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第四章_能带理论习题

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第四章-能带理论3

第四章-能带理论3
* n
∑e
k
v v − ik ⋅Rn
v v ψ nk (k , r )
v v v v v 满足正交关系 ∫ W ( r − Rm )Wn ( r − Rm′ )dr = δ m ,m′
紧束缚作用 —— 如果晶体中原子之间的间距增大 当电子距某一原子较近时__行为类似孤立原子情形 —— 旺尼尔函数也应接近孤立原子的波函数
n
v v ik ⋅Rn
v v Wn ( r − Rn )
1 v v Wannier 函数 Wn ( r − Rn ) = N
∑e
k
v v − ik ⋅Rn
v v ψ nk ( k , r )
—— 一个能带的Wannier 函数 是由同一个能带的布洛赫函数所定义
1 v v Wannier 函数 Wn ( r − Rn ) = N
α α =1 m =1 i =1
2
N
3
v v ik ⋅Rm
v v v ϕ hi [r − ( Rm + rα )]
—— 成键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的价带 —— 反键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的导带
Wannier 函数 —— 紧束缚近似中 —— 能带中电子波函数可以写成布洛赫和
i A
为基础形成布洛赫和 ψ k
α ⋅i
1 = N
∑e
m
v v ik ⋅Rm
v v v ϕ hi [r − ( Rm + rα )]
—— 8个布洛赫和
—— 8个布洛赫和
ψk
α ⋅i
1 = N
∑e
m
v v ik ⋅Rm
v v v ϕi [r − ( Rm + rα )]

第四章 固体能带理论I4.5汇总

第四章 固体能带理论I4.5汇总

4.5 Muffin-tin 轨道1 势场近似和单个Muffin-tin 分波在KKR 和APW 方法中，矩阵元均与能量有关，从而增加了计算中的难度，对于复杂的晶体，难度更大大增加。

各种线性化的方法，旨在得到与能量无关的矩阵元，成为人们探求的一个方向，希望能找到一组基函数，它既能尽量保留Muffin-tin 球内径向Kohn-Sham 方程解的特性，同时要求在球面上连续、可导，能平缓地过渡到势场变化较平滑的球间区域。

在前一节介绍了LAPW 线性化的方法之后，本节和下一节将介绍另一个十分有效的、既节省计算工作量又可以达到很高精度的线性化方法。

它选取了一套Muffin-tin 轨道，用Reyleigh-Ritz 变分原理推导出一个线性化的能带理论，称为线性化的Muffin-tin 轨道方法，即LMTO 方法。

虽然它是一个近似方法，但实际上它的精确程度可以与KKR 方法和APW 方法等相比拟，而计算时间上与当时这些方法相比，可以快一个数量级。

在推导LMTO 公式的过程中需要用到一定的数学技巧和稍繁的演释。

首先选取一个与能量有关的Muffin-tin 轨道，然后选用一些缀加的球面波，使得这些轨道同时满足与芯态正交，并与能量无关的条件。

与LAPW 方法的式 (4.4.19) 相似之处是，它也是通过φ和d dE φφ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭的组合来实现的；在LMTO 方法中展开系数与结构常数有关，含有晶体对称性的信息。

将晶体势()V r 用一个所谓Muffin-tin 势()MT V r 来近似。

取一些半径为MT S 的不相交叠的球，使()MT V r 在球内有球对称性，在球间的区域内为常数MTZ V (Muffin-tin 零点)，如图所示。

图4.5.1 Muffin-tin 近似。

原胞(a )取半径为s 的Muffin-tin 球及半径为E S 的旁切球；径向波函数(b )；晶体势()V r 的Muffin-tin 部分(c )和Muffin-tin 势式(4.5.1) (d ).假定电子在球间自由传递，波数为κ=2πκ大于球间区的“厚度”时，这个假定是合适的。

第四章 能带论

第四章 能带论
二、布洛赫定理
当平移晶格矢量时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子
§4布洛赫定理和布洛赫波
重要推论 1. 晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。 2. 只需将k值限制在一个包括所有不等价k的区域求解 薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。 三、布洛赫波能谱特征 1.对于一个确定的 ，有无穷多个分立的能量本征 本征函数 和相应的
2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
这种建立在单电子近似基础上的固体电子理论称为能带论
§4 布洛赫定理和布洛赫波
一、平移算符、周期场中单电子状态的标志 在量子力学中，量 1.平移算符 子态如何标记？
第 四 章 能 带 论
一狄喇克统计。
1928 年，索末菲借鉴德鲁德模型的假设，重新考虑了金属中的电子气的性质。从 量子力学的观点看，电子是服从泡利不相容原理的费密子（ Fermion ) ，那么由全同 的电子组成的电子气体，应服从费密一狄喇克（Fermi 一 Dira）统计，而不是遵循经 典统计物理中的麦克斯韦一玻耳兹曼（ Maxwen 一 Boltzmann）统计。
§4布洛赫定理和布洛赫波
§1布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
2维方格子的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维正方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
u s u（0）e i（t ska）
当
k k G时
u u（0）e
i[（k
2 2 n）t s（k n] a a

