点，思考问题时要注意全面性,从补集的概念寻找突破口.解：m2+2m-3=5⇒m=-4或m=2，又因为|m+1|=3,所以m=-4或2.点评：解答本题要注意补集的概念，保证解出的m的值符合题意.例5设全集U={1,2,3,4},A={x|x-5x+m=0,x∈U}，求A,m.分析：先化简集合A，从而寻找解题途径.解：将x=1,2,3,4代入x2-5x+m=0中，m=4或6.当m=4时，A={1,4}；m={6}时，A={2,3}.故满足条件：A={2,3}时,m=4;A={1,4}时,m=6.点评：本题较为灵活，思考问题要从两个角度寻找解题的思路，同时要注意检验.思路2例1写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：依据子集的定义，可以写出.解：集合{a,b}的所有的子集是∅,{a},{b},{a,b},其中∅,{a},{b}是{a,b}的真子集.点评：注意不要将∅遗漏.例2下列各组的三个集合中,哪两个集合中有包含关系？(1)S={-2,-1,1,2},A={-1,1},B={-2,2};(2)S=R,A={x|x≤0,x∈R},B={x|x＞0,x∈R};(3)S={x|x为地球人},A={x|x为中国人},B={x|x为外国人}.解：在(1),(2),(3)中都有A⊆S,B⊆S.点评：判断时要注意符号不要搞错了.例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正.(1){∅}表示空集；(2)空集是任何集合的真子集；(3){1,2,3}不是{3,2,1}；(4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1}；(5)如果A⊆B且A≠B，那么A必是B的真子集；(6)A⊆B与B⊆A不能同时成立.分析：依据概念和相关的符号的意义来进行判断.解：(1){∅}不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以(1)不正确；(2)不正确,空集是任何非空集合的真子集；(3)不正确,{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合；(4)不正确,{0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1},∅；(5)正确;(6)不正确,当A=B时，A⊆B与B⊆A能同时成立.点评：正确地表示符号和正确地理解符号的意义非常重要,不然就会出现表达上的错误,从而导致不必要的失分.例4用适当的符号(∈,∉,=,,)填空：(1)0__________{0},0__________∅,∅__________{0}；(2)∅__________{x|x2+1=0,x∈R},{0}__________{x|x2+1=0,x∈R};2-____________{a6+b2|a,b∈Q}；(3)3(4)设A={x|x=2n-1,n ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z }，C={x|x=4k±1,k ∈Z }，则A_____________B_____________C.分析：这仍然是一组符号意义的题组,解答时根据符号的意义进行判断.解：(1)∈，∉，；(2)=，； (3)∈,因为21,21,22162132--=-∈Q ， 所以32-∈{a 6+b 2|a,b ∈Q }；(4)A 、B 、C 均表示所有奇数组成的集合，所以A ＝B ＝C.点评：注意符号不要搞反了,同时要注意集合的化简和集合的语言所表达的意思. 知能训练课本第9页练习1、2、3、4.答案：1.∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.2.(A)=A.3.(1)、(2)错误,(3)、(4)、(5)正确.4.A=B,B=A.点评：本练习从概念的角度出发，对概念作了全方位的解释.课堂小结本节课主要学习了集合间的关系：子集、全集、补集.这有点在大集合里来考虑其内部集合的味道,研究时我们既可以用语言又可以用符号还可以用图象来表示.作业课本第10页习题1.2 2、3、4.设计感想本节课讲述的是集合间的基本运算，教学中要注意：1.能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？答：不能把A 是B 的子集解释成A 是B 中部分元素组成的集合.因为B 的子集也包括它本身，而这个子集是由B 的全体元素组成的，空集也是B 的子集，而这个集合并不含有B 中的元素.由此可以看出，把A 是B 的子集解释成A 是B 中部分元素组成的集合是不确切的.2.能否这样定义真子集：“如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集”？答：对照定义可以证明能这样定义.3.子集与真子集符号的方向.如A ⊆B 与B ⊇A 同义；如A ⊆B 与A ⊇B 不同义.4.易混符号：∈,⊆；元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如1∈N ，-1∉N,N ⊆R ,∅⊆R ,{1}⊆{1,2,3},{0}与∅：{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合.如：∅⊆{0}，不能写成{0}=∅，∅∈{0}.习题详解课本第10页习题1.21.A ⊆B ⊆C.2.(1)A ⊆B;(2)A=B;(3)A ⊆B.3.{梯形}.4.(1){2，4};(2) ∅.5.{-2，-1}.6.略。

