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一维周期场中电子运动的近自由电子近似_固体物理资料

—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位电子入射波波长
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(x)
.
0 k
(
x
)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
Байду номын сангаас
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k

能带理论课件

2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量的束缚态波函数，所以在不考虑原认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子

4-2近自由电子近似

2
1 1 V V (x )e dx V (x )e dx L 4b 1 1 1 m (b -x )e dx m b 4b 2 2 1 E 2V m b
L 2 -i 4 L 2b -i 4 4b 2 L 2 2 b b 2 2 2 -i b 2 2 b 2 2 2 g2 2
a 2 ikx n a 2
1 1 V V (x )e dx V (x )e dx L 4b 1 1 4 m (b -x )e dx m b 4b 2 8 E 2V m b
L 2 -i 2 L 2b -i 2 4b 1 L 2 2 b b 2 2 2 -i 2 4b 2 2 b 2 2 2 g1 1
2 2 2
其中a=4b,ω为常数
(1)试画出此势能曲线,并求其平均值; (2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。解（1）先看第一个周期，令n=0,则
1 m b x ,当 b x b V (x ) 2 当 a b x b 0,
例1 试画出在近自由电子近似下一维晶格能带的周期区图.
扩展区图
周期性重复区图
简约区图
例2 电子周期场的势能函数为:
1 m b ( x na) ,当na b x na b V (x ) 2 当(n 1)a b x na b 0,
L 2 2b b 2 2 2 L 2 2 b别为：Eg1=2│V1│, Eg2=2│V2│
1 2π V k ' V k V (x )e dx,(k ' k n) a a 是周期场V x 的第n个傅里叶系数。
2 2 2

微扰法 ppt课件

第五章晶体中电子能带理论
第 16 页
§5.3 一维晶格中电子的布拉格反射
Page 17
方程组有非零解的条件由此解得能量本征值为
E

E
0 k
Vn 0
(6)
Vn E Ek0
E

1 2

E
0 k

E
0 k

E
0 k

Ek0
4Vn 2
(7)
把能量本征值分别代入（5）式，可求得系数A和B，即可求出对应能量本征值的本征函数。
k
2k 2
Vn 2
2m
n
2
k 2

k

2n
2
2m

a
(13)
对于一般的k值，k 2
k 2 n 2 ,

a
由于周期势很弱，V 2 n
很小，
E 与 E 0 相差不大，周期势场的效应可以忽略。但当
k
k
k 2 k 2 n 2

1 2
K
2 h
这正是发生布拉格反射的劳厄条件: (入射波矢k在倒格矢Kh方向上的投影应为Kh长度的一半，即k的端
点应落在Kh的垂直平分面上)
第五章晶体中电子能带理论
第 11 页
§5.2 一维晶格中的近自由电子近似－－微扰法
Page 12
相应的一级近似波函数为

k
(
x)

0 k
(
x)

1 k
Vn

k

2 n
a
2

《近自由电子近似》课件

应用领域
在计算材料电子结构、能带结构、光学性质等方面有广泛应用。
对未来研究的建议
进一步发展
01
随着量子计算技术的发展，可以尝试使用更精确的量子力学方
法来描述电子的运动，以更准确地预测材料的性质。
与其他方法的结合
02
可以考虑将近自由电子近似与其他方法（如密度泛函理论、分
子动力学等）结合使用，以更全面地描述材料的性质。
04
近自由电子近似的挑战与展望
近自由电子近似面临的挑战
计算量大
近自由电子近似涉及大量的计算，需要高性能计算机和高效的算法。
精度问题
由于近似方法的局限性，计算结果可能存在精度问题，需要进一步改
进。
物理效应的忽略
近自由电子近似忽略了某些重要的物理效应，如电子-声子相互作用等。
适用范围有限
近自由电子近似主要适用于金属和半导体的电子结构计算，对于其他材料可能不适用。
用。
03
这种近似在金属的许多性质和现象中得到了广泛应用。
近自由电子近似的重要性
01
近自由电子近似能够解释金属的许多基本性质，如电
子态密度、能带结构等。
02它为金属的物理和化学性 Nhomakorabea提供了理论基础，有助于
理解金属的导电性、热学性质和光学性质等。
03
近自由电子近似也是发展更精确理论模型的基础，如
密度泛函理论等。
近自由电子近似的发展历程
01
02
03
近自由电子近似最初由F. Bloch 在20世纪20年代提出。
随后，W. Kohn和L. Sham等人在20世纪60年代发展了密度泛函理论，进一步完善了近自由电子近似。

