固体电子理论 3 近自由电子近似

第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。

但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。

固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。

金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。

大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。

后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。

这就是经典的自由电子气模型。

自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。

量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。

这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。

这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。

但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。

能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。

本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。

1 / 1 一、填空题:1. 面心立方晶格的倒格子是(体心 ) 立方,体心立方晶格的倒格子是( 面心 )立方. 晶格常数为a 的面心立方格子,其原胞体积是(a 3/4).晶格常数为a 的体心立方格子,其原胞体积是(a 3/2).2. 在六角密积和立方密积晶体结构中, 配位数是( 12 ).3. 晶格的倒格矢为123G h h h , 则晶面族123(h h h )的面间距是( 1232G h h h π ). 4. 对于单晶体的X 射线衍射,常用的有两个主要方法,一是( 劳厄 )法, 二是( 转动单晶 )法.5. 在晶体的X 射线衍射工作中,原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比称为( 原子散射 )因子; 一个原胞内所有原子的散射波,在所考虑的方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比,称为( 几何结构 )因子.6. 位错是一种线缺陷, 典型的位错有两种,一是( 刃型 )位错, 二是( 螺旋 )位错.7. 固体物理中可以用独立的简谐振子的振动来描述格波的独立模式，晶格振动中格波的能量量子称为( 声子 ).8. (声学)波描述晶体原胞质心振动状态, (光学)波描述原胞中两个原子的相对振动.9. 原子是依靠相互作用结合成固体, 一般固体的结合可以概括为( 离子性 )结合、( 共价 )结合、( 金属性 )结合和( 范德瓦尔斯 )结合四种基本形式.10.原胞基矢为1,2a a ==a i a j 的二维正方格子,其第一布里渊区的边界方程是x k =( a π± ),y k =( aπ± ). 11. 晶体中电子的许可能级是由一定能量范围内准连续分布的能级组成的能带.相邻两个能带之间的能量范围称为( 禁带 ).12. 由一种原子构成的体心立方晶格中, 其晶胞包含( 2 )个原子, 原胞包含( 1 )个原子.13. 根据量子理论,晶格振动的能量是量子化的,即频率为ω的晶格振动能量为( 12n ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭). 14. 一个二维正方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能是该区边界中点动能的( 2 )倍. 一个简单立方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能是该区面心上的自由电子动能的( 3 )倍.15. 主要靠电子导电的半导体,称为( N )型半导体；主要靠空穴导电的半导体,称为( P )型半导体.16. 与晶列[]123l l l 垂直的倒格面的面指数是( ()123l l l ).17. 在导体中,除去完全充满的一系列能带外,还有未被电子完全充满的能带，称之为( 导带 ).18. 作为固体能带论基础的三个基本近似是(绝热)近似、(近自由电子 )近似和(周期场)近似.19. 含有 N 个原胞的晶体, 其简约布里渊区含有的波矢数目是( N )，其状态数密度为（V/(2π)3 ）.对于由N 个原胞组成一维单原子链,由周期性边界条件可知,晶格振动波矢的个数是( N ).20. 晶体的X 射线衍射,入射X 射线的波矢记为0k ,反射X 射线的波矢记为k ,晶格的倒格矢记为G h ,则衍射加强的条件表示为( 0k k G h -n =).。

近自由电子近似理论这是能带理论中一个简单模型。

该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子，周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。

仅管模型简单，但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。

5．3．1模型与零级近似这个模型的基本思想是：模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动（如图5-3-1），价电子的行为很接近于自由电子，又与自由电子不同。

这里的弱周期场设为()V x ∆ ，可以当作微扰来处理，即： (1)零级近似时，用势场平均值V 代替弱周期场V (x )；(2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏[()]()V x V V x -=∆做为微扰处理。

为简单起见，我们讨论一维情况。

零级近似下，电子只受到V 作用，波动方程及电子波函数，电子能量分别为：20000202202()2ikxk k d V E m dxx k E Vmψψψψ-+===+ ……………………………………（5-3-1）由于晶体不是无限长而是有限长L ，因此波数k 不能任意取值。