子集、全集、补集(一)教学目标：使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点. 教学重点：子集的概念，真子集的概念.教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.集合的表示方法列举法、描述法2.集合的分类有限集、无限集由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.Ⅱ.讲授新课［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.幻灯片(A)：我们共同观察下面几组集合(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}(2)A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜3x－6＞0}(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}(4)A＝∅，B＝{0}(5)A＝{直角三角形}，B＝{三角形}(6)A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e}［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.幻灯片(B)：1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作A B（或B A），这时我们也说集合A是集合B的子集.［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A B（或B A）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则A B.［师］依规定，空集∅是任何集合子集.请填空：∅_____A(A为任何集合).［生］∅⊆A ［师］由A ＝{正三角形}，B ＝{等腰三角形}，C ＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？ ［生］由题可知应有A ⊆B ，B ⊆C.这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故A ⊆C.［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.(1)任何一个集合是它本身的子集［师］如A ＝{9，11，13}，B ＝{20，30，40}，那么有A ⊆A ，B ⊆B.师进一步指出：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集.这应理解为：若A ⊆B ，且存在b ∈B ，但b ∉A ，称A 是B 的真子集.A 是B 的真子集，记作A B (或B A )真子集关系也具有传递性若A B ，B C ，则A C.那么_______是任何非空集合的真子集.［生］应填∅2.例题解析［例1］写出{a 、b }的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：{a ，b }的所有子集是∅、{a }、{b }、{a ，b }，其中真子集有∅、{a }、{b }. 注：如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个. ［例2］解不等式x －3＞2，并把结果用集合表示.解：由不等式x －3＞2知x ＞5所以原不等式解集是{x ｜x ＞5}［例3］（1）说出0，｛0｝和∅的区别；（2）｛∅｝的含义Ⅲ.课堂练习1．已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围.分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.解：将A 及B 两集合在数轴上表示出来要使A ⊇B ，则B 中的元素必须都是A 中元素即B 中元素必须都位于阴影部分内那么由x ＜－2或x ＞3及x ＜－m 4 知 －m 4＜－2即m ＞8 故实数m 取值范围是m ＞82．填空：｛a ｝ ｛a ｝，a ｛a ｝，∅ ｛a ｝，｛a ，b ｝ ｛a ｝，0 ∅，｛0｝ ∅，1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2｝｝，∅ ｛∅｝Ⅳ.课时小结1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.Ⅴ.课后作业（一）课本P10习题1.2 1，2补充：1.判断正误(1)空集没有子集（）(2)空集是任何一个集合的真子集（）(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）(4)若B⊆A，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （）分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x∉A时也必有x∉B.2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.则该题先找该集合元素，后找真子集.解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}真子集：∅、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个3.(1)下列命题正确的是（）A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为（）①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}⊆{1，0，2}④∅∈{0，1，2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.由于∅只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.①应是{1}⊆{0，1，2}，④应是∅⊆{0，1，2}，⑤应是∅⊆{0}故错误的有①④⑤，选C.(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π因3＜a＜4，故a是M的一个元素.{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M.选D.4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.(2)因A ＝{x ｜x ＝2m ，m ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈Z }，又 x ＝4n ＝2·2n在x ＝2m 中，m 可以取奇数，也可以取偶数；而在x ＝4n 中，2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成，则有B A .评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.5.已知集合P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}满足Q P ，求a 所取的一切值. 解：因P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}当a ＝0时，Q={x ｜ax ＋1＝0}＝∅，Q P 成立.又当a ≠0时，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}＝{－1a }， 要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12 或a ＝13. 综上所述，a ＝0或a ＝－12 或a ＝13评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集情况.而当Q ＝∅时，满足Q P .6.已知集合A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4＝0}，要使A P ⊆B ，求满足条件的集合P .解：由题A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}＝∅B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4）＝0}＝{－1，1，－4}由A P ⊆B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即有满足条件的集合P 为：{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素.而做到这点，必须化简A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.7.已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A 共有多少个？解：因A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，由此，满足A ⊆B ，有∅，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.又满足A ⊆C 的集合A 有∅，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个.其中同时满足A ⊆B ，A ⊆C 的有8个∅，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.有如下思路：题目只要A 的个数，而未让说明A 的具体元素，故可将问题等价转化为B 、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)8.设A ＝{0，1}，B ＝{x ｜x ⊆A }，则A 与B 应具有何种关系？解：因A ＝{0，1}，B ＝{x ｜x ⊆A }故x 为∅，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B 中一元素.故A ∈B.评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.9.集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，需⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3 综上m ≤3时有B ⊆A(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.②若B ＝∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －12m －1＜2解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4评述：此问题解决：（1）不应忽略∅；（2）找A 中的元素；（3）分类讨论思想的运用.（二）1.预习内容：课本P 92.预习提纲：(1)求一个集合补集应具备的条件.(2)能正确表示一个集合的补集.子集、全集、补集(二)教学目标：使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?2.