重庆市西南师大附中10-11学年高二数学学期期末考试 理 【会员独享】

西南大学附中2022—2023学年度下期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}32,M x x k k Z ==−∈ ，集合{}61,N x x k k Z ==+∈，则（ ） A ．M N =B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．MN =∅2． 已知:0p x >，1:2q x x +≥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 若不等式240x ax −+>在[]1,3x ∈上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(),4−∞B ．(),5−∞C ．13,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭ D ．()4,54． 从装有3个红球和4个白球的袋子中不放回地随机取出3个球，若取出的球中有红球，则取出的球全是红球的概率为（ ）A ．135B ．131C ．115D ．175． 甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（ ）种不同的参加方法 A ．72B ．144C ．216D ．2406． 函数)2ln()1x f x x =−的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知函数()()2ln 62f x ax a x ⎡⎤=+−+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),218,−∞+∞ B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞D ．[][)0,218,+∞8． 已知001x y x y >>+=，，，则221x x xy−+的最小值为（ ）A ．4B ． 143C ．22+D ． 221+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

西南大学附中高2025届高二上阶段性检测（一）数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年10月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A ．1B ．2C ．3D ．42． 样本中共有5个个体，其值分别为12345x x x x x ，，，，．若该样本的平均数为3，则131x +，234531313131x x x x ++++，，，的平均数为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．103． 围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B ．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C ．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高D ．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等4． 现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球．周末，高二年级甲、乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球．在同一罚球点，两人各自踢了10个球，甲进了9个球，乙进了8个球，以频率估计各自进球的概率．记事件A ：甲踢进球；事件B ：乙踢进球．甲、乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，()P A B =（ ）A ．45B ．910C ．1825D ．49505． 过点A （1，−2）且与直线:2630l x y −−=平行的直线方程是（ ）A ．370x y −−=B ．350x y −+=C ．310x y +−=D ．350x y −−=6． 抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5能够构成锐角三角形的概率是（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．237． 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一、高二、高三年级学生各有700人、600人、700人．其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（ ） A ．0.433B ．0.435C ．0.442D ．0.4518． “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序． A ．72B ．78C ．96D ．120二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A =“两人都中奖”；B =“两人都没中奖”；C =“恰有一人中奖”；D =“至少一人没中奖”；下列关系正确的是（ ） A ．BC D =B ．AC ≠∅ C ．CD ⊆ D ．B D B =10． 小张、小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析．其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5．下列说法正确的是（ ） A ．小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B ．小张测试表现时而好，时而糟糕 C ．小陈比小张的测试发挥水平更稳定D ．平均来说小陈比小张数学成绩更好11． 下列说法错误有（ ）A ．“1a =−”是“210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− C ．直线22cos sin 10x y αα+−=恒过定点（1，1）D ．经过点（1，2）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +−=12． 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1、2、3的三个号签；乙袋有编号为1、2、3、4、5、6的六个号签. 现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（ ） A ．1()18P AB =B ．1()9P C =C ．事件A 与事件C 相互独立D ．事件A 与事件D 相互独立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 数据2，4，5，8，a ，10，11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为__________． 14． 若A ，B 两个事件相互独立，且1()3P AB =，则()P A B = ．15． 已知两点A （−1，1），B （3，−2），过点P （2，−1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l （不考虑斜率不存在的情况）的斜率k 的取值范围是__________．16． 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3∶1取得胜利的概率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (10分) 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了10件钛合金产品进行抗拉强度（单位：MPa ）测试，统计数据如下：910 905 900 896 907 912 915 893 903 899(1) 求这10件产品的平均抗拉强度x 和标准差s ；(2) 该10件产品的抗拉强度位于x s −和x s +之间所占的百分比是多少？18． (12分) 已知平面内两点P （−1，−3），Q （3，3）．(1) 求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；(2) 过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当||||OA OB +取得最小值时，求直线l 的方程．19． (12分) 某中学为研究本校高二学生学完“概率与统计”之后的情况，进行了一次测验，随机抽取了100位同学的测试成绩作为样本，得到以[8090)，，[90100)，，[100110)，，[110120)，，[120130)，，[130140)，，[140150]，分组的样本频率分布直方图如图．(1) 求直方图中x 的值；(2) 请估计本次该年级学生数学成绩的中位数和平均数；（计算结果精确到0.1） (3) 样本内数学分数在[130140)，，[140150]，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130140)，中的概率．20． (12分）已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()cos A B C B A C +=−=，． (1) 求sin A ；(2) 若3b =，求AC 边上的高．数学分数21． (12分) 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是12，选择两个选项的概率是13，选择三个选项的概率是16．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项．(1) 求该同学11题得5分的概率；(2) 求该同学两个题总共得分不小于7分的概率．22． (12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1111386B A B C AA AB BC AB BC ====⊥，，，，，D 为AC 中点，15tan 12BB D ∠=． (1) 求证：1BC B D ⊥；(2) 线段11B C 上是否存在一点E ，使得AE 与面11BCC B 的夹角．A参考答案一、选择题1—4BDCD 5—8ACCB 9.ACD 10.BC11.ABD12.ABD二、填空题13.914.2315.2(,1][,)3-∞--+∞ 16.0.17417.（1）91090590089690791291589390389990410x +++++++++==22222222222(910904)(905904)(900904)(896904)(907904)(912904)(915904)(893904)(903904)(899904)45.810s -+-+-+-+-+-+-+-+-+-==∴45.8s =（2）∵645.87<∴897898x s <-<，910911x s <+<∴610010⨯％=60％18.（1）∵(1,3),(3,3)P Q --∴PQ 中点3(1,0),2PQ M k =∴23k =-直线222:(1)333l y x x =--=-+（2）设(,0),(0,)A a B b 其中（,0a b >）则直线:1x y l a b+=∵Q 在直线上∴331a b+=∴3333()()612b aa b a b a b a b+=++=++≥当且仅当6a b ==时，等号成立此时，:6l y x =-+19.（1）(0.0120.0220.0280.0180.0080.002)101x ++++++⨯=解得0.01x =（2）中位数0.1610010105.70.28=+⨯=0.12850.22950.281050.181150.11250.081350.02145107.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[130,140)：1000.088⨯=（人）；[140,150]:1000.022⨯=（人）∴在[130,140)中抽取4人，[140,150]中抽取1人总共有10种情况，A:恰有一人成绩在[130,140)中：4种∴42()105P A ==20.（1）∵2,A B C A B C π+=++=∴3C π=sin()cos cos()B AC A B -==-+sin cos cos sin cos cos sin sin B A B A A B A B-=-+化简得(cos sin )(cos sin )0B B A A +-=∴344B A ππ==（舍）或∴2sin 2A =（2）212362sin sin()sin cos cos sin 22224B AC A C A C =+=+=+=由正弦定理sin sin b c B C =，可得92362c =∴92362933sin 222c A -==21.解：（1）根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情况,,,,,AB AC AD BC BD CD .所以1113618P =⨯=…………………………………………………………………………………….5分（2）总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分,记事件1A ：11题得2分；事件2A ：11题得5分；事件1B ：12题得2分；事件2B ：12题得5分则1121()244P A =⨯=；21()18P A =1131113()=243224P B =⨯+⨯；2111()6424P B =⨯=………………………………..9分12212237()()()864P P A B P A B P A B =++=……………………………………………….12分22.（1）证明：连接BD ∵8,6,AB BC AB BC ==⊥∴10AC =∵D 为AC 中点∴5BD =∵15tan 12BB D ∠=，∴2221111112cos 213B D BB BD BB D B D BB +-∠==⋅∴112B D =∵22211B D BD BB +=∴1B D BD ⊥……………………………………….2分∵11B A BC =且D 为AC 中点∴1B D AC ⊥………………………………………3分∵11B D ACB D BD AC BD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩∴1B D ABC ⊥面…………………………………4分∵BC ABC⊂面∴1BC B D ⊥……………………………………….5分（2）如图，以D 为原点，CB 为x 轴正向，AB 为y 轴正向，1DB为z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.11(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12),(6,0,12)A B C B C ---，1(6,0,0),(3,4,12)BC BB =-=--令111B E B C λ= ，则(6,0,12)E λ-，(63,4,12)AE λ=--………………………………..…………….7分令面11BCC B 的法向量为n10n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴(0,3,1)n = ……………………………………………………………………..10分||1274sin cos 185||||n AE n AE θα⋅===⋅解得13λ=所以E 是靠近1B 的三等分点 (12)分。

