- 1 - 目录
高等数学——微积分------------------------------------------------------------- - 2 -
什么是微积分 ---------------------------------------------------------------------- - 2 -
微积分的历史 ---------------------------------------------------------------------- - 3 -
微积分的创立 ----------------------------------------------------------------- - 3 -
中国古代微积分 -------------------------------------------------------------- - 3 -
微积分的与公式 ------------------------------------------------------------------- - 4 -
微分公式 ------------------------------------------------------------------------ - 4 -
积分公式 ------------------------------------------------------------------------ - 4 -
微积分的运算法则 ---------------------------------------------------------------- - 6 -
微分的运算法则 -------------------------------------------------------------- - 6 -
高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴()
0c′
=⑵1xxµµµ−=⑶()
sincosxx′
=
⑷()
cossinxx′
=−⑸()2tansecxx′
=⑹()2cotcscxx′
=−
⑺()
secsectanxxx′
=⋅⑻()
csccsccotxxx′
=−⋅
⑼()
xxee′
=⑽()
lnxxaaa′
=⑾()1
lnx
x′
=
⑿()1
log
lnx
a
xa′
=⒀()
21
arcsin
1x
x′
=
−⒁()
21
arccos
1x
x′
=−
−
⒂()
21
arctan
1x
x′
=
+⒃()
21
arccot
1x
x′
=−
+⒄()
1x′
=
⒅()1
2x
x′
=
二、导数的四则运算法则
()
uvuv′
′′±=±()
uvuvuv′
′′=+
2uuvuv
vv′
′′−⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
三、微分公式与微分运算法则
⑴()
0dc=⑵()
1dxxdxµµµ−=⑶()
sincosdxxdx=
⑷()
cossindxxdx=−⑸()2tansecdxxdx=⑹()2cotcscdxxdx=−
⑺()
secsectandxxxdx=⋅⑻()
csccsccotdxxxdx=−⋅
⑼()
xxdeedx=⑽()
lnxxdaaadx=⑾()1
lndxdx
x=
⑿()1
log
lnx
addx
xa=⒀()
21
arcsin
1dxdx
x=
−⒁()
21
arccos
1dxdx
x=−
−
⒂()
21
arctan
1dxdx
x=
+⒃()
21
arccot
1dxdx
x=−
+
四、微分运算法则
⑴()
duvdudv±=±⑵()
dcucdu=
⑶()
duvvduudv=+⑷
2uvduudv
d
vv−⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
五、基本积分公式
⑴kdxkxc=+∫⑵1
1x
xdxcµ
µ
µ+
=+
+∫⑶lndx
xc
x=+
∫⑷
lnx
xa
adxc
a=+∫
⑸xxedxec=+∫
⑹cossinxdxxc=+∫
⑺sincosxdxxc=−+∫⑻2
21
sectan
cosdxxdxxc
x==+∫∫⑼2
21
csccot
sinxdxxc
x==−+∫∫⑽
21
arctan
期末练习题
一、选择题
1．3bafxdx( ).
A.fbfa B.33fbfa
C.1333fbfa D.333fbfa
2．已知Fx是fx的原函数，则xaftadt( ).
A.FxFa B.FtFa
C.FxaFxa D.2FxaFa
3.下列广义积分发散的是( ).
A.1dxx B.1dxxx C.21dxx D.21dxxx
4．下列级数中发散的是( ).
A.1111nnlnn B.131nnn
C.11113nnn D.123nnn
5．下列级数中绝对收敛的是( ).
A.11121nnnn B.121!13nnnnn
C.13112nnnn D.111nnn
6．设函数22zfxy，f可微，则( ).
A.zzyxxy B.zzxy
C.zzxyxy D.zzxy 7．若点00,xy是二元函数,fxy的驻点，则( ).