两个集合相等应满足的条件是什么?Ⅱ.讲授新课［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.请同学们由下面的例子回答问题：幻灯片（A）：看下面例子A＝{班上所有参加足球队同学}B＝{班上没有参加足球队同学}S＝{全班同学}那么S、A、B三集合关系如何?［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.即为如图阴影部分由此借助上图总结规律如下：幻灯片(B)：1.补集一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A⊆S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).记作C S A，即C S A＝{x｜x∈3且x∉a}上图中阴影部分即表示A在S中补集C S A2.全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集C U Q 就是全体无理数的集合.举例如下：请同学们思考其结果.幻灯片(C)：举例，请填充(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则C S A＝____________.(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则C S B＝___________.(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝∅，则C S A＝_______.(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，C U A＝{5}，则a＝_______(5)已知A＝{0，2，4}，C U A＝{－1，1}，C U B＝{－1，0，2}，求B＝_______(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，C U A＝{5}，求m.(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求C U A、m.师生共同完成上述题目，解题的依据是定义例(1)解：C S A＝{2}评述：主要是比较A及S的区别.例(2)解：C S B＝{直角三角形或钝角三角形}评述：注意三角形分类.例(3)解：C S A＝3评述：空集的定义运用.例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1± 5评述：利用集合元素的特征.例(5)解：利用文恩图由A及C U A先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之m＝－4或m＝2例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}故满足题条件：C U A＝{1，4}，m＝4；C U B＝{2，3}，m＝6.评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.Ⅲ.课堂练习课本P10练习1，2，3，4Ⅳ.课时小结1.能熟练求解一个给定集合的补集.2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.Ⅴ.课后作业（一）课本P10习题1.2 3，43.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A ＝{x｜x是平行四边形}，那么C S A＝{x｜x是梯形}.补充：1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{2，3} （）(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则C S A＝{锐角或钝角三角形} （）(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则C U A＝{平行四边形} （）(4)若U＝{1，2，3}，A＝∅，则C U A＝A （）(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅（）(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1} （）(7)若U是全集且A⊆B，则C U A⊆C U B （）解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{3}.(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得C S A＝{锐角或钝角三角形}.(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.(4)因U＝{1，2，3}，A＝∅，故C U A＝U.(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅.(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1}.(7)若U是全集且A＝B，则C U A⊇C U B.评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(C U A)＝U.2.填空题(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，C U A＝_____________________.(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，C U A＝_____________________.(3)已知U中有6个元素，C U A＝∅，那么A中有_______个元素.(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，C U A＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________ 解：由全集、补集意义解答如下：(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知C U A＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R 及A＝{x｜x＞3}，知C U A＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集C U A＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求C U A、C U B. 解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么C U A＝{0，2，4，6，8，10}，C U B＝{0，1，4，6，8，9，10}.4.已知A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，C U B＝{－1，0，2}，用列举法写出B. 解：因A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，故U＝A∪（C U A）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}而C U B＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，C U A＝{5}，求a的值.解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)所以符合题条件的a＝4评述：此题和第4题都用C U A＝{x｜x∈5，且x∉A}，有U中元素或者属于A，或者属于C U A.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.6.定义A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且x∉M}＝{8}评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与C A B中元素的特征相同，后者要求B⊆A.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使M C R N的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，故C R N＝{x｜x≥a}，使M C R N的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，又y ＝－x 2－4x －6＝－（x ＋2）2－2≤－2那么B ＝{y ｜y ≤－2}，故A ＝B8.已知I ＝R ，集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}，集合B 与C R A 的所有元素组成全集R ，集合B 与C R A 的元素公共部分组成集合{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .解：因a ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}＝{x ｜1≤x ≤2}，所以C R A ＝{x ｜x ＜1或x ＞2} B 与C R A 的所有元素组成全集R,则A ⊆B .B 与C R A 的公共元素构成{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，则{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B在数轴上表示集合B 为A 及{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}的元素组成，即B ＝{x ｜0＜x ＜3}.评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B ∪C R A ＝R B A ⊆⇒，B ∩C R A ＝{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}.9.设U ＝{（x ，y ）｜x ,y ∈R },A ＝{(x ，y )｜y －3x －2＝1}，B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}，求C U A 与B 的公共元素.解：a ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ≠2}，它表示直线y ＝x ＋1去掉(2，3)的全体，从而C U A ＝{（2，3）}，而B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}表示直线y ＝x ＋1上的全体点的集合.如图所示，C U A与B 的公共元素就是(2，3).评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.（二）1.预习内容：课本P 10～P 112.预习提纲：(1)交集与并集的含义是什么?能否说明?(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.。

