3[1].2.1直线的点斜式方程

3.2.1 直线的点斜式方程学习目标：1、掌握直线的点斜式和斜截式方程。

2、会用点斜式和斜截式求直线的方程。

学习重点：用点斜式和斜截式求直线的方程。

学习难点：直线的点斜式和斜截式方程的应用【预习案】1、直线的点斜式方程：已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)pxy 为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，00y y k x x -=-，即 ⑴方程是⑴由直线上 及其 确定，所以把此方程叫做直线l 的点斜式方程，简称 。

思考：①x 轴所在直线的方程是______________ y 轴所在直线的方程是______________；②经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是______________；③经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是______________；④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？2、直线的斜截式方程直线l 与y 轴交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的 ,方程b kx y +=由直线的 与它在 确定，所以把此方程叫做直线的斜截式方程，简称 。

思考：①截距是距离吗？②能否用斜截式表示平面内的所有直线？③直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？【探究案】例1．直线l 经过)3,2(0-P ，且倾斜角︒=45α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l思考：求直线的点斜式方程的关键是：例2．已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.例3. 已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）.A. x =3B. y =－5C. 2y =xD. x =4y －12．方程(2)y k x =-表示 （ ）.A. 通过点(2,0)-的所有直线B. 通过点(2,0)的所有直线C. 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线D. 通过点(2,0)且除去x 轴的直线3．直线y ax b =+（a b +＝0）的图象可以是（ ）.4．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）.A. 42(3)y x -=-B. 43y x -=-C. 40y -=D. 30x -=5．过点P(1,2)且与原点O 距离最大的直线l 的方程（ ）.A. 250x y +-=B. 240x y +-=C. 370x y +-=D. 350x y +-=6．直线031=-+-k y kx ，当k 变化时，所有直线恒过定点_________7． 将直线1y x =绕它上面一点（115°，得到的直线方程是 .【能力提高】8．已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.9．已知△ABC在第一象限，若(1,1),(5,1),60,45，求：∠=∠=A B A B（1）边AB所在直线的方程；（2）边AC和BC所在直线的方程。

直线的点斜式方程与斜截式方程大家好呀，今天咱们来聊聊直线方程，具体来说，就是点斜式方程和斜截式方程。

别担心，我会把这些听起来像天书的东西，讲得像讲故事一样简单易懂。

你坐下来，喝口茶，咱们慢慢说说。

1. 点斜式方程1.1 什么是点斜式方程？首先，咱们得搞明白点斜式方程是什么。

简单来说，点斜式方程就是用来描述一条直线的方程。

它的格式是这样的：[ y y_1 = m(x x_1) ]。

别怕，这看起来像数学语言的外星文，实际简单得很。

这里的 ( (x_1, y_1) ) 是你已经知道的一个点，( m ) 是直线的斜率。

这就像你在绘画时知道了一个点的位置和线的倾斜程度，接下来只要把这些信息放进去，直线就自动出来了。

1.2 点斜式方程的实际应用想象一下，你要在纸上画一条直线，你知道这条直线经过一个点，比如说小明家门口的那棵大树。

然后，你知道直线的倾斜程度，比如说它向上倾斜了 45 度。

用点斜式方程，你可以把这两种信息结合起来，直接画出这条直线。

是不是很方便？就像是你知道了烹饪的材料和步骤，最后能做出美味的菜肴一样。

2. 斜截式方程2.1 什么是斜截式方程？接着咱们说说斜截式方程，它的形式是这样的：[ y = mx + b ]。

这里的 ( m ) 还是直线的斜率，不过这次它告诉我们直线的倾斜程度；而 ( b ) 是直线在 y 轴上的截距，也就是直线穿过 y 轴的那个点的 y 坐标。

用斜截式方程，你可以很清楚地看到直线如何穿过坐标系。

2.2 斜截式方程的实际应用让我们举个简单的例子。

假设你在路上开车，车的行驶路线就是一条直线。

斜截式方程就像是你手上的导航仪，告诉你这条路的走向和你与起点的距离。

比如说，你的车是以每小时 60 公里的速度向前行驶，且起点在 y 轴上。

通过斜截式方程，你能快速算出你的车在任何时刻的位置。

3. 点斜式与斜截式的转换3.1 如何转换说到这儿，可能有的小伙伴会好奇，点斜式和斜截式之间的关系是什么，怎么转换呢？其实，这就像是两种不同的描述方式，虽然它们讲的是同一个故事。