2023-2024学年重庆市西南大学附属中学校高二下学期末考试数学试卷1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．3.设随机变量，则（）A．3B．4C．12D．134.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．函数可以是某个圆的“太极函数”D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）A．B．C．4D．26.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）A．B．C．D．7.已知，则（）A．B．C．D．8.若对任意的恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．9.函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）405060708090销量（件）5044433528由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A．产品的销量与单价成负相关B ．为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元C．D．若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为11.已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（）A．B ．数列的通项公式为C ．D．实数的取值范围为12.已知的导函数分别为，且，则__________.13.已知均为实数且，则的最小值为__________.14.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种.15.设数列是各项均为正实数的等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.16.已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若，对，使得成立，求的取值范围.17.已知函数.(1)若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.18.学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19.已知椭圆经过点，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.。

重庆市西南大学附中2021-2022学年高二上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、抛物线x2=4y的准线方程为（）A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−12、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3，a14是方程x2−4x+3=0的两根，则S16=（）A. 32B. 30C. 28D. 263、若在等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3+a4=12，那么a5+a6=（）A. 20B. 18C. 16D. 144、在数列{a n}中，若a n+12−a n2=p(n∈N∗,p是常数)，则{a n}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A. 若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列B. 若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等方差数列C. {(−1)n}是等方差数列D. 若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列5、已知F1，F2是双曲线C：x2−y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|⋅|PF2|等于（）A. 2B. 4C. 6D. 86、已知等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n+1的值为（）A. 30B. 29C. 28D. 277、已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一条渐近线的垂线，垂足为P，若△PF1F2的面积为c22，则该双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. √3D. √28、已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1,l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|+|DE|的最小值为（）A. 24B. 20C. 16D. 12二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、已知曲线C 的方程为x 2m+1+y 2m−3=1(m ≠−1且m ≠3)，则下列结论正确的是（ ）A. 当m =2时，曲线C 是焦距为4的双曲线B. 当m =4时，曲线C 是离心率为√22的椭圆C. 曲线C 可能是一个圆D. 当m =1时，曲线C 是渐近线方程为x ±y =0的双曲线10、已知等比数列{a n }满足a 1=1,q =12，则（ ）A. 数列{a 2n }是等比数列B. 数列{1a n}是递减数列C. 数列{log 2a n }是等差数列D. 数列{a n2}是等比数列 11、如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AB =1，AA 1=√3，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则（ ） A. 当λ=12时，D 1P ⊥A 1C 1B. 四棱锥P −BB 1C 1C 体积的最大值为√3C. 当平面PB 1D 1截直四棱柱所得截面面积为158时，λ=34 D. 四面体A 1C 1DP 的体积为定值12、已知F 为椭圆C ：x 24+y22=1的左焦点，直线l ：y =kx(k ≠0)与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A. 1|AF|+4|BF|的最小值为2 B. △ABE 的面积的最大值为√2 C. 直线BE 的斜率为k2D. ∠PAB 为直角三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知直线l 1：ax −3y +1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0垂直，则a =______． 14、在等比数列{a n }中，a 1=2，a 4=128，若数列{b n }满足b n =log 2a n ，则数列{b n }的前20项和为______．15、直线l ：y =m(x +1)−1与圆C ：(x −1)2+y 2=6交于A 、B 两点，当弦AB 的长度最短时，则三角形ABC 的面积为______．16、已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =n +1(n ∈N ∗)，若an+1a n≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，则实数λ的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17、(本小题12.0分)在等差数列{a n }中，记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知：a 2+a 5=−10，S 5=−30． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求使S n =a n 成立的n 的值． 18、(本小题12.0分)已知圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey −3=0关于直线x −y −1=0对称，且圆心C 在x 轴上． (1)求圆C 的方程；(2)直线l ：x +y +b =0与圆C 交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19、(本小题12.0分)已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA =BC =BB 1=2，∠ABC =90°，E 、F 分别是AC 、AA 1的中点，D 为棱B 1C 1上的点． (1)证明：BF ⊥DE ；(2)当B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．20、(本小题12.0分) 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =12x ，且双曲线C 过点(2√2,1)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点M(3,0)的直线与双曲线C 的左、右支分别交于A 、B 两点，是否存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21、(本小题12.0分)已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为4． (1)求抛物线E 的方程；(2)点A 、B 为抛物线E 上异于原点O 的两不同的点，且满足k OA +k OB =2.若直线AB 与椭圆x 23+y 2m=1恒有公共点，求m 的取值范围．22、(本小题12.0分)设O 为坐标原点，动点P 在圆O ：x 2+y 2=1上，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q 且QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求动点D 的轨迹E 的方程；(2)直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，且直线l 与曲线E 相交于两不同的点A 、B ，T 为线段AB 的中点．线段OA 、OB 分别与圆O 交于M 、N 两点，记△AOT ，△MON 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴正半轴上以及2p =4，即可求出其准线方程． 因为抛物线的标准方程为：x 2=4y ， 所以焦点在y 轴正半轴上； 且2p =4，即p =2， 所以：p2=1， ∴准线方程y =−1， 所以选：D ．2.答案：A解析：∵a 3，a 14是方程x 2−4x +3=0的两根， ∴a 3+a 14=4，∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 1+a 16)=8(a 3+a 14)=8×4=32．所以选：A ．根据已知条件，结合韦达定理，以及等差数列的前n 项和公式，即可求解． 本题主要考查韦达定理，以及等差数列的前n 项和公式，属于基础题．3.答案：B解析：∵a 1+a 2=8，a 3+a 4=12， ∴a 3+a 4=q 2(a 1+a 2)，即q 2=32，∴a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=32×12=18． 所以选：B ．