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2.1.1平面

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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2

高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)

第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；准确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解能够作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描绘性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两局部。

② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。

（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。

非水平平面：只要画成平行四边形。

直立的平面：一组对边为铅垂线。

相交的平面：一定要画出交线；遮住局部的线段画虚线或不画。

C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也能够用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。

④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

②理解：不在同一条直线上；一点、两点、三点、四点的情况；有且只有一个，等价于确定 ③实例：一扇门。

2.1.1 平面

2.1.1 平面

解: 1) ( 不正确. 如果点在直线上, 这时有无数个平面; 如果点不在 直线上, 在已知直线上任取两个不同的点, 由公理 2知, 有且只有 一个平面.
( 正确. 2) 经过同一点的两条直线是相交直线, 能确定一个平面.
( 不正确. 3) 四边形中三点可确定一个平面, 而第四点不一定在此 平面内, 如图. 因此, 这四条线段不一定在同一平面内.
( 如何理解“有且只有一个”的含义? 2)
(公理 2中“有且只有一个”的含义: 这里的“有”是说图 形存在, “只有一个”是说图形惟一, 强调的是存在和惟一两 个方面, “有且只有一个” 因此 必须完整的使用, 不能仅用 “只 有一个” 来替代, 否则就没有表达出存在性. 确定一个平面中 的“确定”是“有且只有”的同义词)
平面α, β相交于 l
α∩β=l
三、平面的基本性质—公理 1
3: 直线 l 与平面α有一个公共点 P . 直线 l 是否在平面 α内?有两个公共点呢? (有一个公共点时不一定, 有两个公共点时直线在平面内)
2: 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直 线在此平面内
文字语言 图形语言 符号语言
【实例】平面是构成空间几何体的基本元素, 生活中有很 多的物体给人以平面形象, 今天我们从数学的角度来研究 什么是平面, 它如何表示, 以及平面的性质是什么.
一、平面
1: 生活中有哪些物体给人平面形象, 你能试举几例 吗?你能总结一下它们所给你的统一形象吗? (黑板面、课桌面、湖面等给人的统一形象, 平的)
A∈lB∈l且 A∈α, , , B∈α⇒ l α ⊂
如果直线 l上的所有点都在平面α内, 就说直线 l在平面α内, 或者说 平面α经过直线 l记作 l α; , ⊂ 否则, 就说直线 l在平面α外, 记作 l α. ⊄

第七课时2.1.1平面

第七课时2.1.1平面

公理1的作用 1.可以用来判定一条直线是否在平面内.即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点 在平面内即可。 2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。 3.表明平面是“平的”。
直线与平面的位置关系 直线l在平面α内：记为：l α 直线l不在平面α上：记为：l
A
∩
B
A' B' ________
∩ ∩
(5) A' B' ________ , BB' ________
例二 证明：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 A
α b
a
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线 的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过 直线a、b有平面α。 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外， 点A和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的 推论1，过点A和直线b的平面只有一个.过直线a、 b的平面只有一个。
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．

A
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．

B
点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B α
B α A
思 考 若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。

高一数学：2.1.1平面教案

高一数学：2.1.1平面教案

第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们师：生活中常见的如黑板动给予评价，点出主题. 培养学生感性探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个③有一个平面的长是50m，宽④平面是绝对的平，无厚度师：刚才大家所讲的一些下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无加深学生对平探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成们常把被遮挡的部分用垂线画出来（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成αα∈师：在平面几何中，怎样师：这位同学画的实质上生：画出平面的一部分，师：大家画一下.学生动手画平面，将有代加深学生对平探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一α使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只师：我们下面学习平面的在平面上，调整直线上另一点生：当直线上两点在一个师：这处结论就是我们要师：从集合的角度看，公直线是由无数个点组成的过直线l，记作lα⊂，否则就α下面请同学们用符号表示学生板书，教师点评并完大家回忆一下几点可以确生：两点可确定一条直线师：那么几点可以确定上学生思考，讨论然后回答生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要师投影公理2图示与符号师：下面请同学们观察教生：这两个平面的无穷多通过实验，培加强学生学生在观察、平面是有的，而且只有一个”，也“有且只有一个平面”也可以说（2）过A 、B 、C 三点的平面可记公理3：如果两个不重合的平（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lP P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面师：我们把这条直线称为3. 典例分析例1 如图，用符号表示下图分析：根据图形，先判断点、解：在（1）中，l αβ=，a α=aβ=在（2）中，l αβ=，a α⊂b β⊂a=b=学生先独立完成，让两个学生巩固所学随堂练习1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确C ．四边形确定一个平面学生独立完成 答案： 1．D2．（1）不共面的四点可巩固所学D ．两两相交且不共点的三条2．（1）不共面的四点可以确（2）共点的三条直线可以确3．判断下列命题是否正确，（1）平面α与平面β相交，（2）经过一条直线和这条直（ ）（3）经过两条相交直线，有（4）如果两个平面有三个不4．用符号表示下列语句，并（1）点A 在平面α内，但点α（2）直线a 经过平面α外的（3）直线a 既在平面α内，β（2）共点的三条直线可3．（1）×（2）√（34．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈. （3）a α⊂，a β⊂.归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法2．平面的性质及其作用 3．符号表示 4．注意事项学生归纳、总结教学、补回顾、反课后作业 2.1第一课时 习案 学生独立完成备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．αb adcG F EAa bcd α H K图1图2设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1C A 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.AC ∩BD = M ⇒M ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M⇒O ∈C 1M ，即O 、C 1、M 三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D CB A。