近自由电子模型PPT文档33页

近自由电子模型
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。

39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

电子的有效质量

＝1 mxx
F外kx
dVky dt
＝1 mYY
F外ky
dVkz dt
＝1 mzz
F外kz
形式上与牛顿方程类似
dVx dt
＝1 m
F外x
dVy dt
＝1 m
F外y
dVz dt
＝1 m
F外z
编辑课件
20
讨论：
1.Bloch电子在外场力作用下，运动规律形式上遵守牛顿定律，只是把m用有效质量
m代替；
2．有效质量 m为张量，一般情况下
dE＝F外·υdt
单位时间内得到的能量为
(5－7)
d d＝ E tF 外 •＝ F 外 • 1 kEk (5－8)
编辑课件
6
从数学上复合函数求导
d d＝ E t E kxd dxk t k E yd dyk t k E zd dz＝ ktd dk•t kE k(5－9)
把k和F外分解成与▽kE（k）平行的分量（下标用 ∥表示）及垂直的分量（下标用⊥表示）：
而
E K x
为t的复合函数[Kx(t),Ky(t),Kz(t) ]
编辑课件
11
dV K x dt
1( K 2E x 2 K tx＋ K x 2 E K y K ty＋ K x 2 E K z K tz)
类似可得
d d K y V ＝ t 1( K y 2 E K x K tx＋ K 2E y 2 K ty＋ K y 2 E K z K tz)
F 外＝ F 外 //F 外
(5－10)
•
•
•
k ＝ k // ＋ k
编辑课件
(5－11)
7
比较（5－8）和（5－9）两式，可知：

7.4克勒尼希彭尼模型及近自由电子

U2
2K~ 2 2m
)
() U () U
K~
()
()
2K~ 2 2m
(1
2
U
)
两个能量孰高孰低取决于 U 的符号
21
固体物理导论
第 7 章能带
7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子
能带
系数比
22
动能相等
2
17
固体物理导论
第 7 章能带
7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子
若 C(G/2) 是波函数
k (x) C(k G)ei(kG)x
G
在布里渊区边界上的一重要系数，则 C(-G/2) 也是，仅保留中心方程中包含这两系数的两方程
( )C(1 G) UC( 1 G) 0
2
2
非零解条件
(a x a b)
(b x 0)eik (ab)
布洛赫函数
1
固体物理导论
第 7 章能带
7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子
由和 d 在 x=0 和 x=a 处连续的条件，得
dx
AB CD iK(A B) Q(C D)
AeiKa BeiKa (CeQb De Qb )eik (ab) iK ( AeiKa BeiKa ) Q(CeQb DeQb )eik (ab) A、B、C、D 的齐次方程有非零解的条件是其系数行列式为0，即 (计算过程较复杂)
7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子
7.4. 6 在布里渊区边界附近的近似解
假定势能的傅里叶分量 UG 与布里渊区边界上的自由电子的动能相比是小的。首先考虑一波矢更好在布里渊区边界 G/2 处
k2
1
2
G ;

《近自由电子模型》课件

改进方向
提高模型的准确性和稳定性增加模型的可解释性和可预测性降低模型的计算复杂度和资源消耗提高模型的泛化能力和适应性
模型展望
未来发展方向
模型改进：提高模型的准确性和稳定性应用领域：拓展模型在更多领域的应用，如材料科学、生物医学等理论研究：深入研究模型的理论基础，完善其理论体系
技术发展：结合最新的技术，如人工智能、大数据等，提高模型的性能和效率
密度泛函理论
密度泛函理论的核心是电子密度函数，它描述了电子在固体中的分布情况
密度泛函理论是描述电子在固体中的行为和性质的理论
密度泛函理论的应用包括电子结构计算、材料性质预测等
密度泛函理论的发展推动了材料科学和凝聚态物理的研究
模型应用
计算金属的电子结构
近自由电子模型：描述金属电子结构的理论模型
计算金属的磁学性质
近自由电子模型：描述金属电子结构的模型
应用：计算金属的磁学性质，预测金属的磁性行为
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
磁学性质：金属的磁性、磁导率等
模型特点：简单、易于计算，适用于多种金属材料
模型优缺点
优点
计算效率高：模型计算速度快，适合大规模计算
简单易懂：模型结构简单，易于理解和应用
近自由电子模型
汇报人：
目录
添加目录标题
模型应用
01
04
模型背景
模型优缺点
Hale Waihona Puke 0205模型理论模型展望
03
06
添加章节标题
模型背景
金属的导电性
金属导电性：金属具有良好的导电性，这是由于金属内部存在大量的自由电子
自由电子模型：自由电子模型是描述金属导电性的一种理论模型，它认为金属中的自由电子在电场作用下可以自由移动，形成电流