根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解． 本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．4.答案：B解析：对于A ，{a n }是等方差数列，可得a n+12−a n 2=p(n ∈N ∗,p 为常数)，即{a n2}是首项为a 12，公差为d 的等差数列，∴A 正确，对于B ，例如：数列{√n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B 不正确，对于C ，数列{(−1)n }中，a n+12−a n 2=[(−1)n+1]2−[(−1)n ]2=0，(n ∈N ∗)，∴数列{(−1)n }是等方差数列．故C 正确，对于D ，∵{a n }是等方差数列，∴a 2n+22−a 2n+12=p ，a 2n+12−a 2n 2=p ，∴a 2n+22−a 2n 2=2p ，所以数列{a 2n }是等方差数列，故D 正确． 所以选：B ．用等方差的定义和等差数列的定义进行演算即可．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的定义，属于中档题．5.答案：D解析：∵双曲线C 的方程为：x 2−y 2=2， ∴a 2=b 2=2，得c =√a 2+b 2=2 由此可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)，焦距|F 1F 2|=4， ∵∠F 1PF 2=60°，∴|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|cos60°，即|PF 1|2+|PF 2|2−|PF 1|⋅|PF 2|=16① 又∵点P 在双曲线C ：x 2−y 2=2上，∴||PF 1|−|PF 2||=2a =2√2，平方得|PF 1|2−2|PF 1|⋅|PF 2|+|PF 2|2=8② ①−②，得|PF 1|⋅|PF 2|=8， 所以选：D ．根据双曲线方程，算出焦距|F 1F 2|=4，△F 1PF 2中利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于|PF 1|、|PF 2|的方程组，联解即可得到|PF 1|⋅|PF 2|的值．本题考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题．6.答案：B解析：∵等差数列{a n }共有2n +1项， ∴奇数项共有n +1项，其和为a 1+a 2n+12×(n +1)=(n +1)⋅a n+1=290①，偶数项共有n 项，其和为a 2+a 2n2×n =n ⋅a n+1=261②，①−②得， a n+1=29， 所以选：B ． 由等差数列的性质知a 1+a 2n+12=a 2+a 2n2=a n+1，结合求和公式化简即可．本题考查了等差数列的性质及其应用，属于基础题．7.答案：D解析：双曲线x 2a 2−y 2b2=1的渐近线方程为y =±b ax ，在△OPF 2中，|PF 2|=b ，|OF 2|=c ，|OP|=a ，S △F 1PF 2=2S △OPF 2=ab =c 22， ∴4a 2(c 2−a 2)=c 4，∴e 4−4e 2+4=0，∴e 2=2，∴离心率e =√2． 所以选：D ．求出双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，三角形的面积，转化求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.答案：C解析：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，设直线l 1的方程为x =m 1y +1，直线l 2的方程为x =m 2y +1， 联立{x =my 1+1y 2=4x可得y 2−4m 1y −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=4m 1，x 1+x 2=m 1(y 1+y 2)+2=4m 12+2， 则|AB|=x 1+x 2+2=4m 12+4，同理可得|DE|=4m 22+4， 所以|AB|+|DE|=4m 12+4m 22+8，由l 1与l 2的斜率的平方和为2，可得1m 12+1m 22=2，由1m 12+1m 22≥2|m 1m 2|，可得|m 1m 2|≥1，则4m 12+4m 22+8≥8|m 1m 2|+8≥16，当且仅当|m 1|=|m 2|=1取得等号，所以|AB|+|DE|的最小值为16． 所以选：C ．求得抛物线的焦点，设直线l 1的方程为x =m 1y +1，直线l 2的方程为x =m 2y +1，分别与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．9.答案：AD解析：当m =2时，曲线C ：x23−y 2=1，∴a 2=3，b 2=1，∴c 2=3+1=4，∴c =2，∴曲线C 是焦距为4的双曲线，故A 正确；当m =4时，曲线C 的方程为x 25+y 2=1，∴a 2=5，b 2=1，∴a =√5，c 2=5−1=4，∴c =2，∴e =√5=2√55，故B 错误； 由m +1=m −3无解，故曲线C 不可能是圆，故C 错误； 当m =1时，曲线C 的方程为x 22−y 22=1，a 2=2，b 2=2，∴a =√2，b =√2，∴曲线C 是渐近线方程为x ±y =0，故D 正确． 所以选：AD ．分别对m 的不同取值计算可判断各选项的正确性． 本题考查圆锥曲线的几何性质，属于基础题．10.答案：CD解析：∵等比数列{a n }满足a 1=1,q =12， ∴a n =a 1q n−1=1×(12)n−1=(12)n−1，对于A ，a 2n =(12)2n−1=2×(14)n ，a2na 2(n−1)=14，故数列{a 2n }为等比数列，故A 错误， 对于B ，1a n=2n−1，数列{1a n}是递增数列，故B 错误，对于C ，log 2a n =log 221−n =1−n ，log 2a n+1−log 2a n =[1−(n +1]−(1−n)=−1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确，对于D ，∵a n =(12)n−1，a n 2=(12)2n−2，∴a n+12a n2=(12)2(n+1)−2(12)2n−2=14，故数列{a n 2}是等比数列，故D 正确．所以选：CD ．根据已知条件，先求出等比数列{a n }的通项公式，即可依次求解． 本题主要考查等比数列，等差数列的性质，属于基础题．11.答案：AD解析：在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AB =1，AA 1=√3， 对于A ，当λ=12时，点P 为线段AC 中点，连DP ，A 1C 1，如图，DP⊥AC，而DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥DD1，又DD1∩DP=D，DD1，DP⊂平面DD1P，则有AC⊥平面DD1P，而D1P⊂平面DD1P，于是得D1P⊥AC，又对角面ACC1A1是矩形，即AC//A1C1，所以D1P⊥A1C1，A正确；依题意，AB⊥平面BCC1B1，而点P在AC上，则点P到平面BCC1B1距离的最大值为AB=1，而矩形BCC1B1面积为BC⋅BB1=√3，所以四棱锥P−BB1C1C体积的最大值为√33，B不正确；对于C，当λ=34时，点P在AC上靠近点C的四等分点，平面PB1D1截直四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面为等腰梯形B1D1EF，如图，显然EF//B1D1//BD，则EF=12BD=√22，B1F2=B1B2+BF2=(√3)2+(12)2=134，等腰梯形B1D1EF的高ℎ=√B1F2−(B1D1−EF2)2=√134−(√2−√222)2=5√24，等腰梯形B 1D 1EF 的面积S =EF+B 1D 12⋅ℎ=3√24×5√24=158，由几何体的对称性知，当平面PB 1D 1截直四棱柱所得截面面积为158时，λ=14或λ=34，C 不正确；因AC//平面A 1C 1D ，则点P 到平面A 1C 1D 的距离等于点A 到平面A 1C 1D 的距离，为定值，又△A 1C 1D 的面积为定值，所以四面体A 1C 1DP 的体积为定值，D 正确． 所以选：AD ．根据给定条件逐一分析各个选项，再推理、计算并判断作答．本题主要考查锥体体积的计算，立体几何中的定值问题等知识，属于中等题．12.答案：BC解析：对于A ：因为O 为AB 的中点，O 也是FF 2的中点， 所以AFBF 2为平行四边形， 所以BF =AF 2，所以AF +BF =AF +AF 2=2a =4， 所以1AF +4BF=14(1AF +4BF )(AF +BF)=14(5+BF AF +4AF BF )≥14(5+4)=94，故A 错误；对于B ：设A(m,n)，B(−m,−n)，E(m,0)，P(x 1,y 1)， 因为A 在椭圆上，所以m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2， 所以S =12⋅m ⋅2n =mn ≤√2，当且仅当m =√2，n =1时取等号，故B 正确；对于C ：因为k =k OA =nm ， 所以k BE =n2m =k2，故C 正确； 对于D ：因为A ，P 在椭圆上，所以m 24+n 22=1，x124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，即(n+y 1)(n−y 1)(m+x 1)(m−x 1)=−12，即k PB ⋅k PA =−12， 所以k2⋅k PA =−12，所以k ⋅k PA =−1，所以∠PAB 为直角，故D 错误， 所以选：BC ．对于A ：根据题意可得AFBF 2为平行四边形，则AF +BF =AF +AF 2=2a =4，又1AF +4BF=14(1AF +4BF)(AF +BF)=14(5+BF AF +4AFBF )，结合基本不等式，即判断A 是否正确；对于B ：设A(m,n)，B(−m,−n)，E(m,0)，P(x 1,y 1)，利用基本不等式可得m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2，再计算△ABE 的面积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ：根据题意可得k =k OA =nm ，k BE =n 2m =k2，即可判断C 是否正确；对于D ：根据题意可得m 24+n22=1，x 124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，化简即可得出答案，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．13.答案：−3解析：∵直线l 1：ax −3y +1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0垂直， ∴a ×2+(−3)(a +1)=0，解得a =−3 所以答案为：−3由垂直关系可得a ×2+(−3)(a +1)=0，解方程可得a 值． 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14.答案：400解析：本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查转化能力，属于中档题．求出等比数列{a n }的通项公式，可得出{b n }的通项公式，再结合等差数列的前n 项和公式，即可求解． 