当引入周期性边界条件，则k 只能取下列值：2k l Naπ=，这里l 为整数 可见，零级近似的解为自由电子解的形式，故称为近自由电子近似理论。

5．3．1微扰计算根据量子力学的微扰理论，可以知道：()V r 图5-3-1 单电子的周期性势场首先计算能量的一级修正：(1)0*00*00[()]Lkk kk k Ek V k V dx V x V dx ψψψψ=∆=∆=-⎰⎰0*00*00()0LLk kk k V x dx V dx V V ψψψψ=-=-=⎰⎰…………………………………………（5-3-7）因此有能量的一级修正为零，必须根据（5-3-4）计算二级修正： 因为0*00()()()Lk k k V k k V x V k k V x k V x dx ψψ''''∆=-==⎰……………………………（5-3-8） 代入波函数表达式并按原胞划分，可得：1(1)()()0011()()N L n a i k k x i k k xna k V k e V x dx e V x dx L Na -+''----'∆==∑⎰⎰…………………………………（5-3-9） 这里令x na ξ=+，则()()()V x V na V ξξ=+=，因此有：1()()001()()N a i k k na i k k k V k k V x k e e V d Na ξξξ-''----''∆==∑⎰……………………………………（5-3-10） 整理上式为：1()()0011()()N a i k k i k k a nk V k e V d ea Nξξξ-''----⎡⎤'∆=⎢⎥⎣⎦∑⎰………………………………（5-3-11）下面分为两种情况讨论：（1）当2k k n aπ'-=⋅时，有1()01()1N i k k a neN -'--=∑，则设201()in a a n k V k eV d V a πξξξ-⋅⎡⎤'∆==⎢⎥⎣⎦⎰ 所以二级修正为：22(2)''2222[()]2nkk k kk k V k V E n E Ek k m aπ''''∆==--+∑∑ ……………………………（5-3-12）（2）2k k n aπ'-≠⋅时，有()1()()0111()01i k k NaN i k k a n i k k a e e N N e '---'-----==-∑，则有2(2)'00k k kk k V k E E E'''∆==-∑所以，在周期势场的情况下，计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为：零级近似一级修正 二级修正220(1)2(2)'000(1)'0002()()()kk k k k k ikxk k k k kk k E VmE k V kk V k E E E x k V k x x E Eψψψ'''''=+=∆'∆=-='∆=-∑∑ 电子波函数一级修正零级近似微扰理论重要公式能量本征值 （5-3-2） （5-3-3）（5-3-4）（5-3-5）（5-3-6）222(0)(1)(2)'22222[()]2n k k k k k V k E E E E n m k k m aπ'=++=+-+∑ ……………………………（5-3-13）5．3．3 重要结论 1、能带与禁带在零级近似中，电子作为自由电子，其能量本征值0k E 与k 的关系曲线是抛物线，在周期势场的微扰下，k E 曲线在n k aπ=±处断开，能量突变值为2n V ，如图5-3-2所示。

目录1、晶格振动和晶体热熔理论中的近似方法1.1格波的讨论1.2简正振动1.3长波近似2、能带理论中的近似方法2.1能带理论的基本假设2.2近自由电子近似2.3紧束缚近似2.4能带计算的近似方法1.1格波的讨论原子链的振动----一维布拉菲格子的情形（简谐近似）晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是为绕其平衡位置作振动。

晶体中各原子的振动是相互联系的。

用格波表述原子的各种振动模式，当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动，这里的格波为平面简谐波，讨论的是简谐近似。

具体如下：考虑由一系列质量为m 的原子构成的一维原子链。

设平衡时原子间距为a 。

（如图一）由于热运动，原子离开各自的平衡位置，由此由于受到原子间相互作用所产生的恢复力，各原子具有返回平衡位置的趋势。

下面讨论在原子间相互作用下，原子所受恢复力与相对位移的关系。

设在平衡位置r=na 时，两个原子间的相互作用势能为U(na),产生相对位移后，相互作用势能变为U(na δ+)。

将U(na δ+)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得()2221()2nana d d U U na U na dr dr δδδ⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （1）当振动很微弱时，δ很小，势能展式中只保留到2δ项，则第n+1个原子的恢复力近似为21,12()()n nna n n dU d Uf x x d drδβδβδ++=-=-=-=-- （2）图片1 一维原子链的振动式中 22()na d Udrβ= β称为恢复力常数，相当于弹性系数。