4.2_一维近自由电子近似

在用简约波矢描述自由电子解时, 也必须指出它属于哪一个能带周期势场的起伏只是使得不同能带相同简约波矢 k 的状态之间相互影响
对于一般的 k 这些状态之间的能量差比较大, 而在 k 0 和 k / a 及其附近, 存在两个状态, 它们的能量相等或是能量相近
在 k 0, / a 及其附近, 必须用简并微扰来处理。 k 0 和 k / a 由于 “能级间的排斥作用” , 使得在处, 能级分裂, 在不同能带之间出现能隙
得
a Ek0 E V k0 b Ek0' E V k0' 0
0* 0* 上式分别乘以 k 和 k ' 并积分, 得到 a、b 必须满足的关系式
Ek0 E a Vn*b 0 0 V a E n k' Eb 0
其中用到 k | V | k k ' | V | k ' 0 以及
k | V | k ' k ' | V | k
*
Vn*
方程有解的条件
Ek0 E Vn Vn* E E
0 k'
0
即
E
0 k
E E E Vn 0
0 k' 2
它的解给出本征值
1/ 2 2 1 0 2 0 0 0 E Ek Ek ' Ek Ek ' 4 Vn 2
具体写出 Ek0、Ek0'
2 2 n E V 1 V Tn 1 2 2 2m a n T 2 n 2 2 m n 2 2 a Ek0 V 1 V T 1 n 2m a 2 0 k' 2