高教视 喾 ｆ ｐ Ｄ ＳＨｉＹ￣ … ……一 ～…～一…一 赢 ◎姜保周 （山东省菏泽学院２７４０００） 【摘要】微积分在高等数学中具有重要作用，它构成近 代数学的主要内容，它的结论影响现代数学的发展．微积分 一步步地发展起来，从中凝聚许多数学家的思想和方法，它 为数学分支的建立奠定了坚实的基础． 【关键词】微积分发展史；流数术；无穷小算法；理论完善 一、微积分的重要作用 随着时代的进步，数学已成为一种具有实用价值和， 泛应用的技术，掌握了这门技术能更好地了解各行业所体 现的社会价值．教育部规定学生从小接触数学，高等数学也 成为高等教育中必不可少的一门学科．而高数中最先接触 的就是微积分，由此可以看出微积分在数学中具有重要位 置．微积分标志着从初等数学到高等数学的飞跃，它的出现 成为数学史上跨时代的标志，它的产生和发展构成近代数 学的主要内容，它的结论影响现代数学的发展． 二、微积分的起源及萌芽 积分学起源于占代，中国战国时代的《庄子·天下篇》 中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就隐含着无穷小的 思想．公元２６３年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆 术”，用正多边形逼近圆周，是极限论思想的体现．古希腊数 学家欧多克斯也提到“穷竭法”，但真正提出微积分的是阿 基米德，他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形 的面积．但此时微积分并没有受到人们的广泛关注，直到１６ 世纪，开普勒１６１２年出版《新空间几何》给出了９２个阿基 米德未讨论过的体积问题，１６１５年他发表《测量酒桶的新立 体几何》，文章拓展了阿基米德求面积和体积的方法，用“无 数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的 体积”的思想得到至今在高数书中常见的球的体积公式Ｖ＝ ÷盯Ｒ ，他在天文学研究中得到等价现在用的公式： ｊ ０ ｒ“ Ｊ ｓｉｎＯｄＯ＝１一ｃｏｓ ，此后卡瓦列里也得到等价公式：Ｊ ｄｘ＝ Ｊ０ ．１０ ｎ ＋Ｉ ｎ ｎ＋１ （ｎ∈ｚ ）．沃利斯也将幂函数积分公式ｆ Ｘｎｄｘ＝ ｎ十Ｊ ３Ｏ 几十ｌ ￡ 寺¨ （ｎ ｚ ）推广到分数幂ｆ ｄｘ＝ 一，并在《无穷算术》 。 ＋ｌ ｇ 中提出用“分析”的途径发展积分法，并获得许多重要成果． 随后，帕斯卡在证明体积公式时，应用到略去高次项（略去 高阶无穷小）的思想，并注意到很小的弧和切线是可以相互 代替的原则；费马研究出求极大极小值，为微积分开辟了道 路；瓦里士得到积分ｊ（１一ｔ ） ｄｔ（ｎ Ｅ ｚ）并给出１Ｔ的无穷 ＪＯ 乘积的表示，他大胆地将有限推向无限；巴罗给出求切线的 方法．他们所作的工作和贡献为微积分的诞生奠定了扎实 的基础． 三、微积分的诞生 １７世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹在认识到求积问题与 作切线问题之间的互逆关系后，建立了微积分基本定理，总 结出一套强有力的算法，建立各自的微积分体系． 故学学习与研究２０１０．５ １．牛顿及流数术 １６６４年，牛顿反复阅读笛卡尔的《几何学》，对笛卡尔 求切线所用的“厕法”进行改革和完善，他将切线问题与求 积问题联系起来，建立了两者之间的数学公式，称之为“流 数术”，即现在高数中出现的导数．１６６６年他又建立了“反 流数术”，即现在的积分法．同年牛顿将他这两年的研究成 果整理成一篇总结性的论文《流数简论》，确定了现代微积 分的基本方法．这篇文献是历史上第一篇系统的微积分文 献．此后牛顿相继发表了《运用无限多项方程的分析》《流数 术与无穷级数》《曲线求积术》，文献中第１次出现流数符 号，并且改变对无限小量的依赖，标志着微积分的建成． ２．莱布尼兹和微积分 莱布尼兹研读了笛卡尔、费马、帕斯卡等人的著作，从巴 罗的“微分三角形”开始了微积分的研究＿Ｔ作，创立“无穷小 算法”．他依照的想法：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与 横坐标的差值在变成无限小时之比；求曲线的面积则依赖于 无限小区间上的纵坐标之和．１６７５年他决定用ＳＬＩｍ拉长的ｓ， Ｊ表示积分，沿用至今．１６７６年他给 幂甬数的微分与积分公 Ｊ ＋Ｉ 式：ｄｘ ＝ｅ ‘ｄｘ与Ｉ Ｘｅｄｘ＝ ．１６７７年，莱布尼兹明确给 Ｊ ｅ＋ｌ ６ 了微积分基本定理Ｊ．厂（ ）＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（ｎ）．１６８４年他发表名 Ｊ０ 为《一种求极大极小和切线的新方法》的论文，这是历史上最 早公开发表的关于微分学的文章．此后他又发表了历史上第 一篇关于积分学的文章——《潜在的几何与分析不可分和无 限》，奠定了他在微积分建立中的地位． ３．发明权之争 １６９９年，瑞士数学家德丢勒提出牛顿是微积分的第一 发明人、莱布尼兹是微积分的第二发明人的论说，引发了牛 顿与莱布尼兹发明权的争夺，同时导致英国与欧洲国家在 数学发展上的分道扬镳．但事实上，牛顿与莱布尼兹是相互 独立地发明微积分的． 四、微积分的完善 １９世纪，柯西建立了微积分基础．柯西重新定义了极限 和无穷小，进一步澄清了存在于连续、导数、微分、积分、无 穷级数等概念上的模糊之处，并创立了一系列判别准则，确 立了较为严谨的极限理论．维尔斯特拉斯改进柯西极限意 义直观的缺陷，提出精确描述极限概念的方法，就是现在称 之为“ 一Ⅳ”和“ｓ一盯”的说法．随着戴德金的实数理论和康 托的集合理论的建立，微积分的严格基础体系宣告完成． 【参考文献】 ［１］徐荣贵，叶红．微积分的基本思想．四川：四川工程 职业技术学院学报，２００８． ［２］李以渝．高等数学（新编本）［Ｍ］．北京：北京邮电 大学出版社，２００６． ［３］李涛．漫谈微积分的产生与发展．湖南：数学史 话．２００６．
