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能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。
这种多电子系统严格的解显然是不可能的。
能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。
在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。
在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。
通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。
1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。
根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。
Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。
具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
晶体中的电子波——能带和Brillouin区2010-05-29 11:25:45| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅（晶体中只能存在哪些电子波？晶体电子的能量为什么出现禁带？什么是等能面和Fermi面？什么是Brillouin区？）因为晶体电子处于周期性势场中，所以其状态很复杂：波函数具有Bloch函数的形式，能量具有能带的形式。
这里就从近自由电子概念出发来说明一下晶体电子的运动状态以及能带和禁带的产生原理。
（1）电子波的干涉：为了简单，假定晶体电子是完全自由的（如金属电子），则其波函数是行波——平面波：ψk(x,t) = A exp(jkx)·exp(-jωt) = A exp[j(kx-ωt)]式中的波矢k=2π/λ，ω=E/?，E=(?k)2/2m*；并不是所有的行波都能够在晶体中传播，只有波长λ（或者波矢k）满足晶体边界条件（例如周期性边界条件）的那些电子波才能存在于晶体中（数目有限，k起着晶体电子的量子数的作用中）。
但是在晶体中传播的行波，不管是电子波还是光波，都将会受到晶面的反射，而且在一定的条件下，入射波和反射波还有可能产生干涉。
见图1，对于沿着x方向传播的一个电子波：ψk(x) = A exp(jkx)在每一个原子处将受到反射；若反射波A’、B’和C’之间的波程差是nλ（n=1,2,3,4,…），则它们将相互加强，并产生一个沿着相反方向传播的全反射波。
对于反射波A’和B’，波B’比波A’多传播了2a的距离，则其间的波程差为2a，因此A’和B’相互加强的条件是：2a = nλ，即k = nπ/a于是，每一个满足该条件的波长λ（或波矢k）的电子波，被各个原子面（晶面间距为a）所产生的反射波都将相互加强、而产生一个反向传播的全反射波ψ-k(x)：ψ-k(x) = A exp(-jkx)这个全反射波也将要受到各个原子面的反射、并加强，从而，这种电子波的不断反射，即造成在晶体中只存在两种分别是向前和向后传播的行波形式的电子波，并且这两种传播方向相反的电子波又相互干涉，最后就形成了两种不能在晶体中传播的驻波——稳定状态：ψc(x) = A exp(jkx) + A exp(-jkx) = A c cos(nπx/a)ψs(x) = A exp(jkx)-A exp(-jkx) = A s sin(nπx/a)显然，这两个驻波都是晶体Schr?dinger方程的解。