固体物理学课后题答案

固体物理学课后题答案

固体物理学课后题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

固体物理-第四章 能带理论

固体物理-第四章 能带理论

V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的 体积, N = N1N2N3是原胞总数。
k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个 布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N
4.1.基本概念
4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 Ĥ=Ĥ0+ĥ (4.1.4.1) Ĥ0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。Ĥ0的本征方程为： Ĥ0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，ĥ 微扰项。为便于比较，令ĥ=lĤ’ , l<<1, Ĥ’ 的作用相当于Ĥ0，但Ĥ’不等于Ĥ0。。于是 Ĥ=Ĥ0+ lĤ’
第四章 能带理论

4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性
4.1.基本概念
4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动 能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相 互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述 晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 Ĥ=-ħ22/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势 与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞 的单位矢量. r ，电子的位矢.

第四章-能带理论-1

第四章-能带理论-1

v l1 v l3 v l2 v —— 引入矢量 k = b2 + b3 b1 + N1 N2 N3
v v v b1 , b2 , b3 —— 倒格子基矢 v v a i ⋅ b j = 2πδ ij
⎧ λ1 = e v v ⎪ ⎪ ik ⋅a2 ⎨ λ2 = e v v ⎪ ik ⋅a3 = λ e 3 ⎪ ⎩
4.1 布洛赫定理
1.1.1 量子观点的形成
v 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时
电子的波函数满足薛定谔方程
h v v v 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = Eψ ( r ) 2m
—— 方程的解具有以下性质
v v v v v ik ⋅Rn ψ ( r + Rn ) = e ψ ( r )
晶格周期性函数
v v v uk ( r + R ) = uk ( r )
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数 —— 利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值 得出电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
v v v v 晶格平移任意矢量 Rm = m1a1 + m2a2 + m3a3 势场不变
v v v 对于 ψ ( r ) = ψ ( r + N 3a 3 )
λ2 = e
2π i
l2 N2
v v v N3 N3 ψ ( r ) = T3 ψ ( r ) = λ3 ψ ( r )
λ3 = e
2π i
l3 N3
l1 , l2 , l3 —— 整数
l 2π i 1 ⎧ N1 λ e = ⎪ 1 ⎪ l 2π i 2 ⎪ N2 λ e = ⎨ 2 ⎪ l 2π i 3 ⎪λ = e N3 ⎪ 3 ⎩

能带理论


(
K r
),
其中
K k 为电子波矢，
K Rn
=
K n1a1
+
K n2a2
+
K n3a3
是格矢。
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
ψ
K (r
)
=
eikK⋅rG
K u(r
),
G
其中u(r )具有与晶u格(rK一+样RK的n周) =期u性(rG，)即
首都师范大学物理系
ψ
K (r
K
u(r
)
=KeikK⋅rG
G
对于自由电子 hk为动量，但对于晶体中的布洛赫电子，hk 不
是真实动量。在研究晶体在外场作用下运动及电子与声子、
光子的相G互作用时, 它在形式上又好像起到动量的作用, 所 以又称 hk 为布洛赫电子的准动量或电子的晶体动量。
首都师范大学物理系
下面我们证明
ψ
G k
K (r )
=
ψ
G k+
K Kn
K (r )
N1 N2
K
K
N3
K
引入矢量 k = l 1 b 1 + l 2 b 2 + l 3 b 3
N1
N2
N3
首都师范大学物理系
式中
KKK b1、b2、b3为晶格三个倒格基矢，由于
K ai
⋅
K bj
= 2πδij
,
KK
λ ( Rn ) = eik⋅Rn
ψ
K (r
+
K Rn
)
=
KK
ψ eik ⋅Rn
K (r )
首都师范大学物理系

