一维周期场中电子运动的近自由电子近似固体物理分析
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一维周期场中电子运动的近自由电子近似_固体物理资料
—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(x)
.
0 k
(
x
)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
Байду номын сангаас
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
(0) (1)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
固体物理学：第四章 第三节近自由电子近似
由于En(k)是k的周期函数，有时候在每一个布里渊区 内绘出所有能带，对一些问题的处理更方便一些。这 种图示称为周期能区图示（repeated zone scheme）。
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
固体物理三大近似
固体物理三大近似
标题：固体物理中的三大近似
正文：
固体物理是研究固态物质中原子、分子和离子的运动和相互作用的学科。
在研究固体物理时，科学家们常常依赖于一些近似方法来简化问题，以便更好地理解和描述固体的行为。
本文将介绍固体物理中的三大近似方法。
第一大近似是周期性势场下的自由电子模型。
在固体物理中，原子核和电子之间的相互作用可以近似为周期性势场（晶格）中的自由电子。
这个模型假设电子之间几乎没有相互作用，只受到晶格的平均势场的影响。
通过这个近似模型，科学家们可以简化计算，更好地理解固体中电子的行为，如导电性、热导性等。
第二大近似是布洛赫定理。
布洛赫定理是固体物理中描述电子在晶格中运动的重要定理。
根据布洛赫定理，电子在晶格中的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积形式。
这个近似方法有效地将
电子的波函数描述为受到晶格周期性势场的平面波的叠加，从而简化了电子在晶格中的运动分析。
第三大近似是有效质量近似。
在固体物理中，电子通常受到晶格势场的束缚，其行为可以类比为自由粒子在真空中的行为。
为了更好地描述这种行为，科学家们引入了有效质量的概念。
有效质量是描述电子在晶格中运动时所表现出的“质量”，其与电子在真空中的质量不同。
通过应用有效质量近似，科学家们可以将具有晶格势场影响的电子行为简化为具有自由粒子行为的问题，从而更好地研究固体的性质。
综上所述，固体物理中的三大近似方法分别是周期性势场下的自由电子模型、布洛赫定理和有效质量近似。
这些近似方法为科学家们提供了简化问题、更好地理解和描述固体物理的手段，促进了固体物理研究的进展。
浅谈固体物理学中的近似方法
学年论文题目：浅谈固体物理学中近似方法系别：专业：年级：学号：学生：指导老师：2012年12月浅谈固体物理学中的近似方法学生姓名指导教师:系别：专业：班级：学号:摘要：本文从物理学的角度对近似法进行了介绍，并通过固体物理学中近似法的引用，让大家对近似法有了一个初步的认识，并解释了近似法在物理教学中的重要性与实用性。
关键词：近似法固体物理晶格0引言固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。
固体的内部结构和运动形式很复杂，固体物理学中近似方法是一种重要的计算方法．指以近似数为计算对象的数学计算方法。
近似地表示某一个量的真正值的数（准确数），称为近似数。
在实际问题中所遇到的数，多半是近似数，因此，近似计算方法是极其重要的。
1 近似法“近似法”是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时，根据所研究问题的需要，忽略研究对象和问题的次要因素，突出其主要矛盾和本质特征，科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法。
近似法不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是物理学的重要研究方法之一。
善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一。
因此在中学物理教学中注重近似方法的理解和应用，主要应使学生理解学习近似计算的实际意义，正确地建立起近似数的概念；同时使学生学会计算法则，进行合理的近似计算。
固体物理中《周期场中的电子态》的内容当中单电子近似，布洛赫波，近自由电子近似和紧束缚近似，能带，这些都是在用“近似法”。
比如近自由电子近似和紧束缚近似两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即晶体中电子的能极形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势，求解具体Schredinger 方程的尝试从没有停止过，最早的一个模型是1931年kronig 一penncy 一维方形势场模型，它可以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的粒子允许能级形成带，能带之间是禁带的结论，但这是一维周期势场，还不能算是真正的尝试。
在近自由电子近似中
但当入射的自由电子的波矢接近带顶和带底（k=nπ /a）时，有
K=nπ /a，而行进平面波的波长＝2/k，从而nπ /a=2π /,得2a＝ n ，这实际上是Bragg反射条件2asin＝n 在正入射情况（ sin＝1 ）
