【高考】压轴题导数的应用ppt课件

1 第9讲 导数研究函数性质及不等式问题

[考点分析]

从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

[特训典例]

题型一 导数研究函数性质

例1 (2020·泰安检测)已知函数f(x)＝ln x.

(1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.

【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x.设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝1x0x＋ln x0－1.把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，∴x0＝1.

∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.

(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋mx＝ln x－mx＋mx(x>0)，所以g′(x)＝1x－m－mx2＝x－mx2－mx2＝－mx2－x＋mx2，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，

则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.

故只需满足h(0)>0，12m>0，h12m<0即可，解得0

[特训跟踪]

1．(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； 根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

②验证：求解后验证根的合理性． 2 ②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.

专题08一元函数的导数及其应用

（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴

题）

利用导数研究函数零点（方程的根）问题

①判断零点（根）的个数

②已知零点（根）的个数求参数

③已知零点（根）的个数求代数式的值

①判断零点（根）的个数

1．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知函数

31ln0

1

20

3xxx

fx

xx











，则函数



1gxfxx的零点个数为（）

A．1B．0C．3D．2

【答案】D

当0x时，1ln10xxx，得ln1x，即ex

，成立，

当0x时，31

210

3xx，得31

10

3xx，

设31

1

3gxxx，

0x

，

21110gxxxx

，得1x或1x（舍），

当

,1x时，()0gx¢

>，函数

gx单调递增，

当

1,0x时，()0gx¢

<，函数

gx单调递减，

所以1x时，函数取得最大值，5

10

3g，

010g，

350g，

根据零点存在性定理可知，

3,1x，存在1个零点，

综上可知，函数有2个零点.

故选：D

2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））函数

2e1axfxx在定义域内的零点个数不可能是（）

A．3B．2C．1D．0

【答案】D

2()2ee(2)eaxaxaxfxxaxxax，

若0a，则2()1fxx，有两个零点，

若0a，由()0fx

得0x或2

x

a，

若0a，在2

x

a或0a时，()0fx，2

0x

a时，()0fx

，

所以()fx在2

(,)

a和(0,)上递增，在2

(,0)

a上递减，

极小值(0)10f，极大值

2224

()1

ef

aa，(1)e10af，()fx

在(0,)上有一个零点，

2

ea时，

2224

()1

ef

aa0，()fx

在(,0)

上只有一个零点，这样共有2个零点；

第20讲导数中的构造函数

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技

巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．

【方法综述】

以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()fxgx、()()fxgx、()

()fx

gx”等特征式、解答这

类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，

然后利用该函数的性质解决问题．

方法总结：和与积联系：()()fxxfx，构造()xfx；

22()()xfxxfx，构造2()xfx；

3()()fxxfx，构造3()xfx；…………………

()()nfxxfx，构造()nxfx；()()fxfx，构造e()xfx．等等．

减法与商联系：如()()0xfxfx，构造()

()fx

Fx

x；

()2()0xfxfx，构造

2()

()fx

Fx

x；…………………

()()0xfxnfx，构造()

()

nfx

Fx

x．

()()fxfx，构造()

()

exfx

Fx，()2()fxfx，构造

2()

()

exfx

Fx，………………

()()fxnfx，构造()

()

enxfx

Fx，

奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】

类型一、巧设“()()yfxgx”型可导函数

【例1】已知不相等的两个正实数x，y满足2

244loglogxyyx

，则下列不等式中不可能成立的是（）

A．1xyB．1yx

C．1xyD．1yx

【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题

【答案】B

【解析】由已知2

244loglogxyyx

，因为2log

4x＝log

压轴题10导数的简单应用

题型/考向一：导数的计算及几何意义

题型/考向二：利用导数研究函数的单调性

题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○

热○

点○

题○

型一导数的计算及几何意义

1.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y

x′＝y

u′·u

x′.

2.导数的几何意义

(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.

(3)切点既在切线上，又在曲线上.

3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化

为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.

一、单选题

1．函数

ln322fxxx

的图象在点

1,1f

处的切线方程是（）

A．10xy

B．230xy

C．230xy

D．30xy

【答案】D

【详解】3

2

32fx

x



，则切线的斜率是

11f



，()

12f=-

，

则切线方程是

211yx

，即30xy

．

故选：D

2．若函数

elnxfxxa

的图象在点

1,1f

处的切线方程为1ykx

，则a

（）

A．1B．0C．－1D．e

【答案】B

【详解】因为1

exfx

x



，所以

1e1f



，故e1k

又

1e1efak

，所以0a．

故选：B

3．已知直线l为曲线22lnyxx

在1x

处的切线，则点

3,2

到直线l的距离为（）

A．

5B．10

C．610

5D．

10

【答案】D

【详解】由函数22lnyxx

，可得1

4yx

x



，则

1|3

xy





，即切线的斜率为3k

，

又由1x

时，求得2y

，即切点坐标为

1,2

，

所以切线方程为

231yx

，即310xy

，

由点到直线的距离公式，可得点

3,2

到直线l的距离

2

23321

10

31d



.