2.1.1平面

2.1.1平面

§2.1.1 平面一、新课导学探究一：平面的概念与表示问题1：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题2：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？αβγ来表示，也可以用平行四新知2：通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题3：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作.⑵点P在直线l上，记作，点P在直线外，记作.⑶直线l上所有点都在平面α内,则直线l在平面α内(平面α经过直线l),记作；否则直线就在平面外，记作.探究二：平面的性质问题4：直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 ：文字语言：图形语言：符号语言：问题5：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 ：文字语言：图形语言：符号语言：推论1 ：文字语言：图形语言：符号语言：推论2：文字语言：图形语言：符号语言：推论3：文字语言：图形语言：符号语言：问题6：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B?为什么?新知6：公理3：文字语言：图形语言：符号语言：二、典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.练习 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外；⑵直线a 经过平面α外的一点M ；⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.例2：已知,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉.求证：直线,,AD BD CD 共面.点拨：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂例3：在长方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱1BB 的中点，画出11,,A C P 三点所确定的平面与长方体表面的交线.例4：如图所示，已知ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边,,AB BC AC 延长后分别交平面α于点,,P Q R .求证：点,,P Q R 在同一条直线上.二、总结提升公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.。

2.1.1平面(1)

l
§2.1.1 平 面
α
思考回答：
• • • • • • .是一个点吗？●是一个点吗？ 笔直的铅笔是一条直线吗？ 光滑的黑板是一个平面吗？ 结论：点没有大小； 直线没有长短，没有粗细； 平面没有边界，没有厚度。即平面 的性质：无限延展性，无厚度性。
动脑筋想一想，动手做一做
• 点与直线的位置关系有几种？ • 点与平面的位置关系有几种？ • 直线与平面的位置关系有几种？
• 2种：点在直线上；点在直线外 • 2种：点在平面内；点在平面外 • 3种：直线在平面内；直线在平面外；直线 与平面交与一点
预习课文，了解平面
• 点构成线，线构成面。所以平面可以看成 无数个点的集合。 • 平面的几何表示法：平行四边形法 • 画法：一角为45度的锐角，横边是邻边长 的2倍。 • 文字叫法：1、单独的希腊字母表示 • 2、平行四边形的四个顶点所在 的大写字母表示 • 3、平行四边形对角线上的两个 大写字母表示
练习（交流互动）
•点、直并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内; ⑶平面α和β相交于直线 l； ⑷直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q ⑸直线 l 是平面α和β的交线，直线m在平面 α内,和l相交于点P.

2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式



当

2x ＝ 1
13y＝z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23
x＋y＋z＝1
，即 x＝131，y＝121，z＝161时，
Amin＝161.
二 应用柯西不等式证明不等式
【例 2】已知 x，y，z 是正实数，求证：y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y ≥x＋2y＋z.
【证明】x，y，z 是正实数， 又(y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y)(y＋z＋x＋z＋x＋y)
素材1
(1)设 x、y 满足 2x2＋3y2＝5，求 A＝x＋2y 的最值； (2)设 x＋y＋z＝1，求 A＝2x2＋3y2＋z2 的最小值．
【解析】 (1)(x＋2y)2＝( 2x·12＋ 3y·23)2
≤(2x2＋3y2)(21＋43)
＝(2x2＋3y2)·161.
因为 2x2＋3y2＝5，所以(x＋2y)2≤565，
≥(
x y＋z·
y＋z＋
y x＋z·
x＋z＋
z x＋y·
x＋y)2.
即(y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y)·2(x＋y＋z)≥(x＋y＋z)2.
而 x＋y＋z>0，
故y＋x2 z＋x＋y2 z＋x＋z2 y≥x＋2y＋z.
练习：已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|
的最小值为a，又正数p，q，r满足p＋q＋r＝a，
a1
≥n2＞1.
即(a1－an＋1)·
a1
1
a2

a2
1
a3


an
1 an1

1 an1 a1
＞1，
【点评】应用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符 合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有 一致形式时，就可应用柯西不等式对这个式子进行缩小或放 大，从而证得问题．