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H H 0 H' (H 0 H' ) E
H
0
2 2m
d2 dx 2
H'
in 2π x
Vne a
n0
3
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
H0 为自由电子的哈密顿量，其本征函数为自由电子的本征函数
H 0 0 E0 0
k0 (x)
1 eikx L
L=Na 一维晶体的长度，N 原胞数
'
n
2
| Vn |2 k 2 2 (k n 2π )2
2m 2m
a
由此得到计及二级微扰后的能量为
E(k) E(0) (k) E(2) (k)
2 k 2 2m
n
'
2
| Vn |2 k 2 2 (k n 2π )2
2m 2m
a
7
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
一级微扰波函数为
(k
1
G)
G
0
(布拉格条件)
2
但布拉格散射强度为0，相应的能量不连续便不存在
例子：对复式格子，基元中各原子的散射波干涉相消
设复式格子基元包含 s 个原子，每原子相应于原胞
顶点的位矢
rj x ja1 y ja2 z ja3
25
nπ a
)2
,
E
(k)
cn
dn
(k
nπ a
)2
上式说明，在 k=-np/a 附近，电子的色散具有抛物线的形式，而且 E(k) 要么大于 an=Tn+|Vn|，要么小于 cn=Tn-|Vn|，即存在 2|Vn| 范围的能量禁区，这就是能隙
对于 k 与-np/a 相距稍远的范围，已可适用非简并微扰论，电子的能量与自由电子的能量相差无几
)
Vn
11
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
[EVn AE0 ([kE)]AE0V(kn')B]B00
关于 A、B 的齐次方程具有非零解的条件
E E0(k) Vn
Vn*
0
E E0 (k')
(Vn Vn* )
因此
E1 2
[E0 (k) E0 (k')]
[E0 (k) E0 (k')]2 4 | Vn |2
3. 注意：对于一维情形，能量不连续一定与禁带相应；对于三维情形，某一方向的能量不连续不意味着这就是禁带，因为在倒空间的其他地方，该范围的能量可能是电子的许可能量
24
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
布拉格反射与能量不连续
如果对某倒格矢
G
傅里叶分量
VG 0
则虽然某波矢 k满足
(2)当 k’-k=2np/a (倒格矢) 时，上式积分的值为 L
H' k'k Vn k 'k ,2nπ / a n0 6
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
二级微扰能量对 k’ 的求和可转化为对倒格矢求和
E(2) (k)
k'
'
| H' k'k |2 E0 (k) E0 (k')
E Tn (1 2 ) | Vn |2 4Tn22
其中
Tn
2 2m
(n
π)2 a
12
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
E Tn (1 2 ) | Vn |2 4Tn22
由于为小量，上式第二项用泰勒展开到一阶项
E
(k
)
Tn
|
Vn
|
Tn
(1
2Tn )2 | Vn |
E (k)
14
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型能带图
粗线：扩展布里渊区图式
粗线在倒空间延拓-细线细线：周期布里渊区图式
(-p/a,p/a] 之间：约化布里渊区图式
在约化区内，电子能量表示成若干能带，能带之间为带隙
在每个能带中，有确定的色散关系 En(k)， n 为能带的标记
15
固体物理导论
in 2π x
V (x) Vne a V0 Vne a
n
n0
平均势场，可令 V0=0
2
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
in 2π x
V (x) Vne a
n0
势场为实数， V *(x) V (x)
因此势场的傅里叶分量满足 Vn* Vn 系统哈密顿量及薛定谔方程可写为
L 0
(k0
)*
H'k0dx
Vn
n0
1 L
eL ikx
0
in 2π x
e a
eikxdx
Vn
n0
1 L
Na in 2π x
e a dx
0
当 n≠0 时，上式积分为 0，因此
E (1) (k) 0 所以必须计及二级微扰
5
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
二级微扰能量为
E(2) (k)
G)
21
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
因此三维近自由电子系统的近似能量为
E(k )
E0
(k )
E (2)
(k )
2k
2
2m
'
G
2
| VG |2
[k 2 (k G)2]
2m
系统的近似波函数为
k
0 k
(1) k
0 k
k'
'
H'k'k 0
E0(k ) E0(k') k'
是禁带的意义所在。事实上，由 k=np/a 可得，2a=nl，这
正是一维的布拉格条件
18
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
7.1. 3 三维情况
在三维情况下，将周期势展开成傅里叶级数
V (r) VGeiGr V0 'VGeiGr
其中
G
G
平均势场，可令
为任意倒格矢
G
V0=0
0 k
1 eikr V V 为晶体体积
(k0'
,k0 )
k' ,k
正交归一
相应的本征值为一级微扰能量
E0(k )
2k
2
2m
E (1)
(k
)
H'
kk
(k0 )* H'k0dV
1
G
'VG
V
eiGrdV
'VG
G,0
0
G
20
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
二级微扰能量
a
] (k n 2π)2
2m 2m
a
入射波
散射波
在波矢偏离布里渊区边界较远的情形，上式是电子波函数较好的近似。其实可将上式理解为一波矢为 k 的自由电子入射晶体的结果，第一项为入射波，第二项为散射波，散射波的幅度都很小，对入射波的干扰甚小，于是电子态与自由电子相差甚微（即近自由电子）
17
固体物理导论
正是布里渊区的边界
k 2 (k G)2 2k G G2
k
k
1
G
2
此即布拉格衍射条件 2d sin nl
O
1
G
G
2
23
固体物理导论
几点说明：
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
1. 当电子以布里渊区边界处的波矢入射晶体时，散射波将干涉加强
2. 相应地电子的色散关系 E(k) 在布里渊区边界处不连续，不连续的间隔也是周期势场傅里叶分量绝对值的两倍，即 2 | VG |
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
近自由电子近似
单电子近似下，晶体电子的薛定谔方程
H
2 2m
2
V
(r)
E
V (r)为电子所处的周期性势场，满足
V
(r
Rl )
V
(
r)
V (r) 随空间位置的变化不太强烈时，可把 V (r) 的
空间起伏看作是对自由电子情形的微扰，这种假
设称为近自由电子近似
标志的自由电子的状态接近简并，必须采用简并
微扰论来处理
9
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
7.1. 2 能隙由来
如果 (k n 2π)2 k 2 即 k n π
a
a
则二级微扰能量发散，因此 k 在 –np/a 附近，即
k n π (1 ) a
为小量
时，应以 0 Ak0 Bk0' 作为零级波函数，并将
G h1b1
求和不包括
h2b2 h3b3
G
0
系统的哈密度量及薛定谔方程可写为
H H 0 H' (H 0 H' )(r) E(r)
H 0 2 2 2m
H' V (r) 'VGeiGr G 19
固体物理导论
第 7 章能带
7.1 近自由电子模型
H0 的本征函数是自由电子波函数
| H' k'k |2
k' E 0 (k) E 0 (k')
其中 H'k'k