设等比数列{a n }的公比为q ，则q =√a4a 13=4，a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1，故b n =log 2a n =2n −1，b n+1−b n =2(n +1)−1−(2n −1)=2， 数列{b n }为等差数列， 故数列{b n }的前20项和为S 20=20×(1+2×20−1)2=400．所以答案为：400．15.答案：√5解析：因为直线l ：y =m(x +1)−1恒过定点P(−1,−1)， 圆C ：(x −1)2+y 2=6的圆心C(1,0)，半径为√6， 所以当CP ⊥AB 时，弦AB 的长度最短， 因为|CP|=√(−1−1)2+(−1−0)2=√5， 所以|AB|=2√6−5=2，所以三角形ABC 的面积为12|AB||CP|=12×2×√5=√5，所以答案为：√5．由于直线l 过定点P(−1,−1)，所以当CP ⊥AB 时，弦AB 的长度最短，先求出CP 的长，再利用勾股定理可求出AB 的长，从而可求出三角形ABC 的面积． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．16.答案：[32,+∞)解析：∵a 1a 2a 3…a n =n +1， ∴a 1a 2a 3…a n+1=n +2， ∴a n+1=n+2n+1， ∴a n+1a n =n(n+2)(n+1)2=(n+1)2−1(n+1)2=1−1(n+1)2∵an+1a n≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，∴λ≥1−1(n+1)2，易知数列{1−1(n+1)2}为递增数列，∴1−1(n+1)2<1，∴λ≥1，故实数λ的取值范围为[1,+∞)， 所以答案为：[1,+∞)．根据题意可得a n+1=n+2n+1，由an+1a n ≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，可得λ≥1−1(n+1)2，再根据数列的函数特征，即可求出λ的取值范围．本题考查了数列的函数的特征，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．17.答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2+a 5=−10，S 5=−30，∴{2a 1+5d =−105a 1+10d =−30，解得{a 1=−10d =2， 故a n =a 1+(n −1)d =2n −12， 故数列{a n }的通项公式为：a n =2n −12． (2)由(1)知，S n =a 1+a n 2⋅n =n(n −11)，∵S n =a n ，∴n(n −11)=2n −12，即n 2−13n +12=0，解得n =1或n =12， 故S n =a n 成立的n 的值是n =1或n =12．解析：(1)根据已知条件，结合等差数列的通项公式，即可求解． (2)由(1)知，S n =a 1+a n2⋅n =n(n −1)，由S n =a n 可得，n(n −11)=2n −12，解得n =1或n =12．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．18.答案：(1)由题意得：直线x −y −1=0过圆心C(−D 2,−E2)，即−D 2+E 2−1=0，且−E 2=0， 解得：E =0，D =−2，所以圆C 的方程为x 2+y 2−2x −3=0；(2)x 2+y 2−2x −3=0的圆心为C(1,0)，半径为2， 由题意得：AB =2√2，圆心C(1,0)到直线l ：x +y +b =0的距离为√2， 即√2=√2，解得：b =1或−3，所以直线l 的方程为：x +y +1=0或x +y −3=0．解析：(1)根据题意得到等量关系，求出E =0，D =−2，进而求出圆的方程；(2)结合第一问求出的圆心和半径，及题干条件得到圆心C (1,0)到直线l ：x +y +b =0的距离为√2，列出方程，求出b 的值，进而得到直线方程．本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．19.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，且∠ABC =90°，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直，以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，设D(t,0,2)，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t,1,−2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BF ⊥DE ． (2)∵B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴D(12,0,2)， ∴DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,−1)， 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +y −2z =0m⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +2y −z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,1,1)， 设直线BF 与平面DEF 所成角为θ，则sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3√5⋅√6=√3010，∴直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值为√3010．解析：(1)建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF ⊥DE ．(2)求出平面DEF 的法向量，利用向量法能求出直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：(1)依题意，{b a =128a 2−1b2=1，解得：{a =2b =1，所以双曲线C 的标准方程是x 24−y 2=1；(2)假定存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，显然AB 不垂直于y 轴，否则|AM|⋅|BM|=5， 设直线AB ：x =my +3，由{x =my +3x 2−4y 2=4消去x 并整理得：(m 2−4)y 2+6my +5=0， 因直线AB 与双曲线C 的左右支分别交于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 于是得{m 2−4≠0Δ=36m 2−20(m 2−4)=16(m 2+5)>0，y 1+y 2=−6mm 2−4，y 1y 2=5m 2−4， 则有m 2>4，即m <−2或m >2，因此，|AM|⋅|BM|=√1+m 2⋅|y 1−0|⋅√1+m 2⋅|y 2−0|=(1+m 2)⋅|y 1y 2|=5(1+m 2)m 2−4=10，解得m =±3，所以存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，此时直线AB 的方程为：x −3y −3=0或x +3y −3=0．解析：(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答．(2)假定存在符合条件的直线AB ，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答． 本题考查了双曲线的方程及直线与双曲线相交的弦长问题，属于中档题．21.答案：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点F(p 2,0)，准线方程为x =−p2，由抛物线的定义可得3+p2=4，解得p =2， 则抛物线E 的方程为y 2=4x ；(2)设A(t 24,t)，B(n 24,n)，则4t +4n =2，即有tn =2(t +n)， 直线AB 的斜率为k =t−nt 24−n 24=4t+n ，直线AB 的方程为y −t =4t+n(x −t 24)，化为y =4t+n x +t −t 2t+n ，即y =4t+n x +2， 则直线AB 恒过定点(0,2)，若直线AB 与椭圆x 23+y2m=1恒有公共点，则03+4m ≤1，解得m ≥4，即m 的取值范围是[4,+∞)．解析：(1)由抛物线定义可得p 的方程，解方程可得p 的值，进而得到所求抛物线的方程；(2)设A(t 24,t)，B(n 24,n)，由直线的斜率公式，可得直线AB 的方程，求得直线恒过的定点，代入椭圆方程可得m 的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线恒过定点的求法、直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：(1)设点D(x,y)，则Q(0,y)，因为QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有P(√2y)， 又点P 在圆O ：x 2+y 2=1上， 即(√2)2+y 2=1，所以动点D 的轨迹E 的方程是x 22+y 2=1．(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为：y =kx +m ， 因为直线l 与圆O 相切，则√1+k=1，即m 2=1+k 2，而k =0时，直线l 与椭圆E 相切，不符合题意，因此k ≠0， 由{y =kx +m x 2+2y 2=2，消去x 并整理得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2−22k 2+1，而点T 是线段AB 中点，则有S 1S 2=12S △AOBS ΔMON=12(12|OA|⋅|OB|sin∠AOB)12|OM|⋅ON|sin∠MON =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=12√x 12+1−x 122⋅√x 22+1−x 222=14√(x 12+2)(x 22+2)=14√x 12x 22+2(x 12+x 22)+4=14√(x 1x 2)2+2(x 1+x 2)2−4x 1x 2+4=14√(2m 2−22k 2+1)2+2(−4km 2k 2+1)2−4⋅2m 2−22k 2+1+4=14√(2k22k 2+1)2+32k 2(k 2+1)(2k 2+1)2−8k22k 2+1+4=14√20k 4+24k 2(2k 2+1)2+4，令2k 2+1=t >1， 则S 1S 2=14√5(t−1)2+12(t−1)t 2+4=14√−7t 2+2t +9=14√−7(1t −17)2+647，而1t∈(0,1)， 当1t =17，即t =7时，(S1S 2)max =2√77，当1t =1，即t =1时，(S 1S 2)min =12， 而t >1，于是得S1S 2∈(12,2√77],当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =±1,|OA|=|OB|=√32，此时S 1S 2=12|OA|⋅|OB|=34∈(12,2√77],所以S1S 2的取值范围是(12,2√77]． 解析：(1)设出点D 的坐标，借助向量运算表示出点P 的坐标代入圆O 的方程计算作答．(2)在直线l 的斜率存在时设出其方程，与轨迹E 的方程联立，借助韦达定理表示出S1S 2，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线l 的斜率不存在的值作答． 本题考查了动点的轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。