§3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程思考经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.知识点二直线的斜截式方程对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.1.y 轴所在直线方程为y ＝0.( × )2.直线y －3＝k (x ＋1)恒过定点(－1,3).( √ )3.直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点到原点的距离.( × )4.直线y ＝kx －b 在y 轴上的截距为b .( × )题型一 求直线的点斜式方程例1 已知点A (3,3)和直线l ：y ＝34x －52.求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程. 考点 直线的点斜式方程 题点 写出直线的点斜式方程 解 因为直线l ：y ＝34x －52，所以该直线的斜率k ＝34.(1)过点A (3,3)且与直线l 平行的直线方程为 y －3＝34(x －3).(2)过点A (3,3)且与直线l 垂直的直线方程为 y －3＝－43(x －3).反思感悟 利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程. 跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (4，－2)，倾斜角为150°； (2)过两点A (1,3)，B (2,5).解 (1)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4). (2)∵k ＝5－32－1＝2，∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1). 题型二 直线的斜截式方程例2 (1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是___________________________________. 考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3，∴所求直线的斜截式方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程. 考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2. 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 引申探究本例(2)中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程. 解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2， ∴l 在y 轴上的截距为2. ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5.考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 解 (1)y ＝2x ＋5.(2)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33，∴y ＝－33x －2. (3)∵y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°， ∴所求直线的倾斜角为α＝120°×14＝30°，∴k ＝tan 30°＝33，∴y ＝33x －5.斜截式方程的应用典例 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用解 (1)由题意可知，kl 1＝－1，kl 2＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行.(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直.[素养评析] 在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距.要使两直线平行，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2.在此容易忽略b 1≠b 2的条件，所以本例突出考查直观想象和数学运算的数学核心素养.1.方程y ＝k (x －2)表示( ) A.通过点(－2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴. 2.已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( )A.9B.－9C.274D.－274答案 B解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.3.已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝－3x ＋2 C.y ＝－3x －2 D.y ＝3x －2考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 D解析 ∵α＝60°，∴k ＝tan 60°＝3， ∴直线l 的方程为y ＝3x －2.4.直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A.k >0，b >0 B.k >0，b <0 C.k <0，b >0D.k <0，b <0 考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5.已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的点斜式方程为____________. 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 y －1＝12(x －2)解析 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的点斜式方程为y －1＝12(x －2).1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断.一、选择题1.已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 由y ＋2＝－x －1，得y ＋2＝－(x ＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2). 2.已知直线的斜率是2，且在y 轴上的截距是－3，则此直线的方程是( ) A.y ＝2x －3 B.y ＝2x ＋3 C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋3考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 A3.与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A.y －3＝－32(x ＋4)B.y ＋3＝32(x －4)C.y －3＝32(x ＋4)D.y ＋3＝－32(x －4)考点 直线的点斜式方程 题点 求直线的点斜式方程 答案 C4.过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A.y ＋3＝12(x ＋1)B.y ＋3＝12(x －1)C.y －3＝12(x ＋1)D.y －3＝12(x －1)考点 直线的点斜式方程 题点 求直线的点斜式方程 答案 C解析 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率为12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，故选C.5.与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A.y ＝12x ＋4B.y ＝2x ＋4C.y ＝－2x ＋4D.y ＝－12x ＋4考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.6.将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( ) A.y ＝－13x ＋13B.y ＝－13x ＋1C.y ＝3x －3D.y ＝13x ＋1考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 A解析 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.7.直线y －2m ＝m (x －1)与y ＝x －1垂直，则直线y －2m ＝m (x －1)过点( ) A.(－1,2) B.(2,1) C.(1，－2) D.(1,2) 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 C解析 ∵y －2m ＝m (x －1)与y ＝x －1垂直， ∴m ×1＝－1即m ＝－1.则直线y －2m ＝m (x －1)可化为y ＋2＝－(x －1)， ∴过点(1，－2).8.直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用答案 D解析 对于A ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B ，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D ，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D. 二、填空题9.在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________. 考点 直线的斜截式方程 题点 写出直线的斜截式方程 答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6. 10.直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________. 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 答案 (2,3)解析 化为点斜式：y －3＝k (x －2).11.已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4. 三、解答题12.求满足下列条件的m 的值.(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直. 解 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等. ∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34.13.已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程. 考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35.14.将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________. 考点 直线的点斜式方程 题点 写出直线的点斜式方程 答案 y －3＝3(x －1)解析 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为 3. 又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1).15.直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程. 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2. 令y ＝0得，x ＝2k －2k，由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2.解得k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)，综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2).。

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx ＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.重点难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.方程y=kx ＋b 与直线l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.(2)(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 推进新课新知探究提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系: (1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x.答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地. ∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2). 例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△AB C 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512. 知能训练课本本节练习1、２、３、４.拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2 A 组2、3、5.设计感想直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从初中代数中的一次函数y=kx ＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.。

3. 2.1 直線的點斜式方程【教學目標】（1）理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用範圍；（2）能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程。

（3）體會直線的斜截式方程與一次函數的關係.【教學重難點】重點：直線的點斜式方程和斜截式方程。

難點：直線的點斜式方程和斜截式方程的應用。

【教學過程】（一）情景導入、展示目標1．情境1：過定點P（x0,y0）的直線有多少條？傾斜角為定值的直線有多少條？學生思考、討論。

(二)預習檢查、交流展示檢查落實了學生的預習情況並瞭解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。

（三）合作探究、精講精煉。

問題1：確定一條直線需要幾個獨立的條件？學生可能的回答：（1）兩個點P1（x1，y1），P2（x2，y2）；（2）一個點和直線的斜率（可能有學生回答傾斜角）；（3）斜率和直線在y軸上的截距（說明斜率存在）；（4）直線在x軸和y軸上的截距（學生沒有學過直線在x軸上的截距，可類比，同時強調截距均不能為0）。

問題2：給出兩個獨立的條件，例如：一個點P 1（2，4）和斜率k =2就能決定一條直線l 。

（1）你能在直線l 上再找一點，並寫出它的座標嗎？你是如何找的？（2）這條直線上的任意一點P （x ，y ）的座標x ，y 滿足什麼特徵呢？直線上的任意一點P (x ,y )（除P 1點外）和P 1(x 1，y 1)的連線的斜率是一個不變數，即為k ，即：k ＝00x x y y --， 即y - y 1= k (x - x 1)學生在討論的過程中：（1） 強調P （x ，y ）的任意性。

（2） 不直接提出直線方程的概念，而用一種通俗的，學生易於理解的語言先求出方程，可能學生更容易接受，也更願意參與。

問題3：（1）P 1（x 1，y 1）的座標滿足方程嗎？（2）直線上任意一點的座標與此方程有什麼關係？教師指出，直線上任意一點的座標都是這個方程的解；反過來，以這個方程的解為座標的點都在此直線上。