1.2子集、全集、补集教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:第一课时一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系. 二“包含”关系—子集1. 实例: a={1,2,3}b={1,2,3,4,5} 引导观察. 结论: 对于两个集合a和b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,则说:集合a包含于集合b,或集合b包含集合a,记作aíb (或bêa)也说: 集合a是集合b的子集.2. 反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a?b (或b?a) 注意: í也可写成ì；ê也可写成é；í也可写成ì；ê也可写成é。

3. 规定: 空集是任何集合的子集. φía 三“相等”关系1. 实例：设a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合a与b，如果集合a 的任何一个元素都是集合b的元素，同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，即： a=b2. ①任何一个集合是它本身的子集。

aía②真子集：如果aíb ,且a1 b那就说集合a是集合b的真子集，记作③空集是任何非空集合的真子集。

④如果 aíb, bíc ,那么 aíc 证明：设x是a的任一元素，则 x?a aíb, x?b 又 bíc x?c 从而 aíc 同样；如果 aíb, bíc ,那么 aíc⑤如果aíb 同时 bía 那么a=b 四例题：例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例二解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来. 练习 p9 例三已知，问集合m与集合p之间的关系是怎样的？例四已知集合m满足五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： aíaaíb, bíc taícaíb bíat a=b 作业：p10 习题1.2 1,2,3。