除受到第n+1个原子的作用力外，原子n 还受到第n-1个原子的作用力，其表达式为(),11n n n n f x x β--=- （3）公式编号右对齐如果仅考虑相邻原子的相互作用，则第n 个原子所受到的总作用力为()1,,1112n n n n n n n f f f x x x β+-+-=-=-+-第n 个原子的运动方程可以写为()21122nn n n d x m x x x dtβ+-=--- ()1,2,n N = （4） 对于每一个原子，都有一个类似式（4）的运动方程，方程的数目和原子数相同。

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

固体物理基本概念题参考解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN固体物理概念题1. 自由电子气体模型的三个基本近似是什么？两个基本参数是什么？自由电子近似；独立电子近似；弛豫时间近似自由电子数密度；弛豫时间2. 名词解释：K空间；k空间态密度把波矢k看做空间矢量，相应的空间称为k空间；K空间中单位体积内许可态的代表点数称为k空间态密度。

3. 自由电子模型的基态费米能和激发态费米能的物理意义是什么？费米能与哪些因素有关？物理意义：费米面上单电子态的能量称为费米能，表示电子从低到高填满能级时其最高能级的能量。

基费米能时指T＝0 K时的费米能。

激发态费米能指的是T≠0 K时的费米能。

因素：费米能量与电子密度和温度有关。

4. 何为费米面金属电子气模型的费米面是何形状费米面：在K空间将占据态与未占据态分开的界面。

金属电子气模型的费米面是球形。

5. 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子才能从外界获得能量发生能态跃迁。

因为，在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上。

只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。

对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级，因而才会对金属电导率有贡献。

热导与电导相似。

6. 简述化学势的意义，它与费米能级满足什么样的关系。

化学势的意义是：在体积不变的条件下，系统没增加一个电子所需要的自由能。

在温度接近于0时，化学势和费米能近似相等。

7. 什么是等离子体振荡？给出金属电子气的振荡频率。

等离子体中的电子在自身惯性作用和正负电荷分离所产生的静电恢复力的作用下发生的简谐振荡称为等离子体振荡。

金属电子气的振荡频率8．名词解释：晶格，单胞，原胞，基元，布拉维格子基矢基元：在空间无限重复排列构成晶体的全同原子团晶格：将基元抽象为格点，格点的集合称为晶格晶胞：能够完整反映晶体的化学结构与晶体周期性的重复单元原胞：体积最小的晶胞布拉维格子基矢：原胞的基矢9．在三维情况下有多少种不同类型的晶格满足点对称群的要求？它们可以划分为哪7个晶系？14种布拉维格子，它们可以划分为7个晶系：三斜，单斜，正交，四方，三角，六角，立方。

固体物理三大近似
标题：固体物理中的三大近似
正文：
固体物理是研究固态物质中原子、分子和离子的运动和相互作用的学科。

在研究固体物理时，科学家们常常依赖于一些近似方法来简化问题，以便更好地理解和描述固体的行为。

本文将介绍固体物理中的三大近似方法。

第一大近似是周期性势场下的自由电子模型。

在固体物理中，原子核和电子之间的相互作用可以近似为周期性势场（晶格）中的自由电子。

这个模型假设电子之间几乎没有相互作用，只受到晶格的平均势场的影响。

通过这个近似模型，科学家们可以简化计算，更好地理解固体中电子的行为，如导电性、热导性等。

第二大近似是布洛赫定理。

布洛赫定理是固体物理中描述电子在晶格中运动的重要定理。

根据布洛赫定理，电子在晶格中的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积形式。

这个近似方法有效地将
电子的波函数描述为受到晶格周期性势场的平面波的叠加，从而简化了电子在晶格中的运动分析。

第三大近似是有效质量近似。

在固体物理中，电子通常受到晶格势场的束缚，其行为可以类比为自由粒子在真空中的行为。

为了更好地描述这种行为，科学家们引入了有效质量的概念。

有效质量是描述电子在晶格中运动时所表现出的“质量”，其与电子在真空中的质量不同。

通过应用有效质量近似，科学家们可以将具有晶格势场影响的电子行为简化为具有自由粒子行为的问题，从而更好地研究固体的性质。

综上所述，固体物理中的三大近似方法分别是周期性势场下的自由电子模型、布洛赫定理和有效质量近似。

这些近似方法为科学家们提供了简化问题、更好地理解和描述固体物理的手段，促进了固体物理研究的进展。