的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互 加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到 反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。
Tankertanker Design
a. k k n 2
a
E (2) k
k
2
k V k Ek0 Ek0
k V k Tankertanker Design
kV k
1 a
a i2 n
e
0
a V ( )d Vn
b. k k n 2 kV k 0
a
二级微扰能：
2
kV k
2mU n 2k2
exp i2 nx 2 k 2 n
/ /
a a
2
容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函
数由两部分组成：
第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）
因子
1 L
eikx
第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波）
V
其中
是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格
L
常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中
k l (2 ) (l是整数)
Na
2
Tankertanker Design
零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数
K=nπ /a，而行进平面波的波长＝2/k，从而nπ /a=2π /,得2a＝ n ，这实际上是Bragg反射条件2asin＝n 在正入射情况（ sin＝1 ）
的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互 加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到 反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。
Tankertanker Design
a. k k n 2
a
E (2) k
k
2
k V k Ek0 Ek0
k V k Tankertanker Design
kV k
1 a
a i2 n
e
0
a V ( )d Vn
b. k k n 2 kV k 0
a
二级微扰能：
2
kV k
2mU n 2k2
exp i2 nx 2 k 2 n
/ /
a a
2
容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函
数由两部分组成：
第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）
因子
1 L
eikx
第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波）
V
其中
是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格
L
常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中
k l (2 ) (l是整数)
Na
2
Tankertanker Design
零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数
固体物理04-04赝势方法
i (k , r ) k Gi jk jk k Gi
大
j1
学
Solid State Physics
固
体
M
物
理
i (k , r ) k Gi
jk jk k Gi
j1
投影算符
Pˆ jk jk
j
i (k , r ) (1 Pˆ ) k Gi
电子波函数
西 南
实际中还要考虑其他的情况，
科
如介电屏蔽作用，电子离子的相互作用。
技
大
学
Solid State Physics
固
体
物
晶体中价电子的波函数
理
正交化平面波
和 内层电子波函数
jk
1 N
eik Rl
at j
(r
Rl
)
l
正交
西
i (k , r ) jk 0 i j
南
科
技 大Βιβλιοθήκη at j(rRl )
2
2
2 V (r ) [ 2 V (r )]Pˆ EPˆ E
2m
2m
西
南
2
科 技 大
—— 令 W V (r ) [ 2 V (r )]Pˆ EPˆ 2m
学
Solid State Physics
固
体
物 理
赝势方程
2
2 W (r ) E
2m
赝波函数
Ci k Gi
i
2
赝势 W V (r ) [ 2 V (r )]Pˆ EPˆ 2m
—— 不同的布里渊区对应不同的能带
—— 每一个布里渊区的体积相同___倒格子原胞的体 积
固体电子3---近自由电子近似
dx
单电子哈密顿算符记做： 单电子哈密顿算符记做：
h2 d2 ˆ H=− +U(x) 2 2me dx
令：
ˆ H(0) = −
h2
d2
2
2me dx
+U0
i 2π mx a
ˆ H(1) =U(x) −U0 = ∑ume
m≠0
则有： 则有：
ˆ = H(0) + H(1) ˆ H ˆ
6
当周期势场的起伏很小时（近自由电子近似的适用条件） 当周期势场的起伏很小时（近自由电子近似的适用条件）， H(1)代表周期势场的起伏，比起 (0)来很小，可以作为微扰项。 代表周期势场的起伏，比起H 来很小，可以作为微扰项。
N −1 1 N−1 a −i(k '−k )ξ −i(k '−k )⋅na 1 a −i(k'−k )ξ e e U(ξ )dξ = ⋅∫ e U(ξ )dξ ⋅ ∑e−i(k '−k )⋅na ∑ Na n=0 ∫0 Na 0 n=0
2π (l '−l ) ⋅N N