西南师大附中2010—2011学年度上期期末考试高二数学试题（理科）（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 直线x + 3y – 6 = 0的倾斜角的大小是（ ）A ．钝角B ．锐角C ．直角D ．无法确定2． 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1 = 2，E 为棱CC 1上的点，则B 1D 1与AE 所成的角（ ） A ．30︒B ．45°C ．60︒D ．90°3． 若PQ 是圆229x y +=的弦，PQ 的中点是（1，2），则直线PQ 的方程是（ ） A ．230x y +-= B ．250x y +-= C ．240x y -+= D ．20x y -=4． 若椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22116925x y -=C ．221916x y -=D ． 221169144x y -=5． 已知F 1、F 2为椭圆C ：22153x y +=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12||||PF PF =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86． 下面各命题中正确的是（ ）A ．直线m ，n ，m ∥面α，n ∥面α，则m ∥n ；B ．直线m ∥n ，m ⊂面α，n ⊂面β，则α∥β；C ．直线m ⊥面α，直线n ⊥面α，则m ∥n ；D ．直线m ⊂面α，n ⊂面β，α∥β，则m ，n 异面．7． 设抛物线y 2 = 4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-，那么||PF =（ ） A ．43B ．8C ．83D ．48． 设双曲线C ：22194x y -=的右焦点为F ，右准线为l ，设某条直线m 交其左支、右支和右准线分别于P 、Q 、R ，则PFR QFR ∠∠和的大小关系是（ ）A ．大于B ．小于C ．等于D ．大于或等于（第2题图）9． 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．810． 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ） A ．22a b +B ．22a b + C ．b aD ．a b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． 三条直线10280350x y x y ax y ++=-+=+-=，，只有两个不同的交点，则a = ．12． 在四面体PABC 中，各棱长均为2，M 为棱AB 的中点，则异面直线PA 和CM 所成角的余弦值为 ． 13． 变量x 、y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =-的最大值为 ．14． 若点A 的坐标为(32)-，，F 为抛物线24y x =-的焦点，点P 是抛物线上的动点，当||||PA PF +取最小值时，P 的坐标为 ．15． 右图是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一种平面展开图，在这个正方体中，E 、F 、M 、N 均为所在棱的中点 ① NE ∥平面ABCD ； ② FN ∥DE ；③ CN 与AM 是异面直线； ④ FM 与BD 1垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)（第10题图）A BCPM（第12题图）A （第15题图）B CDNFA 1B 1已知圆C 的圆心在y 轴上，半径为1，且经过点P （1，2）． (1) 求圆的方程；(2) 直线l 过点Pl 的方程．17． (本小题满分13分)如图所示，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒． (3) 求证：BC ⊥PB ；(4) 若AB = BC = 2，PA=E 为PC 中点，求AE 与BC 所成角的余弦值．18． (本小题满分13分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；(2) 若直线AB 与x 轴交于点M （x 0，0），且124y y =-，求证：点M 的坐标为（1，0）． 19． (本小题满分12分)如图，边长为a 的正三角形ABC ，PA ⊥平面ABC ，PA = a ，QC ⊥平面ABC ， QC =2a ，PQ 与AC 延长线交于F 点．(1) 若D 为PB 中点，证明：QD ∥平面ABC ； (2) 证明：BF ⊥平面PAB ．20． (本小题满分12分)已知点3(1)2P -，是椭圆E ：22221x y a b +=（a > b > 0）上一点，F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设A 、B 是椭圆E 上两个动点，是否存在λ，满足PO PB PA λ=+（0<λ<4，且λ≠2），ACQPDPAEBC（第19题图）（第17题图）且M（2，1）到AB的距离为5？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)如图，设抛物线C1：24(0)y mx m=>的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率12e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P。