高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面 教学课件


定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确

2.1.1平面

有且只有一个平面
经过两条相交直线
经过两条平行直线
完成课本练习
P43
1、2、3、4
系统集成 P19 自学检测1~5 P21 基础巩固1~8
§2.1.1 平 面
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，几何里的 平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
如果一个平面被另一个平面挡住， β 则这遮挡的部分用虚线画出来.

A
.·l · .·
B
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面内表示为m
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打
，否则打
:
( )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
( (
)
) ) )
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是否在 l l 平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内. 图形语言

m
A
.·l · .·
B
错误
Байду номын сангаас
符号语言
Al B l l A B
α
3、平面的表示法
D C
A
α
B
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文字语言： 文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面. 且只有一个平面 图形语言： 图形语言： A 符号语言： 符号语言： B C
A B,C 点 共 ⇒有 只 一 平 α , 三 不 线 且 有 个 面 A 使 ∈α, B∈α,C∈α
公理2是确定一个平面的依据 公理 是确定一个平面的依据. 是确定一个平面的依据
把三角板的一个角立在课桌面上， 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 面与桌面所在平面是否只相交于一点 ？为什么？
α
B
把三角板的一个角立在课桌面上， 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 为什么？ 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
3. 平面的画法： 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 在画图时， 在画图时 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画. 也可以不画
α β
α β
4. 平面的表示方法： 平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示， 平面可以用希腊字母表示，也可以用 希腊字母表示 代表表示平面的平行四边形的四个顶点 四个顶点或 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 两个顶点字母表示 相对的两个顶点字母表示. 相对的两个顶点字母表示 如 D C B
5、一个平面可以把空间分成两部分 ( 、一个平面可以把空间分成两部分.
3. 平面的画法： 平面的画法：
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面： 水平放置的平面： 垂直放置的平面： 水平放置的平面 垂直放置的平面
β α
我们常常把水平的平面画成一个平行四边 用平行四边形表示平面． 形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45° 平行四边形的锐角通常画成 °，且横边 长等于其邻边长的2倍 长等于其邻边长的 倍．
长方体由上下、前后、 答： 长方体由上下、前后、左右六个 面围成．它们都是平的 是平的。 面围成．它们都是平的。
长方体由上下、前后、左右六个面围成． 长方体由上下、前后、左右六个面围成． 有些面是平行的，有些面是相交的； 有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在 直线与面平行，有些棱所在直线与面相交， 直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所 在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等． 在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等．
平面公理
公理1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质， 一些基本性质，我们把 它作为公理． 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础． 是进一步推理的基础．
β
α 平 α 面
A
面 平 β
面 平 ABCD 平 AC 面 平 BD 面
点与平面的位置关系
平面内有无数个点， 平面内有无数个点，平面可以看成点 的集合． 的集合．点在平面内和点在平面外都可以 用元素与集合的属于、 用元素与集合的属于、不属于关系来表 示．
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 用数学符号来表示点、 位置关系： 位置关系： (1)点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 a A 在直线a上 记为A∈ 点A在直线 上： 记为 ∈a. 在直线 B 不在直线a上 记为B∉ 点B不在直线 上： 记为 ∉a. 不在直线 (2)点与平面的位置关系： 点与平面的位置关系： 点与平面的位置关系 记为A∈ 点A在平面α上： 记为 ∈α. 在平面 点B不在平面α上： 不在平面 记为B∉ 记为 ∉α. α A B
D′
A′
C′
B′
D
C
A B
实例引入
观察教室里的桌面、黑板面， 观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的 形象？ 形象？
实例引入
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？ 观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
