数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.3.2

1 2.2.1 向量的加法

整体设计

教学分析

向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.

培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.

向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.

三维目标

1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果

1e

，

2e

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a

，有且只有一对实数λ

1，λ

2使a

=λ

1

1e

+λ

2

2e

(1)我们把不共线向量ｅ

１、ｅ

２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

[来源:]

(3)由定理可将任一向量ａ

在给出基底ｅ

１、ｅ

２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ

1，λ

2是被a，

1e，

2e

唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x

轴、y

轴方向相同的两个单位向量i

、j

作为

基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

yjxia

…………○1○1

我们把),(yx

叫做向量a

的（直角）坐标，记作

),(yxa

…………○2○2

其中x

叫做a

在x

轴上的坐标，y叫做a

在y轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表

示.与

．a

相等的向量的坐标也为

．．．．．．．．．．),(yx

.

特别地，)0,1(i

，)1,0(j

，)0,0(0

.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA

，则点A的位置由a唯一确定.

设yjxiOA，则向量OA

的坐标),(yx

就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx

也

就是向量OA

的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯

一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1）若),(

11yxa，),(

22yxb，则ba),(

2121yyxx，

ba),(

2121yyxx

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i

、j

，则ba)()(

2211jyixjyixjyyixx)()(

2121

即ba),(

2121yyxx，同理可得ba),(

2121yyxx

（2）若),(

11yxA

，),(

22yxB

，则

1212,yyxxAB



ab数学学科必修4模块第二单元教学设计方案

第七学时～第八学时:第二方案

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义

一、教学目标

1.知识与技能：

掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义

2.过程与方法：

（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系

（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别

（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法

3.情感、态度与价值观：

通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点

重点：平面向量数量积的定义

难点：数量积的性质及运算率

三、教学方法：

探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程

四、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

引入 以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

教师提出问题，学生思考 由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系

定义形成 问题：给一个精确定义

问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算

一、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向； 教师引导学生，

注意：

1.两向量必须同起点；

2.的取值范围；

3.数量积的定义公式形式；

4.注意特殊向量零让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性 （3）当θ＝2时，a与b垂直，记a⊥b；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

二、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab =

数学学科教学设计

课题 §3.2平面向量基本定理 授课人

课时安排 1 课型 新授 授课时间 第1周

课标依据 (1)了解平面向量的基本定理及其意义；

（2）掌握平面向量的正交分解。

教材分析 本节内容是《普通高中课程北师大版·数学·必修4（》第二章2.3.2平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

学情分析 文一：学生的基础较差，思维速度较为缓慢。虽然前面学习了平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理），但对于平面向量基本定理还是一个新课题，因此，在教学中必须以学生已有的知识生长点为基准。

理一：同上

三维目标 知识与能力

1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。

（2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。

过程与方法

（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

（2）通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法，体会求解一些比较简单向量夹角的方法。

情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

教学重难点 教学重点 平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算

教学难点平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。

教法

与

学法 类比法、探究法、讲练结合

信息技术应用分析

知识点 学习目标 媒体内容与形式 使用方式 媒体来源

课程导入 情感、态度与价值观 PPT 教师播放 制作

创设情境，揭示课题 知识与技能

过程与方法 电子白板