1 a −i(k'−k)ξ = ⋅ e U(ξ )dξ ⋅ ∑e 0 Na ∫ n=0
( Ek = Ek0) +
2 k ' =k +m a
∑π E
um
2
(0) k
( − Ek0) '
=
um hk +U0 + ∑' 2 2π 2 h 2m 2 m [k − (k + m ) ] 2m a
2 2
2
上式给出以下结论： 上式给出以下结论： 或者说k=-mπ/a时 ， 二级修 当 Ek(0)=Ek’(0) 即 k2=(k+m2π/a)2 ， 或者说 时 正有一项发散，上式不再适用，需改用简并微扰 简并微扰。 正有一项发散，上式不再适用，需改用简并微扰。 如果k 远离-mπ 时 由于| 很小， 如果 2≠(k+m2π/a)2 ， 且 k远离 π/a时 ， 由于 | um|2 很小 ， Ek 远离 相差很小，可以认为二者相等， 与 Ek(0) 相差很小 ， 可以认为二者相等 ， 微扰项的影响可以忽 为抛物线关系。 略。Ek与k为抛物线关系。 为抛物线关系 处于-mπ 附近 即布里源区边界附近， 附近， 当 k处于 π/a附近 ， 即布里源区边界附近 ， 令 k=-mπ/a+∆ ， 处于 π ∆ 为一小量正值。则由上式可知k’=mπ/a+∆对应项贡献最大， ∆为一小量正值。则由上式可知 π ∆对应项贡献最大， 其它二级修正项可以忽略不计。而且如果k态零级能量相对 态零级能量相对k’ 其它二级修正项可以忽略不计。而且如果 态零级能量相对 13 更低； 态能量高 态能量高， 更高。 低，Ek更低；k态能量高， Ek更高。
固体物理学：4-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
一维布拉伐格子，能带序号、能带涉及波矢k的范围和布里 渊区的对应关系
能带序号
k的范围
k的长度
布里渊区
第一布里渊区
第二布里渊区
第三布里渊区
一维布拉伐格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系
8）电子波矢和简约波矢的关系
简约波矢 的取值范围
—— 第一布里渊区
平移算符本征值量子数k’（简约波矢）和电子波矢k之间的关系
二： 上面理论过程的整体思路
1）零级近似，电子能量曲线为抛物线
Ek0
2k 2 2m
V
—— 微扰情形，电子的k不在
附近
Ek0 Ek0' Vn
—— k状态不计二级能量修正
n
'
2
Vn 2
[k 2 (k n 2 )2
2m
a
—— 抛物线
2）简并微扰情形 电子的一个状态波矢
存在一个
状态
—— 两个态的能量相同
能量降低
两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
2) 当 0 时
波失k落在布里渊区界面上时, E V Tn Vn
1
1
2 G1
0
G 2
说明原来简并的状态受周期场的微扰作用后， 简并消除，能级发生分裂 。
说明： 1）第一项是波失为k的前进的平面波。 2）第二项是平面波受到周期性作用产生的散射波。
令
可以证明 电子波函数
—— 布洛赫函数形式
5、讨论电子能量和波函数
二级能量修正
4.2_一维近自由电子近似
在用简约波矢描述自由电子解时, 也必须指出它属于 哪一个能带 周期势场的起伏只是使得不同能带相同 简约波矢 k 的状态之间相互影响
对于一般的 k 这些状态之间的能量差比较大, 而在 k 0 和 k / a 及其附近, 存在两个状态, 它们的能量相 等或是能量相近
在 k 0, / a 及其附近, 必须用简并微扰来处理。 k 0 和 k / a 由于 “能级间的排斥作用” , 使得在 处, 能级分裂, 在不同能带之间出现能隙
得
a Ek0 E V k0 b Ek0' E V k0' 0
0* 0* 上式分别乘以 k 和 k ' 并积分, 得到 a、b 必须 满足的关系式
Ek0 E a Vn*b 0 0 V a E n k' Eb 0
其中用到 k | V | k k ' | V | k ' 0 以及
k | V | k ' k ' | V | k
*
Vn*
方程有解的条件
Ek0 E Vn Vn* E E
0 k'
0
即
E
0 k
E E E Vn 0
0 k' 2
它的解给出本征值
1/ 2 2 1 0 2 0 0 0 E Ek Ek ' Ek Ek ' 4 Vn 2
具体写出 Ek0、Ek0'
2 2 n E V 1 V Tn 1 2 2 2m a n T 2 n 2 2 m n 2 2 a Ek0 V 1 V T 1 n 2m a 2 0 k' 2
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V (x) V V
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 金属的线度
零级近似下
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k2 V 2m
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
2ma Nhomakorabea波函数一级修正项
1 eikx
Ln
2
[k 2
Vn (k
n 2 )2 ]
i2 n x
ea
2m
a
—— 微扰法不再适用了
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
2) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在零级波函数
中掺入其它零级波函数
0 k
(
二级修正项
E(2) k
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子的能量本征值
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
E (2) k
.