实例引入
观察海面，它又呈现出怎样的形象？ 观察海面，它又呈现出怎样的形象？
1. 平面的概念： 平面的概念： 光滑的桌面、 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 熟悉的平面形象， 实平面加以抽象的结果. 实平面加以抽象的结果
β
a
α
A l
α
a l b P （2） ）
B
β
（1） ）
解：在（1）中， α I β = l, a Iα = A, a I β = B. 在（2）中， α I β = l, a ⊂α, b ⊂ β , a Il = P, b Il = P.
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画 把下列语句用集合符号表示， 出直观图. 出直观图 (1) 点A在平面α内，点B不在平面α内， 在平面 不在平面 都在直线a上 点A，B都在直线 上； ， 都在直线 (2) 平面α与平面β相交于直线 ，直线 相交于直线m，直线a 在平面α内且平行于直线m. 内且平行于直线
α
符号语言： 符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据 公理 是判断直线是否在平面内的依据. 是判断直线是否在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机． 生活中经常看到用三角架支撑照相机．或 测量用的平板仪等等…… 测量用的平板仪等等……
观察下图，你能得到什么结论？ 观察下图，你能得到什么结论？
α
A
A∈l, B∈l, A∈α, B∈α ⇒l ⊂α
作用： 作用： 判定直线是否在平面内． 判定直线是否在平面内．
文字语言： 文字语言： 公理1 公理 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 面内， 这个平面内(即直线在平面内 即直线在平面内). 这个平面内 即直线在平面内 图形语言： 图形语言：
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面. 且只有一个平面
平面公理
存在性 公理2 公理2 平面． 平面． 过不在一条直线上的三点， 过不在一条直线上的三点，有且只有一个 唯一性
B
α
A
C
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 不再一条直线上的三个点 、 、 所确定的平面， 所确定的平面 可以记成“平面ABC”． 可以记成“平面 ． 作用： 作用： 确定平面的主要依据． 确定平面的主要依据．
2.1.1 平面
一、平面及其表示法
实物引入、 实物引入、揭示课题 同学们观察长方体 长方体并思 同学们观察长方体并思 考以下问题： 考以下问题： 1、长方体由哪些基本元素 构成? 构成? 答：点、线、面 2、观察长方体的面,说说 观察长方体的面, 它的特点？ 它的特点？
D′
A′
C′
B′
D
C
A B
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画 把下列语句用集合符号表示， 出直观图. 出直观图 (1) 点A在平面α内，点B不在平面α内， 在平面 不在平面 都在直线a上 点A，B都在直线 上； ， 都在直线 (2) 平面α与平面β相交于直线 ，直线 相交于直线m，直线a 在平面α内且平行于直线m. 内且平行于直线 B
C
，
B
O
D
正确
A
C1 D1 O1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD− A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： 正确，并说明理由： 由点A， ， 可以确定一个平面 可以确定一个平面； ③由点 ，O，C可以确定一个平面； 错误
C
B
D
O
A
C1
D1
B1 A1
引入新课
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象． 黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能 从生活中举出类似平面形的物体吗？ 从生活中举出类似平面形的物体吗？ 几何里所说的“平面”（plane）就是从这 几何里所说的“平面” ） 样的一些物体中抽象出来的，但是， 样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的 平面是无限延展的． 平面是无限延展的．
β α
P l
P∈α且 ∈β ⇒α Iβ = l且 ∈l. P P
公理3是判定两个平面是否相交的依据. 公理 是判定两个平面是否相交的依据 是判定两个平面是否相交的依据
随堂练习
在正方体 ABCD− A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： 正确，并说明理由： ①直线 AC1在平面 CC1 B1 B 内；错误
α
a
α A
a m
β
把下列图形中的点、 例3. 把下列图形中的点、线、面关系用 集合符号表示出来. 集合符号表示出来 l a A B l a A B l
α
A a
α β
α β
二、平面的基本性质
平面公理
与平面α有一个公共点 有一个公共点P， 如果直线 l 与平面 有一个公共点 ，直线 l 是否在 平面α内 平面 内？
2. 平面的特征： 平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的. 在空间是无限延伸的
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正 、判断下列各题的说法正确与否， 确的说法的题号后打 ，否则打 ( ( ( ( : ) ) ) ) )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； 、 2、平面有边界； 、平面有边界； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； 、 4、菱形的面积是可以计算的； 、菱形的面积是可以计算的；
平面公理
与平面α有两个公共点 有两个公共点， 如果直线 l 与平面 有两个公共点，直线 l 是否 在平面α内 在平面 内？ 实际生活中，我们有这样的经验： 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边 缘上的任意两点放到桌面上，可以看到， 缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个 边缘就落在了桌面上． 边缘就落在了桌面上．