1.2 子集、全集、补集（2）教学目标：1．使学生进一步理解集合及子集的意义，了解全集、补集的概念；2．能在给定的全集及其一个子集的基础上，求该子集的补集；3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化，培养学生观察、分析、归纳等能力．教学重点：补集的含义及求法．教学重点：补集性质的理解．教学过程：一、问题情境1． 情境．（1）复习子集的概念；（2）说出集合{1，2，3}的所有子集．2．问题．相对于集合{1，2，3}而言，集合{1}与集合{2，3}有何关系呢？二、学生活动1．分析、归纳出全集与补集的概念；2．列举生活中全集与补集的实例．三、数学建构1．补集的概念：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为S ðA (读作“A 在S 中的补集”)，即S ðA ＝{ x ｜x ∈S ，且x ∉A }，S ðA 可用右图表示． SA2．全集的含义：如果集合S 包含我们研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集，全集通常记作U ．3．常用数集的记法：自然数集N ，正整数集N*，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．则无理数集可表示为R ðQ ．四、数学运用1．例题．例1 已知全集S ＝Z ，集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，B ＝{ x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，分别写出集合A ，B 的补集∁S A 和∁S B ．例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞13x －6≤0的解集为A ，S ＝R ，试求A 及S ðA ，并把它们表示在数轴上．例3 已知全集S ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{ x ∈S ｜x 2－5qx ＋4＝0}．（1）若S ðA ＝S ，求q 的取值范围；（2）若S ðA 中有四个元素，求S ðA 和q 的值；（3）若A 中仅有两个元素，求S ðA 和q 的值．2．练习：（1）S ðA 在S 中的补集等于什么？即S ð(S ðA )＝ ．（2）若S ＝Z ，A ＝{ x ｜x ＝2k ，k ∈Z}，B ＝{ x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z}，则S ðA ＝ ，S ðB ＝ ．（3）S ð∅＝ ，S ðS ＝ ．五、回顾小结1．全集与补集的概念；2．任一集合对于全集而言，其任意子集与其补集一一对应．六、作业教材第10页练习3，4．。