西南师大附中2010—2011学年度下期期中考试高二数学试题（理科）（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 8(1)x -的展开式的第6项的系数是（ ）A ．68CB ．68C -C ．58CD ．58C -2． 已知m 、n 表示直线，αβ、表示平面，下列命题正确的是（ ）A ．若////m αββ，，则//m αB ．若m αββ⊥⊥，，则//m αC ．若////m n n α，，则//m αD ．若//n m m n αβα=⊄，，，则//m α3． 在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF =，则异面直线AD 与BC 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4． 用从0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6485． 5名学生A 、B 、C 、D 、E 和2位老师甲、乙站成一排合影，其中A 、B 、C 要站在一起，且甲、乙不相邻的排法种数为（ ） A ．432B ．216C ．144D ．726． 若122n nn n n C x C x C x ++…+能被7整除，则x ，n 的值可能为（ ）A ．x = 4，n = 3B ．x = 4，n = 4C ．x = 5，n = 4D ．x = 6，n = 57． 从编号分别为1，2，…，7的7张卡片中任意抽取3张，则满足任意两张卡片的数字之差的绝对值不小于2的有（ ）种 A ．4B ．10C ．20D ．358． 如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，AB ≠AC ，D 、E 分别是BC 、AB的中点，AC > AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P —BC —A 的平面角为γ，则αβγ、、的大小关系是（ ） A ．αβγ<< B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<9． 一个正三棱柱恰好有一个内切球（即恰好与两底面和三个侧面都相切）和一外接球（即恰好经过三棱柱的6个顶点），此内切球与外接球的表面积之比为（ ）A ．1B ．1∶3C ．1D ．1∶510． 设a 1，a 2，…，a n 是正整数1，2，3，…，n 的一个排列，令b j 表示排在a j 的左边且比a j大的数的个数，b j 称为a j 的逆序数．如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序数是0，2的逆序数是3，则由1到9这9个数字构成的所有排列中，满足1的逆序数是2，2的逆序数是3，5的逆序数是3的不同排列种数是（ ） A ．720 B ．1260 C ．1008 D ．1440二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． 甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.4、0.6，0.5，则三人都达标的概率是__________________． 12． 若2921101211(1)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则01211a a a a ++++=_____________．13． 4个实习老师分配到高中三个年级实习，则每个年级至少有1个实习老师的概率为__________________．14． 已知A 、B 、C 三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O —ABC 为正三棱锥，若A 、B 两点的球面距离为π，则正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为_____________．15． 在矩形ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 在AD 和DC 上运动，设ABP θ∠=，将△ABP 沿BP折起，使得二面角A —BP —C 成直二面角，当θ为__________时，AC 长最小． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (本小题满分13分)一个口袋里有4个不同的红球，5个不同的白球（球的大小均一样）． 从中任取3个球，求3个球为同色球的概率； 从中任取4个球，求至少有2个白球的概率．(本小题满分13分)在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PA =AD = 4，AB = 2， E 是PD 的中点．求证：AE ⊥平面PCD ；求平面ACE 与平面ABCD 所成二面角的大小．(本小题满分13分)求5的二项展开式中的常数项；若n的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的5倍，求展开式中系数最大的项．(本小题满分12分)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知A 1A = AB ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点．求二面角A —A 1B —D 的大小．若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面A 1BD ；(本小题满分12分)甲、乙两人下中国象棋，乙每局获胜的概率为14． 若甲、乙比赛3局，求乙恰胜2局的概率．若甲、乙比赛，甲每局获胜的概率为12，和局的概率为14．每局胜者得2分，负者得0分，和局则各得1分，规定积分先达到4分或4分以上者获奖并终止比赛（若两人同时达到4分，则两人都不获奖），求甲恰好在第3局比赛结束时获奖的概率．(本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为矩形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O，AB = 8，BC = AA1 = 6．求证：平面O1DC⊥平面ABCD；若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE = 2EA1，问点F在何处时EF⊥AD；在 (2) 的条件下，求F到平面CC1O1距离．（命题人：黄祥奎审题人：赖立新）西南师大附中2010—2011学年度下期期中考试高二数学试题参考答案（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．0.12 12．2 13．4914．1315．45︒三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)3345139141846C CPC+===······················ 6分(2)314454244991201511163266C CCPC C+=--=-=-=⨯··············13分17．(1) 证明：∵PA = AD，E为PD中点∴AE⊥PD·························· 2分∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD∵CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE·························· 5分∴AE⊥平面PCD························ 6分(2) 解：取AD中点F，连EF，作FG⊥AC于G，连EG∵E为PD中点∴EF∥PA∵PA⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵FG⊥AC ∴EG⊥AC∴∠EGF为二面角E—AC—D的平面角··············· 9分由△AFG∽△ACD，得FG AF CD AC=∴FG=··························10分而122EF PA==·························11分∴2tanEFEGFGF∠==··················12分∴平面ACE与平面ABCD所成二面角的大小为·······13分FG18．解：(1) 5315()()r r r r T C x x-+= ····················· 2分105652r rr C x-= ························· 3分由10506r-=，得r = 2 ····················· 5分 ∴ 常数项为第3项，340T = ··················· 6分(2) 2211252n n C C =⨯ ························ 7分(1)4102n n n -⨯= ∴ n = 0 (舍) 或6 ······················· 9分 设第r + 1项的系数最大，则116611662222r r r r r rr r C C C C ++--⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ ························ 11分 ∴111433r ≤≤·························· 12分 ∴ r = 4 ∴ 第5项的系数最大，435240T x-= ················ 13分19．(1) 解：（法一）取AB 中点F ，连结OD 、CF∵ O 为A 1B 中点 ∴ OF ∥AA 1 ∴ OF //=CD ∴ 四边形OFCD 为平行四边形 ∴ OD ∥FC∵ △ABC 为等边三角形，F 为AB 中点 ∴ CF ⊥AB 而AA 1⊥平面ABC ∴ AA 1⊥CF ∴ CF ⊥平面ABA 1 ∴ OD ⊥平面ABA 1 ∵ OD ⊂平面A 1BD ∴ 平面A 1BD ⊥平面A 1AB∴ 二面角A —A 1B —D 的大小为90︒ ············· 6分（法二）连结OD 、AD∵ DA 1 = DB ，O 为A 1B 中点，GFH∴ DO ⊥A 1B ∵ A 1A = AB ， ∴ AO ⊥A 1B∴ ∠AOD 为二面角A —A 1B —D 的平面角设AA 1 = 2，则AO OD而AD =∴ 222AD AO OD =+ ∴ 90AOD ∠=︒∴二面角A —A 1B —D 的大小为90︒(2) 证明：（法一）延长A 1D 、AC 交于G ，连结OG∵ CD //=12AA 1 ∴ C 为AG 中点 ∵ E 为AO 中点 ∴ EC ∥OG ∵ OG ⊂平面A 1BD∴ EC ∥平面A 1BD ···················· 12分（法二）取A 1O 中点H∵ E 为OA 中点∴ EH //=12AA 1 ∴ EH //=CD ∴ EHDC 为平行四边形 ∴ EC ∥FD ∵ FD ⊂平面A 1BD ∴ EC ∥平面A 1BD20．解：(1) 221311139()(1)34416464P C =-=⨯⨯=················ 4分 (2) 前两局1胜1负，第三局甲胜11211112428P C =⨯=······················· 6分 前两局甲1胜1平，第三局甲平或胜122113324416P C =⨯⨯= ······················ 6分 前两局2平，第三局甲胜23111()4232P =⨯= ························ 6分 ∴ 甲恰好3局结束时获奖概率为123131118163232P P P P =++=++= ··· 12分 21．(1) 证明：∵ A 1O 1//=OC ∴ A 1OCO 1为平行四边形∴ A 1O ∥O 1C ·························· 2分 ∵ A 1O ⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD······················· 3分∴平面O1DC⊥平面ABCD····················· 4分(2) 解：在AO上取点G，使AG = 2GO，则EG∥A1O∴EG⊥平面ABCD∴当且仅当FG⊥AD时，EF⊥AD∴FG∥AB∵CG = 2AG∴CF = 2BF即当CF = 2FB时，结论成立．·················· 7分(3) 解：作FH⊥AC∵CO1⊥平面ABCD∴平面C1O1C⊥平面ABCD∴FH⊥面C1O1C∵△FCH∽△ACB∴FH CF AB AC=而AC = 10，CF = 4 ∴165 FH=∴F到平面CC1O1的距离为22416355⨯=···············12分G H1． 若012{|10100}x y x x a a a ∈=++、，其中{1234567}(01i a i ∈=，，，，，，，，，且636x y +=，则实数对（x ，y ）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）A ．50个B ．70个C ．90个D ．120个2． 用1，4，5，x 四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，则_____________x =．3． 设12n a a a ，，…，是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的个数称为(12)i a i n =，，…，的“序号数”，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的“序号数”为1，3的“序号数”为0，则在1至8这8个数的排列中，8的“序号数”为2，7的“序号数”为3，5的“序号数”为3的不同排列的种数为___________．4． (本小题满分13分)甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15．每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分． (1) 求乙、丙各自闯关成功的概率； (2) 求团体总分为4分的概率；(3) 若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率．5． (本小题满分13分)如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． (1) 求证：A 1A ⊥BC ；(2) 当侧棱AA 1和底面成45︒角时，求二面角A 1—AC —B 的大小；(3) 若D 为侧棱AA 1上一点，请问当1A DDA 为何值时，BD ⊥A 1C 1．。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[1, 2]上单调递增，则下列结论正确的是（）A. f(1) < f(2)B. f'(1) > f'(2)C. f(1) > f(2)D. f'(1) < f'(2)2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S10 = 70，则第10项a10的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 93. 下列函数中，在定义域内单调递减的是（）A. y = 2x + 1B. y = x^2C. y = 1/xD. y = 2^x4. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 直线y = 0D. 直线y = 15. 下列各式中，正确的是（）A. sin(α + β) = sinα + sinβB. cos(α + β) = cosα + cosβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2在x = a处取得极值，则a的值为______。