第四章能带理论§4.1能带理论的基本假定资料


第i个电子的哈密顿算符 :
2
H i 2m 2 Ui (ri ) ui (ri )
所有的电子都满足同样的方程:
Hi i (ri ) Ei i (ri )
解此方程即可得到晶体电子系统的电子状态和能量
使一个多电子体系问题变成一个单电子问题
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4.1.3 周期场假设
第四章 能带理论
为了进一步简化，可以利用一种平均场来代替价电子之 间的相互作用，即假定每一个电子所在处的势能都相同， 从而使每个电子与其它电子之间的相互作用势能仅与该 电子的位置有关，而与其它电子的位置无关。
4.1.2 平均场近似(单电子近似）
Ui (ri )
uia
uia ui
a
电子i与所有其它电子的相互作用势能 电子i与原子核之间的相互作用能 所有原子核对第i个电子的作用能
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第四章 能带理论
i
Ui (ri )
1 2
i j
e2
40r rij
所有电子之间的库仑作用势能
V (r1...ri , R1...Ra...)
uia ui
ia
i
电子与原子核间的总相互作用势能
在上述近似下，每一个电子都处在同样的势场中运动。
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第四章 能带理论
薛定谔方程中势能项： V (r) U(r) u(r)
u(r) ua a
离子实对电子的势能，它具有与晶格相同 的周期性
U (r)
代表一种平均势能，是一恒量
V (r) V (r Rn ) 具有晶格周期性
2
[ 2 V (r)] (r) E (r) 单电子薛定谔方程
2m
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固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波


2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相

第四章-能带理论


第4章 能带理论
7
周期势场中单电子态薛定谔方程：
2 2 V r r E r 2m 单电子本征态能量 单电子的本征态波函数 V r V r Rn
布洛赫电子：这种无相互作用并在周期性势场中 运动的电子！
太原理工大学编写
不可移动 的离子实
在金属中可 自由的移动
高等教育出版社 &物理学基础理论课程
固体物理 C
-eZ -e(Za-Z) eZa
第4章 能带理论
原子核
芯电子 价电子 离子实
14
原子核 芯电子 自由电子
孤立原子草图
-e(Za-Z) eZa -e(Za-Z) eZa
-e(Za-Z) eZa
-e(Za-Z) eZa
33 CC Nk Nk 几百倍实验值 几百倍实验值 (低温） (低温） VV BB 22
而利用费米-狄拉克（F-D ） 统计得到的电子热容量为：
太原理工大学编写
CV N 0
2 k BT
kB 0 2 EF
高等教育出版社 &物理学基础理论课程
固体物理 C
太原理工大学编写
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T U U U V 离子、电子在外场中的势能 e z e z ez
V r 2m V r V r Rn
单电子体系 2 2
高等教育出版社 &物理学基础理论课程
固体物理 C
相当于电子束缚在方盒子内 —在金属表面为界的势井中独立运动 每个单电子的状态可用波函数ψ(r)描述 ——波函数ψ (r)满足定态薛定谔方程
固体物理 C
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2
2 2
2m2
(k k0 ) 2 , m2 0.06 m
其中 E1 (0) 为能带1的带顶， E2 (k0 ) 为能带2的带底
E1 (0) E2 (k0 ) 0.1 eV
由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而 在能带1中形成空穴，讨论 T 0 K 时的费密能级
14
固体物理
0 3
i(
2 )x a 2a
1 e L
i
5 x 2a
3
固体物理
固体物理学
4.3 电子在周期场中的势能函数
1 2 2 2 na b x na b m [b ( x na) ] V ( x) 2 (n 1)a b x na b 0
[U (e
0 0
a a
i
2 x a
e
i
2 x a
)(e
i
2 y a
e
i
2 y a
)]
e
i(
2 2 x y ) a a
d x d y
1 V1 2 a
[U (1 e
0 0
a a
i
4 x a
i 2 1 a
U (1 , 2 ) U ( e
e
i
2 1 a
)( e
i
2 2 a
e
i
2 2 a
)
20
固体物理
固体物理学
ˆ ˆ 布里渊顶角 k k x k y a a ˆ ˆ k ' Gn k k x k y a a 2 ˆ 2 ˆ Gn kx k y b1 b2 a a 1 a iG U ( )d 代入 V ( n ) 2 e a 0
3 1 2
E1 (0) E1 (k )
同理能带2的能态密度
2V 2m N2 (E) ( 2 ) 2 (2 )
3 2 2
E2 (k ) E2 (k0 )
16
固体物理
固体物理学
—— 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能 带。由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足
E1( 0)
s
能带密度函数的计算
dEs (k ) (2aJ1 sin ka)dk
dEs (k ) dk 2aJ1 sin ka
10
固体物理
固体物理学
dEs (k ) dk 2aJ1 sin ka
s
E s (k ) s J 0 2J1 coska
E s (k ) s J 0 2 sin ka 1 ( ) 2 J1
k k E m1
15
2
固体物理
固体物理学
k E 2[ E1 (0) E1 (k )] / m1
V dS N1 ( E ) 2 (2 )3 k E
V 4k 2 N1 ( E ) 2 (2 )3 2[ E1 (0) E1 (k )] / m1
2V 2m N1 ( E ) ( 2 ) 2 (2 )
e
ik Rs
E s (k ) s J 0 J1
e
a i ( k x k y k z ) 2
Rs Nearest