明目标、知重点 1.理解集合之间包含关系的意义.2.理解子集和真子集的概念.3.了解全集与空集的意义，理解补集的概念．1．子集的概念如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B 的子集．记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．2．集合相等与真子集的概念(1)集合相等：如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等；(2)真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为：A B或B A，读作：“A真包含于B”或“B真包含A”．3．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．4．补集与全集的概念设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记作∁S A(读作“A 在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x A}．如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集，全集通常记作U.5．补集与全集的性质(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A.[情境导学]已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一集合与集合之间的关系思考1观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；(3)A＝N，B＝R；(4)A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}．答(1)、(2)、(3)、(4)中，集合A的任何一个元素都是集合B中的元素．思考2如何运用数学语言准确表达思考1中两个集合的关系？答如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，则称集合A是集合B 的子集．记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．思考3思考1中的集合A，B的“包含”关系能不能用Venn图直观形象的表示出来？答用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A⊆B(或B⊇A)，如图：思考4以下式子成立吗？(1)A⊆A；(2)∅⊆A；(3)∅⊆∅.答根据集合子集的定义，上面三个式子都成立．小结任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集．思考5A⊆B与B⊇A能否同时成立？你能举出一个例子吗？答能同时成立，如：A＝{1,2,3}，B＝{3,2,1}．小结集合与集合之间的“相等”关系：若A⊆B且B⊇A，则A＝B.思考6对于实数a，b，a≤b含有a<b或a＝b两层含义，类比a≤b，集合A B是怎样的含义？答如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为：A B或B A，读作：“A真包含于B”或“B真包含A”．思考7由A⊆B，B⊆C，能否推出A⊆C？为什么？答能推出，用Venn图表示出A⊆B，B⊆C，从“形”的角度来观察，结论成立．例1写出集合{a，b}的所有子集，其中真子集有哪些？解集合{a，b}的所有子集是∅，{a}，{b}，{a，b}．其中真子集是∅，{a}，{b}．反思与感悟任何一个集合的子集中都含有∅，同时∅也是任何非空集合的真子集，一个非空集合的真子集的个数比它的子集个数少1.跟踪训练1写出集合{a，b，c}的所有的子集、真子集．解子集：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．思考8若集合A中有n个元素，A的子集有多少个？真子集又有多少个？答子集有2n个，真子集有2n－1个．例2下列各组的集合中，哪两个集合之间具有包含关系？(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}，B＝{－2,2}；(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}；(3)S＝{x|x为地球人}，A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为外国人}．解在(1)(2)(3)中都有A S，B S.可以用图表示为：反思与感悟两个集合A、B的关系中，有一个集合是另一个集合的子集或真子集及相等的关系．由A B可推出A⊆B，但由A⊆B推不出A B.跟踪训练2观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}；(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}；(4)A＝{育才中学高一(11)班的女生}，B＝{育才中学高一(11)班的学生}．解通过观察就会发现，这四组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有A⊆B.探究点二补集与全集思考1在上述的例2中，每组的三个集合中还有哪些关系？答集合A和集合B的元素合起来就是集合S的全部元素．思考2对于例2中的(1)若A＝{1}，那么S中除去元素1得到的集合是什么？答 得到的是{－2，－1,2}．思考3 我们把问题2中得到的集合称为集合A 在S 中的补集，那么如何定义集合S 的子集A 的补集？答 设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集．记作∁S A (读作“A 在S 中的补集”)，即∁S A ＝{x |x ∈S ，且xD ∈/A }．如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看成一个全集，全集通常记作U .思考4 如何用Venn 图来表示集合∁U A?答 用Venn 图表示集合∁U A 如下图中的阴影部分．例3 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>03x －6≤0的解集为A ，U ＝R ，试求A 及∁U A ，并把它们分别表示在数轴上． 解 A ＝{x |2x －1>0，且3x －6≤0}＝{x |12<x ≤2}，∁U A ＝{x |x ≤12或x >2}．在数轴上分别表示如下，反思与感悟 不等式问题通常借助数轴来研究，但要注意实心点与空心点．跟踪训练3 已知U ＝{x |x 是实数}，Q ＝{x |x 是有理数}，求∁U Q .解 因为实数包括有理数和无理数，由于U ＝{x |x 是实数}，Q ＝{x |x 是有理数}，所以∁U Q ＝{x |x 是无理数}．1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则在A 的子集中，含有元素0的子集共有________个． 答案 4解析 由题意得，含有元素0的集合A 的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．2．若A ＝{x |x ≥3，x ∈R }，U ＝R ，则∁U A ＝________.答案 {x |x <3，x ∈R }解析 由U ＝R 及A ＝{x |x ≥3，x ∈R }，知∁U A ＝{x |x <3，x ∈R }．3．U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x >9或x <3}，则a ＝________，b ＝________. 答案 3 9解析 全集为R ，因为A ＝{x |a ≤x ≤b }，又其补集∁U A ＝{x |x >9或x <3}，则a ＝3，b ＝9.4．设全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤a}，若∁U M ∁U N，则a的取值范围是________．答案a<2解析因为∁U M＝{x|x≥2}，∁U N＝{x|x>a}，于是由∁U M ∁U N，得a<2，所以a的取值范围是a<2.[呈重点、现规律]1．能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合．(因为“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素)．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．4．注意区别“∈”与“⊆”的不同涵义.一、基础过关1．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为________．答案P T解析由x2－1＝0，得x＝±1，∴P＝{－1,1}．因此P T.2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M＝______.答案{3,5,6}3．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．答案P Q解析∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P Q.4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.答案{x|x<－2或x>2}解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．5．已知{0,1} A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.答案{－1,0,1}解析由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因A⊆{－1,0,1}，∴A＝{－1,0,1}．6．下列结论中正确的个数为________．①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅ A ，则A ≠∅.答案 1解析 ①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．7．设全集是数集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，已知A ＝{b,2}，∁U A ＝{5}，求实数a ，b 的值． 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意． 二、能力提升8．设全集U 和集合A 、B 、P 满足A ＝∁U B ，B ＝∁U P ，则A 与P 的关系是________． 答案 A ＝P解析 由A ＝∁U B ，得∁U A ＝B .又∵B ＝∁U P ，∴∁U P ＝∁U A ，即P ＝A .9．满足条件{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是________．答案 7解析 M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．10．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系是________．答案 S P ＝M解析 集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．11．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合． 解 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝∅时，此时m ＝0，满足B ⊆A .(2)当B ≠∅时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝{3m}． ∵B ⊆A ，∴3m ＝1或3m＝3，解之得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．解 因为B 是A 的子集，所以B 中元素必是A 中的元素，若x ＋2＝3，则x ＝1，符合题意．若x ＋2＝－x 3，则x 3＋x ＋2＝0，所以(x ＋1)(x 2－x ＋2)＝0.因为x 2－x ＋2≠0，所以x ＋1＝0，所以x ＝－1，此时x ＋2＝1，集合B 中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x ＝1，使得B 是A 的子集，此时A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}．三、探究与拓展已知A ＝{x ||x －a |＝4}，B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b ，都有A ⊆B ？若存在，求出相应的a ，若不存在，说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出相应的实数对(a ，b )．解 集合A ＝{a －4，a ＋4}，B ＝{1,2，b }，均为有限集．(1)若对任意的实数b ，都有A ⊆B ，只有当1,2也是A 中的元素时，才有可能．这相当于⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4＝1，a －4＝2， 两种情况都不可能，所以这样的实数a 不存在． (2)若A ⊆B 成立，由(1)可知两种情况不成立，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6， 即所有的实数对(a ，b )为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．。