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
E (2) k
.
一级能量修正
L
E (1) k
[
0
1 eikxV ( x) L
1 eikxdx] V L
0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
2m
a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(
x
)
.
0 k
(
x)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
x)
1 i(k n 2 ) x ea
L
——
能量差越小掺入部分越大
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
当
时
两个状态具有相同的能量 —— 导致了波函数的发散
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
二级能量修正
E (2) k
二级能量修正
E(2) k
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
——
—— 按原胞划分积分
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
引入积分变量
x na
势场是晶格周期性函数
: 0 a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
2a n
—— 布拉格反射条件在正入射时的结果
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
入射波波矢
散射波成份的振幅
Vn
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
状态 k n (1 )
a
0 —— 一个小量
—— 主要影响的态
—— 只考虑影响最大的状态__忽略其它状态的影响
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
状态
对状态
的影响
k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令
可以证明 电子波函数
k(x) (
1 L
eikx )uk ( x)
—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波矢在
附近的能量和波函数
简并微扰 —— 波函数由简并波函数线性组合构成
2
a
k
k
n
2
a
k |V (x) | k V (n) k |V (x) | k 0
—— V(x) 第n个傅里叶系数
k
k
n
2
a
k
k
n
2
a
k | H | k V (n) k | H | k 0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
边界条件
—— l 为整数
波矢取值
k l 2
Na
—— 能量
Ek0
2k 2 2m
V
正交归一化
L
0*
k
k0dx
kk
0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
微扰下电子的能量本征值 哈密顿量
微扰理论 —— 电子的能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
k |V (x) | k [ 1
a ei(kk )V ( )d ]
1
N 1
[ei(kk )a ]n
a0
N n0
k
l
2
Na
1)
k
l
2
Na
2)
0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k
n
04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算 近自由电子近似模型
—— 电子受到原子实 周期性势场的作用
—— 假定势场的起伏较小
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场
V V(x)
—— 周期性势场的起伏量 可以作为微扰来处理
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 金属的线度
零级近似下
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k2 V 2m
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
2ma Nhomakorabea波函数一级修正项
1 eikx
Ln
2
[k 2
Vn (k
n 2 )2 ]
i2 n x
ea
2m
a
—— 微扰法不再适用了
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
2) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在零级波函数
中掺入其它零级波函数
0 k
(
二级修正项
E(2) k
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子的能量本征值
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
E (2) k
.
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
E (2) k
.
一级能量修正
L
E (1) k
[
0
1 eikxV ( x) L
1 eikxdx] V L
0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
2m
a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(
x
)
.
0 k
(
x)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
x)
1 i(k n 2 ) x ea
L
——
能量差越小掺入部分越大
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
当
时
两个状态具有相同的能量 —— 导致了波函数的发散
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
二级能量修正
E (2) k
二级能量修正
E(2) k
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
——
—— 按原胞划分积分
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
引入积分变量
x na
势场是晶格周期性函数
: 0 a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
2a n
—— 布拉格反射条件在正入射时的结果
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
入射波波矢
散射波成份的振幅
Vn
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
状态 k n (1 )
a
0 —— 一个小量
—— 主要影响的态
—— 只考虑影响最大的状态__忽略其它状态的影响
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
状态
对状态
的影响
k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令
可以证明 电子波函数
k(x) (
1 L
eikx )uk ( x)
—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波矢在
附近的能量和波函数
简并微扰 —— 波函数由简并波函数线性组合构成
2
a
k
k
n
2
a
k |V (x) | k V (n) k |V (x) | k 0
—— V(x) 第n个傅里叶系数
k
k
n
2
a
k
k
n
2
a
k | H | k V (n) k | H | k 0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
边界条件
—— l 为整数
波矢取值
k l 2
Na
—— 能量
Ek0
2k 2 2m
V
正交归一化
L
0*
k
k0dx
kk
0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
微扰下电子的能量本征值 哈密顿量
微扰理论 —— 电子的能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
k |V (x) | k [ 1
a ei(kk )V ( )d ]
1
N 1
[ei(kk )a ]n
a0
N n0
k
l
2
Na
1)
k
l
2
Na
2)
0
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k
n
04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算 近自由电子近似模型
—— 电子受到原子实 周期性势场的作用
—— 假定势场的起伏较小
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场
V V(x)
—— 周期性势场的起伏量 可以作为微扰来处理
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k