4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似

常见的 Bravais 格子的简约布里渊区 （1）简单立方格子 b1、b2、b3 是相互垂直, 长度为 2π/a 的矢量, 形成 的倒格子仍然是简单立方。第一布里渊区就是原点 和六个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体 （2）体心立方格子 其倒格子为面心立方, 如体心立方的晶格常数为 a, 则倒格子的晶格常数为 4π/a, 它的第一布里渊区 是原点和十二个近邻格点的连线的垂直平分面围成 的菱形十二面体
而对于在 Gn 中垂面及其附近的 k, 应采用简并微扰, 简并微扰的结果, 由于“能级间的排斥作用”而使 E(k) 函数在 Gn 中垂面处“断开”, 即发生突变
二、布里渊区和能带 了解三维情况的能带需要借助于布里渊区的概念 如果在 k 空间把原点和所有倒格子的格矢 Gn 之 间的连线的垂直平分面都画出来, k 空间被分割 成许多区域 在每个区域内 E 对 k 是连续变化的, 而在这些区 域的边界处 E(k) 函数发生突变 这些区域常称为布里渊区
u ur r 由于 R m ⋅ G n = 2π ( n1m1 + n2 m2 + n3m3 ) , 括号内是周期函数,
因此波函数可以写成自由粒子波函数乘上周期性函数
三维与一维情况完全类似, 当两个相互有矩阵元的状 r r 态 k 和 k’=k+Gn 的零级能量相等时, ψ k(1)和Ek(2)趋于∞. 导致发散的条件可以具体写为
自由电子的动能
2 2 π 2 π 2 h h π εC = + = 2 2 m a a 2m a 2
π A点波矢为 , 0 a

h2 π 自由电子的动能 ε A = 2m a
' ' '
' l3' − l3 l1' − l1 l2 − l2 当 = n1 , = n2 , = n3 N1 N2 N3
(n1, n2, n3 为整数)
加式中每项均为 1, 结果得 N1N2N3=N 假如上面任何一式未满足, 则和一维情况相似, 几何 级数为零. 上面的条件用 k, k’ 表示成为
三维和一维有一个重要的区别, 不同能带在能量 上不一定分隔开, 而可以发生能带之间的交叠
沿OC各点 的能量
从O到A、B连线 上各点的能量
若C点的能量高 于B点,则两带在 能量上发生交叠
练 4.8(1) 证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶 习 角上一个自由电子的动能比该区一边中点大 2 倍.
π π C点波矢为 , a a
r 2 r ur k = k + Gn
2
或
ur r 1 ur Gn ⋅ k + Gn = 0 2
其几何意义是: 在 k 空间中从原 点所作的倒格子矢量－Gn 的垂 直平分面的方程 也就是说, 在倒格矢垂直平分面 上及其附近的 k, 非简并微扰不 适用, 应采用简并微扰
简单立方晶格的倒格子空间的平面示意图中, b1 中垂 面上的一点 A 与(－b1)中垂面上的一点 A΄, 它们之间 相差倒格矢, 有相互作用矩阵元, 而且零级能量相等
1. 画出简单立方晶格中 (101)、(210)、(111)、(211) 、 (213) 晶面示意图。（10分）
2. 比较面心立方晶格、NaCl晶格、金刚石晶格、闪锌 矿ZnS晶格的空间群。（10分） 除金刚石晶格的空间群是复杂空间群之外, 其它几 种晶格的空间群均为简单空间群。 对称操作写为 (R |τR＋tl1l2l3 ), 它们都具有面心立方的Bravais 格 子, 有相同的 tl1l2l3 面心立方 R τR Oh 0 NaCl Oh 0 金刚石 Oh 0， R∈Td τ/4, 其它 ZnS Td 0
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8. 一维双原子链的晶格振动, 分析 q→π/2a 时两支波的 (B/A) , 证明这个 q 值下晶格的行为好像是去耦合的： 一种晶格保持静止, 另一种晶格则在运动。 (20分） 解：q→π/2a 时 sin2aq→1 , 由 (3-55) 得到
1/ 2 2β / m, m+M 4mM 2 2 ω± = β 1 ± 1 − sin aq → mM (m + M ) 2 2β / M .