7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，a2 = 2，且对于任意的n≥3，有an = an-1 + an-2，则S5 = ______。

8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，若f(x)的图像与x轴的交点个数为3，则f(2)的值为______。

9. 若复数z = 1 + bi（b∈R），则|z - i|^2 = ______。

10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)在x = 1处取得极小值，且f(0) = 2，f(2) = 8，求a、b、c的值。

重庆市西南大学附属中学11 12学年高二数学上学期期末考文[会员独享]重庆市西南大学附属中学11-12学年高二数学上学期期末考文[会员独享]西南大学附属中学2022-2022学年第一学期期末考试高二数学试题（文科）（总分：150分考试时间：120分钟）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得5分，共计50分。

在为每个子问题提供的四个备选方案中，只有一项是符合题目要求的．1.直线3x？Y1.0的倾斜角度为（）a．?6b、 ?。

？三c．2?3d、 5岁？六2．抛物线x2?14y的焦点坐标是（）a．（0，1）b、（01c．（1，0）d(116）16，0）3．已知命题p：?x?r，sinx?1，则（）a．?p：?x?r，sinx?1b．?p：?x?r，sinx?1c．?p：?x?r，sinx?1d、 ?。

？p:？十、r、辛克斯？一4．直线a∥平面?的一个充分条件是（）a、有一条直线B，B‖？，BB。

有飞机吗？，A.∥? c、有飞机吗？，A.∥?，? ∥?d、有一条直线B，B？？，A.∥B5．已知函数y?f(x)在点p（1，m）处的切线方程为y?2x?1，则f(1)?f'(1)?（）a、三,b．2c、一,d．06.如果双曲线x2？ky2？如果1的偏心率为2，实数k的值为（）a．c3b、 ?。

？十三c．3d、十三7．若p（2，c1）为圆(x?1)2?y2?25的弦ab的中点，则直线ab的方程是（）a、 x？Y3.0b.2x？Y3.0c.x？Y1.0d．2x?y?5?0椭圆x2y28。

a2？b2？1（a？B？0）的中心、右焦点、右顶点以及准直线与x轴的交点为o、F、G和h，则fgoh的最大值为（）a．1b.1123c．4D。

不确定性9．已知f是抛物线y2?x的焦点，a、b是该抛物线上的两点，|af|?|bf|?3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）答。

34b．1c．54d。

7410．若函数f(x)?1?(x?2)2?2，对任意x1，x2，且2?x1?x2?3，那么有（）a、 x1f（x2）？x2f（x1）b.x1f（x2）？x2f（x1）c.x1f（x2）？x2f（x1）d.x1f （x1）？x2f（x2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11.如果双曲线x2y2a2？9? 1（a？0）的渐近线方程是3x？2岁？0，那么a=________12．f(x)?113x3?2x2在区间[c1，1]上的最大值是_________________．13.如果点P位于以F1和F2为焦点的椭圆上，则PF2⊥ F1F2，谭？pf31f2？4.那么椭圆度是_________14．已知动点p在曲线2x2?y?0上移动，则点a（0，c1）与点p连线中点的轨迹方程是__________________．?by?c?0与曲线x2y215．已知非零实数a、b、c成等差数列，直线axm2?9?1(m?0)恒有公公共点，则实数m的取值范围为_________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分13分)直线L经过点P（C1，1），两个坐标轴上的截距之和为0。

