3.2.1直线的点斜式方程(公开课)

3.2.1《直线的点斜式方程》教学设计一． 内容解析《直线的点斜式方程》选自人教版数学必修二的3.2.1这一节，其主要内容是直线的点斜式方程和斜截式方程。

在本节课的学习中，学生们将迈出探究解析几何学的第一步，在“数”和“形”之间建立联系。

这为后续学习直线与直线的位置关系等内容，提供了重要的思想方法。

高一学生具有一定直观感知能力，也具备一次函数和直线的斜率等知识储备，但还没有尝试过用代数方法解决几何问题，同时分析论证的能力有待提高，因此在概念的推导过程中可能会比较困难。

二．目标及目标解析1.目标（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2. 目标解析在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

三．教学问题诊断分析（1）学生在初中已经学习了一次函数,知道一次函数的图象是一条直线,因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑,产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何,不明确解析几何的实质,因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别.（2）学生能听懂建立直线的点斜式的过程,但可能会不知道为什么要这么做.因此还是要跟学生讲清坐标法的实质——把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质.（3）由于学生没有学习“曲线与方程”,因此学生难以理解直线与直线的方程,甚至认为验证直线是方程的直线是多余的.这里让学生初步理解就行,随着后面教学的深入和反复渗透,学生会逐步理解的.四．教学支持条件分析利用几何画板的作图功能，直观形象体现直线的变化规律，提高课堂效率.五．教学过程设计【温故知新】1、 直线l 的倾斜角是 ，则直线的斜率是2、 已知直线上两点),(11y x A 、)y ,(B 22x ，则直线的斜率是3、 在直角坐标系内确定一条直线的几何要素是什么?【合作探究】一、直线的点斜式方程如果直线l 经过点),(000y x p ，且斜率为k ，你能否用给定的条件将直线上所有点的坐标),(y x 满足的关系表示出来？思考：（1）经过点),(000y x p ，且斜率为k 的直线的点斜式方程是 （2）直线的点斜式方程的推导依据是 （3）00x x y y k --=与()00x x k y y -=-的区别在哪？ 例1、写出下列直线的方程(1)直线l 经过点)3,2(0-p ，且倾斜角045=α；(2)直线l 经过点)3,2(0-p ，且倾斜角00=α；(3)直线l 经过点)3,2(0-p ，且倾斜角090=α.小结：（1）直线的点斜式方程及其适用范围是（2）经过点),(000y x p ，且斜率为0的直线的方程是经过点),(000y x p ，且斜率不存在的直线的方程是二、直线的斜截式方程如果直线l 过点),0(b ，且斜率为k ，则直线的方程是什么？思考：（1）斜率为k ，与y 轴的交点是),0(b 的直线的斜截式方程是（2）截距与距离有什么区别？（3）直线的斜截式方程有什么特点？直线的斜截式方程与一次函数的表达式有什么关系？其中k 和b 的几何意义是什么？例2、写出下列直线的斜截式方程(1)斜率是-2,在y 轴上的截距是4;(2)斜率是-2,在y 轴上的截距是-4;(3)斜率是-2,在x 轴上的截距是4.例3、已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l += 试讨论：（1）1l ∥2l 的条件是什么？ （2）21l l ⊥的条件是什么？小结：（1）直线的斜截式是点斜式的特殊情况，斜截式方程及其适用范围是（2）斜截式中b kx y +=中k 是直线的 ，b 是直线的（3）求直线截距的方法（4）两条直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=,1l ∥2l 的条件是 ，21l l ⊥的条件是【能力提升】思考：1、R b ∈，方程b x y +=2表示的直线有什么特点？2、R k ∈，方程)2(1+=-x k y 表示的直线有什么特点？【课堂小结】1、 这节课你有哪些收获?2、 已知直线上两点),(),,(222111y x p y x p ，根据本节课所学内容你能表示出直线的方程吗？六．目标检测设计1、已知直线031=-+-k y kx ，当k 变化时，所有的直线恒过定点2、求直线)2(3--=x y 绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.3、求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形的周长是12的直线方程.4、直线b kx y +=通过第一、三、四象限，则有（ ）A 、0,0>>b kB 、0,0<>b kC 、0,0><b kD 、0,0<<b k5、三角形的三个顶点是)3,0(),7,6(),0,4(C B A ，求BC 边上的高所在直线的方程.《直线的点斜式方程》课例点评本节课是直线方程的起始课，也是解析几何思想方法的初步渗透。

3．2．1直线的点斜式方程学科： 数学 年级： 高一 班级【学习目标】1.了解直线方程的点斜式的推导过程．2.直线方程的点斜式会应用．3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念． 【学习重难点】重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论的基础。

难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点斜式y －y 1＝k(x －x 1)只适用于不平行于x 轴且不垂直于x 轴的任何直线．( )(2)斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线．( ) (3)y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线的方程．( )(4)直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B(0，b)，其中截距b ＝|OB|.( ) 2．直线y －4＝－3(x ＋3)的倾斜角和所过的定点分别是( ) A ．60°，(－3，4) B ．120°，(－3，4) C ．150°，(3，－4) D ．120°，(3，－4)3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程式是( ) A ．y ＋3＝4(x －2) B ．y －3＝4(x －2) C ．y －3＝4(x ＋2) D ．y ＋3＝4(x ＋2)4．斜率是32，在y 轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为________．【合作探究】 (1)点斜式已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得11x x y y k --=(1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2)注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系)这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(2)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是y=kx+b上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．注：斜截式方程因为形式是直线方程中最简的，故在后续的课程中有十分重要的运用，但上述两种直线方程的形式都要求有斜率，故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论，而这正是最容易错的地方。