根据周期性边界条件, k 的允许取值为
r l r l3 r l2 r 1 k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
均匀分布 密度 V/(2π)³
0 r k
波函数满足正交归一化条件
r r ∫ψ *ψ (r )d r = δ kr ',kr
0 r k'
r r 和一维晶格情形相似, 微扰 ∆V (r ) = V (r ) − V 对本征值 r r r 一级修正 k | ∆V (r ) | k 为零
r r r r r ur k '− k = n1 b1 + n2 b 2 + n3 b3 = G n
Gn 为倒格子矢量
只有当 k, k΄ 相差为一倒格子矢量 Gn 时, 它们之间 的矩阵元才不为零, 在这种情况下, 矩阵元可写成
r r r 1 k ' | V (r ) | k = v0
原胞
ur r u r iG n ⋅r V (r ) = ∑ Vn e n
§4－3 三维周期场中电子运动的 近自由电子近似
可以用和前节完全相似的方法讨论三维情况 一、模型和微扰计算 波动方程为
r r r h2 2 − 2m ∇ + V (r ) ψ (r ) = Eψ (r )
V(r) 是具有晶格周期性的势场
r ur r V (r + R m ) = V (r )
( cos ϕ =
r r r r r r h1ai + k1a j + l1ak h2 ai + k2 a j + l2 ak a 2 h12 + k12 + l12 h2 2 + k2 2 + l2 2 =
)(
)
h1h2 + k1k2 + l1l2 .
也可借助于倒格矢证明。
h12 + k12 + l12 h2 2 + k2 2 + l2 2
u r r r r 并考虑到 R m = m1 a1 + m2 a 2 + m3 a 3 有
∑e
m
r r u r − i ( k ' − k )⋅ R m
N1 −1 −2π i l1 −l1 m1 N2 −1 −2π i l2 −l2 m2 N3 −1 −2π i l3 −l3 m3 N3 N1 N2 ∑ e ∑ e =∑e m1 =0 m2 =0 m3 =0
r r r r r 1 − i ( k ' − k )⋅ r r r r k ' | V (r ) | k = ∫ e V (r )d r V
r r r 1 − i ( k '− k )⋅ξ r r 1 = ∫e V (ξ ) d ξ v0 N
∑e
m
r r u r − i ( k ' − k )⋅ R m
7. 某惰性气体晶体具有面心立方结构, 相互作用势为 勒纳－琼斯势
6 σ 12 1 σ U = N (4ε ) A12 − A6 2 r r
求平衡原子间距、结合能及体变模量。
dU 解: 由平衡条件 dr
（15分）
r = r0
−12σ 12 1 −6σ 6 = N (4ε ) A12 − A6 7 = 0 13 2 r r r =r
2 mω+ − 2 β B → 0, 根据 (3-56) = − 2β cos aq A + 2 mω− − 2β B →∞ =− 2β cos aq A −
于是可知, q→π/2a 时, 对于ω＋ 的一支, 质量较重 的原子保持静止, 质量较轻的原子在振动, 频率为 (2β/m)1/2; 对于ω＋ 的一支, 质量较轻的原子保持 静止, 质量较重的原子在振动, 频率为(2β/M)1/2.
6. 证明立方晶系中晶面 (h1k1l1) 与晶面(h2k2l2)夹角为
cos ϕ = h1h2 + k1k2 + l1l2 h12 + k12 + l12 h2 2 + k2 2 + l2 2 .
（15分）
证明：两个晶面之间的夹角就是它们法线方向的夹角. 对于立方晶系, [hkl] 晶向就是 (hkl) 面的法线方向, 因此晶面 (h1k1l1) 与晶面 (h2k2l2) 的夹角满足:
波函数的一级修正
r ψ (r ) = ∑ ' r
(1) r k k'
r r r k ' | ∆V (r ) | k
r r Ek0 − Ek0'
r ψ k0'
和本征值的二级修正
r Ek(2) = ∑ ' r k'
r r r k ' | ∆V ( r ) | k
r r Ek0 − Ek0'
2
r r r r r r 都要求计算矩阵元 k ' | ∆V (r ) | k = k ' | V (r ) | k
4. 说明格波与连续介质波的联系和主要区别。 (10分)
联系: 格波的表达式与连续介质波具有相同的形式, 长声学波就是将晶体看成连续介质时的弹性波 主要区别: 格波只考虑一系列呈周期性排列的点的 振动, 而连续介质波考虑空间任意一点的运动。这 导致了格波中波矢 q 具有不同的涵义。相差一个倒 格矢的 q 实际上代表相同的振动, 因此可以将 q 限 制在一定范围内, 通常选为第一布里渊区