西南大学附中2021—2022学年度上期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 抛物线24x y =的准线方程为（ ）A ．1x =B ．1x =−C ．1y =D ．1y =−2． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a ，14a 是方程2430x x −+=的两根，则16S =（ ）A ．32B ．30C ．28D ．263． 若在等比数列{}n a 中， 12348,12a a a a +=+=，那么56a a +=（ ）A ．20B ．18C ．16D ．144． 在数列{}n a 中，若221n n a a p +−=（n N *∈，p 为常数），则{}n a 称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（ ） A ．若{}n a 是等方差数列，则2{}n a 是等差数列 B ．若{}n a 是等方差数列，则2{}n a 是等方差数列 C ．{(1)}n −是等方差数列D ．若{}n a 是等方差数列，则2{}n a 也是等方差数列5． 已知12F F ，为双曲线22:2C x y −=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则2||||PF PF 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86． 已知数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +等于（ ）A ．27B ．28C ．29D ．307． 已知双曲线22221x y ba −=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C D8． 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线1l ，2l ，直线l 1与抛物线C 交于A 、B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则||||AB DE +的最小值为（ ）A ．24B ．20C ．16D ．12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9． 已知曲线C 的方程为22+113x y m m =+−13m m ≠−≠（且），则下列结论正确的是（ ）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 的椭圆 C ．曲线C 可能是一个圆D ．当1m =时，曲线C 是渐近线方程为0x y ±=的双曲线 10． 已知等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则（ ） A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}2n a 是等比数列11． 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是正方形，1AB =，1AA =，若AP AC λ=，[01]λ∈，，则（ ） A ．当12λ=时，111D P AC ⊥ B．四棱锥11P BB C C −C ．当平面11PB D 截直四棱柱所得截面面积为158时，34λ= D ．四面体11AC DP 的体积为定值12． 已知F 为椭圆22:142x y C +=的左焦点，直线:0l y kx k =≠（）与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A ．14||||AF BF +的最小值为2 B ．ABE △C ．直线BE 的斜率为2k D ．PAB ∠为直角三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 已知直线1:310l ax y −+=与直线2:2(1)10l x a y +++=垂直，则a 的值为 ． 14． 在等比数列{}n a 中，12a =，4128a =，若数列{}n b 满足2log n n b a =，则数列{}n b 的前20项和为______________．15． 直线:(1)1l y m x =+−与圆22:(1)6C x y −+=交于A ，B 两点，当弦AB 的长度最短时，则三角形ABC 的面积为 16． 已知数列{}n a 满足3121*n a a a n n N a =+∈（），若+1n na a λ≤对任意N*n ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (10分) 在等差数列{}n a 中，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知：2510a a +=−，530S =−．(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求使n n S a =成立的n 的值．18． (12分) 已知圆220:3x y D C x Ey +++−=关于直线10x y −−=对称，且圆心C 在x 轴上．(1) 求圆C 的方程；(2) 直线:0l x y b ++=与圆C 交于A ，B 两点，若ABC △为等腰直角三角形，求直线l 的方程．19． (12分) 已知直三棱柱111ABC A B C −中，12BA BC BB ===，90ABC ∠=︒，E ，F 分别是1AC AA ，的中点，D 为棱11B C 上的点． (1) 证明：BF DE ⊥；(2) 当1114B C B D =时，求直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．C 120．(12分) 已知双曲线2222:1x yC aa b−=>（1 C过点1（）．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点30M（，）的直线与双曲线C两点，是否存在直线AB，使得|||10AM BM=存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．21．(12分) 已知抛物线2:20E y px p=>（(1)求抛物线E的方程；(2)点A，B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足2OA OBk k+=．若直线AB与椭圆22+13x ym=恒有公共点，求m的取值范围．22．(12分) 设O为坐标原点，动点P在圆22:1O x y+=上，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且2QD QP=．(1)求动点D的轨迹E的方程；(2)直线l与圆22:1O x y+=相切，且直线l与曲线E相交于两不同的点A，B，T为线段AB的中点．线段OA，OB分别与圆O交于M，N两点．记AOT△，MON△的面积分别为12S S，，求12SS的取值范围．（命题人、审题人：校命题小组）x西南大学附中2021—2022学年度上期期末考试高二数学试题参考答案1—5DABBD 6—8CDC9AD 10ACD 11AD12BCD13．3-14．40015．516．1λ≥17．解：(1)由题，设{}n a 的首项为1a ，公差为d25151251054302a a a d s sa d +=+=-⎧⎪⎨⨯=+=-⎪⎩则，1102a d =-⎧∴⎨=⎩212n a n ∴=-(2)21()(222)1122n n a a n n ns n n+-⋅===-由n n s a =，即221121213120n n n n n -=--+=，即1n ∴=或1218．解：(1)由题，圆2222:()()32244D E D E C x y +++=++，圆心(,)22D E --由于圆C 关于直线10x y --=对称所以圆心在10x y --=上又圆心在x 轴上，所以联立100x y y --=⎧⎨=⎩可解得圆心:(1,0)C ，所以12D -=，02E-=，22(1)4C x y ∴-+=圆：(2)ABC ∆为等腰直角三角形，2CA CB r ===∴弦长2222AB CA CB =+=由弦长2221222=242b AB r d +=--即（）即12b +=1b ∴=或3-19．解：(1)法一：取AB 的中点Q ，连接EQ ，1B Q ，ABF △中，1tan 2AF ABF AB ∠==1B QB △中，11tan 2BB B QB BQ ∠==则1tan tan 1ABF B QB ∠⋅∠=，所以1tan 2ABF B QB π∠+∠=，则1BF B Q ⊥①1,BC AB BC BB ∴⊥⊥又,11BC ABB A ∴⊥面，BC BF ⊥则②由①②11BF B C EQ ∴⊥面11,DE B C EQ ⊂又面BF DE∴⊥法二：以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，1），D （0，0，2），E （1，1，0）(0,2,1),(1,1,2)BF BE a ∴==--，220BF DE BF DE∴⋅=-=∴⊥(2)由1114B C B D = ，则1(,0,2)2D ，1(,1,2)2DE =- ，(1,1,1)EF =- ，(0,2,1)BF =，设面DEF 的法向是(,,)n x y z =12020DE n x y z EF n x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩则取(2,1,1)n =，设直线BF 与平面DEF 所成角为θ，则330sin cos ,1065n BF n BF n BFθ⋅=<>===⨯ .20．解：(1)由题2212811b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，21a b =⎧∴⎨=⎩22141x y ∴-=双曲线方程：(2)当直线AB 斜为0，则AB ：y =0，此时1,5AM BM ==此时5AM BM ⋅=不符合.∴直线AB 斜率不为0，设:3AB x my =+,22223,465014x my m y my x y =+⎧⎪-++=⎨-=⎪⎩联立可得（）,1122(,),(,)A x y B x y 设，由于双曲线与直线AB 交于左右支，2222122122403620(m 4)16m 80064504m m m y y m y y m ⎧-≠⎪∆=--=+>⎪⎪-⎨+=-⎪⎪⎪=>-⎩则：24m ∴>22212121010(1)AM BM m y m y m y y ⋅=+-⋅+⋅-=+，225(1)4m AM BM m +∴⋅=-，由题10AM BM ⋅=，即225(1)104m m +=-，所以29m =，即3m =±，所以存在直线AB ，使得10AM BM ⋅=成立，此时直线:33AB x y =+或33x y =-+.即直线:330AB x y --=或330x y +-=.21．解：(1)由2P p PF x =+，则432p=+，所以2p =，则抛物线方程为24y x=(2)①由题O 、A 、B 不重合，∴直线AB 斜率不为0设AB ：x =ty +n,，11(,)A x y 设，22(,)B x y 22,4404x ty ny ty n y x=+⎧--=⎨=⎩联立得,则124y y t +=，124y y n =-，216160t n ∆=+>12121222121212124()44444OA OB y y y y y y tk k y y x x y y y y n +-+=+=+=+==则又由题2OA OB k k +=，即42tn-=，所以2n t =-.此时直线AB ：2x ty t =-，所以直线AB 恒过(0,2).此时22161616320t n t t ∆=+=->，所以(,0)(2,)t ∈-∞⋃+∞，接下来两种方法：法一：由题，直线AB 与椭圆22:13x y C m+=恒有公共点，则只需点(0,2)在椭圆内部或者在椭圆上，所以04130,3m m m ⎧+≤⎪⎨⎪>≠⎩，则4m ≥法二：联立22132x ym x ty t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(3)4430mt y mt y mt m +-+-=，'2222(4)4(3)(43)mt mt mt m ∆=-+-224(3129)m mt t =-+2212(43)m mt t =-+由题意，'0∆≥对任意的(,0)(2,)t ∈-∞⋃+∞恒成立，即2212(43)0m mt t -+≥对任意的(,0)(2,)t ∈-∞⋃+∞恒成立，由221x y +=为椭圆，则必然有0,3m m >≠，所以只需22430mt t -+≥对任意的(,0)(2,)t ∈-∞⋃+∞恒成立，则分离参数有：234m t --≥，对(,0)(2,)t ∈-∞⋃+∞恒成立，又230m -<，且无限趋近于0，所以只需40m -≥，即4m ≥22．解：(1)设D （x ，y ），Q （0，y ），,)QD P y = 由则,由点P 在221x y +=上,将)P y 带入221x y +=，即221y +=所以动点D 的轨迹方程：2212x y +=.(2)当l 斜率存在时，设,y kx m =+2222011x y m k l +==+即由直线与圆，当0k =时，直线l 与椭圆E 相切，不符题意，所以0k ≠，22222,2422012y kx mx k x kmx m x y =+⎧⎪+++-=⎨+=⎪⎩联立得（），12211222122412,,(,)2212km x x k A x y B x y m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设（）则，12111(sin )122212sin 2AOB MON S OA OB AOB S OA OBS S OM ON MON ∆∆⨯⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯⨯⨯∠12=12======22121s m k s =+=将代入化简有：,212,(1)k t t +=>令,12S S =则121(0,1)S S t=∈即其中,121(2S S ∴∈，:1,k l x =±当斜率不存在时，OA OB ==此时此时12131(242S OA OB S =⋅=∈，12127S S ∈综述：（，。