e ik Rs
e
a a a i ( k x i k y j k z k )( i j k ) 2 2 2
k ya k ya kxa k xa kza kza (cos i sin )(cos i sin )(cos i sin ) 2 2 2 2 2 2
n
1 V1 2 a
[U (e
0 0
a a
i
2 x a
e
i
2 x a
)(e
i
2 y a
e
i
2 y a
)]
e
1 1 i ( b1 b2 )( x a1 y a2 ) a a
d x d y
21
固体物理
固体物理学
1 V1 2 a
s
Rs Nearest
ikR s J ( R ) e s
对于一维情形, 任意选取一个格点为原点 —— 有两个最近邻的格点，坐标为：a和－a
E s (k ) s J 0 J 1 (eika e ika )
E ( k ) s J 0 2 J 1 cos ka
17
固体物理
固体物理学
3 2 3 E1( 0) 2
0 EF
m1 [ E1 (0) E1 (k )]
m2 [ E2 (k ) E2 (k0 )]
3 2
0 E F 3 2
E2( k0 )
0 0 m1[E1 (0) EF ] m2[ EF E2 (k0 )]
m1E1 (0) m2 E2 ( k0 ) E m1 m2
E (k ) s J 0 cos ka 2J1 1 dk dEs (k ) a 4 J12 ( E s (k ) s J 0 ) 2
对于一维格子，波矢为 k
and k 具有相同的能量，此
外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数
Na 2N s dZ 4 dk dE (k ) 2 4 J12 ( E s (k ) s J 0 ) 2
—— 类似的表示共有8项
—— 归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带
k ya kxa kza E ( k ) s J 0 8 J 1 cos cos cos 2 2 2
s
8
固体物理
固体物理学
4.7 一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na 1) 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数 2) 求出其能带密度函数 N ( E ) 的表达式 3) 如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级
0 处的能态密度 E 和 EF 0 F
只计入最近邻格点原子的相互作用时， s态原子能级相对应 的能带函数表示为
s E (k ) s J 0
Rs Nearest
ikR s J ( R ) e s
9
固体物理
固体物理学
E (k ) s J 0
固体物理
固体物理学
第四章能带理论习题
4.2 写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中，简
约波矢 k
一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数
i 2 x Vn 1 ik x i a mx k ( x) e [e (1 2 e a )] n L 2 n [k (k 2 ) 2 ] 2m a 第n个能带零级波函数 2 n
固体物理学
半金属的能带1和能带2如图所示
k E1 (k ) E1 (0) 2m1 E2 ( k ) E 2 ( k 0 )
k
2 2
2
2m2
( k k0 ) 2
2m1[ E1 (0) E1 (k )]
能带1的能态密度
V dS N1 ( E ) 2 (2 )3 k E
0 EF

N1 ( E )dE
3 1 2
0 EF
E2( k0 )

N 2 ( E )dE
E1( 0 )
0 EF

2V 2m ( 2 ) 2 (2 )
E1 (0) E1 (k )dE
2V 2m2 ( 2 ) 2 (2 ) E2 ( k )
0
0 EF
3 2
E2 (k ) E0 (0)dE
的零级波函数 2a
1 ikx ( x) e e L
0 n
i
2 mx a
1 ( x) e L
0 n
i(
2 m ) x a 2a
1
固体物理
固体物理学
1 0 n ( x) e L
第一个能带
i(
2 m ) x a 2a
k

2a
m0 1 2a x ( x) e L
x na
2
m V (n) 2a
2

b
b
e
i
2 n a
(b )d
2
2 k' k n a
第一个带隙宽度
m V1 2a
2

b
b
e
i
2 a
(b 2 2 )d
E g1 2 V1
7
固体物理
固体物理学
a a a Rs i j k 2 2 2
T=0K的费密能级
0 EF s J0
T=0K费密能级处的能态密度
N (E)
2N
4J (E s J 0 )
2 1 0 F
2
N N (E) J1
13
固体物理
固体物理学
4.9 半金属交叠的能带
k E1 (k ) E1 (0) , m1 0.18 m 2m1 E2 ( k ) E2 ( k 0 )
11
固体物理
固体物理学
能带密度
dZ 2N N ( E) s dE (k ) 4 J12 ( E s s J 0 ) 2
0 EF
T=0K的费密能级计算 总的电子数
N
0 EF
Ek0
E)
其中
Ek0

2N 4J (E s J 0 )
且a=4b，是常数。 1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值； 2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙 宽度