1．2 子集、全集、补集第一课时一、教学目标1．理解子集、真子集的概念及其符号“”“⊂”的含义．2．了解空集、全集的意义，理解补集的概念。

3．了解集合间的包含、相等关系的意义。

4．会判断两集间的“包含”“相等”或“互补”的关系，并用符号及图形（韦恩图或数轴）准确地表示出来，培养数形结合的能力．5．能写出已知集合的所有子集或真子集．培养观察与逻辑划分能力．6．通过阐明子集、全集、补集分别现实生活中“部分”“全体”“剩余”概念在数学中反映，引导学生感悟任何抽象的数学概念都来源于真实的客观世界，为他们今后确立科学的世界观奠定基础．二、教学重点、难点1．重点：子集、补集的概念与性质．解决方法：具体集合关系与抽象概念和图形表示相结合．2．难点：弄清“元素”与“子集”“从属关系”与“包含关系”的区别并正确使用相关的表示符号．三、教与学过程设计（一）设置情境师：前两节课我们已经学习了许多关于集合的知识，如：集合与元素的定义，集合中元素的特点、集合的分类、集合的表示方法等，显然这些知识仅局限于某个集合自身，从这节课起，我们将跳出某个集合的“小圈子”，把讨论的重点转到两个或几个集合的关系上来。

（二）引入新课1．子集的定义与性质我们在讨论集合中元素的无序性时，已知道{}321，，与{}123，，是同一个集合，也就是说{}{}123321，，，，=，显然两个集合之间是存在着“相等”关系的。

同学们还能举出一些集合相等的实例吗？生：{}{}938,7,6,5,4<<∈=x N x 。

{}{}Z ,14Z ,12∈±==∈+=m m y y n n x x 。

……师：如果我们引申到一般情况，即有A 、B 两个集合是相等的，同学们能否从元素的角度描述出集合B A =的含义呢？生：（举手回答）如果集合A 与B 中的元素完全相同，那么这两个集合相等。

（由教师板书）师：完全正确。

显然，当集合B A =时，用图示法表示A 、B 两集的关系的话，示意A 、B 两集的“封闭曲线”是完全重合的。